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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU
DERIVADAS
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Definición de derivada
La derivada de una función es la razón de cambio de dicha función cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valores
de y, cuando x cambia una cierta cantidad.
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Primeros ejemplos
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan deduciendo un
procedimiento (regla) para resolverlas.
xxf 3)(
3dxdf
3)(
3xxf
512
)( x
xf
26)( xxf
2xdxdf
xdxdf
2
52
dxdf
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Sea la función:
La derivada de esta función es:
Regla para encontrar derivadas
dxdf
)x(f c x n
1n
dxdf 1ncnx
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Sea la función:
La derivada de esta función es:
Derivadas especiales
dxdf
)x(f c x 1
11
dxdf 0cx
cdxdf
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Sea la función:
Derivadas especiales
0dxdf
cxf )(
La derivada de esta función es:
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Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas
dxdf
)x(f 5 x 3
13
dxdf 215x
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Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas
dxdf
)x(f 3 x 4
14
dxdf 312x
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Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas
dxdf
)x(f 32 x
51
15
1
dxdf
5
4
152
x
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Derivada de una suma y diferencia de funciones
)()()( xhxgxf
Sea la función:
dxdh
dxdg
dxdf
La derivada de la suma o diferencia es:
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Ejemplos
675)( 2 xxxf
Sean las funciones:
710 xdxdf
1651034)( 256 xxxxxf
5201524 45 xxxdxdf
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Ejercicios propuestos
42
1
43
8)( xxxf
Deriva las siguientes funciones:
52
1
)4(43
21
)8(
xx
dxdf
xxxf 103)( 4
xxdxdf 512
5
5
34xxdx
df
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Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
)x(h)x(g)x(f
dxdh
xgxhdxdg
dxdf
)()(
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EjemploConsideremos el siguiente producto de funciones
dxdh
g)x(hdxdg
dxdf
)413)(58()( 22 xxxxf
Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
)26)(58()413)(516( 22 xxxxxdxdf
2323 130208206564208 xxxxx 2064195416 23 xxx
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Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:
)3)(4()( 2xxxf
)2)(4()3)(1( 2 xxxdxdf
22 283 xxx
383 2 xx
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Deriva este otro producto de funciones:
)2)(3()( 2132 xxxxxf
)4)(3()2)(36( 232214 xxxxxxxxdxdf
253253 412363126 xxxxxx
34224 523 xxx
Ejercicios propuestos
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Derivada de un producto de varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso
debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir
)()()()( xhxgxexf
dxdh
xgxexhdxdg
xexhxgdxde
dxdf
)()()()()()(
su derivada será:
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Ejemplo
Derivemos la siguiente expresión:
)5)(2)(3()( xxxxf
)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1( xxxxxxdxdf
)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx
)236()32)(5( 2xxxxxx
)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx
31203 2 xx
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Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
)x(h)x(g
)x(f
2)()(
xhdxdh
gxhdxdg
dxdf
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EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones
2354
)(xx
xf
Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
223
)3)(54()23)(4(
x
xxdxdf
2)()(
xhdxdh
gxhdxdg
dxdf
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Ejemplo
223
)1512(812
x
xxdxdf
223
7
x
Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.
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Ejercicio propuesto
Sea
11168
)(2
xxx
xf
2
2
)1()1)(1168()1)(616(
xxxxx
dxdf
2
22
)1(1168161616
xxxxxx
2
2
)1(10168
xxx
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Ejercicio propuesto
Sea
11
)( 3
3
xx
xf
23
2332
)1()3)(1()1(3
xxxxx
dxdf
23
2525
)1(3333
xxxxx
23
2
)1(6
xx
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Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta
función.
nxhxf )()(
dxdh
xhndxdf n 1)(
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EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones
2)45()( xxf
Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena
tenemos que
)5)(45(2 xdxdf
dxdh
xhndxdf n 1)(
)45(10 x
4050 x
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Ejemplo
Sea367)( 2 xxxf
61436721
2
12
xxx
dxdf
21
2 367
37
xx
x
367
372
xx
x
La función puede escribirse también de la siguiente forma:
21
2 367)( xxxf
y
367)( 2 xxxf
21
2 367)( xxxf
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Ejemplo
Sea
23
2
)6(63
)(xx
xxf
223
232232
1
23
2
)6(
)63)(6(2)63()6)(6()6(63
21
xx
xxxxxxxxx
xdxdf
43
22332
1
2
23
)6()63()6(6)6(
63)6(
21
xxxxxxxx
xxx
43
24243
2
23
)6()36369(366)6(
63)6(
21
xxxxxxxx
xxx
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Ejemplo
43
24243
2
3
)6()36369366)(6(
63
)6(21
xxxxxxxx
x
xx
43
423
2 )6()363()6(
63
121
xxxxx
x
23
4
2 )6(363
63
121
xxx
x
63)6(
36321
223
4
xxx
x
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GRACIASGRACIASGRACIAS