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CONTROL II UNIDAD II: RESPUESTA EN FRECUENCIA
UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD
INTRODUCCIN: Concepto de estabilidad.
Muchos sistemas fsicos son intrnsecamente inestables en lazo abierto e incluso
muchos sistemas se disean para sean inestables en lazo abierto.
Definicin: Un sistema estable es un sistema dinmico con una respuesta acotada
para una entrada acotada.
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En lo que se refiere a los sistemas lineales, se reconoce que el requisito de
estabilidad puede definirse en funcin de la localizacin de los polos de la
funcin de transferencia de lazo cerrado. Esta funcin se escribe como
( ) ( )
( )
( )
( ) [ (
)]
donde ( ) es la ecuacin caracterstica cuyas races son los polos del
sistema de lazo cerrado.
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La respuesta de la salida para una entrada impulso (cuando ) es:
( )
(
) ( )
donde y son constantes que dependen de , , , y .
Con el objeto de obtener una respuesta limitada, los polos del sistema de
lazo cerrado deben estar en la parte izquierda del plano .
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Por esto, una condicin necesaria y suficiente para que un sistema de
realimentacin sea estable es que todos los polos de la funcin de
transferencia del sistema tengan partes reales negativas.
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Respuesta al impulso de un sistema estable
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Respuesta impulso de un sistema estable.
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Si la ecuacin caracterstica tiene polos simples sobre el eje imaginario (eje
) con el resto de las races en el lado izquierdo del plano . La salida en
estado estacionario tendr oscilaciones mantenidas para una entrada
limitada, a menos que la entrada sea una sinusoide (la cual est limitada)
cuya frecuencia sea igual a la magnitud a las races del eje . Para este caso
la salida esta sin acotar. Para este caso al sistema se le denomina
marginalmente estable o crticamente estable.
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Por ejemplo: Si la ecuacin caracterstica de un sistema en lazo cerrado es:
( )( )
Se dice que el sistema es marginalmente estable.
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Si el sistema se excita con una sinusoide de frecuencia , la salida esta
sin acotar.
Respuesta al impulso de un sistema marginalmente estable
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Respuesta de un sistema crticamente estable a una entrada sinusoidal de
frecuencia 7
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Respuesta de un sistema crticamente estable a una entrada sinusoidal de
frecuencia 4.
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Para un sistema inestable, la ecuacin caracterstica tiene al menos una raz
en el lado derecho del plano o races en repetidas; para este caso la
salida esta sin acotar para cualquier entrada.
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CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ
Maxwell y Vishnegradskii consideraron por primera vez el problema de la
estabilidad de los sistemas dinmicos. A finales de la dcada de 1800, A .
Hurwitz y E. J. Routh publicaron por separado un mtodo para investigar la
estabilidad de un sistema lineal. El mtodo de la estabilidad de Routh-
Hurwitz proporciona una respuesta al problema de la estabilidad
considerando la ecuacin caracterstica del sistema, que en funcin de la
variable de Laplace se escribe como
( ) ( )
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El criterio de Routh-Hurwitz se basa en el ordenamiento de los coeficientes
de la ecuacin caracterstica
en una lista como sigue:
|
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Entonces las filas subsecuentes de la lista se completan como sigue.
|
|
donde
( )( ) ( )
|
|
( )( ) ( )
|
|
( )( ) ( )
|
|
y as sucesivamente.
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El criterio de Routh-Hurwitz establece que el numero de races de
( ) con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signo
de la primera columna de la lista
Para un sistema estable, este criterio requiere que no haya cambios de
signo en la primera columna. Este requisito es tanto necesario como
suficiente.
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Existen cuatro casos o configuraciones diferentes de la primera columna de
la lista que deben ser consideradas y tratadas independientemente, puesto
que requieren modificaciones adecuadas del procedimiento de clculo de la
lista.
1) Ningn elemento en la primera columna es cero
2) Hay un cero en la primera columna, pero otros elementos de la fila
que contienen al cero de la primera columna no son iguales a cero.
3) Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila
que contienen al cero tambin son iguales a cero.
4) Como el tercer caso, pero con races repetidas sobre el eje .
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CASO 1: Ningn elemento en la primera columna es cero
Ejemplo: Sistema de segundo orden.
