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Y el fenmeno de la espera noes una experiencia que selimite slo a los humanos: lostrabajos esperan a serprocesados en una mquina,los aviones vuelan en crculohasta que la torre de controlles da permiso de aterrizar ylos automviles se detienen
ante la luz roja de lossemforos.
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El estudio de las lneas de espera tratade cuantifcar el enmeno de esperar
ormando colas, mediante medidas
representativas de efciencia, como la
longitud promedio de la cola, el tiempopromedio de espera en ella, y la
utilizacin promedio de las instalaciones.
El ejemplo que sigue demuestra cmo se
usan esas medidas para disear una
instalacin de servicio.
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Sepue
denan
alizarlosre
sultado
s
delan
lisis d
ecola
sen el
conteto
de
unmo
delo d
e
optimiz
acindec
ostos,e
nelqu
e
lasum
adelos
costosde
ofrecer
el
servicio
ydee
sperar
sereduzcan
almnim
o.
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!a fgura anterior representa un modelo caracterstico de
costo "en # por unidad de tiempo$, en el que el costo del
servicio aumenta al incrementar el nivel del servicio. %l mismo
tiempo, el costo de esperar disminuye al incrementar el nivel
del servicio.
El o&stculo principal para implementar los modelos de costo
es que se puede difcultar la o&tencin de un estimado fa&le
del costo unitario de espera, en especial cuando el
comportamiento 'umano in(uye so&re el uncionamiento del
caso.
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!os actores principales en una lnea de espera o cola son elcliente y el servidor.
!os clientes se generan en una fuente. %l llegar a la
instalacin pueden reci&ir servicio de inmediato, o esperar
en una cola o lnea de espera, si la instalacin est ocupada.
)uando en una instalacin se termina un servicio, en orma
automtica se *atrae+ a un cliente que espera, si lo 'ay, de la
cola.
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esde elpunto de
vista del anlisis de las colas, e
l
procesode llegada
se representa cone
ltiempoentre
lleadas, de los c
lientes sucesivos,y
el servicio se
descri&econeltiempodeservic
ioporcadacliente.
-or logeneral, lost
iemposentre llegada
sy de servicio
pueden ser pro&a&ilstic
os, comoen elunc
ionamiento
deunaofcinadeco
rreos,odeterminsticos,como
enla
llegadadesolicitante
salasentrevistasde
tra&ajo.
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ealizar un cuadro"como el anterior$
donde ejemplifque /situaciones$
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!ola: lnea de espera.
"leada de clientes: una persona, mquina,
pieza, etc. que llega y demanda un servicio.
#isciplina de cola: reglas para determinar el
orden en el cual las llegadas "clientes$ reci&en el
servicio.!anal: n0mero de lneas de espera o unidades
de servicio.
$ase: n0mero de pasos a seguir en el servicio.
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!os clientes llegan de orma aleatoria
istri&ucin discreta
Xes el n0mero de llegadas durante unaunidad de tiempo determinada "una
'ora, un minuto, etc.$
%&x'( n0mero promedio de llegadas
por unidad de tiempo
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El tama)o de la cola desempea un papel
en el anlisis de las colas, y puede ser
fnito, como en el rea de reserva entre dos
mquinas consecutivas, o puede ser infnito,
como en las instalaciones de pedidos por
correo.
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!a disciplina de la cola, que
representa el orden en el que se
seleccionan los clientes de una cola,
es un actor importante en el anlisis
de los modelos de colas.
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!a disciplina ms com0n es la de primero en llegar,
primero en servirse "-!-S1 tam&i2n 3)3S, del ingl2s
frst come, frst served$.
Entre otras disciplinas estn 0ltimo en llegar, primero
en servirse "4!-S1 tam&i2n !)3S de last come, frst
served$, y de dar servicio en orden aleatorio "SE5%1
tam&i2n S65, de service in random order$.
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7am&i2n, los clientes se pueden
seleccionar en la cola con &ase en
cierto orden de prioridad.
-or ejemplo, los tra&ajos urgentes en un
taller se procesan antes que los tra&ajos
normales.
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%l comportamiento de los clientes enespera juea un papel en el anlisisde las lneas de espera.
"os clientes *humanos+ se puedensaltar de una cola a otra, tratando dereducir la espera. ambi-n puedenrehusar totalmente a la cola por haberesperado demasiado.
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%l dise)o de la instalacin de servicio puede
comprender servidores en paralelo &por ejemplo, el
funcionamiento de la ocina de correos'.
ambi-n, los servidores pueden ordenarse en serie
&por ejemplo, cuando los trabajos se procesan en
mquinas sucesivas' o bien pueden formar una red
&por ejemplo, los enrutadores en una red de
computadoras'.
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!a uente donde se generan los clientes puede ser fnita o
infnita.
4na fuente nita limita a los clientes que llegan al servicio
"por ejemplo, las mquinas que piden el servicio de
mantenimiento$.
