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Universidad Nacional Autónoma de México
F
E
ACATLAN
Facultad de Estudios Superiores
Acatlán
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VARIABLE COMPLEJA:
la derivada
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Dr. José Narro Robles
Rector
Dr. Sergio Alcocer Martínez de Ca stro
Secretario General
VARIABLE COMPLEJA:
la derivada
Manuel Valadez Rodríguez
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN
Dr J Alejandro Salcedo Aquino
Director
Dr. Darío Rivera Vargas
Secretario General
Mtro. Adalberto López López
Secretario de E studios Profesionales
Fís. Mat. Jorge Luis Suárez Madariaga
Coordinador de Servicios Académicos
Mtra. Nora del Consuelo Goris Mayans
Jefa de la División de M atemáticas e Ingeniería
D.G. Víctor Hugo Huerta González
Jefe de la Unidad de Servicios Editoriales
ACATIAN
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN
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Variable compleja: la derivada
Manuel Valadez Rodríguez
A
Margarita, Sandra, Alberto y Patito.
Primera edición: 2010
Portada: D.G. Víctor Hugo Hu erta González
D.R. © UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Ciudad U niversitaria, Delegación Coyoacán,
C. P. 04510 , México, Distrito Federal.
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN
Av. Alcanfores y San Juan T otoltepec, sin.
C. P. 53150, Naucalpan de Juárez, Estado de Méx ico.
Unidad d e Servicios Editoriales.
ISBN: 978-607-02-1918-4
Prohibida la reproducción total o parcial
por cualquier medio sin la autorización escrita
del titular de los derechos patrimoniales.
Impreso y hecho en México
Printed and made in Mexico
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Índice general
PRÓLOGO...........................................................................................
5
1. LOS NUMEROS COMPLEJOS ...............................................
7
1.1. Definición y propiedades fundamentales ......................................
7
1.2. La desigualdad del triángulo ......................................................12
1.3. La forma polar. Potencias y raíces .............................................19
. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA ..............
31
2.1. Topología Básica ........................................................................31
2.2. Funciones Complejas ............................. ............................. .......34
2.3. Límites y Continuidad ................................................................43
2.4. La derivada de las funciones complejas .....................................
58
2.5. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann .......................................... 65
BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................78
ÍN DICE ALF ABÉ TICO .................................................................80
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Prólogo
El material que se presenta aquí corresponde a, aproximadamente, el 60% del
contenido del programa de estudios de la materia de VARIABLE COMPLEJA que
se lleva en la carrera de MATEMÁTICAS APLICADAS Y COMPUTACIÓN (MAC),
de la FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES (FES) Acatlán. En varias ocasiones
me tocó a mí impartir dicha materia.
Para elaborar las notas que me sirvieron de apoyo en el desarrollo del curso, recur-
rí a textos de diferentes niveles de exposición sobre el tema; todos ellos de excelentes
autores. Con el tiempo dichos textos me fueron dando un panorama que consideré
propicio para ofrecer una propuesta personal. Debo reconocer, sin embargo, que re-
sulta bastante complicado plantear esquemas muy distintos y, sobre todo, mejores que
los que ofrecen esos autores. La idea es, entonces, presentar un material que, al menos
en contenido, en orden y en nivel, resulte razonablemente apropiado para los alumnos
de MAC que cursan la materia. Sería un halago para mí q ue esto se usara en otros
lugares.
La revisión del material para su publicación, estuvo a cargo del Matemático Patri-
cio Paredes y del Ingeniero Domingo V ite, quienes son profesores de la FES Acatlán.
Agradezco a ellos todas sus atenciones y, sobre todo, sus com entarios y sugerencias.
El hecho de que el texto lleve menos errores, es debido a ellos. Los que subsisten son,
por supuesto, de mi absoluta responsabilidad. Cabe mencionar que el profesor Vite
usó estas notas, todavía en manuscrito, cuando le tocó impartir la materia en cuestión:
fue un detalle que le agradezco.
Con respecto a la presentación del material creo que es de justicia citar lo sigu-
iente: después de que uno pone en juego todas sus habilidades tratando de que lo
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plasmado en papel (manuscrito) sea entendible para los demás, cosa que a menudo no
se consigue, lo siguiente es dejar el trabajo en manos de expertos. Así lo hice. Q uiero
dejar constancia aquí, no solo de mi reconocimiento sino también de mi gratitud in-
finita a Sonia Vértiz y Sandra Murillo, ambas alumnas de la carrera de Actuaría, por
darle al material la elegante presentación que ahora tiene. Sonia me acompañó hasta el
final soportando todas mis necedades y aprensiones. Debo decir q ue ninguna de ellas
era experta en esto cuando empezamos a trabajar: ahora lo son ambas.
Otras personas colaboraron con nosotros a lo largo del proceso de aprendizaje y
durante el desarrollo del trabajo, proporcionandonos asesorías en el área de cómputo:
siempre que les solicité apoyo acudieron amab lemente a darnoslo. Estoy muy agrade-
cido con Marcos Schtulmann y César Tort, estudiantes de la carrera de MAC, con
Sebastián Bejos egresado de la misma carrera y con Mayra Díaz, profesora en la FES
Acatlán. El señor Bejos aparte de habernos b rindado el apoyo citado fue quién elaboró
todas las figuras que aparecen en el texto: muchas gracias.
Finalmente quiero referirme a una pequeña parte del personal administrativo de
la FES: Maestra N ora Goris, Jefa de la División de Matemáticas e Ingeniería, Fis.
Mat. Jorge L. Suárez Madariaga, Coordinador de Servicios Académicos y D.G. Vic-
tor Hugo Huerta, Jefe de la Unidad de Servicios Editoriales; sin ustedes en la parte
administrativa, estoy seguro de que las cosas habrían sido más complicadas: gracias.
FES Acatlán, Octubre del 2009.
Capítulo 1
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1.1. Definición y propiedades fundamentales
No obstante que el conjunto de los números reales cubre gran parte de las necesi-
dades teóricas y prácticas del álgeb ra y el análisis, no es s uficiente para resolver cier
-
to tipo de problemas, aún en casos relativamente simples con los que seguramente
la mayoría de los lectores ya se ha enfrentado. El ejem plo clásico lo representa la
ecuación x
2
+ 1 = 0, la cual no admite solución real. Resulta entonces necesario ex-
tender el concepto de número de tal forma que se puedan resolver estos problemas.
Para ello se recurre a los llamados números complejos.
Existen diversas maneras de introducir el concepto de número complejo, aquí lo
haremos usando parejas ordenadas de números reales.
Definición 1.1.
Se definen los
números complejos
como el conjunto de las parejas
ordenadas (x, y)
de números reales y se establecen para ellos las operaciones de
suma y
producto como sigue: si
Zi = (XI ,Y 1
) y Z2 =
(x2,y2)
son números complejos, entonces
Zi +Z2 =
( x
+X2,y1 +y2),
ZIZ2 = (XI x2
-yly2,xIy2+x2yl).
A la primera componente de la pareja ordenada z = (x,y) se le denomina
parte real
de z y
se le denota por Rez y
a la segunda componente se le conoce como
parte
6
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se le escribe como
Imz;
en símbolos
eales, existe una pareja ordenada ( x, 0), única, asociada con él. Por otra parte, de las
definiciones de suma y producto de complejos especificadas en (1. l), tenemos que si
Rez=x,
mz=y.
1.2)
x, 0) y (y, 0) son elementos de C, entonces
para denotar el conjunto de los números complejos junto con
En cuanto a la relación de
igualdad
entre los elementos de C, de la definición se
Zi = (
x,y) y
Z2 =
(x2,y2)
son iguales si, y sólo
decir,
Zi =Z2
i, y sólo si
1 = X2,
i
= Y2
1.3)
C es un campo.
Es relativamente sencillo probar esta afirmación ya que la mayor parte de las
son consecuencia de las propiedades del campo de los
se deja como ejercicio. En lo sucesivo emplearemos el
o al
campo de los números
Como en el caso de los húmeros reales, en el campo C se definen la diferencia y
de los inversos aditivo y multiplicativo, respectivamente. Así,
Zi y Z2
en C, se establece
Zi —
Z2 = z +
( — z2)
1.4)
Si Z2
no es el número complejo cero,
z
I
Z1Z2
1.5)
Z2
El subconjunto de C formado por las parejas ordenadas de la forma
reales; esto es, la asociación
É l
x,0) + (y,O) =
(x+y,0)
+y,
(x,0)(y,0) = (y,0) —*xy.
De las definiciones propuestas para operar con los elementos de C, queda claro
que todo número complejo z = (x, y) se puede escribir como
tl
X , Y ) = (x,0)+(O,1)(y,0). 1.7)
Definición 1.2.
Al número complejo (0,1) se le denota por
i
y se le denomina
unidad
imaginaria y a los elementos de C de la forma (O,y) se les conoce como números
imaginarios puros.
Si se multiplica el número (0,1) por sí mismo, resulta (0, 1)(0, 1) = (-1,0), de
manera que, en términos del isomorfismo planteado en la proposición 1.2, nos queda
= (-1,0) + -* — 1, que es precisamente la propiedad que se pide para el número
complejo
i.
En cuanto a la manipulación algebraica, resulta conveniente escribir el núm ero
complejo z =
(x, y)
como x +
iy. Esta representación de z es sugerida por la igual-
dad (1.7), en donde vemos que d icho número se puede escribir en términos de los
números reales que lo identifican. En esta nueva representación, las operaciones de
suma y producto entre los elementos de C pueden ser manejadas como las opera-
ciones correspondientes con los números reales, debiendo escribir un — 1 en aquellas
partes en que aparezca el cuadrado de la unidad imaginaria. Ob viamente, si z =
x + iy
es un número complejo, entonces
Rez = x
e
Imz = y.
En la representación propuesta, z es un núm ero imaginario puro si, y sólo si z =
iy,
con y real.
isomorfismo.
x,0)<— +x,
1.6)
jemplo 1.1.
Dados
Zi = XI
+
yi
y Z2 = X2
+ iy2,
tenemos
Es claro que la correspondencia propuesta en (1.6) es 1 a 1, ya que, dado z =
(x,
0)
que le corresponde, e inversamente, dado x en los
Zi +Z2 =
( x 1
+x2)
+i(y
+y2),
ZIZ2 =
(xJx2—yly2)+i(xIy2+x2yI).
9
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Si en (1.5)
Zi
= 1 +Oi = 1, nos queda
—= —1
Z 2
(1.8)
Ejemplo 1.2.
Demuestre que si
Zi y Z2
son números complejos diferentes de cero,
entonces
(z1z2
' =
zj z,
1.9)
y que, además,
(1.10)
ZIZ2 i Z2
Para probar (1.9) tomamos en cuenta que C es un campo y que, por lo tanto, se
verifican las leyes conmutativa y asociativa entre sus elementos, además, dado que Zi
Y
Z2
se proponen distintos de cero, tenemos que existen elementos
z1 1 y z
2
1
no nulos
enC, tales que ziz
= Z2Z2
= 1.
De esta forma,
1 = (z1z )(z2z ) = (Z1Z2)(z
Z ' ),
y de aquí que
(zlz2)
=
z z . Para justificar la igualdad (1.10) aplicamos (1.8) y
(1.9). Nos queda
Aplicando las propiedades establecidas en el ejem plo anterior, se obtiene
1
1_i
1+l ,
T(2+)(1-3i)
Ejemplo 1.4.
Demuestre que si z es un elemento de C, entonces, —z = (-1 )z.
En virtud de que C es un cam po, para cualquier número complejo z se tiene
0 = Oz = (1-1)z=z+(—l)z.
Sumando — z a ambos lados se llega de inmediato a la igualdad propuesta.
Ejercicios 1.1.
1.
Pruebe que el conjunto de los números complejos, considerados éstos como
parejas ordenadas de núm eros reales, junto con las operaciones de suma y pro-
ducto definidas en (1. l), es un campo.
2. Pruebe las igualdades (1.11) y (1.12).
3.
Encuentre los números complejos z = x + iy que satisfacen las igualdades sigu-
ientes
(a)
(1 - i)z = 1, b) (3— 2i)z = 1 + 2i,
c)
(1 +
ib)z = 1 - ib.
— 1
1 —1
(Z] Z2) =z1z2=--
Z1Z2
1 Z2
como se quería probar.
Otras propiedades simples pero importantes de los números complejos, son las
siguientes: si
Z,Zi .....
Z
son elementos de C y si z 0, entonces,
Z1+Z2++Z Z 1 +Z 2++
n
z
Y ,
Si
Z3 y Z4
no son cero, se cumple
ZIZ2 - Z1 Z2
(1.12)
Z3Z4
3 Z4
Ejemplo 1.3.
Exprese en la forma x + iy el producto
1
2+i 1 —3i
10
4.
Ob tenga las partes real e imaginaria del número complejo z, cuando
1
+i
+2i
(a) z=
23
b) z
1--- ,
c)
z=
3
i
5.
Exprese en la forma x +
iy
el producto
zlz2
cuando zi = (1 + i)/(2 -
i)
y
Z2 =
(1 +3i)/(3+i).
6.
Comprube que los números complejos
Zi
= 1
+
i
y Z2 =
1 -
i
satisfacen la
ecuación
z2
- 2z + 2 = 0.
7.
Sean
Zi y Z2
números complejos tales que
Zi + Z2 y z1Z2
son, ambos, números
reales negativos. Pruebe que
Zi y Z2
deben ser reales.
1 1
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Figura 1.1:
1.2.
La desigualdad del triángulo
La definición de número complejo como pareja ordenada de números reales sug-
iere la posibilidad de representar los elementos de C mediante puntos en el plano. Se
proponen dos ejes mutuamente perpendiculares x y y y se marca sobre cada uno de
ellos una unidad de distancia a partir del origen, como se indica en la figura (1.1).