La ecuacin caracterstica de un sistema de segundo orden es
( )
El arreglo de Routh-Hurwitz se escribe como:
|
donde:
|
| ( )
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|
El requisito para que un sistema estable de segundo orden es
simplemente que todos los coeficientes sean positivos o que todos
sean negativos.
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TAREA. Sistema de tercer orden
El polinomio caracterstico de un sistema de tercer orden es
( )
a) Encontrar el arreglo de Routh-Hurwitz
b) Encontrar las condiciones necesarias y suficientes para que el
sistema sea estable.
c) Analizar el siguiente polinomio caracterstico y determinar si es
estable o inestable.
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CASO 2: Hay un cero en la primera columna, con algunos elementos
de la fila que contienen un cero en la primera columna diferentes
de cero.
Si nicamente un elemento del arreglo es cero, este puede reemplazarse
por un numero pequeo positivo, , que se permite que tienda cero
despus de completar el arreglo.
Por ejemplo, considrese el siguiente polinomio caracterstico:
( )
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Se desarrolla el arreglo de Routh-Hurwitz :
|
|
|
| [( )( ) ( )( )]
|
| [( )( ) ( )( )]
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|
|
Por lo tanto ,
|
|
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|
| [( )( ) ( )( )]
|
| [( )( ) ( )( )]
|
|
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|
|
[( )( ) ( )( )]
|
|
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Resultado:
|
|
Hay dos cambios de signo debido a
. Por lo tanto el sistema es
inestable y dos races caen en la parte derecha del plano .
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Utilizando Matlab se tiene que los polos son:
0.8950 + j 1.4561
0.8950 j 1.4561
-1.2407 + j 1.0375
-1.2407 - j 1.0375
-1.3087
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CASO 3: Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la
fila que mantienen al cero tambin son cero.
Ocurre cuando todos los elementos de una fila son cero o cuando la fila
est constituida por un solo elemento que es cero. Esta condicin se
presenta cuando el polinomio contiene singularidades que se localizan
simtricamente respecto al origen del plano . Por tanto, el caso 3 ocurre
cuando se encuentran factores como ( )( ) ( )( ) .
Este problema s evita utilizando el polinomio auxiliar, ( ), que
precede inmediatamente al elemento cero en el arreglo de Routh-
Hurwitz. El orden del polinomio auxiliar siempre es par e indica el
nmero de pares de races simtricas.
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Para ilustrar este mtodo, se considera un sistema de tercer orden con
un polinomio caracterstico:
( )
donde es una ganancia ajustable del lazo. El arreglo es entonces:
|
Por tanto, para un sistema estable, se requiere que:
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Cuando , se tienen dos races en el eje y un caso de estabilidad
marginal. Obsrvese que se obtiene una fila de ceros (caso 3) cuando
. El polinomio auxiliar ( ), es la ecuacin de la fila que precede a
la de ceros. En este caso la ecuacin de la fila que precede a la de ceros
es la que se obtiene de la fila . Recurdese que esta fila contiene los
coeficientes de potencias pares de , y, por tanto, en este caso se tiene
( ) ( )( )
Por tanto cuando , los factores del polinomio caracterstico son
( ) ( )( )( )
La respuesta del caso marginal es una oscilacin inaceptable.
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CASO 4: Races repetidas de la ecuacin caracterstica en el eje .
Si las races del eje de la ecuacin caracterstica son sencillas, el
sistema no es estable ni estable; en este caso se le denomina
marginalmente estable o crticamente estable, debido a que tiene un
modo sinusoidal subamortiguado. Si las races del eje estn
repetidas, la respuesta del sistema ser inestable con una forma
( ). El criterio de Routh-Hurwitz no revelara esta forma de
inestabilidad.
Considere un sistema con un polinomio caracterstico:
( ) ( )( )( )( )( )
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La tabla de Routh-Hurwitz es:
|
|
donde . Observese la ausencia de cambios de signo, condicin que
errneamente indica que el sistema es marginalmente estable. La
respuesta impulsional del sistema aumenta con el tiempo ya que
( ). El polinomio auxiliar en la lnea de es
( ) ( )
que indica races repetidas en el eje .
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TAREA 2:
1. Considrese el control de un brazo robtico. Existen alrededor de un
milln de robots en servicio en todo el mundo. El robot que se muestra
en la figura es un sistema microbot de seis patas que utiliza patas muy
flexibles con controladores de alta ganancia que pueden llegar a ser
inestables y oscilatorios. Con esta condicin, se tiene el polinomio
caracterstico:
( )
Mediante el criterio de Routh-Hurwitz determinar si el sistema es o no
estable.
