Demostración de Identidades Trigonométricas
Identidades Una identidad trigonométrica es una igualdad que se verifica para cualquier valor del ángulo, es decir , demostrar identidades significa transformar uno de los miembros de la igualdad hasta encontrar el otro .
Formas de verificación
1) A -------> B Partiendo de A a B mediante procesos de
manipulación algebraicos llegamos a B. 2) B -------> AOtra manera seria su recíproco partiendo de B
utilizando procesos algebraicos se llega a A. 3) A --------> C A = B B --------> C
Se trabaja con la expresión “A” llegando a un resultado “C”, luego se trabaja con “B” llegando al mismo resultado “C”, dado que entre “A y B”,(luego de aplicar procesos algebraicos), se obtiene el mismo resultado “C” se puede decir que “A” y “B” son equivalentes.
Empecemos demostrando
el primer ejemplo.
Ejemplo 1
Como 1º paso debemos verificar si se trata de
una identidad.
¿Cómo lo hacemos ?
Dándole un valor arbitrario a α .Por ejemplo α =
30º.Remplazamos en la
identidad y debemos llegar a la igualdad numérica.
Es decir:
Remplazamos α=30º
Una vez hecho esto , remplazamo
s por los valores
numérico del ángulo
de 30º.Aplicamos propiedad
distributiva del producto con
respecto a la suma .
También aplicamos
propiedad de la raíz de un producto.
Sumamos y restamos.
Resolvemos la raíz.
Simplificamos la expresión
fraccionaria.Y obtenemos
la igualdad.
Una vez comprobada que se trata de una identidad, procedemos a resolver remplazando fórmulas
equivalentes de modo que lleguemos a la expresión deseada.
Descomponemos la identidad en función del
seno y del coseno. (Según nos convenga)
Aplicamos propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, simplificamos con lo que
nos queda:
Aplicamos propiedad
cancelativa, ya que
tenemos dos elementos iguales con
distinto signos.
De este modo aplicando métodos algebraicos y remplazando por su fórmulas equivalentes, obtuvimos
la igualdad.
¿Pudieron comprender?Excelente!!!
Continuemos con el ejemplo número dos!.
Ejemplo 2:
Empecemos comprobando si se trata de una identidad remplazando en μ por el
ángulo de 45º
Remplazamos por los valores numéricos del ángulo de 45º. Y simplificamos en el
miembro izquierdo la potencia con la raíz.
Hacemos medio con medio y extremo con
extremo en el denominador. Simplificamos
según corresponda. Sumamos y
obtenemos la igualdad.
Ejemplo 2:
Descomponemos en función de seno y de
coseno.
Simplificamos en el
denominador de la primera
fracción . Sacamos común
denominador, y remplazamos el numerador
por su equivalente.
Volvemos a remplazar por el equivalente de 1/cos2 μ = sec2 μ
Llegando a la igualdad.
Pasemos al ejemplo número
tres.
Ejemplo 3 :
Desarrollo el cuadrado de un binomio en el numerador.
Y en el denominador
descompongo en seno y coseno.
En el numerador remplazo seno y
coseno por la igualdad 1 . En el
denominador simplifico según
corresponda.Sacamos común denominador y de esta manera
llegamos a la igualdad.
¿ Pudiste comprender?Vamos con un ejemplo
más.
Ejemplo 4:Antes de empezar recuerden verificar que
sea identidad remplazando un
ángulo arbitrario . Si ya manejan bien el
procedimiento pueden hacerlo directo con la
calculadora. Descomponemos en las funciones seno y coseno.
En el miembro derecho
resolvemos la multiplicación.
En el miembro izquierdo en el
numerador sacamos factor común .
Hacemos extremo con extremo y
medio con medio.
Simplificamos los senos.De este modo
llegamos a la igualdad.
Te dejo algunos ejercicios para que practiques lo aprendido.
Llegamos al final de este
tutorial!! Espero te haya
sido útil.
a-
b-
c-
d-
Autora : Quintana Daiana Anabel
Fin