Se conviene en llamarle al eje horizontal
eje real y
al vertical
eje imaginario. El
número complejo z
=
x +
iy
se representa, geométricamente, por un radio vector que
parte del origen y llega al punto (x,y)
del plano, como se ve en la figura mencionada,
donde se ha representado el número —1 + 2i. En este contexto, al plano
xy
se le de-
nomina plano complejo
o
plano
z.
La representación geométrica de la suma de números complejos coincide con la
suma vectorial en el espacio IR
2
. Por ejemplo, la suma de los números 1 + 2i
y
3 +
i
queda representada por el radio vector que va del origen al punto (4,3), como se
muestra en la figura (1.2).
Los núm eros reales quedan representados en el plano com plejo por radio vectores
sobre el eje x y los imaginarios puros, por radio vectores sobre el eje y. Posteriormente
se dará una interpretación geométrica del producto de nú meros complejos.
Debe observarse que, aún cuando existen semejanzas entre el plano complejo y el
12
Figura
1.2:
plano cartesiano IR 2
éstos no son lo mismo. Por ej emplo, en el plano cartesiano no se
define un producto de parejas ordenadas.
Definición 1.3. Dado el número complejo z = x +
iy, se define el módulo o
valor
absoluto de z, denotado por
I z i ,
como el núm ero real no negativo.
IzI=V x
2
+y2 .
1.13)
En estos términos, queda claro que
I z i
~
O y
I z i
= O si, y sólo si z = O. Por otra
parte, considerando
z
como la pareja ordenada
(x,y)
,el lado derecho de la igualdad
(1.13) representaría la m agnitud del vector correspondiente.
Aún cuando en general la desigualdad
Zi <Z2
para números complejos
Zi
y
Z2
carece de sentido (C no es un campo ordenado), la expresión
I z i 1
<
1 2 1
si lo tiene.
Geométricamente esta última desigualdad significa que el punto del plano, correspon-
diente al número
Z i
se encuentra más cerca del origen que el punto que corresponde
al número
Z2.
Definición 1.4.
Dado un elemento z =
x +
iy
de C, se define un elemento Z en
llamado
complejo conjugado de
z, mediante la expresión Z
= x-
y.
Geométricamente, el conjugado de un número complejo z representa la reflexión
de z en el eje real, ya que si z es la pareja ordenada
(x ,y), Z quedará representado por
la pareja ordenada (x, — y). En la figura (1.3) se muestran el número z y su conjugado.
13
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Resulta de aquí,
z i -
IZ2
i
2
2
1 ~l
Z2) (_Z1Z2=
—
Z1Z2
— =
1 Z 2 1 2 Z2
2
Otra expresión que es directa a partir de (1.16) es
y
Para probar la expresión (1.15) se emplean también propiedades ya establecidas
como la (1.12) y la igualdad
z 1
2
=zz.
1.16)
=
I z I ,
1.17)
Figura 1.3:
Se verifica trivialmente que el com plejo conjugado de Z es z; esto es,
= z y
que z si, y sólo si
lmz = O. Además, se establece la relación
Iz
2
=
z. Esto
último se comprueba fácilmente tomando z
=
x
+ iy, ya q ue, de esta forma,
zZ
=
(x +
¡y) (X
-
y)
= x2
+y
=
z 1 2 .
En seguida se dan otras propiedades de los conju-
gados de números complejos.
Proposición 1.3.
Si z
, Z2,••
,
son elementos de C, entonces
Z1+Z2++Zn++ +
1.14)
Z1Z2Zn=j2 ..
Ejemplo
1.5.
Pruebe que para números complejos cualesquiera z1 y
Z2,
se cumple
Zi Z2
=Zi-
y que, Si
Z2
O, entonces
z
T
)
=
1.15)
Z
Para probar la primera de estas igualdades empleamos el resultado obtenido en el
ejemplo 1.4
y
las propiedades señaladas en la proposición 1.3. Se tiene entonces que
Z1 —Z2
=
+(—
z2)
=
+(
—
l)Z2
(— 1 )f2
= fl
-
1 4
ya que, de la expresión referida se tiene
2
==
z z
=
Iz
2
Sacando raíz a ambos
lados se llega a (1.17).
Ejemplo 1.6.
Si zo
=
x
+
¡yo es un número complejo fijo, la igualdad
Iz
-o
=
R
representa la
circunferencia de radio
R
con centro en el punto zo.
Si z
=
x+ ¡y,
se tiene para este caso que
Iz
-
0 1 2
=
(x—xo)
2
+ ( y
— yo) 2
. por tanto,
la expresión
Iz
-
o
= R es equivalente a
(x—xo) 2
+(y—yo) 2
R2
que
es la ecuación de una circunferencia con las características señaladas.
Las relaciones que se dan a continuación corresponden a propiedades muy sencil-
las pero importantes de los nú meros complejos.
Proposición 1.4.
Para números complejos cualesquiera
Zi ,Z2,.
_
,,
Zn,
se cumple
Z Z 2 Z
n
=
Iz1lIz2IIzfl I;
además Si
Z2
O, se verifica
Zi
-
z 1
Z2-
21
Aplicando (1.16), resulta
IZ1Z2 ..
Z n I
2 =
Z1Z2Zn) Z1Z2Zn)
=
ZIf1) Z22) ... Znn)
l z l I I z 2 I I z 3 I . . . I z n D 2 .
15
1.18)
(1.19)
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Sacando raíz a ambos lados se llega a (1.18). Para la igualdad (1.19) tenemos que
i z i +Z2 12 = izii
2
+2Re(zi)
+
1 z 2 i
2
1 z 1 i
2
+
IzIliz2i+iz2i 2
=
i z 1 1
+iz21)2,
quedando de aquí que
(1.20)
l lZI+Z2ilZli+iZ2L
1.24)
I
Para probar la parte izquierda de la desigualdad
(1.23)
tenemos en cuenta que,
según
(1.24)
izil =
izi +Z2Z21
Zi +z21+1z21;
1.25)
(1.21)
or tanto,
izIl
—
Iz2iiZ1+Z2i.
1.26)
(1.22)
videntemente, el desarrollo propuesto para
Z i
en
(1.25)
se puede efectuar también
¡ ) , i r a
Z2,
en cuyo caso se llega a que
2
Z1
/
Zi( Zi\
\
iZi
izil
Z 2
Z 2 2
2 Z 2
Z 2 1
Nuevamente, al extraer raíz a ambos lados, se llega al resultado deseado.
Una consecuencia inmediata de
(1.18) es la igualdad
zi
= Izi,
la cual se verifica para todo entero positivo n.
Proposición
1.5. Si z es un número complejo, se verifica
z+2 — Z
Rez= ---, mz= — --,
además, se cumplen tamb ién las desigualdades
Rez < iRezi
zi,
mz:5 ¡Imz1
z
La prueba de estas relaciones es muy sencilla; por ejemplo, la primera desigualdad
(1.22)
es una consencuencia del hecho de que si x es un número real, entonces, x
lxi
/x2 + y
2 ,
para todo número real y.
Teorema 1.1. Para números complejos cualesquiera
Zi y Z2,
se cumple
IZIIiZ211
z i
+Z2i
Zii+iZ2i.
1.23)
Probaremos primero la desigualdad derecha. Haciendo uso de
(1.16)
tenemos que
I z i
+z21
2
= (zi +Z2)(Z1 +Z2)
= (z1+z2)(+)
= Zi+Z1Z2+Z2+Z2Z2
= iz1l
2 +(zi+)+lz2i
.
Ahora, de la primera igualdad
(1.21)
tenemos que
z
+
2Re(zi )'
de
(1.22)y (1.18) que
Re(zi)
ziI =
Iziiiz2i.De esta forma,
—
( i z l i
— iz2i)
zi +Z21.
I)c esta expresión y de (1.26)
se deduce que
i Z l 1
—
iZ21IIZI+Z2I.
1.27)
Las expresiones
(1.24) y (1.27)
prueban el teorema.
Tomando en cuenta el hecho de que para todo número complejo
z
se cumple que
z i
=
z, queda claro que (1.23)
es equivalente a
iiZiiiZ2ii
z i
21
ZIi+iZ2i.
Definición 1.5. A la expresión
(1.24)
se le conoce como
desigualdad del triángu-
lo y puede ser generalizada a cualquier colección de números complejos; esto es, si
i'I,z2,. . .
, Zn
son elementos de C, entonces,
ZI+Z2+"+ZniiZii+iZ2I+"+iZni.
1.28)
16
7
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Figura 1.4:
Ejemplo
1.7. Demuestre que si z es un elemento de C tal que
I z l
=
2, entonces
1
<
z4 -4z2 +3
(1.29)
Para el polinomio del denominador tenemos
z 4 -4z
2
+3=(z4 -4z
2
+4)-1=(z2 -2)
2
-1=(z2 -3)(z2 — l).
Tomando en cuenta que z se encuentra sobre el círculo
I z i
=
2, usando (1.27) nos
queda
1 z
4
— 4z 2
+31
= 1 z
2
-311z
2
— 1 1
~
3, de donde se sigue (1.29).
Ejemplo 1 8 Describa geometricamente el conjunto de puntos determinado por la
relación.
IIm(—i)I <2. 1.30)
Haciendo z
=
x
iy nos queda que Z
= x (y + 1), de manera que, según
la desigualdad propuesta nos queda IIm(
)
=
y + 11 <2. Vemos de aquí que el
conjunto de puntos descrito por (1.30) corresponde a la franja horizontal del plano
complejo acotada superiormente por la recta y
=
1 e
inferiormente por la recta y
=
— 3 ,
sin incluir dichas rectas. En la figura (1.4) se m uestra el conjunto mencionado.
Ejercicios 1.2.
1.
Pruebe las igualdades (1.14)
y
(1.21).
2. Demuestre que
v izI
~
: Rez +
IImzI, para todo número com plejo z.
1 8
3.
Sea a un número real positivo. Describa, geométricamente, la región del plano
complejo formada por los puntos z que satisfacen la expresión
Rezl +
IImzI
a.
4.
Describa, geométricamente, la región del plano complejo que consiste de todos
los puntos z para los cuales I
Z 1 4 <
2a 2 Re(z
2
).
5. Compruebe que 1(2+5)(/—
i ) I
=
vI2 z+
5
I.
6. En cada uno de los siguientes casos, haga una gráfica del conjunto de puntos z
que satisfacen la condición especificada.
(a)
Iz
-
+
i
=
1 ,
b)
z
+
, c) Re (z )
= 2,
(d)
12z—iI=4.
7. Pruebe que los puntos z que satisfacen la relación z
2 +
=
2 se encuentran
todos sobre la
hipérbola cuya ecuación es x2
-
2
=
1 .
8. Pruebe que la igualdad
Iz
-
i1
=
Iz
+
u 1
corresponde a la ecuación de una
elipse
con focos en los puntos (0, — 4) y (0, 4).
9. Pruebe que la igualdad I
z
1
=
Iz +
il
corresponde a la ecuación de una
recta
de pendiente — 1 que pasa por el origen.
10. Demuestre que Si
Z3
y
Z4
son números complejos tales que IZ31
4 1 ,
entonces,
para cualesquiera
Zi
y
Z2
complejos se verifica
Z1 Z2 <
Iz1l+1z21
Z3 Z4 -
1 1 z 3 1 - 1 z 4 1 1
1 3
La forma polar. Potencias y raíces.
La transformación en el plano de coordenadas cartesianas rectangulares a coorde-
nadas polares y la definición analítica de las funciones seno y coseno, son dos recursos
que facilitan, en gran medida, los cálculos relativos a potencias y raíces de números
complejos.
1 9
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Un punto
(x, y)
en el plano cartesiano se puede expresar en coordenadas polares
(r,
6) usando la transformación
x= reos ø,
=rsenø,
1.31)
la cual, mediante una elección adecuada de los valores de
r
y
6, admite la transforma-
ción inversa
_ _ _ _ _
r=:j/+y,
=tan().
1.32)
Dado el número complejo z = x + iy, en términos de la transformación (1.31),
podemos expresarlo como
z= r(cosø+isenO).
1.33)
Ahora, puesto que el seno y el coseno son funciones periódicas de período 2ir, queda
claro que en la representación anterior el número z tiene asociada una cantidad infinita
de expresiones; a saber,
z =
r[cos(8
+ 2k7r)
+
isen(6
+ 2kiv)],
= O,±1,±2,...
1.34)
Definición 1.6.
A la expresión dada para z en ( 1.33) se le denominaforina
polar de
z y al ángulo O que se mide en radianes a partir de la parte positiva del eje x se le da
el nombre de
argumento de z y
se le denota por
argz.
Al valor de argz que satisface
— ir <argz < ir se le conoce como
valor principal de
argz y se le escribe como
Argz.
Es pertinente hacer algunas observaciones sobre los conceptos definidos aquí: en
la representación polar de z el número
r
coincide con el módulo de z, además, de la
segunda igualdad (1.32) se puede ver que si z = O, el ángulo 6 queda indeterminado.
Se conviene entonces en que se empleará la forma (1.33) para expresar un núm ero
complejo z, siempre y cuando éste no sea cero.
Ejemplo 1.9.
Exprese en forma polar el número complejo — 1 +
Para este caso tenemos que
r
= Izi = 2
y ,
dado que
O
= tan
(-v)
=
e
(1.33) nos queda
/
ir
7 r
z=2cos--+isen---
Teorema 1.2. Sean
Zi y
Z2 números complejos diferentes de cero. Entonces,
arg(zIz2)
=argzi +argz2.
