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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONALFRANCISCO MORAZÁN
CNC-383 FÍSICA MODERNA II
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Presentado por: Kenia Auristela Martínez María Lourdes Monzón
Catedrático: Armando Euceda, Ph.D.
Julio del 2008
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2
FUNCIÓN GAUSSIANA
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
34.1%
34.1%
Campana de Gauss ó una Gaussiana
Ψ(x)
x
Ψ(x)=
13.6 % 13.6%
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3
Considere la distribución Gaussiana normalizada
donde A, a y λ son constantes.
Debemos saber ¿Qué significa ρ(x)?
ψ(x): función de onda (estado) Ψ*(x): complejo conjugado de ψ(x)
Por definición ρ(x) = ψ*(x) ψ(x) = ψ(x) ²
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
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4
1.- Encuentre el valor de A
Sabemos que
Entonces tenemos
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
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5
Ahora calculamos la integral:
Recordemos que :
haciendo u = x – a , du = dx
Por lo tanto
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
ver normalización de la función
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6
2.- Encontrar el valor esperado de x ², es decir ‹x²›
Por definición el “Valor esperado de x2 es
Por lo tanto
Haciendo cambio de variable u= (x – a) du = dx sea x= (u+a) por lo tanto x2 = ( u +a )2 = u2 +2au
+a2
Cuando x es+∞, u también es + ∞ y cuando x es –∞u también es – ∞
dxxxx )(22
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
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7
Por lo tanto al sustituir tenemos que:
Separando las integrales tenemos:
Tomando la primera Integral :
se resuelve utilizando el truco de Feynman
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
solución del truco de Feynman
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8
Tomando la segunda integral es una función impar por lo tanto su integral es
cero.
Sabemos que la solución de la integral:
siendo a constante es:
Además conocemos el valor de
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
ver normalización de la función
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9
Por lo tanto al resolver la integral aplicamos loAnterior:
0
Continuando con la solución de nuestra integral
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
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10
Sustituyendo los valores de las integrales que conocemos tenemos:
Por lo que el valor esperado para esta distribución
es:
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
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11
GRACIAS
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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZÁN
SOLUCIÓN DE LA INTEGRAL APLICANDO EL TRUCO DE FEYNMAN Presentado por : Kenia Auristela Martínez M.
María Lourdes Monzón.
Física Moderna II
Catedrático: Armando Euceda Ph. D.
Agosto del 2008
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Para poder resolver la integral de la forma:
Sabemos la solución de la integral
Se aplica el truco de Feynman, agregando a ambos lados
de la integral el siguiente operador:
dxe x2
udeu u
22
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dxe x2
Resolvemos encontrando la derivada parcial en el lado derecho de la ecuación
2
11
2
1
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2
3
2
12
dxe x
Al encontrar el diferencial en el lado derecho de la expresión obtenemos:
2
3
1
2
32
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32
12
dxe x
2
1
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Por lo tanto la solución de la integral es:
2122
dxex x
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GRACIAS
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Presentado por : Kenia Auristela Martínez
María Lourdes Monzón
Física Moderna II
Catedrático: Armando Euceda Ph. D
Agosto del 2008
NORMALIZACIÓN DE UNA
FUNCIÓN GAUSSIANA
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Kenia Martínez20
Dada la función Gaussiana
1.- Normalizar la función
2.- Encontrar el valor de A Para esto debemos saber que:
1)(2dxx
2
)( xAex
2
)()(* xAexx
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Kenia Martínez21
222)()(* xeAxx
2222 xeA
1222 dxeA x
22 12
Adxe x
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Kenia Martínez22
Tomando una función genéricaDonde
Consideramos dos integrales
,
Luego
2
dxeI x2
1
dyeI y2
2
dxdyeIII yx )(21
2 22
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Kenia Martínez23
Hacemos la conversión a coordenadasPolares
diferencial de área
cosrx rseny
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
y
O
s
dsdr
rdθθ
222 yxr
r
s
rs
rdds
drdsda
rdrdda
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Kenia Martínez24
Para resolver la integral
Sea
Luego:
0
2
0
)(2 222
rdrdedxdyeI ryx
ru rdrdu 2r
dudr
2
0
2
0
2
2
r
durdeI u
0
2
0 2
dud
eu
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Kenia Martínez25
0
2
0
2
2
1
dudeI u
2
0 02
1dued u
Como 2ru Entonces integramos hacia -
∞
020
2
2
1 ueI
0022
1ee
122
12
I
I
Como 22
I
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Kenia Martínez26
Luego
Al sustituir
Entonces
La función queda normalizada
2
2
dxe x
22 1
2
2
Adxe x
2
2
12 A 4
1
2
A
24
1
2)( xex
1)(
2
dxx
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¡¡MUCHAS GRACIAS!!
Kenia Martínez27