Cinemática: Magnitudes cinemáticas

Unidad 2

I.E.S. Miguel Romero Esteo

Curso 2010/2011

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Contenidos (1)

1.-   Introducción.

2.-   Magnitudes escalares y vectoriales.

3.-   Sistemas de referencia. Concepto de movimiento.

4.-   Operaciones con vectores.

5.-   Trayectoria, posición y desplazamiento.

6.-   Velocidad media e instantánea (introducción al concepto de derivada).

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Contenidos (2)

7.-  Aceleración media e instantánea.

8.-  Componentes intrínsecas de la aceleración: tangencial y normal..

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Magnitudes escalares y vectoriales

• Escalares:Escalares: quedan perfectamente definidas con una cantidad (número) y una unidad– Ejemplo: el tiempo 3 s; la masa 8 kg.

• Vectoriales (vectores):Vectoriales (vectores): Se caracterizan por:– Módulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud

del vector. Es la parte escalar.– Dirección: es la recta que contiene el vector.– Sentido: indicado por la punta de la flecha.– Punto de aplicación: origen de la flecha.– Ejemplo: la posición, velocidad, fuerza...

REPASO

REPASO

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Sistema de referencia y movimiento• Un objeto se encuentra en movimientomovimiento si cambia su

posición respecto al sistema de referencia.

• Sobre cada eje se toma como unidad de medida los vectores unitarios (módulo igual a 1):

– i sobre el eje x– j sobre el eje y – k sobre el eje z

jx

y

z

ik

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Vectores

• Se representan con una flecha encima de la letra que utilizada para dicha magnitud.

• Se suelen expresar en forma cartesiana en donde ax, ay y az son sus componentes cartesianas:

• a = ax · i + ay · j + az · k

• A partir de ahora, los vectores los escribiremos en negrita y diferente color para mayor comodidad:

• a = ax · i + ay · j + az · k

• en donde i, j y k representan los vectores unitarios sobre los ejes x, y, z.

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• Sean dos vectores: a = ax · i + ay · j + az · k b = bx · i + by · j + bz · k

• El vector suma vendrá dado por:a + b = (ax + bx) · i + (ay + by) · j + (az + bz) · k

• Ejemplo: Sean a = 3 i + 2 j

b = 2 i – 3 j

a + b = (3+2) i + (2 –3) j

= 5 i – j

y

x

5

Suma de vectores

a

b

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Cálculo del módulo de un vector.

• Sean un vector: a = ax · i + ay · j + az · k

• El módulo de a, que se representa como |a| se calcula aplicando el teorema de Pitágoras:

____________ |a| = ax

2 + ay2 + az

2

• Ejemplo: En el vector anterior c = a + b= 5 i – j

____________ ____________ ___|c| = cx

2 + cy2 + cz

2 = 52 + (–1)2 + 02 = 26

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Vector Posición ( r = r) .

• Para un punto P de coordenadas (x,y,z)el vector posición viene dado por:

• r = x · i + y · j + z · k

r = 2 i + 2 j

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Ecuación del movimiento

• La ecuación que proporciona la posición de un objeto con respecto al tiempo se llama “ecuación del movimientoecuación del movimiento”:

r(t) = x(t) · i + y(t) · j +z(t) · k

• Ejemplo:Ejemplo: r(t) = [2t · i + (1–t) · j + (3t2+4) · k] m

• En el S.I. la unidad será el m.

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10

y

x

5

5 10

Ejercicio: Sea el movimiento definido por la siguiente ecuación r = 2t i + 8j en unidades del S.I. Dibujar los vectores posición en los instantes 0, 2, 4 y 6 segundos.

t (s) r (m)

0 8 j (0,8)

2 4 i + 8 j (4,8)

4 8 i + 8 j (8,8)

6 12 i + 8 j (12,8)

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Ecuaciones paramétricas.• Son las ecuaciones que relacionan cada

componente cartesiana con el tiempo.

x = f(t); y = g(t); z = h(t)

• Son ecuaciones escalares (no vectores).

