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Dedicado a mis nietas
Isabel y Vernica
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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AGRADECIMIENTO
Quiero expresar mi ms sincero agradecimiento al profesor Julin Aguirre Pe, quien con dedicacin y detenimiento ley los manuscritos haciendo las correcciones necesarias con el fin de obtener una mejor claridad en la explicacin de los problemas. A la profesora Alix T. Moncada M., quien con entusiasmo y esmero, colabor ampliamente en la realizacin de los grficos, haciendo las sugerencias necesarias para su mejoramiento. Ellos dispusieron de gran parte de su tiempo libre, para que este trabajo fuera realizado satisfactoriamente en el tiempo previsto. Agradezco tambin a Mildred Prez, por su dedicacin y colaboracin prestada de una u otra forma y en todo momento en que se hizo necesaria su ayuda.
Lionel
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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INDICE
Captulo 1 Pg. Flujo de fluidos reales. 5 Captulo 2 Flujo permanente en conductos cerrados. 39 Captulo 3 Principio de energa y cantidad de movimiento aplicado al flujo en canales. 85 Captulo 4 Flujo uniforme en canales abiertos. 117 Captulo 5 Flujo gradualmente variado. 155 Captulo 6 Flujo de un fluido ideal. 205
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Captulo 1
FLUJO DE FLUIDOS REALES
Determinacin de la longitud de la placa x. Considerando como hiptesis que el flujo en la placa es turbulento (RX > 5 x 105), tendremos entonces:
5/15/4
5/1
5/1
5/15/1X
U37.0
xx
xU37.0xU
37.0xR
37.0x
4/1
5
4/54/14/54/55/1
10x6.13600
1000x108
37.00074.0xU
37.0xU
37.0x
x = 0.2783 m
Determinacin del nmero de Reynolds de la placa.
5X5XX 10x22.5R10x6.1
2783.03600
1000x108
RxUR
como RX = 5.22 x 105 > 5 x 105, entonces el flujo es turbulento y la hiptesis es cierta.
Problema F.II-1.01 El aire a 20 C ( = 1.6 x 10-5 m2/s) con una presin absoluta de 1.00 kg/cm2 fluye a lo largo de una placa con una velocidad de 108.00 km/h. Qu longitud debe tener la placa para obtener un espesor de la capa lmite de 7.40 mm?
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Determinacin de la ecuacin de crecimiento de la capa lmite laminar.
El esfuerzo cortante en la placa es:
ydUu1
Uu
xU
0
20
Si no depende dey y d y d y Los nuevos lmites de integracin son:
00y0ypara
1yypara
entonces el esfuerzo cortante es:
dUu1
Uu
xU
1
0
20
223Uuycomo . Al sustituirlo en la expresin anterior se tiene:
1
0
43220
1
0
2220 d412113x
Ud23123x
U
1
0
543220 5
44
123
1123
xU
x30U2
0
Problema F.II-1.02
Utilizando un perfil de velocidades dado por 2y2y3
Uu
, determinar:
a) La ecuacin de crecimiento de la capa lmite laminar. b) La tensin de cortadura. c) La relacin entre el espesor desplazado y1 .
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7
Por otra parte, segn la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene:
UyyuyyUu
22
2323 , entonces
0y20
0y
2
00y
0y43
yd
Uy2y3d
ydud
U30
igualando las expresiones del esfuerzo cortante 0 se tiene:
xdU90dxd
U90dU3
x30U2
integrando se tiene:
Ux42.13
Ux180
Ux90
2
2
Determinacin del esfuerzo cortante. Si se sustituye en la expresin del esfuerzo cortante 0 se tiene:
xU224.0
Ux180
U33
00
Determinacin de la relacin entre el espesor desplazado y1 . El espesor desplazado 1 es la distancia que habra que desplazar la pared hacia dentro del fluido para que el caudal fuese el mismo que se tendra si no existiera el efecto de frenado de las partculas prximas a la pared, lo cual se representa en la siguiente figura:
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8
El espesor desplazado 1 est expresado analticamente por
010101 ydUu1yd
Uu
UUyduUU
Para la distribucin de velocidades del presente caso obtenemos, al reemplazar
223porUu y hacer el cambio de variable y = , los nuevos ndices de integracin,
los cuales resultan: para y = 0, = 0, para y = , = 1
10
21 d231
Al integrar
32
231
32
23
1
1
0
321
61
Problema F.II-1.03 Desarrollar:
a) Una expresin para la velocidad media V. b) La ecuacin de crecimiento de la capa lmite turbulenta en tuberas circulares
de radio r0, a partir de 5/1X
9/1
R185.0fyy
Uu
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9
Determinacin de la velocidad media V.
9/19/1
9/19/1
yUuyUuyUu
R
0
9/19/1
R
0
R
0
rdr2yUQrdr2uQdAuQ
La relacin que existe entre el radio de la tubera R, el radio variable r, y la distancia desde la pared y, es:
ydrdyRrryR los nuevos lmites de integracin son:
para r = 0 RyyR0yRr para r = R 0yyRRyRr Al sustituir en la expresin del caudal se obtiene:
0
R
9/109/19/1
0
R
9/19/1 ydyRy
2UQydyRy2UQ
9/199/199/10
R
9/199/109/1 R19
9R10902UQy
199Ry
1092UQ
9/1
9/19
9/1
9/19 RU853.0Q199
109R2UQ
Por otra parte:
2RVQAVQ
al igualar las expresiones del caudal se tiene:
9/1
9/12
9/19
9/1
9/192 RU853.0V
RRU853.0VRU853.0RV
Determinacin del espesor de la capa lmite. El esfuerzo cortante en placas es:
ydUu1
Uu
xU
0
20
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10
Si ydedependenodydyy los nuevos lmites de integracin son:
00y0ypara
1yypara
entonces el esfuerzo cortante es:
dUu1
Uu
xU
1
0
20
9/1
UuyComo , al sustituirlo en la expresin anterior se tiene:
1
0
9/29/120
1
0
9/19/120 dx
Ud1x
U
119
109
xU
119
109
xU 20
1
0
9/119/1020
xU0818.0 20
En tuberas el esfuerzo cortante es:
8fV
8fV
2
00
como en el presente caso,
9/1
5/15/1
5/1
5/1x
RU853.0VyxU
185.0fR
185.0f
entonces,
5/15/19/2
5/19/222
0
5/15/1
5/129/1
0 xU8185.0RU853.0
8
xU185.0RU853.0
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11
5/15/19/2
5/19/22
0 xURU01683.0
igualando las expresiones del esfuerzo cortante se tiene:
5/15/19/2
5/19/222
xURU0.01683
xU0818.0
xdxU
R205.0dxU
R0.01683 x
0818.0 5/15/1
9/29/25/15/19/2
5/19/2
15/15/1
9/29/115/45/1
9/29/11 x45
UR205.0
119xdx
45
UR205.0
119
x45
xUR205.0
911x
45
xUR205.0
119
5/19/29/11
5/19/29/11
11/95/1
9/2 x45
xUR205.0
911
55/9X
11/911/2
RxR387.0
Determinacin del nmero de Reynolds del flujo completamente establecido.
899R
9810
73.91x05.0x00.20RDvR
El flujo es laminar, por lo tanto toda la capa lmite es laminar hasta que sea igual a la mitad del dimetro.
Problema F.II-1.04 Determinar la longitud de establecimiento del flujo en una tubera circular de dimetro D = 5.00 cm, si en ella fluye aceite con una velocidad media v = 20.00 m/s. La viscosidad del aceite es = 10 poise y la densidad = 91.73 UTM/m3.
