Vectores
• Un vector es un ente matemático que posee dirección sentido y magnitud.
• La dirección se refiere a la posición del vector: Horizontal, vertical, oblicuo, etc.
• El sentido señala la orientación: De arriba hacia abajo, de Norte a Sur etc.
• La magnitud es tamaño del vector, es el valor numérico del mismo.
Representación gráfica de vectores
• Gráficamente: Un vector se representa como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento.
Suma gráfica de vectores
Con más de dos vectores
Componentes de un vector
• Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a unos ejes de coordenadas.
• Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen hasta su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y el punto origen del vector.
Escrito matemáticamente
• Sea el ángulo que forma con el eje horizontal
• Sea ax y ay las proyecciones en los ejes x e y respectivamente
Usando trigonometría, recordemos:
Hipotenusa
opuestocatsen
.
Cat. Opuestoal ángulo
Cat. adyacenteal ángulo
Hipotenusa
adyacentecat.cos
costan
sen
Luego:
a
asen y
a
axcos
x
y
a
asen
costan
Sea por lo tanto cada componente escrita de la siguiente forma
Donde:
a
Representa el módulo del vector “a”
kji ˆ;ˆ;ˆ Representan vectores unitarios para los ejes x,y,z respectivamente
Operaciones con vectores
• Suma de vectores:
• Un vector que posee diferentes componentes se sumara a otro respetando estas componentes, es decir se sumaran los términos que correspondan al mismo grupo de pares ordenados.
Sumando dos vectores y sus proyecciones
Producto punto
• El producto o multiplicación de vectores se puede realizar de la misma forma en que se resuelven los polinomios, pero respetando un par de reglas para los vectores unitarios.
1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii
0ˆˆˆˆ
0ˆˆˆˆ
0ˆˆˆˆ
ikki
jkkj
ijji
Ejemplo:
• Sean los siguientes vectores:
kbjbibB
kajaiaA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
BAC
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaC zyxzyx
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
kkbajkbaikba
kjbajjbaijba
kibajibaiibaC
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
0 0
00
0 0
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( kkbajjbaiibaC zzyyxx 1 1 1
zzyyxx bababaC
El resultado es un escalar (NO VECTOR)
Módulo de un vector
AAA
Matemáticamente se escribe:
si
kajaiaA yyxˆˆˆ
El modulo representa el tamaño del vectorY es un escalar.
222zyx aaaA
Además se define el vector unitario del vector A
A
AA
ˆ
Producto Cruz
• El producto cruz (X) es otro tipo de producto entre vectores, a diferencia del producto usual o punto su resultado es un vector.
• Al igual que en el caso anterior existen reglas que se deben respetar.
0ˆˆˆˆˆˆ kkjjii
jik
jki
ijk
ikj
kij
kji
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
No es conmutativo
Existe una regla mnemotécnica para el producto cruz
i
jk
X
=
( + )
Producto en sentido Horario es positivo
i
jk
X
=
( - )
Producto en sentido anti-horario es negativo
Ejemplo:
• Sean nuevamente los siguientes vectores:
kbjbibB
kajaiaA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
BAC
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaC zyxzyx
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
kkbajkbaikba
kjbajjbaijba
kibajibaiibaC
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
0
0
0
)ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ(
jkbaikba
kjbaijba
kibajibaC
yzxz
zyxy
zxyx
i
j
k j
k
i
)ˆ()ˆ()ˆ(
)ˆ()ˆ()ˆ(
ibajbaiba
kbajbakbaC
yzxzzy
xyzxyx
)ˆ()(
)ˆ()()ˆ()(
jbaba
ibabakbabaC
zxxz
yzzyxyyx
)ˆ()(
)ˆ()()ˆ()(
kbaba
jbabaibabaC
xyyx
zxxzyzzy
Reordenando
Ejemplo numérico
kjiB
kjiA
ˆ4ˆ2ˆ1
ˆ3ˆ1ˆ2
BAC
)ˆˆ(6)ˆˆ(3
)ˆˆ(4)ˆˆ(1)ˆˆ(8)ˆˆ(4
)ˆ4ˆ2ˆ1()ˆ3ˆ1ˆ2(
jkik
kjijkijiC
kjikjiBAC
)ˆ(6ˆ3ˆ4)ˆ(1)ˆ(8ˆ4 ijikjkC
iC ˆ2
j5 k3
Una aplicación simple de vectores
• El ciclo cardíaco puede representarse de forma simple con los siguientes vectores que aparecen de forma sucesiva en el tiempo:
VECTORES ELÉCTRICOSEl potencial que registra un electrodo depende de la variación en el tamaño, la geometría y la posición que ocupa sucesivamente la superficie que separa el área activa de la de reposo durante la despolarización y la repolarización. Durante la despolarización el área activa será negativa con respecto a la que aún está en reposo, es decir, que la excitación se propaga como un frente que lleva cargas positivas en la ”cabeza” y deja cargas negativas en la ”cola”. Estos dipolos pueden representarse mediante vectores que se dirigen hacia la parte positiva y cuya magnitud depende de la superficie libre del órgano que está despolarizada. Si este vector se proyecta sobre una línea de derivación el tamaño y polaridad de esta proyección corresponde a la amplitud y la polaridad de la onda que se registra en ese momento.
Para la proyección de los vectores en el plano, se supone que los miembros forman los vértices de un triángulo equilátero (Triángulo de Einthoven) cuyo centro es ocupado por el corazón y cuyos lados constituyen las líneas de derivación Dl, Dll y Dlll. Se supone también que el cuerpo se comporta como un conductor homogéneo.
. Proyecciones de un vector (flecha sombreada) sobre el triángulo de
Einthoven y el sistema triaxial
• Un vector que corresponde la activación auricular (A).
• Un vector que corresponde a la activación septal y que tiene una dirección principal de izquierda a derecha (1).
• Un vector que inicialmente corresponde a la activación coincidente de los dos ventrículos y posteriormente a la activación de las regiones central y apical del ventrículo izquierdo -ya estando el ventrículo derecho despolarizado- (2).
• Un vector que corresponde la activación basal y posterior del ventrículo izquierdo y del septo (3).
• Un vector (no representado) que corresponde a la repolarización ventricular.
• En pocas palabras.
• La despolarización o activación y la repolarización o activación de los miocitos, se representa con un vector con diferentes cargas en su cabeza (punta del vector) y en su cola (origen del vector).
• La despolarización: se representa con un vector cuya cabeza es positiva y cola negativa.
• La orientación angular o derivación de todo electrodo del vector, lo que define el carácter positivo o negativo del mismo da origen al ECG.
• En la repolarización el vector será negativo en la cabeza del mismo y positivo en la cola.
Por lo dicho anteriormente, cada una de estas zonas tiene su correspondencia en el ECG