UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE TECNOLOGIA EN LA INDUSTRIA

INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS

MATEMATICA II

UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA

REGLA DE SIMPSON

LUIS RODOLFO MEMBREÑO ALCANTARA – 20151336UIGNACIO JOSUE OSEGUEDA MENDEZ – 20151316U

CRISBEL ALEJANDRA RUIZ VIVAS – 20151338U

01/10/2015 UNI𝜋 𝑑𝑥

MANAGUA, NICARAGUA; JUEVES 01 DE OCTUBRE 2015

REGLA DE SIMPSON

Contenido:

• Introducción.

• Demostración de la regla de Simpson.

• Ejemplificación.

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

Integrales de polinomios de 2do grado

Teorema: Integral de 𝑨𝒙𝟐 +𝑩𝒙 + 𝑪

Si P(x) = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶, entonces

𝑎

𝑏

𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏 − 𝑎

6𝑃 𝑎 + 4𝑃

𝑎 + 𝑏

2+ 𝑃 𝑏

𝑑𝑥UNI01/10/2015

Integrales de polinomios de 2do grado

Demostración

Si P(x) = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶, entonces

𝑎

𝑏

𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑑𝑥 =𝐴𝑥3

3+𝐵𝑥2

2+ 𝐶𝑥

𝑎

𝑏

… =𝐴(𝑏3−𝑎3)

3+𝐵(𝑏2−𝑎2)

2+ 𝐶(𝑏 − 𝑎)

… =𝐴 𝑏 − 𝑎 𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2

3+𝐵 𝑏 − 𝑎 𝑏 + 𝑎

2+ 𝐶(𝑏 − 𝑎)

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

Integrales de polinomios de 2do grado

Demostración

𝑎

𝑏

𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏 − 𝑎

62𝐴(𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2) + 3𝐵 𝑏 + 𝑎 + 6𝐶

… =𝑏 − 𝑎

62𝐴𝑏2 + 2𝐴𝑎𝑏 + 2𝐴𝑎2 + 3𝐵𝑏 + 3𝐵𝑎 + 6𝐶

… =𝑏 − 𝑎

6𝐴𝑎2 + 𝐵𝑎 + 𝐶 + 𝐴𝑏2 + 𝐵𝑏 + 𝐶 + 𝐴𝑏2 + 2𝐴𝑎𝑏 + 2𝐵𝑏 + 2𝐵𝑎 + 4𝐶 + 𝐴𝑎2

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

Integrales de polinomios de 2do grado

𝑎

𝑏

𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏 − 𝑎

6𝑃 𝑎 + 𝑃 𝑏 + 𝐴 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 + 2𝐵 𝑎 + 𝑏 + 4𝐶

… =𝑏 − 𝑎

6𝑃 𝑎 + 𝑃 𝑏 + 𝐴(𝑎 + 𝑏)2+2𝐵 𝑎 + 𝑏 + 4𝐶

… =𝑏 − 𝑎

6𝑃 𝑎 + 𝑃 𝑏 + 4 𝐴

𝑎 + 𝑏

2

2

+ 𝐵𝑎 + 𝑏

2+ 𝐶

… =𝑏 − 𝑎

6𝑃 𝑎 + 4𝑃

𝑎 + 𝑏

2+ 𝑃 𝑏

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

REGLA DE SIMPSON

Teorema: Regla de Simpson

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y n un número

entero par, 𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, es una partición regular del intervalo cerrado

[a, b],∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛, la regla de Simpson para aproximar 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 está dada por

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈𝑏 − 𝑎

3𝑛𝑓 𝑥0 + 4𝑓 𝑥1 + 2𝑓 𝑥3 +⋯+ 4𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

REGLA DE SIMPSON

Además, cuando 𝑛 → ∞, el lado derecho tiende a 𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Nota: Observe que los coeficientes en la regla de Simpson tiene elsiguiente patrón.

1, 4, 2, 4, 2, … , 2, 4, 1. Es decir los coeficientes de los sumandosextremos son 1, los sumandos impares tienen coeficiente 4, y lospares, coeficiente 2.