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4. Los ingenieros de diseo trabajan en el desarrollo de aviones de
combate pequeos, rpidos y de despegue vertical que sean invisibles
para los radares (aviones clandestinos).
En la figura E6.8 se muestra el concepto de avin que emplea toberas de
chorro de giro rpido para la direccin de la nave. El sistema de control
de la direccin se muestra en la figura E6.8. Determine la ganancia
mxima del sistema para una operacin estable.
+ ( + 20)
( + 10)
( )
cabeceo
( )
E6.8 Control del cabeceo de un avin.
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3. Considere el sistema representado en forma de variables de estado.
donde
[
], [ ], [ ], [ ]
a) Cul es la funcin de transferencia del sistema?
b) para qu valores de , el sistema es estable?
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2. METODO DEL LUGAR DE LAS RAICES
El comportamiento dinmico de un sistema de control de lazo cerrado se
describe mediante la funcin de transferencia de lazo cerrado
( ) ( )
( ) ( )
( ) (2.1)
donde ( ) y ( ) son polinomios en . Las races de la ecuacin
caracterstica ( ) determinan los modos de respuesta del sistema.
Para un sistema de lazo simple como el de la figura 2.1, se tiene la
ecuacin caracterstica:
( ) (2.2)
donde es un parmetro variable.
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+
( )
( )
Las races caractersticas del sistema deben satisfacer la ecuacin
(2.2), donde las races estn en el plano . Como es una variable
compleja, la ecuacin (2.2) puede escribirse ahora en forma polar
como:
| ( )| ( )
Y por tanto, es necesario que
| ( )|
y
( ) ( )
donde
Figura 2.1 Sistema de control en
lazo cerrado con un parmetro
variable
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El lugar de las races es el camino de las races de la ecuacin
caracterstica dibujado en el plano cuando se vara un parmetro
del sistema.
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ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
En la prctica el desempeo de un sistema se mide ms realsticamente
por sus caractersticas en el dominio del tiempo. Esto contrasta con el
anlisis y diseo de sistemas de comunicacin para los cuales la
respuesta en frecuencia es de mayor importancia, ya que la mayora de
las seales a ser procesadas son de tipo sinusoidal o estn compuestas
por componentes sinusoidales. La respuesta en el tiempo en el tiempo
de un sistema es normalmente ms difcil de determinar
analticamente, especialmente para sistemas de orden superior. En
mtodos de diseo no hay mtodo unificado para llegar a un sistema
diseado que cumpla con las especificaciones de desempeo en el
dominio del tiempo. Por otra parte en el dominio de la frecuencia se
tiene un conjunto de mtodos grficos que no est limitado a sistemas
de bajo orden.
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DEFINICION:
La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la
respuesta del sistema en el estado estacionario a una seal
sinusoidal de entrada.
La sinusoide es una seal de entrada nica, y la seal de salida
resultante para un sistema lineal, al igual que las seales a travs
del sistema, es sinusoidal en el estado estacionario; difiere de la
forma de onda de entrada solamente en amplitud y ngulo de fase.
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Se considera el sistema ( ) ( ) ( ) con ( ) . Se
tiene que la transformada de Laplace de ( ) es:
( )
y
( ) ( )
( )
( )
( )
donde se supone que son polos distintos. Entonces, fracciones
parciales, se tiene:
( )
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Tomando la transformada de Laplace inversa se obtiene:
( )
{
}
donde y son constantes que dependen del problema. Si el
sistema es estable, entonces todos los tienen parte real distinta
de cero y positiva y
( )
{
}
porque cada termino exponencial decae a cero cuando
.
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En el lmite para ( ), se obtiene, para (estado
estacionario),
( ) {
}
| ( )| ( )
( ) | ( )| ( )
donde ( ).
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Por lo tanto la seal de salida en estado estacionario depende solo
de la magnitud y de la fase de ( ) a una frecuencia especifica.
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GRAFICA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
La funcin de transferencia de un sistema ( ) puede escribirse en
el dominio de la frecuencia por la relacin.