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12
La ecuacin para la capa lmite laminar es:
2/1xR65.4
x
222
2
2
X
2
2
2
X2
2
65.4Ux
xU65.4
xR65.4
xR65.4
x
m52.0x
981065.4
73.91x00.20x205.0
x65.4
U2D
x2
2
2
2
El esfuerzo cortante en placas es:
ydUu1
Uu
xU
0
20
Problema F.II-1.05 Hallar es espesor de la capa lmite laminar en funcin de de la distancia x, y del
nmero de Reynolds, si el perfil de velocidades est dado por 3/1y
Uu
y el esfuerzo
cortante obtenido experimentalmente es U50.20 .
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Si ydedependenodydyy los nuevos lmites de integracin son:
00y0ypara
1yypara
entonces el esfuerzo cortante es:
dUu1
Uu
xU
1
0
20
Como 3/1Uuy , al sustituirlo en la expresin anterior se tiene:
1
0
3/23/120
1
0
3/13/120 dx
Ud1x
U
53
43
xU
53
43
xU 20
1
0
3/53/420
203
xU20
por otra parte experimentalmente se encontr que:
U50.20
Igualando las expresiones de los esfuerzos cortantes se tiene que:
xdU
U50.2320dU50.2
203
xddU 2
2
CU
x3
502
2
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14
Las condiciones de borde son para x = 0, = 0. Al sustituir estos valores en la expresin anterior se obtiene C = 0, as:
x2
2
2
22
2
R33.33
xxU33.33
xUx
3100
Ux
350
2
2/1xR77.5
x
Cuando la velocidad es de 1.00 m/s Supongamos que la lmina se encuentra en reposo y sobre ella acta una corriente de aire con una velocidad U = 1.00 m/s como se muestra en el siguiente esquema.
Determinacin del nmero de Reynolds RL al final de la lmina.
55L5LL 10x510x786.1R10x40.1
50.2x00.1RxUR por lo tanto la capa lmite es laminar y su espesor es:
m0275.010x786.165.4x50.2
R65.4x
R65.4
x 2/152/1L2/1
L
Problema F.II-1.06 Una lmina plana horizontal y lisa de 2.50 m de largo y 1.00 m de ancho se mueve longitudinalmente en aire en reposo con una velocidad de 1.00 m/s. ( = 1.20 kg/m3 y = 1.40 x 10-5 m2/s).
a) Calcular el espesor de la capa lmite al final de la placa y la potencia necesaria para mantener el movimiento de la lmina.
b) Si la velocidad de la lmina aumenta a 5.00 m/s Cul sera el espesor de la capa lmite al final de la lmina? y cul la potencia requerida?
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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se producen dos capas limites una en la cara superior y otra en la cara superior. Para este caso el coeficiente de arrastre CD es:
003.0C10x786.1288.1C
R288.1C D2/15D2/1L
D Determinacin de la fuerza de arrastre de las dos caras.
BL
2U
gC2FA
2UC2F
2
DD
2
DD
kg00092.000.1x50.2200.1
81.920.1003.02F
2
D
Determinacin de la potencia.
smkg00092.0P00.1x00092.0PUFP D
Cuando la velocidad es de 5.00 m/s Determinacin del nmero de Reynolds RL al final de la lmina.
55L5LL 10x510x9.8R10x40.1
50.2x00.5RxUR
por lo tanto la capa lmite es turbulenta y su espesor es:
m0597.010x9.850.2x37.0
Rx37.0
R37.0
x 5/155/1L5/1
L
Para la capa lmite turbulenta despus de corregir la resistencia de la seccin laminar el coeficiente de arrastre CD es:
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16
7L5L
5/1L
D 10x1R10x5paravlidaR1700
R074.0C
0029.0C10x9.81700
10x9.8074.0C D55/15D
Determinacin de la fuerza de arrastre de las dos caras.
BL
2U
gC2FA
2UC2F
2
DD
2
DD
kg022.000.1x50.2200.5
81.920.10029.02F
2
D
Determinacin de la potencia.
smkg0111.0P00.5x022.0PUFP D
Determinacin de la longitud de la placa.
m50.0L60.0
10x300000LU
RLLUR6
LL
m00424.0300000
50.0x65.4R
x65.4R
65.4x 2/12/1X
2/1X
Problema F.II-1.07 Una corriente de agua ( = 1 x 10-6 m2/s) con una velocidad U = 0.60 m/s acta sobre una placa plana y lisa de ancho B = 0.50 m. Al final de la placa en nmero de Reynolds es de RX = 300000. Determinar:
a) El espesor de la capa lmite al final de la placa. b) La velocidad en la seccin terminal de la placa para:
321 y,80.0y,40.0y si el perfil de velocidades esta dado por:
3
21
23
Uu donde:
y
c) La fuerza de arrastre que el agua ejerce sobre la placa.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
17
Determinacin de las velocidades
33 y
21y
23Uu
21
23
Uu
4.0ypara 1
s/m34.0u4.0214.0
2360.0uy
21y
23Uu4.0y 3
31
8.0ypara 2
s/m57.0u8.0218.0
2360.0uy
21y
23Uu8.0y 3
32
3ypara
s/m60.0u0.1210.1
2360.0uy
21y
23Uu0.1
y 33
3
Determinacin de la fuerza de arrastre que se produce sobre la placa. Para flujo laminar el coeficiente de arrastre es:
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18
00235.0C300000
288.1CR
288.1C D2/1D2/1X
D
50.0x50.0
260.0
81.91000x00235.02FA
2UC2F
2
D
2
DD
FD = 0.0216 kg
Al inicio del canal, zona I, se produce una capa lmite laminar hasta que R = 500000, esta distancia es:
m42.0x20.1
10x1x500000xU
RxxUR6
XX
desde este punto se comienza a producir, en la zona II, una capa lmite turbulenta, para esa distancia el espesor de la capa lmite laminar es:
m0027.0500000
42.0x65.4R
x65.4R
65.4x 2/12/1x
2/1x
Problema F.II-1.08 Una corriente de agua ( = 1 x 10-6 m2/s) con una profundidad de 0.50 m. fluye sobre el fondo de un canal desarrollando una capa lmite. La velocidad al uniforme al inicio del canal es de U = 1.20 m/s. Determinar la longitud necesaria para que la capa lmite ocupe toda la seccin del flujo, es decir para que m50.0 .
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
19
despreciando la zona I y considerando que la capa lmite es toda turbulenta se tiene:
5/15/4
5/1
5/1
5/15/1X
U37.0
xx
xU37.0xU
37.0xR
37.0x
4/1
5
4/54/14/54/55/1
10x6.120.1
37.050.0xU
37.0xU
37.0x
la capa lmite turbulenta alcanza la superficie del agua a una distancia x = 25.90 m
Determinacin de la ecuacin de crecimiento de la capa lmite laminar.
