Tutorial:PropagacióndeerrorCálculodelárea,volumenydensidaddeunaesferamaciza.Preparadopor:ProfesoraPilarCristinaBarreraSilvaCadaestudiantedeterminaeldiámetrodelaesferacontornillomicrométrico.Losdatossonenmilímetros10,30 10,30 10,2910,30Laincertidumbredecadadatodeacuerdoalaparatodemedidaes0,01mmLamasadelaesferaenbalanzaresultaser(4,4±0,1)gResultados:Yaquesetienemasdeundatoymenosdediezseprocededelasiguientemanera:Primerosedeterminaeldiámetropromedio:

𝑑!"#$%&'# =(10,30+ 10,30+ 10,29+ 10.30)

4 = 10,30𝑚𝑚Laincertidumbreenesteresultadoes0,01mmyaquealaplicarelcriterio:

∆𝑑 = !"#$%&'(!"#$% –!"#$%&'( !"#$%

!elresultadoesmenordelaincertidumbredel

aparatodemedida,estoimplicaquesedebetomar∆𝑑 = 0,01 𝑚𝑚Entonces𝑑!"#$%&'# = (10,30±0,01)mmCálculodeláreadelaesferaconsuincertidumbre:𝐴 = 4𝜋𝑅! = 𝜋𝑑!teniendoencuentaque𝑑 = 2𝑅Entonces:𝐴 = 𝜋10,30! =333,3𝑚𝑚!Parahallarlaincertidumbreenelárea,setieneencuentaquelafunciónessimilara:𝑧 = 𝑘𝐴!,donde𝑧seríaelárea,𝑘 = 𝜋,𝐴 = 𝑑 ,y𝑛 = 2,comosesabelaincertidmbreparaestafunciónes:∆𝑧 = 𝑧𝑛∆𝐴/𝐴Seaplica:∆𝐴!"# = 333,3 ∗ 2 ∗ !,!"

!",!"= 0,647𝑚𝑚! dondeseaproxima:

∆𝐴!"# = 0,7 𝑚𝑚!yaqueelaparatodemedidatienesolounacifrasignificativaensuincertidumbre.Eláreadelaesferaenconsecuenciaes:𝐴!"# = (333,3± 0,7)𝑚𝑚!Esteresultadoindicaqueeláreadeestaesferanoesmayorde334𝑚𝑚!,ynoesmenorde332,6𝑚𝑚!.Cálculodelvolumendelaesferaconsurespectivaincertidumbre:

𝑉 =4𝜋𝑅!

3 =𝜋𝑑!

6 Reemplazandovaloresconeldiámetropromedio:𝑉 = 572,2𝑚𝑚!Ahorasedeterminalaincertidumbreenelvolumenapartirdeunprocesosimilarparaeláreaaplicando:

∆𝑉 = 𝑉3∆𝑑𝑑

Reemplazandovaloresnuméricos:∆𝑉 = 1,66𝑚𝑚!,aproximandoalnúmerocorrectodecifrassignificativasestaincertidumbrees:∆𝑉 = 2𝑚𝑚!Elvolumendelaesferaconsuincertidumbreseexpresacomo:𝑉 = (572,2± 2)𝑚𝑚!

Cálculodeladensidaddelaesferaconsuincertidumbre:Sesabeque𝜌 = !

!seprocedearealizarloscálculosyaquesetienelamasayel

volumendelaesferaconsurespectivaincertidumbre:𝜌 = !,!

!"#,!=0,0077g/𝑚𝑚!=7,7g/cm3

Paradeterminarlaincertidumbreenesteresultadosetieneencuentaqueladensidadessimilaralafunción:𝑧 = 𝐴/𝐵dondesuincertidumbreseexpresacomo:

∆𝑧 = 𝑧(∆𝐴𝐴 +

∆𝐵𝐵 )

Laecuaciónqueda:

∆𝜌 = 𝜌(∆𝑚𝑚 +

∆𝑉𝑉 )

Reemplazandolosvaloresnuméricos:

∆𝜌 = 0,00770,14,4+

2572,2 = 201,9𝑋10!! 𝑔/𝑚𝑚! = 0,2 𝑔/𝑐𝑚!

Ladensidaddelaesferaresultaser:𝜌 = (7,7±0,2)g/cm!Yaqueelvalormásprobablees7,7g/cm!indicaquelaesferadebeserdeacerocomparandoconladensidaddeestematerial.