1.35)
e l
Usando las identidades
sen(a±13) = senacos
l ±cosasenj3,
cos(a±J3) = cosacosfl senasenfi,
y escribiendo
ri
= Izi 1'
r2
= z21
,
61 = argzi y
6 2
= argZ2, encontramos
ZIZ 2 = [ri(cosøi + isenoi)1[r2(cos62 + isen62)]
= rir2[(cosOl cosü2 - senøi senø2) + i(cosøj senø2 + senøj cos62)]
= rIr2[cos(61+62)+isen(01+02)],
con lo cual queda probada la igualdad
(1.35).
Como consecuencia de que la representación polar de un número complejo no es
única, queda claro que si 01 = argzl
y
02 = argz2. entonces
arg(z1z2)=01+02+2k7r; k=O,±1,±2,...; (1.36)
es decir, la suma 61 + 0
2
es solo un argumento del producto Z1Z 2. Por otra parte,
como se verá en el siguiente ejemplo, la igualdad no se cumple en general, cuando se
sustituye argz por
Argz.
Ejemplo 1.10.
Determine el valor de
Arg
(z Z2), cuando zi = — 1 y Z2 =
i.
Dado que Z1Z2 =
— i ,
tenemos que Arg(zlz2) = Arg(—i)
= — ir/2, mientras que
Argzi + Argz2
= ir + 7r/2 = 37r/2, cantidad que no cumple con el hecho de que
— i r
<Argzi +Argz2
ir. Lógicamente, si en lugar de
Argzi
y
Argz2
se trabaja con
argzi yargz2, la expresión (1.35) se satisface ya que
arg
(zlz2) =
arg(—i)
=
3ir12
=
argzj +argz2.
El producto de un número complejo z por la unidad imaginaria
i,
se puede inter-
pretar geométricamente como una rotación de ir/2 radianes del radiovector z en el
sentido positivo; ésto es, en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Esto es
inmediato si se expresa
i en forma polar
ir
r
Í
= cos + isen
2 1
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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(1.38)
(
Z 2
Z I
\
arg
=argzl
—
argz2
J
(1.42)=e0
e'
0
si z = r(cose+isene),de (1.35) nos queda
iz
=
r [cos (e
+
isen
(e
+
Teorema 1.3.
Si
z1
= ri(cose
i
+isenei) yz2 = r2(cose2+isen02), entonces
r1
-
- - —[cos(Oi -e2)+isen(e1
—e
2
)]
1.37)
Z 2
, por tanto
La prueba de este enunciado es totalmente semejante a la realizada para probar el
eorema 1.2.
En términos de coo rdenadas polares resulta muy sencilla la
interpretación ge-
métrica
del producto de números complejos. Sean
Zi
=
rl
(cose1 + isene j
) y Z2 =
r2(cose2 + isen62) dos elementos de C. Para el producto de
Zi y
Z2 nos queda
ZIZ2 = rir2[cos(e1 +
e2
)
+ isen(01 + e2)].
emos así que el módulo del producto Z1Z2 es
I z i 1
veces el módulo de Z2 o equivalen-
emente, IZ21 veces el módulo de
Zi
y el argumento de
Zi
Z2 es el argumento de
Zi
al
ue se la han sumado
argz2 radianes. En la figura 1.5 se esquematizan estos conceptos.
Como se dijo al principio de esta sección, otra representación útil en el manejo
lgebraico de los números complejos es la llamadaforma
exponencial,
que se obtiene
e las definiciones analíticas de las funciones
seno y coseno.
Estas se establecen a
ravés de las igualdades
e +
e
9
t
-
e0
cose=
en=
partir de ellas se obtienen lo que se conoce como
fórmula
de Euler
e'
6
=cose+isenO.
En términos de esta igualdad, el número complejo z = r(cos
e + isen ) se puede
z=re'
6
1.41)
22
Figura 1.5:
Definición 1.7.
A la expresión dada aquí se le denominaforma exponencial de z .
Usando la igualdad (1.40) se verifica fácilmente que
e
i 0 l
e
¡ 0
2 = ¿(61+82)
,
además, escribiendo
-O
en vez de
e,
se obtiene
e() = e 6
y de aquí que
e 6
e_
6
= 1,
y por tanto
Con respecto alas representaciones polar r(cos
e + isen e) y exponencial re , del
número complejo z, tenemos que Z = r(cos
O
- isen O ) = re
o
- , demás si z 0, el
inverso multiplicativo de z queda, en la forma exponencial, como
— 1
Ø
Z= -=
-
e
Z
e'
La forma exponencial para el producto y el cociente de dos números complejos
Zi y
Z2 queda como
Z 1 Z 2 =
r l r2e i ( 01 +8 2 ),
=
r1 i
Z 2
2
23
(1.39)
(1.40)
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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(1.43)
(1.44)
z n
= zo
n
soluciones distintas dadas por
Wk
= Cú)
= m,m + 1
.....
m + n - 1,
Zi
= ri e''
y
Z2 = r2e'.
Se debe aclarar también que en virtud
z=rexp[i(O+2kn)],
=O,±l,±2,...
Sea zo un número complejo dado, con iz
o
¡ =
ro y argzo
= 00 y sea
n
m
es cualquier entero y
27ri)
c=.i'exp(
con=exp
( 1
. 45
)
fl
Para probar este enunciado se propone z =
re ' 9 ,
con lo que (1.43) queda como
(re 9
) = r e 9 = rØe
0 0
r = ro y nO = O +
2kr
k
= O, ±l, ±2,...) o, equivalentemente, cuando
r=,
=00±2k7r;
=O,±1,±2,...
eros
wk
=
xp [ (OO+2k1;
=O,±l,±2,...
1.46)
n
;Ir- exp [
(Oø + 2k7
1=
/
Oo \
2k7ri \
exp (
exp
n
fl 1
flj
r
2iri1/c
= Yexp(—lexp(--)l
\n
L
flJ]
24
de manera que tomando
c
y
c o
como en (1.45)
se llega a que
wk=cco;
=O,±1,±2
.....
como se propone en el enunciado.
Para probar que son exactamente n
soluciones distintas
wk,
supóngase que
m
es un
entero cualquiera y que y q son enteros tales que
y
m < p, q m+n— 1. Si
Wp = W
q ,
entonces, de (1.44) tenemos que
oÇ =
, por tanto
2plr 2qr
=
2sjr,
n
donde
s
es un entero (debe notarse que ip - q
n - 1).
Ahora, esta igualdad implica
que p = q +
ns,
pero, por las condiciones impuestas sobre p y q tenem os que
s
= O o,
de manera equivalente, que p = q, lo cual es una contradicción. Luego, si p qL q, w
p no
puede ser igual a
W
q
probándose con esto que existen al menos
n
números complejos
distintos
wk
que satisfacen la igualdad
w
= z o .
Finalmente, si
s y p son enteros y
m < p m + n - 1,
resulta
wp+ns
=
C W , Ç
=
cco,Ço),
pero
ONIs = [
exp
exp(27ris)
= cos(2ns) + isen(2rs) = 1;
es decir,
w
y de aquí que existen a lo más
n
enteros p tales que
w
= Zo.
Se
concluye entonces que existen exactamente
n
números complejos distintos
w tales
que
W p
n
=
zo,
quedando con ello probado el teorema.
Definición 1.8.
A los números complejos
wk
que aparecen en (1.44) se les conoce
como las
n raíces n-ésimas de z o
y, en dicha igualdad, se acostumbra a tomar
k
=
O,1,...,n—l; esto es, m=O.
Corolario 1.1.
Los números complejos
k = m,m + 1.....
+ n - 1)correspon-
den a las n raíces n-ésimas de la unidad.
Esto es evidente si se toma en (1.43) zo = 1, ya que en tal caso nos queda
r0
= 1
y Oo
= O, siguiéndose de aquí que
wk =
25
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Determine las soluciones de la ecuación
z
3
= -
8i.
Para este caso tenemos que
ro
= 8
y
00 = 37r/2, de manera que, según ( 1.45),
c
c o 3
quedan dados por
c=2exp(f) =2i,
co3=exP(_) =-(1-iV).
estas igualdades, encontramos
=-(1-i\./),
0_- 1
+is./ ,
1.47)
ando de aquí que las tres raíces cúbicas de -8i son
w0=cw=2i,
i=cco
3 =-V-i,
2=cc0=V'-i
(ú 3
dados en (1.47), estos corresponden a las tres raíces
0), (»
3
y w.
Calcule las 4 raíces cuartas de la unidad.
De acuerdo con la segunda igualdad
(1.45),
dichas raíces están dadas por
k
/kri'\
(1)4
=O,1,2,3.
k, encontramos
040
= e
° = 1,
(2ri\ V
V
04 = exp
cos + iSen
04
=exp(iri)
=cos2r+isen2v= -1,
(
37ri'\
2v .32v
0 4
=eXP_ -
) =cos -
-+isen
-
Figura 1.6:
De esta forma, las raíces cuartas de 1 son 1,
i,
-1
y
-i.
Dichas raíces están represen-
tadas gráficamente en la figura (1.6b).
Como se puede apreciar en esta figura, las n
raíces n-ésimas de un número com-
plejo
Z o
= roe
°
,
geométricamente respresentan los vértices de un n-ágono regular
inscrito en un círculo de radio
Ejemplo 1.13.
Encuentre todos los números com plejos z tales que
z
4
= -
1 +
Sea
z0 = -
1 +
e tiene entonces que
ro
= 2 y
O o
= tan -
'(--'í3_) = 22v/3.
Luego, usando la expresión (1.45) nos queda
c=exp)
= ___
Por otra parte, como se vió en el ejemplo anterior, las cuatro raíces cuartas de la unidad
son ± 1 y ±i,
de manera que las cuatro raíces cuartas del número -1 + quedan
como
±+),
l-i\).
26
7
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Ejercicios 1.3.
1.
Encuentre un valor de
argz
cuando
(a) z=
b)
z= 22i
c)
z = ()6
2. Exprese en la forma x + iy el número complejo z, cuando:
(a) z
= (-1 - i) 3 6 , b)
z=(-1+ ¡)
9. Suponga que los puntos
Zi ,Z 2.....
n
se encuentran todos a un mismo lado de
una recta que pasa por el origen del plano complejo. Dem uestre que
(a )
Los puntos z 'z2
1
. . . ,
, están situados del mismo lado de dicha recta,
indicando de que recta se trata.
(b)
10. Pruebe que para números complejos cualesquiera z ,Z2,. . .
, Zn
se cumple que
arg(zlz2
...n)
=argzl
+argz2+»+argz
3. Resuelva la ecuación Z =
z z,
donde
n es un entero no negativo.
4. Pruebe que si
c gá
1 es cualquier raíz n-ésima de la unidad, entonces, 1 +
c
+
5.
Use el principio de inducción para probar qu e el teorema del binomio
(a+b)'
=
()a_'b .
k
E
se sigue cumpliendo cuando a y
b
son números complejos.
6. Determine todos los valores de z para los cuales
(a) z
3
= 1,
b)
z 4
= 1, c)
z
5
= 1, d)
z
6
= — 8,
(e) z
5
= 4 + 3i,
f)
z
2
= 3 +
4i.
7. Demuestre que si a es un número real tal que a
<
1, entonces
1 - acosx
(a)
Eakcoskx=
a2-2acosx+l
k=O
a senx
(b )
aksenkx= a2-2acosx+1
k = O
8. Sean zi, Z2 y Z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo y sean al, a
y a3 números reales no negativos tales que al + a2 + a3 = 1. Dem uestre que
el punto z = alzl + a2z2 + a3z3 está en el interior o en la frontera de dicho
triángulo y recíprocamente.
28
t
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Capítulo 2
FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
2.1. Topología Básica
Definición 2.1.
Sea
Zo
un número complejo dado y sea e cualquier número positivo.
Entonces, al conjunto de puntos
y
definido por
V
= {
z/Iz— zol
<e}'
se le denomina E-entorno del punto
Zo y
se dice que el conjunto
V es un
E-entorno
punteado si
V = {z/O
<
1 z — z o l
<E}.
Se puede verificar fácilmente que el E-entorno de un punto
Z o
es un disco de radio
E
con centro en
zo.
Si el E-entorno es punteado, el conjunto es el mism o que el anterior
al que se le suprime el pu nto zo.
Definición
2.2. Dado un conjunto S de números complejos y un punto zo de S, dec-
imos que zo es un punto interior de S si existe algún E-entorno V de zo cuyos puntos
pertenecen todos a S y se llama a zo punto exterior de S si existe algún E-entorno
V
de
Zo
que no contiene puntos de S. Si
zo
no es de ninguno de los dos tipos mencionados,
diremos que
Z o
es un
punto frontera de S. Al
conjunto de todos los puntos frontera de
un conjunto S se le denomina la
frontera de S.
Ejemplo 2 1 Sea
Zo = xO + ¡
yo un número complejo fijo y sea S el conjunto de
números com plejos especificado por
S={z=x+iy/Iz—zol
<r;xxo}.
d e l
31
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Figura 2.1:
Entonces, la frontera de S está constituida por la cincunferencia (x - xo
) 2+ (y -
yo) 2 =
r2
y el segmento de recta x = xo, yo -
r <y <
yo +
r.
El conjunto S y su frontera se
muestran en la figura
2.1.
Por supuesto, la frontera del conjunto
S'
={z=x+iy/Iz—zol
<r;xXo},
es la misma que la del conjunto
S.
Ejemplo
2.2. Determine la frontera del conjunto
S={z =x+y/Oxl,0yl;xy,EQ},
donde Q es el conjunto de los números racionales. Sea E un número positivo, si z =
x + iy es cualquier punto del rectángulo O < x < 1,0 < y < 1, el £ -entorno de z contiene
tanto puntos de 5
como puntos que no son de S. Luego, la frontera de S es el rectángulo
mencionado.
