1. CONTENIDO DE LA TUTORÍA

2. CAPACIDAD (ES) A DESARROLLAR

3. ACTIVIDADES PREVIAS A LA TUTORÍA

Se revisan los conceptos de los distintos Sistemas Numéricos con que opera el algebra, se aprende a operarlos, a trabajar con números enteros y fraccionarios. Se trabaja con la conversión de decimales a facciones y viceversa. Se ven métodos para simplificar números grandes, y se trabaja con números primos y fraccionarios, terminando con la determinación de los mínimos común múltiplos y máximos común divisores.

Capacidades para:

Operar con conjuntos numéricos.

Diferenciar y clasificar los distintos sistemas numéricos Operar fracciones numéricas (suma, resta, multiplicación y división).

Calcular Minino común múltiplo y Máximo común divisor.

TUTORIA 1

SISTEMAS NUNERICOS

4. DESARROLLO

1.1 Mínimo común múltiplo y Máximo común divisor

- Múltiplos y Divisores

Ej. 10 = 2 · 5

Se dice que 10 es múltiplo de 2 y 5

Porque 2 y 5 son divisores o factores de 10

Definición.- Sean a y b dos números naturales, se dice que b es un divisor de a o

que a es múltiplo de b, si y solamente si existe otro número entero c, tal que verifique

a = b · c, es decir a, b Є N existe c Є N / a = b · c

Entonces a es múltiplo de b y c

b y c son divisores de a

Notación: d (a) = Significa el conjunto de todos los divisores del número a

m (a) = Significa el conjunto de todos los múltiplos del número a

d (a) = x Є N/x = k

a, k Є N

m (a) = x Є N/x = k · a, k Є N

- Número Primo y Número Compuesto

Definición.-

a) Un “número primo” es aquel número natural mayor que uno cuyos únicos

divisores son el mismo y la unidad.

a ≠ 1

Si a Є N a es primo n [d (a)] = 1

n [d (a)] = 22

b) Un “número compuesto” es aquel número natural que además de ser divisible

por sí mismo y por la unidad es por otro factor.

Usted debe realizar las siguientes actividades previas antes del encuentro de la tutoría:

1. Responder en plataforma virtual al cuestionario sobre la lectura previa de la unidad

2. Aportar su opinión en plataforma virtual en el Foro 1 de la Tutoría 1 3. Responder a los ejercicios de la tarea 1que se encuentran al final del texto de

lectura de la unidad 1 en la plataforma virtual 4. Participar del Wiki de la unidad 1 en la plataforma virtual

Si a Є N a es compuesto a ≠ 1

n [d (a)] > 2

- Descomposición de Factores Primos

Teorema fundamental: “Todo número compuesto puede ser descompuesto o

factorizado en un producto de factores primos”.

Dados a, b, c Є N/a=b·c Ejemplo. 210=10*21=(2*5)*(3*7)

- Mínimo Común Múltiplo (m.c.m)

Definición.- El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los

múltiplos comunes a dichos números.

Ej. Halar el m.c.m de 2 y 3 Solucion=6

Nota. El m.c.m es el menor número que contiene un número exacto de veces a

cada uno de los números dados.

- Métodos (para hallar el m.c.m)

a) Por descomposición en factores primos

Regla. El mínimo común múltiplo de dos o más números descompuestos en sus

factores primos es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes

de su máxima potencia.

Ejemplo. Hallar el m.c.m de 8, 10 y 150

8 = 23= 2·2·2

10 = 2·5

150 = 2·3·52

b) Método abreviado

Regla. Dividir cada uno de los números dados por su menor divisor, lo propio se

realiza con sus cocientes hasta que todos los cocientes sean 1.

El m.c.m es el producto de todos los divisores primos.

Ejemplo. Hallar el m.c.m de 21, 36 y 48

21 36 48 2

21 18 24 2

21 9 12 2

21 9 6 2

21 9 3 3

7 3 1 3

7 1 7

7

Máximo Común Divisor (m.c.d)

Los factores primos comunes y no comunes

afectados de su máxima potencia son 23·3·52=8·3·25=600

24·32·7=1008

Definición.- El “máximo común divisor” (m.c.d) de dos o más números es el mayor

de los divisores comunes.