El esfuerzo cortante en la placa es:
ydUu1
Uu
xU
0
20
Si ydedependenodydyy Los nuevos lmites de integracin son:
00y0ypara
1yypara
Problema F.II-1.09
Utilizando el perfil de velocidades en una placa dada por y
Uu , determinar:
a) La ecuacin de crecimiento de la capa lmite laminar x
b) La ecuacin del esfuerzo cortante 0 c) La expresin de la fuerza de arrastre FD para una placa de longitud L y ancho
1.00 m. d) La ecuacin del coeficiente de arrastre CD. e) La longitud crtica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
20
entonces el esfuerzo cortante es:
dUu1
Uu
xU
1
0
20
Uuycomo , al sustituirlo en la expresin anterior se tiene:
1
0
220
1
0
20 dx
Ud1x
U
1
0
3220 3
121
xU
x6U2
0
Por otra parte, segn la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene, para
UyuyUu
, entonces
0y0
0y
00y
0U
yd
Uyd
ydud
U
0
igualando las expresiones del esfuerzo cortante 0 se tiene:
CxU6
2xd
U6dU
x6U 22
Las condiciones de borde son para x = 0, = 0. Al sustituir estos valores en la expresin anterior se obtiene C = 0.
2/1X
2
2
2
2
2
2
R12
xxU12
xx
U6
x1
2x1x
U6
2
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
21
2/1XR464.3
x
Determinacin del esfuerzo cortante 0
2/1X0
2/1X
00 RU2887.0
R3.464
UU
xU2887.0xUU2887.0
3
0
2/1
0
Determinacin de la fuerza de arrastre FD.
L
02/1
3D
L
0
3
0D
L
00D x
xdU2887.0Fxdx
U2887.0FxdF
LUL577.0Fx2U2887.0F 32/1DL02/13D
2/1X
2D2/1
X
2/1
2/12/12/132/1
D RLU577.0F
R
LULUL577.0F
Determinacin del coeficiente de arrastre CD.
L00.12
UCFA2
UCF2
DD
2
DD
Igualando las expresiones de la fuerza de arrastre FD se tiene:
2/1X
D2/1X
22
D R154.1C
RLU577.0L00.1
2UC
Determinacin de la longitud crtica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.
U500000L
LU500000500000R C
CL
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
22
Determinacin del nmero de Reynolds de la placa.
7L6LL 10x67.1R10
20.1x3600
1000x00.50
RLUR
Determinacin del coeficiente de arrastre CD (vlido para 106 < RL < 109)
00277.0C10x67.1log455.0C
Rlog455.0C D58.27D58.2
eD
Determinacin de la fuerza sobre los esqus.
15.0x20.1x22
36001000x00.50
102x00277.0FA22
UCF
2
2
D
F = 9.81 kg
Determinacin de la potencia P.
.CV81.1P753600
1000x00.50x81.9P
75UFP )CV(CVCV
Problema F.II-1.10 Determinar la potencia requerida para vencer la resistencia al avance de un esquiador que es arrastrado sobre el agua en reposo con una velocidad de 50.00 km/h. Cada uno de los esqus (considerados planos) tiene 1.20 m de longitud y 0.15 m de ancho. La viscosidad cinemtica del agua es 10-6 m2/s y la densidad es 102.00 UTM/m3.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
23
Determinacin de las densidades del aire y del helio.
En los grficos correspondientes de viscosidad absoluta y viscosidad cinemtica para algunos gases y lquidos (gases a presin atmosfrica normal) se encuentra para una temperatura de 50 C los valores que se muestran en la siguiente tabla.
(kg.s/m2)
Viscosidad absoluta
(m2/s) Viscosidad cinemtica
(UTM/m3)
/ Densidad
Aire 2.0 x 10-6 1.9 x 10-5 0.11 Helio 2.2 x 10-6 1.4 x 10-4 0.02
a) Cuando el globo asciende libremente las fuerzas que actan se muestran en el
siguiente diagrama de cuerpo libre.
Determinacin de las diferentes fuerzas que actan sobre el cuerpo libre para la condicin a.
Problema F.II-1.11 a) Un globo esfrico contiene helio y asciende en aire a 50 C a un presin
atmosfrica normal. El globo y la carga (sin helio) pesan 150.00 kg. Qu dimetro permite una ascensin a una velocidad de 3.00 m/s considerando que el coeficiente de arrastre CD es 0.21.
b) Si ste globo se sujeta al suelo mediante un cable y sopla una corriente de aire a una velocidad de 10.00 km/h cul es el ngulo de inclinacin del cable y cul su tensin.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
24
E
33aire3
aireaire D565.081.9x11.0D244g
2D
34g
FD 1 2222
aireD D082.0D4200.311.0x21.0A
2UC
w 150.00
w1 33helio3
heliohelio D103.081.9x02.0D244g
2D
34g
La condicin de equilibrio para esta condicin es 0FV , es decir:
E FD 1 w w1 = 0
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuacin de equilibrio se tiene:
000.150D0D085.0D462.00D103.000.150D082.0D565.0 23323
sta ecuacin cbica tiene dos soluciones imaginaras y una solucin real positiva cuyo valor
es D = 6.93 m.
b) cuando el globo se encuentra sujeto al suelo y acta una corriente de aire las fuerzas que
actan se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
25
Determinacin del coeficiente de arrastre para la condicin b.
65 10x01.1R10x9.1
93.6x3600
1000x10
RDUR
Determinacin de las diferentes fuerzas que actan sobre el cuerpo libre para la condicin b.
E
kg95.18781.9x11.0x93.6x14.3244g
2D
34g 3aire
3
aireaire
FD 2 kg98.31993.642
36001000x100
11.0x20.0A2
UC 2
2
2
aireD
w 150.00
w1 kg17.3481.9x02.0x93.6
244g
2D
34g 3helio
3
heliohelio
Las condiciones de equilibrio son: 0Fy0F VH , es decir:
11V wwEsenT0senTwwE0F
2D2DH FcosT0cosTF0F
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
26
Dividiendo, las ecuaciones anteriores, miembro a miembro se tiene:
2D
1
FwwEtg
Sustituyendo los valores numricos se obtiene:
37400677.00118.0tg98.319
17.3400.15095.187tg
a) Cuando la bola de densidad relativa 3.5 cae en aceite las fuerzas que actan en este caso se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.
Determinacin de las diferentes fuerzas que actan sobre el cuerpo libre para la condicin a.
Problema F.II-1.12 a) Cul es la velocidad final de una bola de metal de 5.00 cm de dimetro y peso
especifico relativo S = 3.50 que cae en aceite de peso especifico relativo S = 0.80 y viscosidad = 1 poise?
b) Cul sera la velocidad final para la misma bola pero de densidad relativa S = 7.00?
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
27
E 05233.01000x80.005.061SD
61S 3aguaacite
3aguaaciteaceite
FD
2D22D22aguaD2aceiteD U08.0C05.042U102x80.0CD42USCA2UC w 22896.01000x50.305.0
61SD
61S 3aguabola
3aguabolabola
La relacin de equilibrio para esta condicin es 0FV , es decir:
E + FD 1 w = 0
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuacin de equilibrio se tiene:
177.0U08.0C022896.0U08.0C052233.0 2D2
D
DD C2125.2U
C08.0177.0U
La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuacin anterior El coeficiente de arrastre depende del nmero de Reynolds y ste a su vez de la velocidad; por lo tanto, el procedimiento se debe hacer a travs de tanteos sucesivos como se muestra a continuacin.
Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuacin anterior resultando
DC2125.2U
Con U se determina R segn la ecuacin
59.399UR
981
81.980005.0U
RDUR
Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos
el valor de CD
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
28
Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n 1
Clculo en forma tabulada para el caso a.