Definición 2.3.
Sea 5
un conjunto de puntos. Se dice que 5 es
abierto
si no contiene
a
ninguno de sus puntos frontera y se llama
cerrado
si contiene a todos sus puntos
frontera. Si se denota por
dS
a la frontera de 5, al conjunto = SU
dS
se le denomina
cierre o cerradura de S.
32
Es evidente la existencia de conjuntos que nos son ni abiertos ni cerrados; el con-
junto S' del ejemplo
2.1
tiene esta característica.
Definición
2.4. Un conjunto S se llama
acotado
si existe un número positivo
R
de tal
forma que todo punto de S es un pu nto interior del conjunto
C
= {
z / I z 1 < R},
si no existe tal
R,
decimos que S es
no acotado.
Ejemplo
2.3. El conjunto de los puntos z tales que
Rez> 0 es no acotado mientras
que el conjunto
S={z=x+iy/3x+4y< 12;x>0,y>0},
es acotado. En este caso se puede elegir, por ejemplo,
R = 5.
Definición
2.5. Un punto
z O
se llama
punto de acumulación de un conjunto 5
si todo
entorno punteado de
Z o
contienen al menos un punto de S.
Ejemplo 2.4.
En el conjunto
S=jz n
/z
n
=—;n=123
n
ci único punto de acumulación es
z = 0. Los puntos de acumulación del conjunto
S
propuesto en el ejemplo
2.2
coinciden con sus puntos frontera, en referencia al
conjunto propuesto en el ejemplo
2. 1,
los puntos de acumulación de
S son los mismos
que los de
5,
agregando la frontera de
S.
Ejemplo
2.5.
Demuestre que un conjunto con un número finito de puntos no puede
tener puntos de acumulación.
Sean
zI,z2 .....
z, n
números complejos y sea
= {z1,z2,...,z},
Con cada
k
=
1 ,
2.....
asignamos un número positivo
£=mn{zk—z=1,2,...,n;ik}.
Si se toma = ', queda claro que el E-entorno punteado
V del punto
Z k
no contiene
ningún punto de
S.
Luego,
Z k
no es un punto de acumulación de S.
33
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Definición 2.6.
Un conjunto S se llama conexo
si dada cualquier partición del mismo
en dos subconjuntos S1 y
S2,
al menos uno de éstos contiene un punto de acumulación
del otro. En el plano complejo a un conjunto abierto y conexo se le llama
dominio y ,
en general, a cualquier conjunto conexo se le denomina
región.
Ejercicios 2.1.
1. Demuestre que un conjunto es abierto si, y sólo si, todo punto de S es un punto
interior de S.
2. Demuestre que un conjunto S es ab ierto si, y sólo si, su complemento S' es
cerrado.
3. Demuestre que el plano complejo es ab ierto y cerrado a la vez.
4. Si 5°
es el conjunto que consiste de todos los puntos interiores de un conjunto
S. Demuestre que
(a )
El complemento de
50
es la cerradura del complemento de S.
(b )
Si S' es un subconjunto ab ierto de S, entonces, S'
c
5°.
Al conjunto S° definido aquí se le denomina el interior de S.
5.
Sea
5
un conjunto conexo y sean zi
y Z2
dos puntos de S. Demuestre que existe
una curva
C,
totalmente contenida en S, que une
Zi
con
Z2.
2.2. Funciones Com plejas.
Definición
2.7. Si
5
es un conjunto de núm eros complejos, una función
f :
S — + C s e
denominafi4nción
compleja de una variable com pleja.
La terminología que se emplea para los conceptos q ue están alrededor de las fun-
ciones complejas de una variable com pleja es la misma q ue la usada en el análisis real;
incluso la notación es prácticamente la misma, en particular, si la imagen de un punto
z del dominio S de la función, es w ,
se escribe w
= f(z).
34
Se sobreentiende que para definir completamente una función es necesario dar una
regla de asignación y un dom inio. Si este último se omite, convenimos que es el may-
or conjunto posible, es decir, aquel que consiste de todos los puntos z para los cuales
tiene sentido aplicar la regla.
Considérese la función
f :
S — C y sea wo un elemento de la imagen de
f,
en-
tonces, existe un elemento
Zo
de S y dos números reales
uo
y yo tales que
w 0
= f(zo) =
uO +
ivo. 2.1)
Evidentemente, esto ocurre para cada elemento
w
de la imangen de
f, y
por tanto, si
z =
x + iy
pertenece a S, deben existir funciones reales de dos variables reales u y y
tales que
f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).
2.2)
En el caso particular de la igualdad (2.1) tenemos que si zo = xo +
¡yo,
entonces
uç
j
= u(xo,yo) y yo
=
v(xo, YO) .
Por supuesto, se tiene también la posibilidad de disponer de una expresión para la
función
f
n términos de coordenadas polares. Si se toma z = re'0
en (2.2), para las
funciones u y y que aparecen en el lado derecho, resulta
u(x,y)
= u(x(r,O),y(r,9)) =
v(x,y) = v(x(r,6),y(r,6))
=
con lo que la igualdad mencionada queda com o
f(z) =(r,O)+ir)(r,O). 2.3)
Ejemplo 2 6
Determine el dominio de las funciones que se dan a continuación y
obtenga para ellas, expresiones como las dadas en (2.2) y (2.3):
1
(a) f(z) =
z2,
b) f(z)
—
c) f(z) =
I z 2 .
-
(a)
En este caso el dominio es todo el plano complejo. Tomando z =
x + iy,
nos
queda
35
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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f(z) =x
2 — y2
+2ixy,
t a n d o e n t o n c e s
u(x,y) =x 2
—y 2
,
(x,y) =2xy.
re
1
,
se obtiene z
2
=
r
2 e 2 1 0 quedando entonces que
f(z) =
(r,6) +ii(r,O),
donde
(r, 0) = r
2
cos2ø,
(r,6)
= r - sen2e.
(b)
El dominio de definición de la función
f
s todo punto del plano complejo,
i y
de — i .
Por otra parte, dado que
(z2+1)(z2+1) =
1z14+2Rez2+1
= (x
2 +y2
-1)
2
+4x
2 ,
f
z2 +1 2
— y
2
+1
xy
M)
(z 2 + 1) (z 2 + 1)
x
2 + y2 - 1)2 + 4x2 - (
x
2 +y2 - 1) 2 +
4x 2 '
x2 —y 2 +1
xy
v(x,y) = -
(x,y)= (x
2 +y2
-1)
2 +4x2
'
x
2
+y -1) 2 +4x
2
Se verifica también de manera m uy sencilla que, para este caso
1+r2 cos20 2 sen20
1 +r
2
(r2 +2cos2O)
1-I-r 2 (r2 +2cos2O)
(c) El dominio de la función
f(z)
= 1z12 es, evidentemente, todo el plano com ple-
f
n las formas (2.2)
y
(2.3) se obtiene
f(z)=x
+y2 ,
(z)=
r.
claro que, para este caso, y = 11 = O.
Se emplea en ocasiones el calificativo de
función real de variable compleja para
(c) del ejemplo anterior y se dice que
s una
función compleja de variable real si el dominio de
f
onsiste de números
Definición
2.8. Sea S un subconjunto de C y sea
f
una función compleja de una
variable compleja con dominio S. Si
T
es un subconjunto de S, al conjunto
f(T) = {w = f (z)/z E T},
se le llama
imagen de T bajo f.
A la imagen del conjunto S que es, por definición, la
imagen de la función
f,
se le denomina también,
recorrido def
Dado un elemento w
de
f(S),
al conjunto de los puntos z de S para los cuales w
=
f(z)
se le conoce como
imagen inversa de w.
Mediante el uso de
métodos gráficos
en muchas ocasiones es posible obtener algu-
na información sobre el comportamiento de las funciones complejas de una variable
compleja. Para determinar características geométricas de aspectos relacionados con
una de tales funciones no es posible, por supuesto, elaborar una gráfica de ésta sobre
dos ejes mutuamente perpendiculares, como ocurría con las funciones reales de vari-
able real, ya que para las primeras, tanto los elementos del dominio como sus imágenes
se encuentran sobre un plano; es conveniente hablar entonces de transformaciones o
aplicaciones. A veces resultará adecuado usar el mismo plano para graficar un conjun-
to de puntos y sus imágenes bajo determinada función, quedando en otras ocasiones
la elección de dos planos distintos a los cuales llamaremos plano
z y
plano w
como
la opción más apropiada para elaborar tal gráfica. En el primer caso se habla de una
transformación
y en el segundo de una aplicación.
La elección de una posibilidad o la
otra será sugerida, la mayor parte de las veces, por la estructura general de la función
que se analiza. Los siguientes ejemplos tratan de ilustrar algunos de los elementos
que intervienen en el tratamiento gráfico de las funciones complejas de una variable
compleja.
Ejemplo
2.7. Determine la región
R'
del plano
uy
en la que se transforma la región
R={(x,y)/l <x2}
2.4)
del plano (x,y), bajo la función
f(z)=z
2
.
Tomando z = x + iy la función propuesta queda como
f(z) =x
2
— y
2 +2ixy,
2.5)
36
7
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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X:
X:
( a )
b)
Figura 2.2:
u(x,y)
=
x
2
—y 2 ,
(x,y) = 2xy.
c
la recta =
c
del plano
xy
se transforma bajo f
n la parábola
v=±
2
cI/1
u
2.6)
uy.
Queda claro de aquí que si e toma valores en el intervalo 1 < x < 2,
u
y que se abren hacia la izquierda del plano uy.
La frontera de la
R' se generará tomando
c
= 1
y
e = 2 en (2.6) y, para cualquier otro valor de
en el intervalo en cuestión, la parábola correpondiente quedará dentro de la zona
2.2b.
Así, bajo la transformación
(2.5),
la banda dada en (2.4)
R' = {(u, v)14C2(C2
_U)
=v2},
de la figura
2.2b.
38
Ejemplo 2.8. Considérese la función
f(z) =
2.7)
Determínese la región
R' del plano uy
en la que se transforma la región
R
del plano
xy
especificada por
R= {(x,y)/x 2 +(y+l)
i}.
2.8)
bajo la función propuesta.
Multiplicando y dividiendo la igualdad (2.7) por el conjugado del número
i +
z ,
resulta
f(z)
= u(x,y)
+
iv(x,y),
donde
1—x
2 —y 2
x
u(x,y)
=
x2+(y+
1)2'
(x,y)
=
x
2
+(y+
1)2
2.9)
Si a es cualqier número positivo y proponemo s
x
2
+(y+l)
2
=a2 , 2.10)
de las igualdades (2.9) se llega a que
u=
.(1_x2_y2),
= 2.11)
Ahora, de (2.10) tenemos que
y
= — 1 ±
42 -x2
quedando entonces
y
2
= 1 + a 2-
x2 ±2Va
2 —
x
2
, y de aquí,
1
_ X 2 _ Y 2
= _
a
2
±2Ya2_x2
No representa mayor dificultad el comb inar este resultado con la segunda igualdad
(2.11) para llegar, de la primera de éstas, a que
(u+1) 2
+v
2
=().
2.12)
39
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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(a)
=
1 en (2.10) vemos que la frontera de la región
R
se transforma en la
(u
+
1)2
+
y
2
=
4, del plano
uy;
asimismo, vemos que si se recorre
-
2
+ (Y+ 1)2
=
a, que queda en el interior de la región
R
se transforma, según la
aldad (2.12), en una cincunferencia de radio mayor que 2 en el plano
uy. Se puede
cluir entonces que la imagen de la región
R
dada en (2.8) es el conjunto
R'={(u,v)/(u+1)2
+v
2
>4}.
R
y
R'
se esquematizan en las figuras 2.3a y
2.3b,
respectivamente.
V
b )
Figura 2.3:
rmine la forma de la región
R'
del plano
w
en la que se transforma
egión
R
=
{z =x+iy/jzl> 1;x> 0,
y>
0,}
1
f(z)=z+-
z
Tomando z
= re 6
y expresando
f
n forma polar, nos queda
f(z)
=
(r,9) +ii(r,ø),
donde
(r,8)=
coso,
r,0)=
(
r-- senO.
2.13)
r)
)
Si se grafica la imagen de la frontera de la región
R
encontramos lo siguiente: para
6
= 7c /2 y r > 1, resulta
=
O
y i
= r—
. ~
0. Luego, los puntos citados del plano
z se transforman bajo
f
n la parte positiva del eje
r,
correspondiendo valores cre-
cientes de rj a valores creciente de
r.
De manera semejante, con
6 =
O y
r > 1, nos
quedan
= r +1
~
2y
T 7
=
0, quedando la imagen de tales puntos sobre el eje
,
a
la derecha de
=
2. También en este caso un incremento en el valor de
r
corresponde
a un incremento en el valor de 1 (a partir de
= 2). Para la parte de la frontera de
la región R
formada por el arco del círculo
I z i
= 1 que queda en el primer cuadrante
del plano z tenemos que
r
=
1 y O <
O
<r/2, en cuyo caso resultan 1
= 2cos6 y
=
0. Así, cuando el arco mencionado se recorre en sentido positivo desde
6 = O
hasta
6
=
7r/2, en el plano ITI se describe un segemento de recta situado sobre el eje
y que va desde 1
=
2 hasta 1
=
0, como se indica en la figura
2.4b.