Ejemplo: Hallar el m.c.d de 10, 20 y 30.

d (10) = 1,2,5,10

d (20) = 1,2,5,10,20

d (30) = 1,2,3,5,6,10,15,30

El m.c.d de 10, 20 y 30 es 10

- Métodos (para hallar el m.c.d)

a) Por descomposición de factores primos

Regla: Se descompone los números dados en sus factores primos. El m.c.d

representa el producto de los factores primos comunes afectados por su potencia

mínima.

Ejemplo. Hallar el m.c.m de 180, 528 y 1260

Factorizando cada uno de los números dados.

180 = 22 · 32 · 5

528 = 24 · 3 · 11

1260 = 22 · 32 · 5 · 7

De allí se establece que los factores comunes con las mismas potencias son:

22 · 3 = 12

El m.c.d de 180, 528 y 1260 es 12

b) Método abreviado

Regla: Dividir simultáneamente todos los números dados por un divisor común, los

cocientes nuevamente por un divisor común, así sucesivamente hasta que los

cocientes sean primos entre sí. El m.c.d es el producto de los divisores comunes.

Ejemplo. Hallar el m.c.d de 180, 528 y 1260

180 528 1260 2

90 264 630 2

45 132 315 3

15 44 105 1

El m.c.d es 2 · 2 · 3 · 1 = 12

1.2 Fracción Numérica

Primos entre sí

numerador

denominador

Fracción

Definición.- Una fracción es el cociente exacto de la división de dos números

enteros en el cual el numerador representa el dividendo y el denominador el divisor,

es decir,

Ejemplo: m, n Є Z, n ≠ 0

Fracción n

m

Nota. El numerador indica el número n de partes en que se ha dividido la unidad, y

el número m indica la cantidad de esas partes.

Clases de fracciones

a) Fracción propia n

m, si m < n

Ejemplo. 5

1,

8

7

b) Fracción impropia n

m, si m > n

Ejemplo. 3

4,

2

7

c) Número mixto

Sea n

m una fracción impropia (m>n) m = n · p + R

Ejemplo. 4

17

4

17 = 4

4

1 p +

n

R

n

m = p

n

R Número mixto

Fracción simple: Es toda fracción desde su numerador y denominador son

números primos entre sí.

Ejemplo. 4

3,

9

5,

3

11

Simplificación de fracciones: Simplificar fracciones es hallar otra fracción

equivalente a la anterior donde sus elementos, numerador y denominador son

menores.

17 4

1 4

Principio fundamental: n

m ·

k

k =

n

m, si k ≠ 0

Ejemplo. 6

4 =

3

2 ·

2

2 =

3

2

Operación en fracciones

Si m, n, p, q Є Z/n, q ≠ 0 Se definen las siguientes operaciones:

Suma n

m+

q

p=

nq

npmq = Ej.

8

3+

5

2=

5·8

2·83·5 =

40

1615 =

40

31

Resta n

m-

q

p=

nq

npmq = Ej.

3

4-

7

5=

7·3

5·37·4 =

21

1528 =

21

13

Multiplicación n

m·

q

p=

qn

npmq

·

· = Ej.

63

7·

49

9=

9·5

9·1·

7·9

7·1 =

45

1

División n

m/

q

p=

pn

qm

·

· = Ej.

6

5/21

10=

10·6

21·5 =

2·5·2·3

7·3·5=

4

7

Fracciones compuestas

Son aquellas que tienen una o más fracciones en el numerador o denominador.