CD (asumido) DC
2125.2U 59.399UR CD (obtenido del grfico)
1.00 1.49 596 0.60
0.60 1.92 768 0.50
0.50 2.10 841 0.50
Por lo tanto para el caso a, la velocidad es U = 2.10 m/s.
b) Ahora, si la bola del mismo dimetro tiene una densidad relativa de 7.0 y cae en aceite, las fuerzas de empuje E y arrastre FD son las mismas cambiando el peso de la bola as:
kg45792.01000x00.705.061SD
61Sw 3agua2bola
3agua2bolabola2
La condicin de equilibrio para esta condicin es 0FV , es decir: E + FD 1 w2 = 0
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuacin de equilibrio se tiene:
406.0U08.0C045792.0U08.0C052233.0 2D2
D
DD C075.5U
C08.0406.0U
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
29
Clculo en forma tabulada para el caso b.
CD (asumido) DC
075.5U 59.399UR CD (obtenido del grfico)
0.50 3.18 1274 0.40
0.40 3.56 1425 0.40 Por lo tanto para el caso b la velocidad es U = 2.10 m/s.
Determinacin de la velocidad de cada de la gtica de neblina.
Suponiendo como hiptesis, que el nmero de Reynolds de la gotica de lluvia R es < 1, entonces
segn la Ley de Stokes se tiene:
s/m019.0U09.100.100098
10x1810x025.0
181Ud
181U
5
23
S
2
Determinacin del nmero de Reynolds para verificar si la hiptesis asumida es cierta.
10288.0R
9810x18
81.909.110x025.0x019.0
RdUR5
3
, hiptesis correcta.
Determinacin de la velocidad de cada de la gota de lluvia.
Problema F.II-1.13 En el seno de la neblina, las gotitas de agua (supuestas esfricas) tienen un dimetro d = 0.025 mm. Para formar una gota de lluvia (supuesta esfrica) se necesita un milln de de gticas de neblina. ( agua = 1000 kg/m3, aire = 1.09 kg/m3, aire = 18 x 10-5 poise.) Para estas condiciones determinar:
a) La velocidad de cada de una gotica de neblina. b) La velocidad de cada de una gota de lluvia.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
30
El dimetro de la gota de lluvia es:
d10Dd10Dd10DD61d
6110 23/136363336
m0025.0D10x025.010D 32
Cuando la gota de agua cae en el aire, las fuerzas que actan en este caso se muestran en siguiente diagrama de cuerpo libre.
Determinacin de las diferentes fuerzas que actan sobre el cuerpo libre para la condicin a.
E 6
DD61 33
aire
FD 8DU
gCD
42U
gCA
2UC
22
D2
2aire
D
2
aireD
w 6
DD
61 S
3
S3
gota
La condicin de equilibrio para esta condicin es 0FV , es decir:
E + FD 1 w = 0
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuacin de equilibrio se tiene:
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
31
6D
6D
8DU
gC0
6D
8DU
gC
6D 3S
322
DS
322
D
3
S2DS
322
D 6gD8UC
6D
8DU
gC
D
S
S
D
2
C
13
gD4
UC3
gD4U
La ecuacin anterior representa la velocidad de cada de una esfera de dimetro D y de peso especifico S en un ambiente de peso especifico cuando el nmero de Reynolds R > 1. Para el presente caso se tiene:
DDD
S
C47.5U
C
109.1
10003
81.9x0025.0x4
C
13
gD4
U
La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuacin anterior.
El coeficiente de arrastre depende del nmero de Reynolds y este a su vez de la velocidad por lo tanto el procedimiento se debe hacer a travs de tanteos sucesivos como se muestra a continuacin.
Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuacin anterior resultando
DC47.5U
Con U se determina R segn la ecuacin
24.151UR
9810x18
81.909.10025.0U
RDUR5
Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos
el valor de CD
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
32
Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n 1
Clculo en forma tabulada.
CD (asumido) DC
47.5U 24.151UR CD (obtenido del grfico)
0.49 7.81 1.20 x 103 0.40
0.40 8.65 1.30 x 103 0.40
Por lo tanto para el caso a la velocidad es U = 8.65 m/s.
Determinacin del nmero de Reynolds R.
45
3
10x2.2R10x488.1
10x12x00.27RDUR
Determinacin grfica del coeficiente de arrastre CD.
En el siguiente esquema se muestra un grfico para la determinacin del coeficiente de arrastre para cilindros de gran longitud.
Problema F.II-1.14 Un cable de conduccin elctrica de 12.00 mm de dimetro est tensado y expuesto a un viento con una velocidad de 25.00 m/s que choca perpendicularmente a su eje. Determinar la fuerza que acta sobre el cable si la distancia entre los postes que lo sostiene es de 100.00 m. La temperatura del aire es de 20.00 C. ( = 0.1224 UTM/m3, = 1.488 x 10-5 m2/s)
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
33
Determinacin de la fuerza de resistencia.
32D2DD 10x12x00.100200.271224.0x30.1FA2UCF FD = 69.6 kg
Utilizando velocidades relativas se puede supone que la placa se encuentra en reposo y el aire
tiene una velocidad U = 12.00 m/s
Determinacin de la fuerza de arrastre FD.
kg62.1F20.1x90.0200.12
81.920.1x17.0FA
2UCF D
2
D
2
DD
Determinacin de la fuerza de sustentacin FS.
kg85.6F20.1x90.0200.12
81.920.1x72.0FA
2UCF S
2
S
2
SS
En el siguiente esquema se muestran dichas fuerzas y su resultante.
Problema F.II-1.15 Una placa plana de 0.90 m x 1.20 m se mueve a 12.00 m/s a travs de aire en reposo ( = 1.20 kg/m3), formando un ngulo de 12 con respecto a la horizontal. Utilizando un coeficiente de resistencia CD = 0.17 y un coeficiente de sustentacin CL = 0.72, determinar:
a) La fuerza resultante que ejerce el aire sobre la placa. b) La fuerza debido al rozamiento. c) La potencia (en CV) necesaria para mantener el movimiento.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
34
kg02.7R85.662.1RFFR 222S2
D
el ngulo de inclinacin de R respecto a la horizontal es:
7.7662.185.6tgarc
FF
tgarc XXD
SX
el ngulo de existente entre la resultante R y la placa es.
7.88127.7612X La fuerza de rozamiento se obtiene al proyectar R sobre el plano de la placa, como se muestra
en el siguiente esquema.
kg16.0F7.88cosx02.7FcosRF RRR Determinacin de la potencia P.
CV259.0P75
00.12x62.1P75
UFP DCV
KW191.0P102
00.12x62.1P102
UFP DKW
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
35
En el siguiente esquema se muestra el alern y las fuerzas de arrastre y sustentacin, considerando el alern en reposo y actuando sobre l una corriente de aire con velocidad U.
Determinacin de los coeficientes de arrastre CD y de sustentacin CS. En el siguiente esquema se muestra la determinacin de dichos coeficientes.
Problema F.II-1.16 Un alern se mueve en aire en reposo ( = 1.22 kg/m3) a una velocidad de 252.00 km/h. La longitud es de 15.00 m y el largo de la cuerda de 2.00 m; si el angulo de inclinacin es de 8 sobre la horizontal, determinar:
a) La fuerza de arrastre FD. b) La fuerza de sustentacin FS. c) La potencia requerida para desplazar el alern.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
36
Determinacin de la fuera de arrastre FD.
kg00.366F00.15x00.22
36001000x00.252
81.922.1x04.0FA
2UCF D
2
D
2
DD
Determinacin de la fuera de sustentacin FS.
kg00.7320F00.15x00.22
36001000x00.252
81.922.1x80.0FA
2UCF D
2
D
2
SS
Determinacin de la potencia P.