Supóngase ahora que
r
=
rl
> 1,
y
sean
a
=
r
+
-
=
rl
--
r1
l
Entonces, de las igualdades (2.13) se obtiene
2
a2
b
Puesto que tanto a como
b
son positivos y a>
b,
tenemos que cualquier arco
circular de radio mayor que 1 que este ubicado en el primer cuadrante del plano z,
quedará transformado bajo
f
n un arco de la elipse cuyos ejes mayor y menor están
sobre los ejes 1 y r, respectivamente, y tienen longitudes 2a y
2b.
Dicho arco será la
parte de la elipse ubicada en el primer cuadrante del plano
w.
Las partes sombreadas
de las figuras 2.4a y
2.4b
corresponden a las regiones
R
y
R={,r,)/>0,71 >0}.
40
1
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Figura 2.4:
transformación
f, los
puntos A, B
y
C del plano z se transforman en los puntos
l , B'
y
C'
del plano
w.
Estas características se muestran en la figura citada.
2.2.
1.
Suponga que a es un nú mero real positivo distinto de 1 .Pruebe q ue los números
complejos z que satisfacen la igualdad
1 — Z
=a
1+z
describen una circunferencia. ¿Qué ocurre cuando a = 1?
2. Suponga que a,
b, c y d
son números com plejos tales que ad
- bc O.
De-
muestre que la función
f
definida por
az
+ b
f(z)
= cz+d'
transforma círculos y rectas en círculos y rectas.
3.
Describa geométricamente la región
R'
del plano w en la cual se transforma la
región
R = {z/ -
1 <
Imz
< O} del plano z bajo la transformación
f
dada por
1 — z
f( z
=
T
--
4. Determine la región
R'
del plano
w
en la cual se transforma la región
R =
{z/
lRe(iz)
+
Im(iz) < 1
}
del plano z bajo la transformación
f
dada por
f(z) =
iz.
5.
Sea
f
la transformación definida por
f(z) = (z -
a) donde a es un número
real positivo y sea R
la región del plano z específicada por
R =
{ z/ iz - al a}.
Obtenga la región
R'
del plano
w
en la cual se transforma
R
bajo
f.
6.
Sean a y
ro
reales positivos y sea
R
la región del plano z establecida por R =
{z/ Iz - ¡
al
<r } .
Determine la región R'
en el plano w
en la cual se transforma
R bajo la función
f(z) = hz.
7. Sea R
la región del plano z específicada por
R = {z/ IRezi +
lImzl < l}. Obtenga
la región
R'
del plano w
sobre la cual se transforma R
bajo la función
f(z) =
(z -
1)/(z+ 1).
8.
Si
f
es la función compleja de variable compleja dada po r
f(z)
=x+excosy+i(y+exseny),
describa la región R'
de plano
w
en la cual se transforman las líneas y =
± v,
bajo f.
9.
Describa geométricamente la región
R'
del plano
w en la cual se transforma la
región
R = {
z/
2
<
i,imz >
o},
bajo la transformación
f(z) = z +z .
2 3
Límites y Continuidad
Definición 2 9
Sea
f
una función compleja de una variable com pleja definida en
todos los puntos de un entorno punteado del punto z. Se dice q ue
el límite de f
42
3
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Figura
2.5:
Z o
es el número
w O ,
y se escribe
límf(z) =w,
z - . z o
(2.14)
frontera de dicho dominio, exigiendo que se cumpla (2.14) siempre que z pertenezca
a la intersección del entorno punteado de zo y el dominio de
f.
Teorema 2.1. Si existe el límite de
f
uando z tiende a zo, éste es único.
Supóngase que existen dos números complejos
wO
y
wI
tales que
lím f(z)
= wj
ím
f(z) =
wl,
z — z o
— z o
entonces para todo e
> O existen núm eros positivos
6o
y 31 tales que
If(z)—wol<e
iempre que
<Iz—zol<.
5
o ,
¡f (z) — wil
<e
iempre que
<
Iz—zo
<6k.
sea = mín {6, 6 }, se tiene entonces que
Iwi—wol = I(f(z)
- w0 )
-
f(z) -
wi)
If(z)—woI+f(z)—wiI
< 2e,
e
> O existe un número positivo 6 tal que
If(z) — wol
<
< 1 z - z o 1
<6.
siempre que 0<
Iz—zol
<6. Se deduce de aquí que
Iwi
-wol
= 0; esto es,
w l
=
wj
(2.15)
, por tanto, el límite es único.
Teorema 2.2. Sean
f
g funciones complejas de una variable com pleja y supóngase
que
La definición de límite significa que si (2.14) se cumple, entonces, dado cualquier
ntrar un número positivo 3 de tal forma
f,
el 6-entorno del punto
Z o
se transforma en un subconjunto
w o ;
en otras palabras, que se puede garantizar que todos los
f(z)
se encuentrar en el interior del --entorno del punto wo con tal de tomar
z o .
En la figura
2.5
la
uy corresponderá a la imagen del 6-entorno de
Zo,
bajo la
f.
Por otra parte, es evidente que si (2.14) se verifica, entonces If(z) -
w 0
< E
< Iz— zo
<6', para cualquier número positivo .5' menor que 6. Se
la definición de límite está dada únicamente para puntos
f,
sin embargo, ésta se puede extender al caso de puntos
límf(z) =
a,
ímg(z)
=1
3 ,
Z
-
O
-
O
entonces,
(a ) lím
[f (z)
+g(z)]
=
a+13,
Z
-
O
(b )
lim
[f (z)
— g(z)I
=
a
- ¡3,
ZZQ
(c )
lím
[f(z)g(z)J
=
Z
-
Q
y si /3 0, entonces
- J (z)l
(d )
liml—I= -.
z-zo
[g(z)j
3
(2.16)
44 ___
5
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Probaremos los incisos (a) y
(c).
Si (2.16) se cumple, entonces, para todo número
prefijado
e
debemos poder encontrar números positivos 81 y
8 2
tales que
If(z)—al<e
iempre que
<Iz—zoI<81,
2.17)
lg(z)
— 1
3
<e
iempre que
< lz — zol <82.
Si se toma 8
= mín {3
, 82}, resulta
l(f(z) +g(z)) -
(a+J
)j
= l(f(z) —a)+ (g(z)
-/3)1
< 2e,
siempre que 0
<
iz -
z01 <6. Se sigue de aquí que la igualdad dada en (a) se verifica
siempre que se cum plan las relaciones (2.16).
Para probar
(c)
suponemos nuevamente que las igualdades (2.16) se satisfacen.
Entonces, para cada número positivo e
existen números positivos 31 y 82 de tal forma
que las expresiones (2.17) son válidas. Si, como en el caso anterior, se toma 6 =
mín{61,82}, resulta
if(z)g(z)
- aPI =
i(f(z)
- a)(g(z) -/3) + a(g(z) —/3)
+f3
( f (z ) — a) l
if(z)
— alig(z)
— /31+
ialig(z)
—
Ji+
3
11f(z) -al
< e 2
+ Cal +l/3De,
siempre que O
<
I z -
z 1
<
6. Se sigue de aquí q ue la igualdad (c) del teorema se
cumple.
Ejemplo 2.10. Demuestre que lím(3iz-2) = 1.
Z*
-1
Se debe probar que para todo número positivo
e
existe un 6 positivo de tal forma
que
I(3iz-2)
—
<e,
siempre que O <
i z +
il <6. Se tiene para esto que
(3iz-2)-11 = i3iz-31
= 3
h z —
I I
= 3
1z+ii<e ,
46
siempre que 0< iz+ii <e/3.
Ejemplo 2.11.
Demuestre que si
f(z)
= 2x + iy
2
, entonces
límf(z) =
4i.
Sea
e
un número positivo dado, se tiene
If(z)
-
i1 = 1(2x+
iy2 ) -« =
12X+ ¡ (Y2
- 4)1
2
x
+
y+ 211y
— 2
1
Si se propone
2
1 x I <
y+2iiy-21
<,
2.18)
resulta lf(z) — 4ii
<e.
Ahora 2
i x I
<e/2 si lxi <e/4 y, si se elige ¡
y
-21
<
1, resulta
iy+2 = iy-2+41 iy-21+4<5,
luego, según la segunda expresión (2.18), tenemos que
y+211y-21 <51y-21< ,
se satisface siempre que iy-
2
<e/lO. Sea 6 = mín{1,e/10}, entonces
If(z)
-
4
i
<e,
siempre que
0< lz-2ii =
lx+i(y-2)1
ki+IY-
2
<6,
y de aquí que lím(2x +
iy
2
) =
4i,
como se quería probar.
Teorema 2.3.
Considérese la función
f(z)
=
u(x,y)+iv(x,y)
y
sean Zo =
xo
+
¡ y o
y
wo
=
uo
+ iv
o
. Entonces,
límf(z)=wo
2.19)
Z
-
ZO
si y sólo si
l ím
X I
y)
= uo
ím
(x,y)
=
yO.
2.20)
( x , y ) — ( x o , y o )
x , y ) — . ( x o , y o )
47
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Supóngase primero que se verifica la igualdad (2.19), entonces, para cada
E
posi-
tivo existe un 6 positivo tal que
f (z)— wol =
(u—u0)+i(v—v0) <E,
La prueba se hace por inducción. Para
n = 1 es claro que
lfm z = zo,
2.23)
z — z o
ya que si
E
es cualquier número positivo, entonces,
I z —
z o l
<E,
toda vez que O <
z - zol <6 =
E.
Supóngase ahora que (2.22) se cumple paran = k;
esto es, supóngase
que
siempre que
0< z—zol
=
I(x—X0) +i(y
—
Yo)¡< 3.
De estas expresiones encontramos que
U —
U 0 1 < 1
(u—uo)+i(v—vo)
<E,
siempre que O
< 1
(x - x0) +
i(y - yo)
<6 y, por tanto, se verifica la primera igualdad
(2.20). De manera semejante tenemos que
v
—
vol<I(u
—
uo)+i(v
—
vo)l<E
siempre que O
< 1
(x - xo) + i(y - yo)
<6, de donde se sigue la segunda de las igual-
dades mencionadas. Inversamente, supóngase que se verifican las igualdades (2.20),
entonces, para todo
E> O exiten números positivos 81 y
6 2
tales que
1
- uol <E/2
siempre que 0< ,.,/(x_x
o
) 2
+(y_y
) 2
< 31 y
1v—vol <E/2
siempre que 0<
/( x
—
xo)
2 + ( y—
y o ) 2
<62. Si se define
8
= m ín{61,62}, resulta
l(u—uo)+i(v—vo)J
<
lu — uol+ 1v—vol <E,
siempre que 0< ./(x—xo)2+(y—yo)2 =
(x—xo)+i(y—yo)i
< 6. Se sigue de
aquí la expresión (2.19).
Ejemplo
2.12. Si e es una constante compleja, entonces
lím e =
c.
2.21)
Z
-
Z O
La prueba es trivial. Dado
E >
0, se toma la 6 como
E o como cualquier otro
número positivo.
Ejemplo 2.13. Demuestre que si
n
es un nú mero entero postivo, entonces
(2.22)
ZZO
48
límz
k
=z
o.
2.24)
Usando la expresión
(c)
del teorema 2.2 obtenemos para
n
=
k +
1
lím lím
(zzk) = (
lím z)( lím
z k),
Z
-
Ø
-O
-O
-O
de manera que de (2.23) y ( 2.24) resulta
lím
k+1 - k - k+1
Z —Z0Z0—Z 0
Z
-
O
quedando entonces probada la igualdad (2.22)
Ejemplo 2.14.
Pruebe que si P
es un polinomio complejo, entonces
lím
P(z)
= P(zo).
2.25)
z — + z o
Supóngase que
P
está dado por la expresión
P(z)
= k Z k ,
donde las a1
son constantes complejas. Si se aplican las igualdades (a) y
(c)
del
teorema 2.2 y las expresiones (2.21) y (2.22) probadas en los ejemplos anteriores,
49
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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N
Figura 2.6:
lím
P(z)
= lím
k z k
Z-ZO
_ZokO
= ím(ak z k )
k=O
= (lim a k )(lim z k)
k=O
Z ZO ZO
=
Y
akZO
= P(zo),
2.15. Demuestre que si lím
f(z)
=W
entonces
Z—*ZØ
lím If(z)I = Iwol.
z — . z o
(2.26)
Recordando que para nú meros complejos cualesquiera zi
y Z2
se cumple la de-
1 I z i 1 -
1211
z i - Z2
nos queda para este caso que, para todo núm ero pos-
e existe un 6 positivo tal que
If(z)I -
I w o l l
f(z) — wol
<e,
< I z — zol <6, de donde se sigue inmediatamente (2.26).
Finalizamos esta parte correspondiente a los límites de funciones complejas de
relacionados con la igualdad
límf(z)
=w0,
z - . z o
Zo
o
w0 o ambos tienen módulo infinito. Para
aquí, el significado de la igualdad en cuestión.
50
Como hem os visto en todo lo que llevamos de esta sección, el hecho de que la
igualdad (2.27) se verifique significa que siempre es posible ubicar el punto
f(z)
en
un cierto entorno de wj, sin importar que tan pequeño sea éste, con tal de tomar z en
un entorno punteado de zo, suficientemente pequeño.
Considérese ahora lo siguiente: en el espacio euclideano tridimensional R 3 se
elige una esfera de radio unitario con centro en el origen de coordenadas y se identi-
fica el plano xy con el plano complejo. Dado un punto z = (, i) de dicho plano, se
traza una línea recta que pasa por éste y por el
polo norte N de
la
esfera. La recta se
intersecta con la superficie esférica en el punto P, como se indica en la figura (2.6).