Ejemplo. Simplificar y expresarla como una fracción simple:

24

31

= 24

34

=

1

24

1

=2·4

1·1=

8

1

39

3,0

3,3·10

n

m

n

m

n

m

3

1

9

3

n

m

1299

12,0

12,12·100

n

m

n

m

n

m

33

4

33·3

4·3

99

12

n

m

1.3 Forma decimal de los números racionales

n

m es una fracción (cociente de dos números enteros)

Ejemplo. Si tenemos el número decimal ...5000,12

3 Esta es la expresión decimal

del número racional 2

3

Ejemplo. ...750000,04

3 ...21111,0

90

19 ...333,1

3

4

Como vemos una expresión decimal es periódica si un grupo de dígitos, se repite

indefinidamente a partir de un lugar a la derecha del punto decimal.

Notación. Trazar con barra es la cifra o cifras que se repiten.

Ejemplo. 80,05

4 , 25,1

90

113

Transformación de una expresión decimal periódica en una fracción.

Ejemplo. 3,0333,0 Determinar dos números enteros n y m, tal que 3,0n

m

Eliminamos el período multiplicando por una potencia de 10, cuyo exponente

equivale al número de cifras que se repite.

Ejemplo. 3,0

101·n

m= 3,3

Ejemplo. 12,0

102·n

m= 12,12

1.4 Practico No.1

Números Racionales

En cada uno de los ejercicios del 1 al 4, hallar el m.c.m. y el m.c.d. por cualquier

método.

1. 30 , 16 , 42

2. 165 , 99 , 231 , 198

3. 252 , 306 , 204 , 612

4. 45 , 96 , 135 , 180

Fracciones

En cada uno de los ejercicios del 5 al 8, reducir a su forma más simple

5. 75

50

6. 420

60

7. 1704

1846

8. 339840

212400

Operaciones con fracciones

En cada uno de los ejercicios del 9 al 14, efectuar las operaciones indicadas.

9. 4

5

8

7

10. 3

2

4

3

3

14

8

17

11. 43

14

3

136

6

57

12. 15

7

10

33

5

41

13.

3

12·

3

11

14. 3

75

7

14

Fracciones complejas

En cada uno de los ejercicios del 15 al 21. Simplificar.

15.

6

5

3

12

2

53

8

5

4

32

16.

10

120

11

5

2

2

13

10

110

12

17.

2

1

3

5

11

4

12

12

18. 2

3

2

2

11

2

12

1

2

19.

105

24

1

14

3

22

1

2

12

3

11

1

20. 3

1

2

1

4

3

3

2

12

4

1

31

3

1

21. 3

3

12

3

11

3

2

6

1

35

3

2

1

Forma decimal de los números racionales

En cada uno de los ejercicios del 22 al 25 hallar la fracción decimal periódica

equivalente a:

22. 2

1

23. 6

1

24. 12

7

25. 11

7

En cada uno de los ejercicios del 26 y 27, hallar la fracción simple equivalente a:

26. 33.0

27. 12.1

Del 28 al 29, efectuar las operaciones indicadas, el resultado expresar como

fracción simple.

28.

...08333.0...20111.1

15

17·044.0...77.04.0

29. ...66.0·6

103.0

3

1

BIBLIOGRAFÍA

MFN......................: 6944

Sig.Top.................: 510 M539i

Título....................: Introducción a las matemáticas – Capitulo II

Autor....................: Mendoza M., Domingo.

Editorial................: Universidad NUR, 1995, Santa Cruz, Bolivia

http://www.educatina.com/matematicas

http://www.vitutor.com/

5. RECURSOS DE INFORMACIÓN COMPLEMENTARIOS

Para complementar y profundizar su aprendizaje en esta tutoría (unidad), se le sugiere pueda consultar los siguientes recursos de información: 1. Ejercicios y Teoría complementaria: http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_numérico 2. Ejercicios y Teoría complementaria: http://www.vitutor.com/aritmetica.html 3. Video complementario de sistemas numericos: http://www.mailxmail.com/video-

matematicas-sistemas-numericosVideo 4. Video complementario de suma y resta de fracciones:

https://www.youtube.com/watch?v=_Xo-C6FFsmY 5. Video de trasformación decimal a fracción y viceversa

https://www.youtube.com/watch?v=qa4g2gq78iw