CV60.341P75
36001000x00.252x00.366
P75
UFP CVDCV
Determinacin de la fuerza de resistencia FD sobre la placa (dos caras).
El nmero de Reynolds de la placa RL es:
Problema F.II-1.17 Un planeador cuyo esquema se muestra en la figura, aterriza a una velocidad de 144.00 km/h en una atmsfera de peso especifico 1.00 kg/cm2 y viscosidad cinemtica 1.5 x 10-5 m2/s. Para frenar el planeador se suelta un paracadas con un coeficiente de resistencia CD = 1.20. Calcular el dimetro del paracadas para que ste produzca una resistencia al movimiento igual a la resistencia por friccin originada sobre las alas. Suponer que las alas se pueden sustituir por una superficie plana de 3.00 m de largo y 15.00 m de profundidad.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
37
6L5LL 10x8R10x5.1
00.33600
1000x00.144
RLUR
para el presente caso, el coeficiente de arrastre para placas es:
00308.0C10x8074.0C
R074.0C D5/16D5/1L
D
la fuerza de arrastre es:
kg26.45F00.30x00.32
36001000x00.144
81.900.100308.02F D
2
D
Determinacin de la fuerza de resistencia FD sobre el paracadas.
2D
2
2
D
2
DD D92.76FD423600
1000x00.144
81.900.120.1FA
2UCF
La fuerza generada en el paracadas = La fuerza generada en la placa
m77.0D92.7626.45D26.45D92.76
2/12
Problema F.II-1.18 Un aviso formado por un disco de 3.50 m de dimetro, se encuentra instalado como se muestra en el esquema, con H = 10.00 m. Si sobre l acta perpendicularmente una corriente de aire con una velocidad de 100.00 km/h; determinar el momento que se produce al pie del soporte. ( = 0.126 UTM/m3 , = 2 x 10-6 kg.s/m2)
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
38
Determinacin del nmero de Reynolds.
66 10x1.6R10x2
126.0x50.3x3600
1000x00.100
RDUR
Determinacin del coeficiente de arrastre CD.
Con R = 6.1 x 106 se encuentra CD en el siguiente grfico (discos).
Determinacin de la fuerza de arrastre FD.
kg00.468F50.342
36001000x100
126.0x00.1FA2
UCF D2
2
D
2
DD
El momento respecto al pie del soporte es:
m.kg00.4680M00.10x00.468HFM D
La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuacin de la fuerza de arrastre.
2/1
2D
2/1
2D
2/1
D
2
D DCF8U
D4
C
F2UAC
F2UA2
UCF
Problema F.II-1.19 A qu velocidad debe moverse una esfera de 12.00 cm de dimetro, a travs de una masa de agua a 10 C ( = 1.2 x 10-6 m2/s) para que la fuerza de arrastre sea de 0.50 kg.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
39
El coeficiente de arrastre depende del nmero de Reynolds y este a su vez de la velocidad, por lo tanto el procedimiento se debe hacer a travs de tanteos sucesivos como se muestra a continuacin. Se suponer un valor de CD y se determina U mediante la ecuacin anterior, resultando
2/1
D
2/1
2D C
86730.0U12.0x14.3x102C
50.0x8U
Con U se determina R segn la ecuacin
56 10UR10x2.1
12.0URDUR Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos el valor de CD
Con este valor de CD encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n 1
Clculo en forma tabulada.
CD (asumido) 2/1
DC86730.0U
510UR CD (obtenido del grfico)
2.00 0.66 6.6 x 104 0.58
0.58 1.22 1.22 x 105 0.50
0.50 1.31 1.31 x 105 0.50
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
39
Captulo 2
FLUJO PERMANENETE EN CONDUCTOS CERRADOS
Determinacin de la velocidad. Mediante la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (salida) se tiene:
f
2
1f2
222
1
211 h0
g2v0z00hz
g2vpz
g2vp
La frmula de Darcy-Weisbach para la prdida de energa por friccin para flujo permanente en tuberas es:
g2v
DLfh
2
f al sustituir la ecuacin de Darcy-Weisbach en la ecuacin de Bernoulli se obtiene:
1
2
1
2222
1 zDLf1
g2vz
g2v
DLf
g2v
g2v
DLf0
g2v0z00
f1000124.39v
012.000.12f1
00.2x81.9x2v
DLf1
zg2v 1
Problema F.II-2.01 Para vaciar aceite ( = 800 kg/m3, = 0.10 poises) de un depsito se utiliza una tubera de acero comercial de 12 mm de dimetro y 12.00 m de longitud. Determinar el caudal cuando la superficie libre del aceite en el depsito se encuentra a 2.00 m por encima de la seccin de salida de la tubera.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
40
la velocidad v depende del coeficiente de friccin f y ste a su vez depende del nmero de Reynolds R y de la rugosidad relativa /D, segn se observa en el diagrama de Moody. Considerando como hiptesis que el flujo es turbulento. Determinacin de la rugosidad relativa /D. En el Diagrama de Moody se encuentra que el valor de la rugosidad para acero comercial es = 0.0046 cm.
0038.0Dcm2.1
cm0046.0D
Determinacin del nmero de Reynolds.
v960R81.9
9810.0
800x012.0vRg
DvRg
DvRDvR
Para un valor supuesto de f = 0.065 se tiene.
s/m77.0v065.0x10001
24.39vf10001
24.39v
con v se obtiene:
2000739R77.0x960Rv960R , la hiptesis es falsa, por lo tanto el flujo es laminar.
Considerando como hiptesis que el flujo es laminar:
Para el caso de flujo laminar el coeficiente de friccin es:
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
41
Dvg64f
gDv64f
R64f
al sustituir f en la ecuacin de Bernoulli se tiene:
12
2
1
22
zD
vL32g2
vzg2
vDL
Dvg64
g2v
00.2800x012.0
v9810.0x00.12x32
81.9x2v
2
2
s/m583.0v000.2v40.3v051.0 2
Determinacin del nmero de Reynolds para verificar el tipo de flujo.
2000560R583.0x960Rv960R , la hiptesis es correcta, el flujo es laminar, entonces el caudal es:
s/m000066.0Q012.04
583.0QD4
vAAvQ 322
min/l95.3Q60x066.0Qs/l066.0Q1000x000066.0Q
Problema F.II-2.02 Por el sistema de tuberas de fundicin que se muestran en el esquema circula agua ( = 1 x 10-6 m2/s), despreciando las prdidas menores para las longitudes siguientes. Longitud del tramo 1, L1 = 60.00 m, dimetro del tramo 1, D1 = 30 cm. Longitud del tramo 2, L2 = 30.00 m, dimetro del tramo 2, D2 = 15 cm. Determinar:
a) El caudal. b) La presin en el punto B el cual se encuentra situado 30.00 m aguas abajo del
tanque de alimentacin de la tubera.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
42
Determinacin de la velocidad. Mediante la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene:
2f1fDA2f1fD
2DD
A
2AA hh0zz00hhz
g2vpz
g2vp
La frmula de Darcy-Weisbach de prdida de energa por friccin para flujo permanente en tuberas es:
g2v
DLfh,
g2v
DLfh
22
2
222f
21
1
111f
al sustituir la ecuacin de Darcy-Weisbach en la ecuacin de Bernoulli se obtiene:
g2v
DLf
g2v
DLf zz
22
2
22
21
1
11DA
Mediante la aplicacin de la ecuacin de continuidad se tiene:
2
1
221
222
21121 D
DvvD4
vD4
vQQ
que al sustituirla en la ecuacin anterior se tiene:
g2v
DLf
DD
g2v
DLf zz
g2v
DLf
g2
DD
v
DLf zz
22
2
22
4
1
22
2
1
11DA
22
2
22
22
1
22
1
11DA
g2DL
fDD
g21
DL
f vzz2
22
4
1
2
1
11
22DA
81.9x2x15.000.30f
30.015.0
81.9x21
30.000.60f v00.1050.17 2
4
12
2
2122 f19.10f64.0v50.7
la velocidad v depende del coeficiente de friccin f y ste a su vez depende del nmero de Reynolds R y de la rugosidad relativa D/ , segn se observa en el diagrama de Moody.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
43
El procedimiento de clculo es el siguiente: Se suponen valores de f y con estos se determinan las velocidades, con estas velocidades se determinan los nmeros de Reynolds y con estos nmeros de Reynolds se encuentra en el diagrama de Moody, para /D, los valores de f. Si estos coinciden con los valores supuestos los valores de f son correctos si no se repite el proceso hasta que fn = fn+1
Suponemos f1 = 0.023 y f2 = 0.020
s/m86.5v02.0x19.10023.0x64.0v50.7 222
s/m47.1v30.015.086.5v
DD
vv 12
1
2
1
221
Determinacin de los nmeros de Reynolds.