7am&i2n, una fuente innita es a&undante por siempre "por
ejemplo, las llamadas que llegan a una central telenica$.
!as variaciones de los elementos de un caso de colas dan
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8. 6dentifque al cliente y al servidor en cada uno de los casos
siguientes9
a$ %viones que llegan a un aeropuerto&$ :ase de tais donde 2stos esperan a que lleguen pasajeros
c$ ;erifcacin de las 'erramientas en un almac2n de un taller
de maquinado
d$ )artas procesadas en una ofcina de correos
e$ 6nscripcin a las clases en una universidad
$
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=. -ara cada uno de los casos del pro&lema 8, identifcar losiguiente9
a$ >aturaleza de la uente "fnita o infnita$
&$ >aturaleza de los clientes que llegan "individualmente o en
grupo$
c$ )lase de tiempo entre llegadas "pro&a&ilstico o determinstico$
d$ efnicin y clase de tiempo de servicio
e$ )apacidad de la cola "fnita o infnita$
$ isciplina de la cola
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?. Estudie el sistema siguiente e
identifque las situaciones
correspondiente de espera. -ara cada
situacin, defna los clientes, el o los
servidores, la disciplina de la cola, el
tiempo de servicio, la longitud mima
de la cola y la uente de los clientes.
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!as rdenes de tra&ajo se reci&en en un taller para
su procesamiento. %l reci&irlas, el supervisor
decide si el tra&ajo es normal o urgente. %lgunas
rdenes requieren usar una o varias mquinas
id2nticas. !as dems rdenes se procesan en una
lnea de produccin en dos etapas, y 'ay dos de
ellas disponi&les. En cada uno de los dos grupos,
se asigna una instalacin para manejar los
tra&ajos urgentes.
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!os tra&ajos que llegan a una
instalacin se procesan en el orden de
llegada. !os tra&ajos terminados se
em&arcan al llegar, en una zona de
em&arque con capacidad limitada.
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!as 'erramientas afladas para las distintas
mquinas son suministradas en un almac2n central
de 'erramientas. )uando una mquina se
descompone se manda a un reparador, de un grupo
de servicio, para arreglarla. !as mquinas que
tra&ajan en pedidos urgentes siempre reci&en
prioridad tanto en la adquisicin de 'erramientas
nuevas del almac2n, como en reci&ir reparaciones.
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En la mayor parte de los casos de colas, la
llegada de los clientes se 'ace en una orma
totalmente aleatoria.
%leatoriedad quiere decir que la ocurrencia de
un evento "por ejemplo, la llegada de un clienteo la terminacin de un servicio$ no est in(uido
por el tiempo que 'aya transcurrido desde la
ocurrencia del evento anterior.
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!os tiempos aleatoriosentre llegadas se
descri&en en orma
cuantitativa, en los
modelos de colas, con
la distribucin
exponencial, que se
defne como sigue9
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El 'ec'o de que la distri&ucineponencial sea totalmente aleatoria
se ilustra con el ejemplo siguiente9 si
a'ora son las @9=A am y la 0ltima llegada
ue a las @9A= am, la pro&a&ilidad de quela siguiente llegada sea a las @9=B am es
una uncin slo de las @9=A am a las
@9=B am, y es totalmente independiente
del tiempo que 'aya transcurrido desdela ocurrencia del 0ltimo evento "de las
@9A= am a las @9=A am$. % este resultado
se le llama amnesia o falta de
memoria de la eponencial.
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4na mquina en servicio tiene una unidad de reserva para
sustituirla de inmediato cuando alle.
El *tiempo a la alla+ "tiempo entre allas$ de la mquina "o de
su unidad de reserva$ es eponencial, y sucede cada CA
minutos, en promedio.
El operador de la mquina dice que 2sta *tiene la costum&re+
de descomponerse cada noc'e a eso de las @9?A -.D. %nalizar
lo que dice el operador.
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En cuanto a lo que dice el operador, ya se sa&e que no puede
ser correcto, porque se opone al 'ec'o de que el tiempo
entre allas es eponencial y, en consecuencia, es
totalmente aleatorio. !a pro&a&ilidad de que una alla
suceda a las @9?A -.D. no se puede usar para respaldar ni
reutar esa afrmacin, porque el valor de esa pro&a&ilidad
depende de la 'ora del da "en relacin con las @9?A -.D.$con la que se calcule. -or ejemplo, si a'ora son las @9=A -.D.,
la pro&a&ilidad de que lo que dice el operador sea cierto esta
noc'e es9
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Si en este mo
mentosonlas
9AA-.D.,la
pro&a&ilidad de
que suceda un
aallaalas
@9?A-.D.aument
a'asta aproim
adamente
A.B"Fcompru2&
eloG$.
Estos dosvalo
res etremos
indicanque no
sepuedeanalizarlaafrmaci
ndeloperador
con&aseenes
timacionesde
pro&a&ilidad,y
quesede&eco
nfarenlascar
actersticasde
la distri&ucin
eponencial "
aleatoriedad
areutarlaafrmacin.