• Ejemplo: Ejemplo: En el vector:

r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t2+4)·k] m

las ecuaciones paramétricas serían:

x = 2t ; y = 1 – t ; z = 3t2 + 4

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Trayectoria

• Es la línea que sigue el movimiento.

• Los diferentes puntos de dicha línea se obtienen dando valores a “t” en la ecuación del movimiento (paramétricas).

x

y

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Ecuaciones de la trayectoria.• Se obtienen despejando el parámetro (tiempo) en una

ecuación y sustituyendo el valor en la otra.• Son ecuaciones escalares (no vectores).• Ejemplo:Ejemplo: r(t) = [(2t+3)·i + t2·j ] m

x = 2t+3 ; y =t2

t = x-3 y = x-3 2

2 2• Expresión que corresponde a la ecuación de la trayectoria

de una parábola.

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Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la ecuación: r(t) = [(t – 2)·i + (2t2 + 4t –3 )·j] m

Ecuaciones paramétricas:

x = t – 2 ; y = 2t2 + 4t –3

Despejando “t”de la 1ª ecuación: t = x + 2

Y sustituyendo en la segunda:

y = 2 (x + 2)2 + 4·(x + 2) –3

y = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3

y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3

Ecuación de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x + 13

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Ejercicio: Determina el valor del vector posición del vector : r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el módulo de dichos vectores y la ecuación de la trayectoria.

Ejercicio: Determina el valor del vector posición del vector : r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el módulo de dichos vectores y la ecuación de la trayectoria.

t (s) r(t) (m) r(t) (m) ———

0 – 6 j (–6)2 = 6,00 ————

2 6 i + 2 j 62 + 22 = 6,32 ——————

4 12 i + 26 j 122 + 262 = 28,64 ——————

6 18 i + 66 j 182 + 662 = 68,41Despejando “t” de x = 3 t t = x/3, y sustituyendo en

y = 2 t2 – 6 queda:

y = 2(x/3)2 – 6; y = 2xy = 2x22/9 – 6/9 – 6

17Ejercicio: Representa gráficamente la ecuación anterior: (0,–6); (6,2); (12,26); (18,66).

50

y

x

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5 10 15

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Vector desplazamiento (r = r) Vector desplazamiento (r = r) • Es el vector diferencia de dos vectores de posición en dos

momentos distintos.

• Sean r0 = x0 i + y0 j + z0 ky r1 = x1 i + y1 j + z1 kDos vectores posición.

r = r1 – r0 = (x1–x0) i + (y1–y0) j + (z1–z0) k= = x i + y j + z k

• En el S.I. la unidad será el m.

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Ejercicio: Cuál será el vector desplazamiento y cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior:r(t) = 3t · i + (2t2 – 6) · j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.

Ejercicio: Cuál será el vector desplazamiento y cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior:r(t) = 3t · i + (2t2 – 6) · j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.

r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) mr2 (t= 4 s) = (12 i + 26j) m

r = r2 – r1 = x i + y j + z k = = [(12 – 6) i + (26 – 2) j] m

r = (6 i + 24 j) m ———– ———–

r= 62 + 242 m = 36 + 576 m = 24,74 m 24,74 m

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Velocidad media (vm = vm)

Velocidad media (vm = vm)

• r x i + y j + z k vm = — = ————————

t t

• x y z vm = —— i + —— j + —— k

t t t

vm = vmx i + vmy j + vmz k

• El módulo del vector vm toma el valor:

——————— vm= vmx

2 + vmy2 + vmz

2

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Velocidad media (continuación)

• La dirección y el sentido son los mismos que los del vector desplazamiento r ya que t es un escalar.

• En el S.I. la unidad será el m/s.