Si el procedimiento señalado se realiza con cada uno de los puntos del plano xy,
se obtiene una correspondencia uno a uno entre los puntos de la superficie esférica
distintos de
N
y los puntos de dicho plano. Por ejemplo, los puntos que se encuentran
en el hemisferio norte de la superficie esférica se corresponderían con los puntos del
plano xy situados en el exterior de la circunferencia con ecuación
x2 +Y2
= 1
y ,
de
manera semejante, los puntos del hemisferio sur de la esfera quedarían asignados a
los puntos que se encuentran en el interior de la circunferencia mencionada. En cuan-
to a los puntos del ecuado r de la esfera, la correspondencia sería con e llos mismos.
En estos términos, definimos un punto del plano complejo, al cual llamaremos
punto
del infinito y denotaremos por
o c
como aquel q ue bajo la correspondencia descrita
51
(2.27)
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
http://slidepdf.com/reader/full/variable-compleja-la-derivada 30/47
N
de la superficie esférica. A la correspondencia biunívo-
proyección estereográfica,
a la esfera
esfera de Riemann y
al plano complejo,junto con el punto del infinito, se
plano complejo extendido.
Si
£
es un núm ero positivo pequeño, b ajo la proyección estereográfica, los puntos
xteriores al círculo
I z i
>
1/e, corresponderían a puntos sobre la esfera que se en-
uentran muy próximos al polo norte
N.
Se puede definir entonces el conjunto de los
números z q ue satisfacen
1
Iz>-,
£
como un entorno del punto
co.
Volviendo a la definición de limite, analizamos ahora la expresión (2.27) para el
caso en que w o es el punto del infinito. Considérese la igualdad
lím
f(z)
=0o
2.28)
z-.zo
En términos de la definición tenemos que la igualdad se cumple si para cada e
>
O
existe un número positivo 3 tal que
1
If(z)I>
-, 2.29)
siempre que O
<
I z -
zo
< 3
. Ahora bien, la desigualdad (2.29) es equivalente a
If(z)H <e,obien
Se concluye de aquí que
lím
f(z)
= co
i y sólo si
ím ---- = 0.
2.30)
z-zQ
-zo
f(z)
De manera semejante se puede establecer que
límf(z)
= wo
i y sólo si
ímf () =
wO,
2.31)
52
y, combinando (2.30) y (2.31) se puede llegara que
1
z_
ímf(z)
= oc
i y sólo si
ím f(i/)
= 0
z_—
Ejemplo 2.16. Sea
f
la función definida por
iz
+3
entonces, lírnf(z)
= co,
ya que de (2.30) resulta
1z+1
- 0,
=
iz + 3
cuando z tiende a -1; esto es lím
7 C 5
= 0. De manera semejante, si la función
f
se
define por
2z +
i
resulta
iímf(z)
= 2, ya que por (2.3 1) tenemos
- 1\ (2/z)+i
2 + iz
hmf - = lim
lim
2.
z—.O \ZJ
— O
(1/z) + 1
— + O
1 +z
Definición 2.10.
Se dice que
una función
f
es continua en un punto zo
de su dominio
si para todo número positivo
e existe un 3
>
O tal que
f(z)
—
f(zo)
<E
2.33)
siempre que
Iz - z
o
< S . Si la función es continua en cada punto de una región
R
decimos quef es continua en R.
Aún cuando los conceptos de límite y de continuidad de una función en un pun-
to son totalmente diferentes, se puede observar que exiten también semejanzas entre
ellos. En virtud, de tales semejanzas, los resultados obtenidos en el teorema 2.2 para
límites se extienden fácilmente al caso de la continuidad. Así, se puede afirmar que la
suma, la diferencia, el producto y el cociente (cuando la operación tiene sentido) de
funciones continuas, es una función continua. Las pruebas de estas afirmaciones son
totalmente semejantes a las presentadas en el teorema m encionado.
53
(2.32)
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
http://slidepdf.com/reader/full/variable-compleja-la-derivada 31/47
La composición de funciones continuas es una función continua.
w
= f(z)
una función definida en todos los puntos z de un cierto entorno del
g(w)
una función cuyo dominio de definición contiene la imagen de ese
o
está definida en todo z del entorno propuesto.
f
s continua en zo y que g es continua en wo =
f(zo).
Entonces, para
E >
O existe un número positivo 6' tal que
La prueba de este teorema es totalmente análoga a la del teorema 2.3 correspondi-
ente a límites.
Volviendo al concepto de continuidad, se observa que si la función
f
está definida
en un cierto entorno del punto zo, entonces,
f
es continua en zo si, y sólo si
límf(z)
=f(zo).
2.36)
z - . z o
(gof)(z) - (
g
of)(zo )
=
g(f(z))
—
g(f(zo))I
= g(w)—g(w0)
<
E ,
Como una consecuencia directa de esta observación se puede afirmar, sin entrar en
mayores detalles, que los polinomios complejos son funciones continuas en todo el
plano y que los cocientes de polinomios
(funciones racionales),
también lo son, excep-
to en aquellos puntos que corresponden a raíces del denominador. Del mismo modo,
en virtud del teorema 2.4 tenemos que la función
f
efinida por
f(z)
—
f(zo)J
< 6'.
2.34)
(z)
= ¿)' + isen(x
2 - 2xy
3 ),
6'
existe un
6 >
O tal que ( 2.34) se verifica
I z — z o 1
<6. Luego, dado
E
>0 existe un
6
>0 tal que
(gof)(z) - (
g of)(z o )
<
E,
Iz
—
zO
<6.
2.2. Si
f
es una función continua y no nula en un punto
zO,
entonces,
0
O en algún entorno de ese punto.
f
s continua en zo, tenemos que para cada
E
>
O existe un número
6
tal que
If(z)
— f(zo)l <E,
I z
- Zo
< S. Elegimos E =
If(zo) /2, según lo anterior, resulta
lf(z)
—
f(zo)l <f(zo)I,
2.35)
I z - z o I
< 6.
Si
f(z) fuera cero en algún z de este E-entorno, se llegaría a
a la proposición.
Una función
f(z)
=
u(x , y ) + iv(x , y )
es continua en un punto
zO =
funciones componentes
u y y
lo son allí.
es una función continua en todo punto del plano complejo. En el siguiente enunciado
referente a continuidad de funciones, se presenta uno de los resultados más impor
-
tantes para las aplicaciones del análisis numérico.
Teorema
2.5.
Supóngase que
f
es una función continua en una región cerrada y aco-
tada R
del plano complejo. Entonces, exite un número real no negativo
M , tal que
f(z)
<M,
2.37)
para todo z de
R.
Otro concepto importante en las aplicaciones es el que se describ e en seguida.
Definición 2.11.
Se dice que una función
f
es
uniformemente con tinua en una región
R
del plano complejo si para todo número positivo
E
exite un número positivo
6 tal
que la desigualdad
lf(z2)
— f(zi ) I
<E,
se cumple para cualesquiera dos puntos zi y Z2 de
R
para los cuales 1Z2
- Zi
< 6.
Corolario 2.1. Si
f
es una función continua en una región cerrada y acotada
R del
plano complejo, entonces,
f
es uniformemente continua en
R.
54
5
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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1. Pruebe que si z O es un nú mero complejo tal que I
z 1
< 1, entonces
izk=_L
k=O
2. Sean
R
una región cerrada y acotada del plano complejo y
f na función con-
tinua en R.
Demuestre que existe un número positivo
M tal que
lf(z) 1
M , para
todo z en
R.
3. Sean
f
g dos funciones complejas de variable compleja y suponga que
límf(z)
= O .
Z •- Zø
Establezca las condiciones sobre la función g bajo las cuales
lím
(f(z)g(z))
=
O .
Z
- Z O
. Suponga que a,
b, c
y
d
son números complejos tales que
ad-c
O, y sea
f
la función definida por
f(z)
=
(az +
b)
/
cz
+
d). Demuestre que
(a )
Si
c
=
O, entonces,
límf(z) =
oo.
(b ) Si c
O, entonces, límf(z)
= a/e y lím
f(z)
= 00
Z°°
-—d/c
Justifique las siguientes igualdades:
(a) lím
z 2
-
(b)
lim
00
z
2z— l ) 2
-
— * i
z 2
+l
Z 2
+ i
(c)
lím
0
z
00
z—1
f(z)
=
u(x,y) +iv(x,y),
acotada
R
del plano complejo, entonces,
v
2
es una función uniformemente continua en
R
y alcanza un máximo en algún
decir, existe una constante no negativa
M ,
del tal forma que
6.
Sea p el polinomio complejo dado por
p(z) =
ao + az + + az y supon-
ga
que la o
~: lai
+
l a , , 1 .
Demuestre que p no tiene raíces en la región
R
=
{z/Izl
< 1}.
7.
Determine los valores de
z
para los que lim(z/z)'
2
tiene módulo finito.
8.
Sea
f
a función compleja de variable compleja definida por
(a) f(z)zRez
z 2
Rez)(Imz)
-
b) f(z)
=
c) f(z)
=
z 2
(d) f(z)
= (Rez) 2 — (Imz) 2
Pruebe que
f
s continua en todo z O. ¿ Es posible definir
f
n z =
O de tal
forma que sea continua allí?
9.
Sea z =
(x ,y)
un punto en el plano co mplejo al cual, bajo la proyección es-
tereográfica le corresponde el punto
P
= ,
7, Ç) de la esfera de Riemann.
Demuestre que los componentes de
P
en términos de x y y están dados por
2x
y
2 +y2 -1
x2 +y2
+l
2 +y
2
+1
2
+y2 +1
Obtenga las relaciones que definen x y y en términos de 1
1 7
y Ç.
10.
Determine los conjuntos de puntos en el plano complejo en los que, bajo la
proyección estereográfica, se transforman los paralelos y los meridianos de la
esfera de Riemann. ¿Cómo se transforman en el plano complejo b ajo dicha
proyección, las circunferencias, en general, en la esfera de R iemann?
11.
Si z i y Z 2 son las proyecciones estereográficas de los extremos de un diámetro
de la esfera de Riemann y si la esfera se gira un ángulo 6 respecto a dicho
diámetro, demuestre que
W — Z 1
—
Z 1
=
exp
WZ2 Z2
donde w
=
f(z)
es la transformación inducida por una rotación arbitraria de la
esfera, alrededor de un diámetro.
56
7
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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La derivada de las funciones complejas.
2.12. Sea
f
una función compleja de una variable compleja y sea zo un
f.
Supóngase que el límite
f'
zo)
= lfm
f(z)
—
f(zo)
Z-ZQ
—Zo
límite es
la derivada de
f
en
z o y
que
f
s
djferen-
en
z o .
Empleando la transformación Lz = z - zo, se puede expresar el límite
f'(zo)
en la
f'(zo)
= lím
f(zo+Lz)—f(zo)
LZ
f
se puede construir una nueva función
f
ediante
- f(z+z)—f(z)
f'(z) =
lim
2.39)
A z — O
z
f(z) = w y f(z
+
Lz)
- f(z) = Aw,
queda como
-
f (z) =
lim
1w
A z — O
LZ
A la función
f
efinida en (2.39) se le denomina la
derivada de la función
f
los puntos de una cierta región
R
se dice que
f
es
Otra flotación comunmente empleada para la derivada de
f
es
df(z) /dz;
es decir,
= df(z)
''
z
f'(zo) = df(zo) - df(z)
dz - dz
Z=ZØ
Como ocurre en el análisis real, resulta relativamente sencillo probar que si
c
es
una constante compleja y si
f
s una función compleja de una variable compleja,
diferenciable en z, entonces
-(cf(z))
= C
df(z)
2.40)
dz
z
ya que
d
m
c hm
f(z +
iz) - cf(z)
(z
+Lz) -
(z)
dz z — O
Z
z—.O
z
que corresponde a la expresión (2.40).
También se puede probar que la diferenciabilidad de una función
f
n un punto z
implica la continuidad de
f
n dicho punto. Para ello tenemos que
lím(f(z)
—f(zo))
= iím(
f(zo)
(z—zo))
z — z o — • z o
- ZO
f(z)
—
f(zo)
= (lím
( l ím(z— zo))
z — z o
- ZO
- Z Ø
= f (z)O
=0,
y por tanto
límf(z)
=f(zo)
,
z — . z o
que es precisamente la igualdad (2.36).
Otras propiedades importantes de las derivadas de las funciones complejas de una
variable compleja se da en el siguiente teorema. Se podrá observar de inmediato que
éstas tienen su expresión correspondiente para el caso real; de hecho, las propiedades
que aquí se presentan deben reducirse a las de las derivadas de las funciones reales de
variable real, cuando la parte imaginaria de los nú meros involucrados sea nula.
Teorema 2.6.
Si
f
y g son funciones complejas de una variable compleja, diferencia-
bles en z, entonces,
(2.38)
58
11
9
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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dz
nz
n-'
2.41)
Definiendo
f(z) =Z
n
,
tenemos que
f(z+Az)—f(z) =
( z +Az )z z
()z
z)_Z
n
k
' (
n)Zn-kNZk.
Ejemplo 2.18. Demuestre que si n es un entero positivo, entonces,
d df(z) + dg(z)
(a)
(f(z)+g(z))— dz
z
(b) (f(z)g(z)) =f(z) g (z)
f(z)
---+g(z) dz
, entonces,
(c)
d (f(z»
=
g(z)f'(z) — f(z)g'(z)
dz g(z
g(z))
2
en el inciso
(c).