5161
111 10x40.4R10x1
30.0x47.1RDvR
5161
222 10x80.8R10x1
15.0x86.5RDvR
para tubera de fundicin se encuentra en el diagrama de Moody = 0.0259 cm Determinacin de las rugosidades relativas.
0017.0D15
0259.0D
,00086.0D30
0259.0D 1211
con 111 RyD/ se encuentra en el diagrama de Moody f1 = 0.023 con 222 RyD/ se encuentra en el diagrama de Moody f2 = 0.019 0.020
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
44
por lo tanto v1 = 1.47 m/s y v2 = 5.86 m/s Determinacin del caudal Q.
s/m100.0Q30.04
47.1QD4
vQAvQ 32211 Determinacin de la presin en el punto B.
Mediante la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
Bf
21
BB
ABfB
2BB
A
2AA h
g2vzpz00hz
g2vpz
g2vp
La frmula de Darcy-Weisbach de prdida de energa por friccin para flujo permanente en tuberas es:
g2v
DL
fh2
1
1
B11Bf
Al sustituir la ecuacin de Darcy-Weisbach en la ecuacin de Bernoulli se obtiene:
81.9x247.1
30.000.300.023
81.9x247.1 50.1650.17p
g2v
DL
fg2
v zzp22
B2
1
1
B11
21
BAB
2
BBB m/kg640p1000x64.0p64.0p
Problema F.II-2.03 Una bomba eleva agua a 15 C, desde un lago a un tanque como se muestra en el esquema. El caudal a enviar es de 560.00 lts/s (lps), la tubera tiene una longitud de 400.00 m y un dimetro de 460 mm y es de fundicin. Las prdidas menores se producen principalmente por una vlvula unidireccional con un kV = 10 y tres codos a 90 con un valor de kC = 0.90 cada uno. Despreciando otro tipo de prdidas menores, cul ser la potencia necesaria para la bomba en caballos de vapor (CV) si el rendimiento o eficiencia es del 60 %?.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
45
Mediante la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli entre la superficie del lago y la superficie del tanque se tiene:
menoresBAfb2
BBBA
2AA hhz
g2vpHz
g2vp
Las frmulas de las prdidas de energa por friccin y las prdidas menores son:
g2vkh,
g2v
DL
fh2
m
2BA
BAf al sustituirlas en la ecuacin de Bernoulli se obtiene:
g2
vkg2
vD
Lf z
g2vp
Hzg2
vp 22BAb
2BB
BA
2AA
g2
v9.0x31081.9x2
v460.0
400.00f 00.13400H00.1000022
B Determinacin de la velocidad segn la ecuacin de continuidad.
s/m37.3v46.0
4
560.0vD
4
QvAvQ22
Determinacin del coeficiente de friccin f, mediante el diagrama de Moody,
000562.0Dcm46
cm0259.0D
155Dv46x37.3cmDs/mv
con v D = 155 y 000562.0D se encuentra f = 0.0178 segn se muestra el siguiente
esquema del diagrama de Moody.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
46
m31.50Hg2
37.39.0x31081.9x2
37.3460.0
400.000.0178 00.34H B22
B Determinacin de la potencia P.
VC626P60.0x75
31.50x1000x560.0P75
HQP VCBVC
Determinacin de la velocidad segn la ecuacin de continuidad.
s/m735.0v
10015
4
100013
vD
4
QvAQvAvQ 2
2
Determinacin del nmero de Reynolds.
46 10x25.5R10x10.2
15.0x735.0RDvR Determinacin de la rugosidad relativa.
0008.0Dcm15
cm012.0D
Determinacin de coeficiente de friccin en el diagrama de Moody.
Problema F.II-2.04 Est fluyendo aceite desde un depsito cerrado a travs de una tubera nueva de fundicin asfaltada ( = 0.012 cm) de 15.00 cm de dimetro y 150.00 m de longitud hasta un punto B como se muestra en la figura, qu presin, en kg/cm2, tendr que actuar sobre la superficie del depsito para que circule un caudal de 13.00 l/s si la densidad relativa del aceite es 0.84 y la viscosidad cinemtica es 2.10 x 10-6 m2/s.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
47
Determinacin de la presin en A. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
mfB
2BB
A
2AA hhz
g2vpz
g2vp
g2v
kg2
vDLfz
g2vp
zg2
vS
p 2Be
2B
B
2BB
A
2A
agua
A
81.9x2735.05.0
81.9x2735.0
15.000.1500235.000.30
81.9x2735.0000.240
1000x84.0p 222A
2
A4
A2
A cm/kg5617.0p10x17.56pm/kg17.56p
Problema F.II-2.05 a) El sistema est formado por una tubera de acero de 61.00 m de largo y 75.00 mm
de dimetro como se muestra en el esquema, si circula un caudal de aceite de 750 l/min, la viscosidad es de 0.10 poises y el peso especfico es de 960 kg/m3, determinar el desnivel entre los depsitos H si la vlvula de ngulo se encuentra completamente abierta y su coeficiente es kV = 5.
b)Determinar el coeficiente kV 2 de la vlvula si el caudal que circula es de 300 l/min.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
48
a) Determinacin de H. Determinacin de la velocidad segn la ecuacin de continuidad.
s/m83.2v10x754
60750.0
vD
4
QvAQvAvQ
232
Determinacin del nmero de Reynolds.
4
3
10x04.2R
9810.0
81.996010x75x83.2
Rg
DvR
Determinacin de la rugosidad relativa.
0006.0Dcm5.7
cm046.0D
Determinacin de coeficiente de friccin en el diagrama de Moody.
Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
mfB
2BB
A
2AA hhz
g2vpz
g2vp
m83.11Hg2
83.2155.081.9x2
83.2075.000.610278.0000H00
22
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
49
b) Determinacin del coeficiente kV de la vlvula para un caudal Q = 300 l/min. Determinacin de la velocidad segn la ecuacin de continuidad.
s/m13.1v10x754
60300.0
vD
4
QvAQvAvQ
232
Determinacin del nmero de Reynolds.