( ) ( )| ( ) ( )
donde: ( ) [ ( )] y ( ) [ ( )]
Alternativamente, la funcin de transferencia puede representarse
por una magnitud | ( )| y una fase ( ) como:
( ) | ( )| ( ) | ( )| ( )
| ( )| [( )] [ ( )]
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La representacin grafica de la respuesta en frecuencia del
sistema ( ) se puede utilizar:
( ) ( )| ( ) ( ) (8.8)
( ) | ( )| ( ) | ( )| ( ) (8.9)
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La representacin grfica polar de la repuesta en frecuencia se
obtiene utilizando la ecuacin (8.8), como se muestra en la figura
8.1, las coordenadas de la grafica polar son las partes real e
imaginaria de ( ).
Fig 8.1 Plano polar
[ ( )] ( )
[ ( )] ( )
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EJEMPLO: Respuesta en frecuencia de un filtro
En la Figura 8.2 se muestra un filtro simple . Su funcin de
transferencia es
( ) ( )
( )
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Y la funcin de transferencia sinusoidal en estado estacionario es:
( )
( )
( )
donde
Entonces la grfica polar se obtiene mediante la relacin
( ) ( ) ( )
(
)
( )
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Parte real en rojo
Parte imaginaria en azul
El primer paso consiste en determinar ( ) y ( ) en las dos
frecuencias, y .
En , se tiene que ( ) y ( ) .
En , se tiene que ( ) y ( ) .
Estos dos puntos se muestran en la Figura 8.3
( )
( )
( )
( )
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CONTROL II UNIDAD II: RESPUESTA EN FRECUENCIA
Adems, en esta figura se muestra el lugar geomtrico de las
partes real e imaginaria, y fcilmente se demuestra que es un
crculo con centro en ( ).
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Cuando , las partes real e imaginaria son iguales y el
ngulo ( ) .
La grafica polar tambin se puede obtener fcilmente a partir de la
Ec. (8.9) como
( ) | ( )| ( )
donde
| ( )|
[ ( ) ]
y ( ) (
)
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Evidentemente, cuando , la magnitud es | ( )| y
la fase es ( ) . As mismo, cuando se aproxima a ,
se tiene | ( )| y ( ) . De manera anloga, cuando
, se tiene | ( )| y ( ) .
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FRECUENCIA DE RESONANCIA : es la frecuencia en la cual
el pico de resonancia ocurre.
EL ANCHO DE BANDA ( ):es la frecuencia en la cual | ( )|
cae al 70.7% o 3 dB debajo de su valor en la frecuencia cero.
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ESTABILIDAD RELATIVA
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MARGEN DE GANANCIA
El cruce de fase. Un cruce de fase sobre la traza de ( ) es un
punto en el cual la traza se intersecta con el eje real negativo.
Frecuencia de cruce de fase: La frecuencia de cruce de fase es
la freuencia en el cruce de la fase, o donde
( )
Margen de ganancia: es la cantidad de ganancia en decibeles (dB)
que se pueden aadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado
se vuelva inestable.
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MARGEN DE FASE
Cruce de ganancia: El cruce de ganancia es un punto sobre la traza
( ) en el cual la magnitud de ( ) es igual a 1.
Frecuencia del cruce de ganancia: La frecuencia del cruce de
ganancia, es la frecuencia de ( ) en el cruce de ganancia o donde
| ( ) |
Margen de fase (PM): se define como el ngulo en grados que la
traza ( ) se debe rotar alrededor del origen, para que el cruce de
ganancia pase por punto ( )
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Margen de fase definido en el plano ( )
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EJEMPLO:
( )
( )( )
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ANALISIS DE ESTABILIDAD CON LA GRAFICA DE BODE
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CONTROL II UNIDAD II: RESPUESTA EN FRECUENCIA
Ejemplo:
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Magnitu
de (
dB
)
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Gm = 14.8 dB (at 15.8 rad/sec) , Pm = 31.7 deg (at 6.22 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
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CONTROL II UNIDAD II: RESPUESTA EN FRECUENCIA
Tarea 3:
1. Considere el sistema con realimentacin unitaria con las
funciones de transferencia en lazo abierto.
( )
Obtenga la salida en estado estable del sistema cuando est sujeto a
cada una de las siguientes entradas:
a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( )
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2. Dado
( )
demuestre que
| ( )|
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CONTROL II UNIDAD II: RESPUESTA EN FRECUENCIA
3. Analizar la respuesta en frecuencia de los siguientes sistemas de
control con realimentacin unitaria. Dibuje las trazas de bode,
calcule pico mximo, frecuencia de corte.
( )
( )( )
( )
( )( )