Para ello suponemos que
g(z) O
g(z + Az)
no se anule. Definimos una
Ø
como Ø = f/g,
quedando entonces que
d (f (z) )
--
lím
(z+Az)-4(z)
dz g(z)
z-O z
Ahora, dividiendo la igualdad por
Az,
encontramos
f(z+Az)—f(z)
Az
)zn-z-i
k=]
(z+Az) —(z) - f(z+Az)f(z)
- g(z+Az) g(z)
= g(z)f(z+Az) —f(z)g(z+Az)
g(z)g(z + Az)
1
(f(z+Az) —
f(z)) -
= g(z+Az)
g(z)g(z±Az) (g(z+Az) —g(z)).
g
es continua en z y que, por tanto, g(z + Az) ----> g(z)
cuando
al dividir por
Az
toda la expresión anterior y tomar el límite cuando
Az
tiende
dØ(z) - f(z) - f(z)g'(z)
dz - g(z)
g(z)) 2
(c)
del teorema.
fl
n_2A++I
n _ 1
=
)
2
Como puede verse aquí, excepto el primer término del miembro derecho, todos van
multiplicados por alguna potencia positiva de
Az,
de manera que todos ellos se anulan
cuando
Az -
0. Se sigue de aquí (2.41).
De la expresión
(a)
del teorema 2.5
y
de las igualdades (2.40)
y
(2.41) se deduce
que si P
es el polinomio complejo definido por
P(z)
=
Lakzk,
entonces,
dP(z)
dz -
akz''
k = 1
60
1
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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Determine la derivada, en caso que exista, de la función
f
efinida por
=
1 z 1 2 .
Se tiene para este caso que
Teorema
2.7. Supóngase que
f y g
son funciones tales que
f
tiene derivada en
Zo y
g
tiene derivada en
f(zo).
Entonces, la composición
g f
tiene derivada en zo y
f(z + ¿z) - f(z) -
Iz + \zI
2
_
z1
2
tz
A Z
- (z+z)(z+iz)—z
Lz
Lz
=
LZ
Lz
a cero a través de
Lz = Lz y,
por tanto,
- f(z + Az) - f(z)
hin
+z.
A z — * O
z
Az -+ O
a través de puntos de la forma (O,
Ay) , nos queda
= —Az
resultando en este caso que
lím f(z+Az)—f(z)
Lz-.O Z
valor de z en el cual coinciden estos límites es z = O, concluyén-
el origen y
Esto último se obtiene también fácilmente a partir de la igualdad (2.38),
Tomando en cuenta que la función tratada en el ejemplo anterior es continua en
continuidad y diferenciabilidad de una función: si
f
es
Z o
del plano complejo, entonces, es continua en
sin embargo, la continuidad de
f
en
Z o
no garantiza su diferenciabilidad allí.
A continuación establecemos la regla de la cadena para funciones complejas de
para calcular derivadas.
62
(gof)'(zo) =g'(f(zo))f'(zo).
2.42)
Dado que
g
es diferenciable en el punto wo
= f(zo),
tenemos que existe algún
--entorno de este punto que está contenido en el dominio de
g.
Así, para cada
w de tal
entorno se define una función G mediante la expresión
g(w)11(W0)
G(w)
= g'(wo) uando
/=wo
w
-
= O
uando
=wo.
Se observa que esta función es continua en w, ya que
lím
G(w)
= O.
w—*w0
Ahora, en la expresión dada para G podemos sumar a ambos lados la cantidad
g' (wc)
y podemos después m ultiplicar el resultado por
w - wo para ob tener
g(w) - g(wo) = (G(w) + g'(wo))(w-
wo),
2.43)
igualdad que es válida aún cuando
w
= w o. Por otra parte, en virtud de que
f
es
continua en zo, correspondiendo al e citado antes existe un número positivo 3 tal que
w
-
o
<e siempre que
I z - z o 1
<. Para cada z en ese 5-entorno tomamos
f(z)
= w
y escribimos la igualdad (2.43) en la forma
g(f(z)) —g(f(zo)) = (G(w) +g'(f(zo))(f(z) — f(zo)).
De esta forma, tomando en cuenta que
g(f(z)) - g(f(zo)) = (go f) (z) - (gof)
( z O )
al dividir la igualdad anterior por
z - Zo y
tomar el límite cuando z --> zo, llegamos a la
expresión (2.42).
Con los elementos que se han podido desarrollar hasta el momento, es posible cal-
cular ya la derivada de una cantidad considerable de funciones. Vemos por ejemplo
que, combinando la igualdad (2.41) con la expresión
(c) del teorema 2.5, podemos
derivar cualquier función que esté dada como un cociente de polinomios comple-
jos. Si adicionalmente se emplea la expresión (2.42), el nú mero de funciones que
se puede derivar aumenta sustancialmente. Los siguientes ejemplos ilustran algunas
aplicaciones de los elementos citados.
63
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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2.
Pruebe que el teorema del valor medio para funciones reales de variable real no
se extiende al caso de funciones complejas de una variable compleja, haciendo
ver que si
f(z) =
Z
3
,
Zi
= 1
y
Z2 =
i, entonces, no existe un punto zo sobre el
segmento de recta que une los puntos
Zi y Z 2 ,
tal que
2.20. Considérese la función
F definida por
F(z)
=(Z2_).
f y g
como
f(z)=z2_,
(z)=z4,
F = g o f,
de manera que, de la expresión
(2.42) se obtiene
F'(z) = (gof)'(z)=g'(f(z))f'(z)
-
4(z2
1)3 d
(Z
2 _
'
z dz
)
4
3
= -(z —1)
3
(2 z 3 +1).
2.21. Sean
f y g
las funciones definidas por
f(z)=—,
(z)=z2_
o f.
Se observa que g
o f = f 2
+ f
o
f,
de manera que para la derivada se obtiene
o bien
2
(gof)'(z) = 1
.
2.4.
1. Demuestre que si todas las raíces de un polimio complejo p tienen parte real
negativa, entonces, lo mismo ocurre con la derivada p' de
p.
f(z2)
—
f(zj) = (z2
—
zi)f
'
(
zo).
3. Sea p el polinomio complejo dado por
p(z) = ao + al z + +
az' .
Demuestre
que los coeficientes ao, ai,. . . a, de p se pueden escribir como
ak= k
=O,1 .... n.
4. Obtenga la derivada de la función
f,
cuando
(a)
f(z)=(2z
3
+1) 5
,
b) f(z)= (z2+1)2'
c) f(z)= 2-3z2
(z-1) 2
5.
Pruebe la expresión dada en el inciso
(b) del teorema
2.6.
2.5.
Las
ecuaciones de Cauchy-Riemann
En esta sección se presentan condiciones necesarias y suficientes para garantizar
la existencia de la derivada de las funciones complejas de una variable compleja. A
través de la teoría que aquí se desarrolle, nos daremos cuenta que, a diferencia de lo
que ocurre con las funciones tales de variable real, en el caso complejo no es sencillo
construir funciones diferenciables. Dada f = u + iv, para garantizar la existencia de
J', las funciones componentes u y y deben cum plir con ciertos requerimientos.
Teorema 2.8. Supóngase que la función
f(z) = u(x,y) + iv(x,y),
64
5
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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f
zo) existe, de manera que podemos hacer que Az tienda a O en
hm
f(zo+Lz)—f(zo)
Az
(2.48)
ismo. Por ejemplo, si hacemos que Az - O a través de puntos de la forma
u(xO
+ Ax,yo) -
u(xo,YO)
(xo
+ Ax,yo) - v(xo,yo
f'(zo)
= lím
z hm
A X
x-.O
X
= Ux(X0,YO)
+ivx(XO,yO),
¡yo,
entonces, las primeras derivadas parciales de
u y y
existen en (xo,yo) y satisfacen las expresiones
que corresponde a la expresión
(2.45).
Ahora bien, si para hacer que Az -* O, en vez
de tomar puntos sob re el eje real se eligen puntos sobre el eje imaginario; es decir,
puntos de la forma (0, A
y
), de (2.47)
y
(2.48) nos queda
y
,
y
= - VX,
2.44)
f' (zo)
se puede escribir en la forma
f'(zo) =u(xo,
Y O )
+iv(xo,yo),
2.45)
f'(zo)
= Vy(XO
,
yo)
¡UY (XO,yo).
2.46)
Escribiendo Az =
A x
+
¡Ay
y tomando en cuenta que en términos de
u y y
la
f
aluada en zo + Az queda como
f'(zo)
= lím
u(xo,yo+ AY)
—u(x0,yo)
+i
lím
v(xo,yo+
AY)
—v(xo,yo
Ay—O
A y
-.O
A y
= Vy(xO,yo) -
iV
y
(XO,yO),
que es la igualdad (2.46). Finalmente, de (2.45)
y
(2.46) se deduce que en el punto
(xo,yo) se verifican las igualdades
u
x
=
v,
y
u,
=
— v
s
,
como se quería probar.
Definición
2.13. A las expresiones dadas en (2.44) se les conoce com o
ecuaciones
de Cauchy- Riemann.
I
eorema
2.9. Supóngase que la función compleja de variable compleja
f
xpresada
como
f(z)=u(x,y)+iv(x,y),
(2.47)
stá definida en todo punto de algún s-entomo de
Zo
= xo
+ ¡ yo
. Supóngase además
que las funciones uy
y
tienen primeras derivadas parciales continuas en (xo,yo) y que,
en dicho punto, satisfacen las igualdades (2.44). Entonces,
f'(zo)
existe.
En virtud de que
u
y
y
son funciones continuamente diferenciables en (xo,yo),
para todo punto
(xO
+
Ax,yo
+ Ay) podemos escribir
A u
= ux(xo,yo)Ax+uy(xo,yo)Ay+
IAzIsj,
2.49)
A v
=
vx(xo,yo)Ax+vy(xo,yo)Ay+
AzIe2,
donde Az = Ax +
¡Ay es tal que O
< lAz1 <e y
e1 y £
2 son funciones de Ax y Ay tales
que
líme=O,
=1,2.
Ahora bien, dado que Aw =
f(zo
+ Az)
- f(zo)
= Au +
¡Av,
de las igualdades
(2.49) resulta
A w
=
(u1(x01yo)Ax+u(x0
1
yo)Ay-i_
lAzici)
+i(vx(x0,yo)Ax+v y
(x0,yo)Ay+IAzIe2)
=
(u
x
(xo,yo) +ivx
(xo,yo))Ax+ (u
y
(xo,yo) +iv(xo,yo))Ay+ (e
+ie2)IAzI,
66
7
f(zo
+ Az) =
u(xØ
+ Ax,yo + Ay) +
iv(xo +
Ax,yo + Ay),
f(zo+Az) —f(zo)
-
(x o +Ax,yo+AY)
— u(xo ,
Y O )
Az
x+¡Ay
v(xø+Ax,y0+ AY) —v(xø,yo
+i
x+¡Ay
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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quedando de las ecuaciones de Cauchy-Riemann (2.44) la expresión
= (U
(xo,yo) +iv
x (xo,yo))I.\z+ (s
+i2) IL\zI.
IzI
\z es igual a 1, al dividir la expresión anterior por Az
ímite cuando Lz — > 0, obtenemos
Lw
f'(zo)
= lím - =
Ux(xO,yo)
+
iv
x
(xo,yo),
L\z—O ¿Z
o el teorema.
Quedaría fuera de toda discusión la utilidad que representaría el poder manejar
expresiones
(2.45)
y (2.46) en coordenadas
a este objetivo.
Considérese la función compleja de una variable com pleja
f
ada por
De manera análoga para la función y
resulta
( Vr )\
cose
eno
\
( v
V
e —
—rsenø rcosO )
\ v,
Ahora, si
r >
O la matriz que aparece en estas igualdades es inversible, con inversa
i( rcosø —seno
r
rsenø cosO
de manera que se pueden obtener la derivadas parciales de
u
y
y respecto a x y y, en
términos de las parciales respecto a r
y O, a partir de
u
x
l(rcosø
—seno \(ur
UY j =
senO cosO
u0
2.50)
v
x
1/rcosO
—senO\/v,
'\
y
)
=
\ rsenO cosO
V O
f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
upóngase que u
y
y
satisfacen las ecuaciones Cauchy-Riemann en un punto dado
0, entonces, de la primera ecuación (2.44)
y
de las expresiones (2.50) se obtiene
U rCO5 O —
enO
= Vr
sen O +
V9
O ,
lo cual es equivalente a
(ur_
ve)cos6_(uo+V
r
)senO=O.
Evidentemen te, esta igualdad se cump lirá para todos los valores de O si y sólo si se
verifican las igualdades
1
Ur =V9,
9
r,
2.51)
r
que representan las
ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar.
Por otra parte, usando nuevamente las expresiones (2.50) para calcular
u., y v,
encontramos
u + iv = u cos O
-
1
u 0 senO +
i(vrcosO - . 9
senO),
x=rcosO,
=rsenO.
u
y
y
en términos de las variables r y 6 resulta
u(x,y) = u(x(r,O),y(r,O)),
v(x,y) = v(x(r,O),y(r,6)),
u
las expresiones
9 u
udx t9udy
=
+--
=ucosO+usenO,
r dyar
au cudxduy
do
dX de ay do
atricial como
( Ur
)
COSO
en O \ (
u,
u
—rsenø rcos6 )
k
U Y
68 9
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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(2.51),
se puede llevar a la forma
ux
+ivx
=UCOSØ+VrSenO+ZVrCOSØ
r
SenO
= (u
r
+ivr
)(cosø-isenü)
=e
°
(u r
+ivr ).
f
es diferenciable en el punto z =
re
i0
(z
O), entonces
f'(z)
= e
°
(u r
(r,6) +iv
r
(r,O)).
2.52)
-jo
-----(uø(r,9) +ivo(r,O)).
2.53)
2.22. Para todo número z =
re
io
con
r> O y — 2v <
O < 7r, se define la
f
mediante
f(z)=fz.
.fre
°
" 2 ,
tenemos
(e
f(z)=ficos
+isen-
u(r,O)
=/cos-, (r,O)
= [rsen
Ur) Vr
y sustituyendo en (2.52)
encontramos
e
°
f'(z) =—
cos-+isen-
2\ .