3
3
10x14.8R
9810.0
81.996010x75x83.2
Rg
DvR
Determinacin de coeficiente de friccin en el diagrama de Moody.
Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
mfB
2BB
A
2AA hhz
g2vpz
g2vp
m153kg2
83.21k5.081.9x2
13.1075.000.610278.000089.1100 V
2
V
2
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
50
Determinacin de la altura de bombeo HB.
m86.23H1000
100000.220
70x75HQ
P75H75
HQP BBBBCV
Determinacin de las velocidades.
s/m38.1v45.04
1000220
vD
4
QvAQvAvQ
221
11
111
s/m11.3v30.04
1000220
vD
4
QvAQvAvQ
222
22
222
Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene:
mfD2
DDBA
2AA hhz
g2vpHz
g2vp
Problema F.II-2.06 Si la bomba BC de la figura transfiere al fluido 70.00 CV cuando el caudal de agua a 15 C es de 220 l/s. Si f1 = 0.030; f2 = 0.020; L1 = 600.00 m; L2 = 120.00 m; D1 = 45 cm; D1 = 30 cm; se pide:
a) La cota del tanque D. b) Las rugosidades de las tuberas. c) Presin, en kg/cm2, en la entrada de la bomba. d) Presin, en kg/cm2, en la salida de la bomba.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
51
81.9x211.31
81.9x238.14.0
81.9x211.3
45.000.120020.0
81.9x238.1
45.000.6030.0z86.2300.6
2222
D
zD = 21.51 m
Determinacin de las rugosidades de las tuberas.
005.0D
Moody0030.0fy10.6245x38.1cmDxs/mvcon1
111
001.0D
Moody020.0fy30.9330x11.3cmDxs/mvcon1
222
cm225.045x005.0005.0D 111
1
cm030.030x001.0001.0D 112
2
Determinacin de la presin en la entrada de la bomba (punto B) Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
mBAfB
2BB
A
2AA hhz
g2vpz
g2vp
81.9x238.14.0
81.9x238.1
45.000.600030.000.3
81.9x238.1p00.600
222B
4B
2BB
B 10x1020pm/kg1020p1000x02.1p02.1p
2B cm/kg102.0p
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
52
Determinacin de la presin en la salida de la bomba (punto C) Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y C se tiene:
mCAfC
2CC
BA
2AA hhz
g2vp
Hzg2
vp
81.9x238.14.0
81.9x238.1
45.000.600030.000.3
81.9x211.3p86.2300.600
222C
4C
2CC
C 10x22450pm/kg22450p1000x45.22p45.22p
2C cm/kg245.2p
Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
Problema F.II-2.07 Una turbina se encuentra instalada como se muestra en el esquema si el dimetro de la tubera es D = 60 cm y el coeficiente de friccin es f = 0.020, despreciando las prdidas menores, determinar:
a) Una expresin para la altura consumida por la turbina HT en funcin del caudal Q. b) Una expresin para la potencia consumida por la turbina en funcin del caudal. c) Tabular y graficar la expresin anterior. d) El caudal para que la potencia sea mxima. e) La potencia mxima. f) El caudal para cuando la turbina consume una potencia de 530 CV. g) Dibujar la lnea de energa. h) El caudal cuando no existe turbina (es decir; HT = 0 y P = 0)
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
53
BAfTB
2BB
A
2AA hHz
g2vpz
g2vp
sustituyendo los valores numricos y la expresin de HT y las prdidas se tiene:
81.9x2
60.0Q4
60.000.61000.610020.0H00.300000.10600
2
2
T
2T
2
2
T Q95.2576H81.9x260.0Q4
60.000.1220020.076H
Determinacin de la potencia consumida por la turbina P. 32T
CV Q346Q1013P75Q95.25761000QP
75HQP
Q
(m3/s) P
(CV) 0.0 0.00 0.1 100.95 0.2 199.83 0.3 294.56 0.4 383.06 0.5 463.25 0.6 533.06 0.7 590.42 0.8 633.25 0.9 659.47 1.0 667.00 1.1 653.77 1.2 617.71 1.3 556.74 1.4 468.78 1.5 351.75 1.6 203.58 1.7 22.20 1.71 0.00
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
54
Determinacin del caudal para que la potencia sea mxima. 0Q346x310130
QdQ346Q1013d0
QdPd 23
s/m99.0Q346x3
1013Q 32/1
como se evidencias en el grfico anterior. Determinacin de la potencia mxima. La potencia mxima ocurre para Q = 0.99 m3/s y es:
CV15.667P99.0x34699.0x1013PQ346Q1013P 33
como se evidencia en el grfico anterior. Determinacin del caudal cuando P = 530 CV.
33 Q346Q1013530Q346Q1013P
0530Q1013Q0Q346 23 la ecuacin anterior tiene como solucin:
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
55
)negativo(929.1Q596.0Q340.1Q 321 como se evidencia en el grfico anterior. Solucin a.
CV530Pm40.29H340.1x95.2576Hs/m340.1QPara T2
T3
1
Solucin b.
CV530Pm78.66H596.0x95.2576Hs/m596.0QPara T2
T3
El caudal cuando no existe turbina, es decir para P = 0
En la expresin de la potencia se tiene:
00Q1013Q0Q346Q346Q10130Q346Q1013P 2333 la ecuacin anterior tiene como solucin: )negativo(71.1Q71.1Q00.0Q 321
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
56
como se evidencia en el grfico anterior. Este valor se pudo haber obtenido aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B cuando no existe turbina. Lo recomendable desde el punto de vista prctico relacionado con el consumo de agua es que el caudal este comprendido entre Q = 0.00 m3/s y Q = 0.99 m3/s, la utilizacin de caudales mayores implica mayor consumo de agua obteniendo la misma potencia.
Determinacin de las longitudes de las tuberas.
m64.21L45sen
20.1350.28LL
z45sen BABABA
m49.8L45sen20.1320.19L
Lz45sen CBBACB
Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y C se tiene:
mfC
2CC
1
211 hhz
g2vp
zg2
vp
81.9x2
v2.05.081.9x2
v30.0
49.864.21f20.1981.9x2
v000.3000222
Problema F.II-2.08 Para el sistema de tubera que se muestra en el esquema se tiene la siguiente informacin: kA = 0.5, kB = 0.2, = 1.13 x 10-6 m2/s, = 0.12 cm, D = 30 cm Para estas condiciones se pide:
a) El caudal. b) La presin el los puntos A y B. c) Trazar la lnea de energa y la lnea piezomtrica.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
57
30.013.30f7.1
20.1900.3081.9x2v20.1900.3030.013.30f2.05.01
81.9x2v2
f43.1007.155.14v
la velocidad v depende del coeficiente de friccin f y este a su vez depende del nmero de Reynolds R y de la rugosidad relativa /D, segn se observa en el diagrama de Moody. Determinacin de nmero de Reynolds.
v10x65.2R10x13.130.0vRDvR 66
Determinacin de la rugosidad relativa:
004.0Dcm30
cm12.0D
Para un valor supuesto de f = 0.028 se tiene.
f (supuesto) f43.1007.155.14v v10x65.2R
6 f (Moody)
0.028 6.86 1.8 x 106 0.0284
0.0284 6.83 1.8 x 106 0.0284
la velocidad es v = 6.83 m/s por lo tanto el caudal es:
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
58
s/m483.0Q30.04
83.6QD4
vQAvQ 322
Determinacin de la presin en el punto A (inmediatamente al inicio de la tubera).
Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y A se tiene:
g2v5.0z
g2vpz00hz
g2vpz
g2vp 2A
A
2AA
1mA
2AA
1
211
2
A
22A m/kg2066p
g283.65.050.28
81.9x283.6
1000p00.3000
Determinacin de la presin en el punto B (inmediatamente antes de B).
Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y B se tiene:
g2v5.0hz
g2vpz00hhz
g2vpz
g2vp 2B
fB
2BB
1mfB
2BB
1
211
g283.65.0
81.9x283.6
30.064.210284.020.13
81.9x283.6
1000p00.3000
222B
2
B m/kg8360p Determinacin de las prdidas concentradas.
Prdida menor en el punto A m19.1h81.9x2
83.65.0hg2
vkh A2
A
2
AA
Prdida menor en el punto B m48.0h81.9x2
83.62.0hg2
vkh A2
A
2
BA Determinacin de la prdida de energa entre los puntos A y B.
m87.4h81.9x2
83.630.064.210284.0h BAf
2
f Determinacin de la prdida de energa entre los puntos B y C.
m91.1h81.9x2
83.630.049.80284.0h CBf
2
f
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
59
Cotas de la lnea de energa. Cota al inicio de la tubera, en el punto A CLE A = 30.00 prdida en la entrada CLE A = 30.00 1.19 = 28.81 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE A = 28.81 prdida hf AB CLE A = 28.81 4.87 = 23.94 m Cota en el codo, inmediatamente despus del punto B CLE A = 23.94 prdida en el codo CLE A = 23.94 0.48 = 23.46 m Cota final de la tubera, en el punto C CLE C = 23.46 prdida hf B C CLE A = 23.46 1.91 = 21.55 m Cotas de la lnea piezomtrica. Cota al inicio de la tubera, en el punto A CLE A = cota de la lnea de energa la altura de velocidad CLE A = 28.81 2.38 = 26.43 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE B = cota de la lnea de energa la altura de velocidad CLE B = 23.94 2.38 = 21.56 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE B = cota de la lnea de energa la altura de velocidad CLE A = 23.46 2.38 = 21.08 m Cota final de la tubera, en el punto C CLE C = cota de la lnea de energa la altura de velocidad CLE C = 21.55 2.38 19.20 m con estos valores se dibuja la lnea de energa total y la lnea piezomtrica como se indica en el siguiente esquema:
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
60
Determinacin del caudal para la vlvula totalmente abierta. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:
mf2
222
1
211 hhz
g2vpz
g2vp
81.9x2v12.09.09.05.0
81.9x2v
10.000.300.700.4f00.10000.102
22
Problema F.II-2.09 Por el sistema de tuberas de acero comercial de 10 cm de dimetro circula agua con una viscosidad cinemtica = 1.3 x 10-6 m2/s, adicionalmente se tiene la siguiente informacin: L1 = 4.00 m, L2 = 3.00 m, L3 = 7.00 m, k1 = 0.5, k2 = 0.9, k3 = 1.0 Para estas condiciones hallar el coeficiente de prdida kV de la vlvula parcialmente cerrada que se necesita para reducir en un 50 % el caudal correspondiente a la vlvula totalmente abierta (kV totalmente abierta 0.20).
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
61
10.014f5.3
00.10000.10281.9x2v0.10000.10210.000.14f5.3
81.9x2v2
f1405.326.6v
la velocidad v depende del coeficiente de friccin f y este a su vez depende del nmero de Reynolds R y de la rugosidad relativa /D, segn se observa en el diagrama de Moody. Determinacin de nmero de Reynolds.
v10x69.7R10x3.110.0vRDvR 46
Determinacin de la rugosidad relativa: En el diagrama de Moody se encuentra = 0.0046 cm
0005.0Dcm10
cm0046.0D
Para un valor supuesto de f = 0.017 se tiene.
f (supuesto) f1405.326.6v v10x69.7R
4 f (Moody)
0.017 2.58 1.98 x 105 0.019
0.019 2.52 1.99 x 106 0.019 la velocidad es v = 2.52 m/s por lo tanto el caudal es:
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
62
s/m020.0Q10.04
52.2QD4
vQAvQ 322
Determinacin de kV para cuando el caudal es 50 % del caudal inicial.
s/m010.0Q020.0x50.0QQ50.0QQ%50Q 3inicialinicial Determinacin de la velocidad media.
s/m27.1v10.0
4
010.0vD
4
QvAvQ22
Determinacin del nmero de Reynolds.
46 10x80.9R10x3.1
10.0x27.1RDvR con /D = 0.0005 y R = 9.80 x 104 se encuentra en el diagrama de Moddy f = 0.0205, segn se muestra en el siguiente esquema:
El valor de k se puede determinar a partir de la expresin de la velocidad en funcin de kV
13.18k0205.0x140k3.3
26.627.1f140k3.3
26.6v VVV
Problema F.II-2.10 Dos depsitos contienen agua a 15 C y estn conectados mediante tres tuberas de acero comercial unidas en serie. Para un caudal de 90.00 lps determinar el desnivel entre los dos depsitos. Adicionalmente se dispone de la siguiente informacin: Tramo 1: L1 = 300.00 m D1 = 20.00 cm Tramo 2: L2 = 360.00 m D2 = 30.00 cm Tramo 3: L3 = 1200.00 m D3 = 45.00 cm
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63
Para agua a 21 C se encuentra en la tabla de propiedades fsicas del agua s/m10x975.0 26 Para tubera de acero comercial se encuentra en el diagrama de Moody = 0.0046 cm Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:
mf2
222
1
211 hhz
g2vpz
g2vp
llegada2exp1expent3f2f1f21 hhhhhhhz00z00
g2
vk
g2vv
g2vv
g2vk
g2v
DL
fg2
vDLf
g2v
DLfH
23
2
232
221
21
1
23
3
33
22
2
22
21
1
11
Determinacin de las velocidades, los nmeros de Reynolds, la rugosidad relativa y el coeficiente de friccin en los diferentes tramos de tuberas.
Tramo
Velocidad
2D4
Qv
Reynolds
DvR
Rugosidad relativa
D
f Obtenido del diagrama de
Moody
1 2.86 5.86 x 105 0.00023 0.0155
2 1.27 3.90 x 105 0.00015 0.0155
3 0.57 2.60 x 105 0.00010 0.0160
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
64
81.9x2
57.00.181.9x257.027.1
81.9x227.186.2
81.9x286.25.0
81.9x257.0
45.000.12000160.0
81.9x227.1
30.000.3600155.0
81.9x286.2
20.000.3000155.0H
2222
222
m31.12H
Condicin inicial.
Problema F.II-2.11 La diferencia de nivel entre la superficie de un embalse y la superficie de un tanque elevado de suministro de agua a una ciudad es de 152.00 m y la distancia entre ellos LT = 48.3 km. Los depsitos estaban originalmente conectados cun una tubera diseada para transportar 265.00 l/s. Tiempo despus fue necesario aumentar el caudal a 370.00 l/s por lo que se decidi colocar otra tubera del mismo dimetro en paralelo con la anterior en una parte de su longitud conectndolas en un determinando punto. Considerar f = 0.007 para todas la tubeas Para estas condiciones se pide:
a) El dimetro para la condicin inicial. b) La longitud de tubera, del mismo dimetro, necesaria para aumentar el caudal
hasta 370.00 l/s
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Determinacin del dimetro para la condicin inicial. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre la superficie del embalse (1) y la superficie del tanque (2) se tiene:
g2DQ4
DLf00z00zhp
g2vzp