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

REGLA DE SIMPSON

Denominando

E: La suma de las ordenadas extremas,

I: La suma de las impares,

P: La suma de las ordenadas pares,

Se tiene la siguiente forma simplificada:

𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈

𝑏−𝑎

3𝑛𝐸 + 4𝐼 + 2𝑃 que se utiliza en la topografía

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥0

𝑥2

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈

… =𝑥2 − 𝑥06

𝑃 𝑥0 + 4𝑥0 + 𝑥22

+ 𝑃(𝑥2)

… =2∆𝑥

6𝑃 𝑥0 + 4 𝑥1 + 𝑃(𝑥2)

… =𝑏 − 𝑎

3𝑛𝑃 𝑥0 + 4𝑃 𝑥1 + 𝑃(𝑥2)

REGLA DE SIMPSON

Demostración

𝑃 𝑥 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥0 𝑥1 𝑥2

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

REGLA DE SIMPSON

Demostración (cuando n>2)

𝑥0

𝑥4

𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥0

𝑥2

𝑃 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2

𝑥4

𝑃 𝑥 𝑑𝑥

… =𝑏 − 𝑎

3𝑛𝑃 𝑥0 + 𝑃 𝑥2 + 4𝑃 𝑥1 + 𝑃 𝑥2 + 4𝑃 𝑥3 + 𝑃(𝑥4)

… =𝑏 − 𝑎

3𝑛𝑃 𝑥0 + 4𝑃 𝑥1 + 2𝑃 𝑥2 + 4𝑃 𝑥3 + 𝑃(𝑥4)

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

REGLA DE SIMPSON

Ejemplos:

0

4 ln(𝑥 + 𝑥2 + 1)

1 + 𝑥2𝑑𝑥 𝑛 = 4

0

4 ln(𝑥 + 𝑥2 + 1)

1 + 𝑥2𝑑𝑥 ≈

∆𝑥

3𝐸 + 4𝐼 + 2𝑃

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

n 𝑥𝑖ln(𝑥 + 𝑥2 + 1)

1 + 𝑥2

0 0 0

1 1 0.6638

2 2 0.5373

3 3 0.4264

4 4 0.3510

∆𝑥 =4 − 0

4= 1

REGLA DE SIMPSON

≈∆𝑥

3(0.3510) + 4(1.0902) + 2(0.5373)

≈1

30.3510 + 4.3602 + 1.0746

≈ 1.93𝑢2

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

REGLA DE SIMPSON

Ejemplos:

0

𝜋 21 + sin2 𝑥 𝑑𝑥 𝑛 = 4

0

𝜋 21 + sin2 𝑥 ≈

∆𝑥

3𝐸 + 4𝐼 + 2𝑃

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

∆𝑥 = 𝜋 2 − 0

4=𝜋

8

n 𝑥𝑖 0

𝜋 21 + sin2 𝑥

0 0 1

1 𝜋 81.000023464

2 𝜋 41.000093853

3 3𝜋 81.00020947

4 𝜋 21.0003753

REGLA DE SIMPSON

≈𝜋

24(2.0003753) + 4(2.000232934) + 2(1.000093853)

≈𝜋

242.0003753 + 8.000931736 + 2.000187706

≈ 1.57099

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

REGLA DE SIMPSON

Ejemplo 3

Estime el área de la superficie del Green de golf por la regla de Simpson.

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

𝑛 = 10

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛= 6

REGLA DE SIMPSON

=∆𝑥

30 + 0 + 4 7 + 6 + 15 2 + 23 2 + 3 + 2 7 + 6 + 10 + 25 2

=6

34 45 + 2 71 2 = 2 180 + 71 = 502

R// 1004 𝑝𝑖𝑒𝑠2

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015

GRACIA

LUIS RODOLFO MEMBREÑO ALCANTARA – 20151336UIGNACIO JOSUE OSEGUEDA MENDEZ – 20151316U

CRISBEL ALEJANDRA RUIZ VIVIAS – 20151338U

𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015