1
= 2(rei
)
1
Definición 2.14.
Una función compleja de una variable compleja f se llama
analítica
en un conjunto abierto S si es diferenciable en S. En particular se dice que f es analíti-
ca en un punto
zo si es diferenciable en un entorno de z. Si
f
es analítica en todos los
puntos del plano complejo finito, decimos que
f
s una función entera.
En términos de esta definición se debe entender que si se hace referencia a una fun-
ción analítica en una región cerrada, dicha región será un subconjunto de una región
abierta en la que
f es analítica.
Definición 2.15. Sea
f
una función compleja de una variable compleja y sea zo un
punto tal que
f
o es analítica en
Z o
pero lo es en un punto de todo entorno de zo. Se
dice entonces que
Z o
es un punto singular de
f
que es una
singularidad de
f.
En virtud de las propiedades de la derivada de las funciones complejas de una
variable compleja, establecidas en los Teoremas
2.5 y 2.6,
se deduce que la suma, el
producto y la com posición de funciones analíticas son, a su vez, funciones a nalíticas.
Lo mismo ocurre para el cociente, el cual es una función analítica en todos los puntos
donde no se anula la función del denominador.
Ejemplo
2.23. Considérense las funciones
f(z)
= 2 ,
(z) =
y sea P el polinomio complejo dado por
P(z)
= Lakz
k .
Como se vio en el ejemplo
2.19,
la función
f
ada aquí tiene derivada ú nicamente
en el punto z = O, de manera que no es analítica en ninguna parte. En cuanto a g,
ésta es analítica en cualquier región en la que no se encuentre el punto z = -
2i;
dicho
punto es una singularidad de g ya q ue, para todo núm ero positivo s, el conjunto de
los puntos z tales que O < Iz
+ 2i1
<s, contiene un punto donde g es analítica. En
referencia al polinomio P,
tenemos que éste es diferenciab le en todas partes y, por
tanto, es una función entera.
Teorema 2.10.
Sea
D
un dominio en el plano complejo y supóngase que f es una
función tal que
f(z) = O, para todo z de D.
Entonces,
f
es constante sobre
D.
70
1
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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f a representación
f(z) = u(x,y) +iv(x,y).
= O para todo z de D,
según las expresiones (2.45)
y (2.46) nos queda que
u,
=
v =
v,
= O, luego, las derivadas direccionales de
u y y
se anulan en todo
D,
en cualquier dirección. Se infiere de aquí que para ciertas constantes a y
y y = b; esto es
f(z) =
a +
ib para todo z de D,
como se quería probar.
Sea h
una función real de dos variables reales, dos veces contin-
h es armónica en
S si
h.+ h
y
= 0,
2.54)
Supóngase que
f(z)
= u(x,y)
+
iv(x,y) es una función analítica en
D
y que las derivadas parciales de segundo orden de
u
y
y
son continuas
entonces, las funciones
u
y
y son armónicas en
D.
continuidad de las segundas derivadas parciales de
u
y
y
en
D
u
xy
= Uyx
y
v, =vyx en todo
D.
Derivando la primera ecuación (2.44)
u
+
v
+
v
= O, que es lo
2.24. La función
u
definida por
u(x,y)
=
eY(2xycosx+ (x
2
—y 2 )
seny),
todo el plano complejo ya que es la parte real del producto
f y
g, donde
f(z) = —
iz 2 ,
(z) =
e(cosx+isenx).
h dada por
h(x,y)
=ln\/x
2
+y
2
,
contenga el punto z = 0.
Definición 2 17
Si dos funciones
u
y
y
son armónicas en un dominio
D y si sus
primeras derivadas parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en
D,
se
dice que y es una armónica conjugada de u.
De esta definición es prácticamente inmediato el siguiente resultado.
Teorema 2.12.
Una función
f(z)
= u(x,y) + iv(x,y)
es analítica en un dominio D y
sus funciones componentes
u
y
y
son dos veces continuamente diferenciables en
D si ,
y sólo si
y
es una armónica conjugada de
u.
Se verifica fácilmente que si una función
y
es una armónica conjugada de otra
función
u
entonces,
— u
es una armónica conjugada de
y.
Esto se deduce del teorema
anterior y del hecho que si
f
es una función analítica en un dominio
D,
entonces, -
if
es también analítica en
D.
Las funciones u
y
y
serán armónicas conjugadas una de la
otra, únicamente en el caso en que am bas sean constantes.
A diferencia de lo que ocurre en el análisis real donde "usualmente" las funciones
que se construyen resultan ser derivables, en el caso complejo esto no es así. Se ob-
serva de los teoremas 2.8 y 2.9 que para poder garantizar la diferenciabilidad de la
función
f(z) =u(x,y)+iv(x,y),
2.55)
al proponer una de las funciones
u
o y,
la otra no se puede elegir arbitrariamente, sino
que deber ser tal que se satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann (2.44). Sin em-
bargo, dada una de estas funciones es posible construir la otra de tal forma q ue la suma
u + iv
sea analítica, imponiendo únicamente ciertas condiciones de integrab ilidad a la
función dada. Supóngase por ejemplo que se conoce
u,
el problema consiste entonces
en encontrar una
y
que sea una función armónica conjugada de
u.
De esta forma, si se
han de verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann de la primera igualdad (2.44) nos
queda
y
v(x,y)=f u(x,)di+(x),
2.56)
donde
Ø
es una función que depende sólo de x. Ahora, dado que
v
x
(x,y)
=
fux
(xti)dii +'(x),
72
3
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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= _uy(x,y)
-
f
u.(x,n)dn
4 , la expresión
Ø(x)
=c_fXuy(,y)d_fXu()d
c
es una contaste arbitraria. Finalmente, sustituyendo este resultado en
(2.56),
x
v(x,y)=c_f u
y
(y)d+f ux(x
7
1)d?1_f d1
2.57)
estas funciones,
u
y
y
la
f
ada en
(2.55) es una función
donde existan las integrales involucradas en el
2.25. Sea u
la función definida por
u(x,y)
=
y3
- 3x
2 y.
2.58)
y
que sea una armónica conjugada de u.
De la función propuesta u
y de la primera ecuación (2.44) tenemos que
v y (x,y)
=
—6xy.
y
v(x,y) = —
3xy2+4,(x),
2.59)
0
es una función a determinar. Tomando en cuenta la segunda igualdad (2.44)
3y 2
-3x
=3y2 — Ø'(x),
74
de donde es inmediato que 4 ,
está dada por 4 , (x) = x 3
+ c,
donde
c es una constante
arbitraria. Sustituyendo ésta
4 ,
en (2.59) nos queda v(x,y)
= x 3 - 3x 2 + c. De esta
forma, la función
f
efinida por
f(z) =
y3
- 3x2
y +
i(x3
-
32 + c),
es una función entera, que se puede escribir como
f(z) =
i( z 3
+
c), ya que
y 3
-3x
2 y+i(x3
-3xy
2 +c) =
i(x3
_32
—i(y
3
—3 x 2
y) +c)
i(x
3
+3x
2
(iy) +3x(iy)
2
+ (
iy )
3
+c)
i((x+iy)
3 +c)
Ejercicios 2.5.
1.
Suponga que la función
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) es analítica en un dominio
D.
Pruebe que en
D,
el jacobiano de las funciones
u
y
y
respecto a las variables x y
y, es igual a
If'(z)12.
2.
Pruebe que no existe una función entera f uya derivada
f'
sea la función
f'(z) = Rez.
3.
Sea S el conjunto dado por S =
{z
= re
9
/r > ;O
<
0 <2Jr}. Demuestre que
la función g definida por g(z) = In r
+
iO
es analítica en S, con derivada g' (z) =
z_
1
. Pruebe entonces que la función compuesta g(z
2 + 1)
es analítica en la
región
R = {z/Rez > O,lmz >
O}, con derivada
2z/(z 2
+ 1).
4.
Considere la función
f
definida por
f(z) = \/
(Rez) (Imz)
1 .
Pruebe que en z = O
f
satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero que no tiene derivada allí.
5.
Suponga que la función
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) satisface las siguientes condi-
ciones en el punto z:
(a )
las funciones componentes
u
y
y
son diferenciables,
(b )
existe el límite
7 5
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
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lím
Étf(z)
Lz-O
LZ
Demuestre que o bien
f(z)
o bien
f(z)
es diferenciable en z.
Obtenga una armónica conjugada de la función
u
definida por
u(x,y) =x(1+ 22.
Suponga que
f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
es analítica en una cierta región
R.
De-
muestre que en todo punto de
R
se verifica la igualdad
49udu
vdv
ax ay
xdy
que relaciona dos funciones arbitrarias, queda como
u(x,y) = f(z) + g(). In-
versamente, pruebe que
si f y
g son funciones analíticas, entonces,
u (x , y ) =
f(z) +g(Z) es una función armónica.
12.
Suponga que
w = f(z)
es una función que transforma el círculo
I z I
= r,
del
plano z en la curva
C del plano
w.
Demuestre que la curvatura
ic
de C
está dada
por
1
+Re(zf )(z)/f'(z))
Jzf'(z)
13.
Demuestre que
si f
es una función analítica en una región
R,
entonces, existe
una función analítica
f*
en la región
R,
simétrica a
R
con respecto al eje real,
tal que
f(2) =f*(
z
)
.
Si f(z) = u(x,y) + iv(x,y),
encuentre una función
y
de tal forma que
f
sea
analítica en alguna región, cuando
(a) u(x,y)=esenx,
b) u(x,y) = cosxcoshy,
(c) u(x,y) =x/(x
2
+y2
).
Suponga que
f
es una función analítica en el interior y sobre la frontera de un
disco unitario. Suponga además que
lf(z)l
1 cuando
I z I
1 y que
f(0) = O .
Demuestre que If
(z)I IzI,
cuando
I z I
< 1.
Suponga que
fI,f2.....f,
son funciones analíticas y que
If(z1)I 2
+
If(z2)I 2
+
+
If(z) 12
es una función armónica . Demuestre que cada
fk
es constante.
.
Escribiendo
M )
= f(x,y) = f
demuestre que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se convierten en
0, en cuyo caso resulta g'(z)
= af/dz.
Demuestre que en este contexto, la
ecuación de Laplace queda como
a
2 u(x,y) /dzdz =
O, y su solución g eneral,
76
7
7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada
http://slidepdf.com/reader/full/variable-compleja-la-derivada 43/47
Bibliografía
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Polya-Latta, VARIABLE C OMPLEJA, Limusa, México, 1991.
78
9
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, función, 71
abierto, 32
acotado, 33
cenado, 32
cerradura de un, 32
conexo, 34
frontera de un, 31
imagen de un, 37
interior de un, 34
no acotado, 33
punto de acumulación de un, 33
punto exterior de un, 31
punto frontera de un, 31
punto interior de un, 31
continua, función, 53
continuidad, 43
continuidad de una función, 53
derivada, 58
de un cociente, 60
de un producto, 60
de una función, 58
de una suma, 60
desigualdad del triángulo, 17
diferenciable, función,
58
dominio, 34
ecuación(es) de
Cauchy Riemann, 67
una circunferencia, 15
una elipse, 19
una hipérbola, 19
una recta, 19
eje imaginario, 12
eje real, 12
entorno del punto
0 0 ,
52
esfera de Riemann, 52
fórmula de Euler, 22
forma exponencial de un complejo, 23
forma polar de un complejo, 20
frontera de un conjunto, 31
función armónica, 72
función armónica conjugada, 73
función compleja, 34
analítica, 71
continua en un punto, 53
continua en una región, 53
derivada de una, 58
diferenciable, 58
dominio de una, 35
entera, 71
límite de una, 43
recomido de una, 37
singularidad de una, 71
uniformemente continua,
55
función compleja de variable real, 36
función real de variable compleja, 36
funciones racionales,
55
imagen de un conjunto, 37
imagen inversa de un punto, 37
interior de un conjunto, 34
interpretación geométrica
de la suma, 13
de los números complejos, 12
del producto, 23
límite de una función, 43
módulo de un complejo, 13
número(s) complejo(s), 7
argumento de un, 20
campo de los, 8
conjugado de un, 13
forma exponencial de un, 23
forma polar de un, 20
igualdad de, 8
interpretación geométrica de los, 12
módulo de un, 13
operaciones con, 7
parte imaginaria de un, 8
parte real de un, 7
producto de, 7
raíces n-ésima de un, 25
suma de, 7
números imaginarios puros, 9
no acotado, conjunto, 33
parte imaginaria de un complejo, 8
parte real de un complejo, 7
plano
w, 37
plano z, 37
plano complejo, 12
plano complejo extendido, 52
polo norte, 51
potencias y raices, 19
proyección estereográfica, 52
punto de acumulación, 33
punto del infinito, 51
punto exterior de un conjunto, 31
punto frontera de un conjunto, 31
punto interior de un conjunto, 31
punto singular de una función, 71
raíces n-ésimas de la unidad, 25
raíces n-ésimas de un complejo, 25
recorrido de una función, 37
región, 34
regla de la cadena, 62
singularidad de una función, 71
topología básica, 31
transformación, 37
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Variable compleja: la derivada de Manuel
Valadez Rodríguez se termino de imprimir
en diciembre de 2010 en los talleres de
REGRADI, S.A. de C.V., Mendelssohn
no. 142, Col. Vallejo, Delegación Gustavo
A. Madero, C.P. 07870 México, D.F. Tel.:
551738 13.
La edición consta de 500 ejemplares y en
los interiores se utilizó papel cultural color
paja de 90 g, en los forros cartulina couché
cubierta brillante de 300g con acabado
plastificado mate.
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