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4na mquina en servicio tiene una unidad de reserva
para sustituirla de inmediato cuando alle. El
*tiempo a la alla+ "tiempo entre allas$ de lamquina "o de su unidad de reserva$ es
eponencial, y sucede cada =A minutos, en
promedio.
El operador de la mquina dice que 2sta *tiene la
costum&re+ de descomponerse cada noc'e a eso de
/ ( 01231(4
$&t' ( 4e54t t(
6
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-ero -or ejemplo, si a'ora son las B9=A pm, la pro&a&ilidad deque lo que dice el operador sea cierto esta noc'e es
Si la cola est vaca, la instalacin se vuelve inactiva 'asta
que llega un cliente nuevo.
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a' Eplique lo que
entiende de la relacin en
tre la
recuencia de llega
das y eltiempo promedio entre
llegadas.H)ules so
n las unidades que
descri&encada
varia&leI
b' En cad
a uno de los casossiguientes
, determine la
recuencia promedio
de llegadas por 'ora,y eltiempo
promedioentrellega
das,en'oras.
i)4nall
egadacada8Aminu
tos.
ii)osllegadascadaJminuto
s.
iii) !a cantidad de
llegadasen un periodo de
?A
minutoses8A.
iv)Elintervaloprom
edioentrelasllegad
assucesivases
A./'ora.
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c' En cada uno de los casos siguientes, determinela recuencia promedio de servicio por 'ora, y eltiempo promedio de servicio en 'oras.
i' Se termina un servicio cada 8= minutos.ii' Kay dos salidas cada 8/ minutos.iii' !a cantidad de clientes atendidos en un periodo
de ?A minutos es de /.
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3. El tiempo entre llegadas en una dependencia dela State evenue 5Lce es eponencial, con valor
medio de A.A/ 'ora. !a ofcina a&re a las @9AA am
a' Escri&a la distri&ucin eponencial que descri&ael tiempo entre llegadas.
b' etermine la pro&a&ilidad de que no lleguen
clientes a la ofcina 'asta las @98/ am
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c'Son
las@
9?/%.D.
El0ltim
oclien
teentr
alas
@9=J
am. H
)ul es la
pro&a&
ilidad
deque e
l
siguiente
cliente
llegue
antesd
elas@
9?@am
IHM
deque
nollegue'
astala
s@9CA
amI
-
7/26/2019 UNIDAD 2 (sistemas de colas o lineas de espera.)
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!os clientes llegan a un &anco o a una tienda en
orma *totalmente aleatoria+, lo que quiere decir
que no 'ay orma de pronosticar cundo va a llegar
alguien. !a uncin de densidad de pro&a&ilidad
para descri&ir la cantidad de tales llegadas durante
determinado periodo que se apega a la distri&ucin
de -oisson.
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!a media y la varianza de -oisson son
!a distri&ucin de -oisson es importante en
el estudio de las flas de espera.
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x ( n0mero de llegadas durante una unidad
de tiempo determinada "una 'ora, un
minuto$
%&x' ( n0mero promedio de llegadas por
unidad de tiempo
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!os tra&ajos de reparacin llegan a un taller en
orma totalmente aleatoria, con una tasa o
recuencia de 8A diarios.
a$H)ul es la cantidad promedio de tra&ajos que se
reci&en diariamente en el tallerI
&$H)ul es la pro&a&ilidad de que no lleguentra&ajos durante cualquier 'ora, suponiendo que el
taller a&re @ 'oras diariasI
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!a cantidad promedio de tra&ajos
reci&idos por da es igual a NO 8A
tra&ajos por da. -ara calcular lapro&a&ilidad de que no 'ayan llegadas
por 'ora se de&e calcular la recuencia
de llegadas por 'ora, que es
tra&ajos por 'ora. %s
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7/26/2019 UNIDAD 2 (sistemas de colas o lineas de espera.)
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En &ase al ejemplo anterior responda las siguientescuestiones9
PH)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen al menos
? clientes durante cualquier 'oraIPH)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen a lo ms =
clientes durante cualquier 'oraI
PH)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen ms de ?clientes durante cualquier 'oraI
PH)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen menos de
= clientes durante cualquier 'oraI
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!a caja de un supermercado realiza las transacciones en un
tiempo medio de / minutos.
!os clientes llegan con una tasa media de 8= clientes por
'ora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de
-oisson, si se tra&aja B 'oras al da, determina9
P H)ul es la cantidad promedio de tra&ajos que se reci&en
diariamenteI
P H)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen al menos C clientes
durante cualquier 'oraI
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c$ H)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen a lo ms ? clientes
durante cualquier 'oraI
d$ H)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen ms de C clientes
durante cualquier 'oraI
e$ H)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen menos de ? clientes
durante cualquier 'oraI