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Ejercicio: Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2s y t = 5, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [(2t2 – 4) · i + (1 – 4t) · j] m

r1 (t =2 s) = (4 i – 7 j) m

r2 (t =5 s) = (46 i – 19 j) m

r (2s5s) = r2 – r1 = (42 i – 12 j) m

r (42 i – 12 j) m vm (2s5s) = — = —————— = (14 i – 4 j) m/s

t 5 s – 2 s

————————— vm (2s5s)= (14 m/s)2 + (– 4 m/s)2 = 14,56 m/s

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Velocidad instantánea (v = v)

Velocidad instantánea (v = v)

• Es el valor límite que toma la velocidad media cuando los intervalos de tiempo t van aproximándose a 0.

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Componentes cartesianas de la velocidad instantánea v

Componentes cartesianas de la velocidad instantánea v

r x i + y j + z k v = lim — = lim ————————

t0 t t0 t

dr dx dy dz v = —— = —— i + —— j + —— k

dt dt dt dt

v = vx i + vy j + vz k

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Velocidad instantánea (cont.)• La dirección de v es tangente a la trayectoria en

el instante en el que calculemos la velocidad.

• El sentido es el del movimiento.

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Ejemplo: Calcular la expresión del vector velocidad del vector de posición r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j]m y la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.

v = dr/dt = 3 i + 4t j• Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j

t (s) v(t) (m/s) v(t) (m/s) —

0 3 i 32 = 3 ———

2 3 i + 8 j 32 + 82 = 8’54 ———–

4 3 i + 16 j 32 + 162 = 16’28 ———–

6 3 i + 24 j 32 + 242 = 24’19

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Aceleración media (am = am)

• La definición es similar a la de la velocidad, si bien tiene un significado totalmente distinto, pues indica la variación de velocidad con el tiempo.

v vx i + vy j + vz k am = — = —————————

t t

am = amx i + amy j + amz k

• En el S.I. la unidad será el m/s2.

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Aceleración instantánea (a = a).

v vx i + vy j + vz k a = lim — = lim —————————

t0 t t0 t

dv dvx dvy dvz a = —— = —— i + —— j + —— k dt dt dt dt

a = ax i + ay j + az k

• La dirección y el sentido de a son los mismos que los del vector incremento de velocidad v ya que t es un escalar.

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Ejemplo: Calcular la expresión del vector aceleración del movimiento anterior r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j, cuyo vector velocidad era v = 3 i + 4t j en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.

• Ecuación del movimiento (de la posición): r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j

• Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j• Ecuación de la aceleración: a = dv/dt = 4 j

• Para todos los valores de tiempo a = 4 j m/s2, ya que se observa que a no depende de “t”.

—a= 42 m/s2 = 4 m/s2

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Componentes intrínsecas de la aceleración

• Únicamente en los movimientos rectilíneos a tiene la misma dirección y sentido que v.

• En general, a tiene una dirección y sentido hacia dentro de lacurva, con lo que normalmente se descompone en dos vectores at (acel. tangencial) y an (acel. normal) tangente y perpendicular a la trayectoria.

31Componentes intrínsecas de la aceleración (at y an)

a = at + an = at ·ut + an·un siendo ut y un los vectores unitarios tangente y perpendicular a la trayectoria en el punto en el que calculamos la aceleración.

dv v2 at=at= —— ; an=an= —— dt R

siendo R el radio de curvatura de la trayectoria.

Suele llamarse v = v at= dv/dt ; an= v2/R

———Igualmente llamamos a = a= at

2 + an2

32Ejemplo: Un coche de carreras toma la salida en una pista circular de 1 km de radio. El módulo de la velocidad aumenta según la ecuación: v(t) = 7 t, en unidades del SI. Calcula: a)a) la aceleración tangencial; b)b) la aceleración normal y el módulo del vector a a los 6 s.

a)a) dv at = —— = 7 m/s2 dt aat t = 7 ut m/s2 b)b) v2 49 t2 m2·s-2

an = —— = ————— = 0,049 t2 m/s2

R 1000 m

an (t= 6 s) = 0,049 ·62 m/s2 = 1,76 m/s2 ; aan n = 1,76 un m/s2

———— —————a (t= 6) = at

2 + an2 = 72 + 1,7642 m/s2 = 7,2 m/s2