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“UNIVERSIDAD NACIONAL
PEDRO RUIZ GALLO”Facultad de Ingeniería Civil, Sistemas y
ArquitecturaEscuela Profesional de Ingeniería Civil
“TUBERIAS RAMIFICADAS ”
Curso : MECANICA DE FLUIDOS II
Docente : Ing. Nelson HUANGAL CASTAÑEDA
Integrantes : CARRILLO CUMPA, Luis 075143 D
DELGADO ROJAS, Solver 071917 E
GUEVARA BARBOZA, Edinson 075603 E
RODRIGUEZ BAZAN, Alexander071931 H
SANTAMARIA CHERO, Heber 071935 C
Grupo Horario : 16 B
Ciclo Académico : 2011 - I
Lambayeque, Perú
MECANICA DE FLUIDOS II ING. NELSON HUANGAL CASTAÑEDA
INDIC
E
I. INTRODUCCIÓN........................................................................................................................3
II. OBJETIVO.................................................................................................................................4
III. FUNDAMENTO TEORICO..........................................................................................................4
A. TUBERÍAS EN PARALELO.....................................................................................................4
B. TUBERÍAS RAMIFICADAS....................................................................................................6
1. Caso particular de sistemas de distribución de agua..........................................................9
C. FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS.......................................................................................14
D. TUBERÍAS CON DOS O MÁS RAMALES DE DESCARGA INDEPENDIENTE...........................17
E. PROBLEMA DE LOS 3 RESERVORIOS.................................................................................22
IV. RECOMENDACIONES..............................................................................................................29
V. BIBLIOGRAFIA.........................................................................................................................29
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MECANICA DE FLUIDOS II ING. NELSON HUANGAL CASTAÑEDA
I. INTRODUCCIÓN
El estudio del flujo en sistemas de tuberías es una de las aplicaciones más comunes de la mecánica de fluidos, esto ya que en la mayoría de las actividades humanas se ha hecho común el uso de sistemas de tuberías. Por ejemplo la distribución de agua y de gas en las viviendas, el flujo de aire por ductos de refrigeración, flujo de gasolina, aceite, y refrigerante en automóviles, flujo de aceite en los sistemas hidráulicos de maquinarias, el flujo de gas y petróleo en la industria petrolera, flujo de aire comprimido y otros fluidos que la mayoría de las industrias requieren para su funcionamiento, ya sean líquidos o gases.Frente a los problemas que se presentan en la vida profesional es importante que el ingeniero civil tenga, los conocimientos básicos sobre flujo en sistemas de tuberías y el uso respectivo de cada una de ellas además, de tener la capacidad de clasificarlas por tipo y por uso. y métodos que en algún momento se van a usar, en el presente trabajo tratamos de dar un alcance de ello.Para ello se tratara de ser lo más específico posible en lo que es tuberías ramificadas: casos, tubería troncal con dos o más ramales con boca de descarga independiente y problema de los tres reservorios. El estudio del flujo en este sistema se realiza utilizando las teorías estudiadas en los capítulos anteriores, estos datos se han recopilado cuidadosamente con el fin de ser lo más conciso posible con el fin de no causar una mala interpretación de los mismos.
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MECANICA DE FLUIDOS II ING. NELSON HUANGAL CASTAÑEDA
II. OBJETIVO
Determinar la importancia del tema a tratar. Demostración de algunas fórmulas utilizadas en el cálculo de
elementos utilizados en tuberías ramificadas. Saber determinar el momento para la utilización de las formulas, ya
que las fórmulas utilizadas dependen de muchos factores para su utilización.
Describir el procedimiento a seguir para el desarrollo de problemas relacionados con cada tema tratado.
III. FUNDAMENTO TEORICO
A. TUBERÍAS EN PARALELO
En la figura se muestra una configuración de tuberías en paralelo; en
esencia es una configuración de N elementos unidos en A y B con ∑K
componentes que provocan pérdidas menores asociadas con cada
elemento i. La ecuación de continuidad aplicada a A o B está dada por
Q=∑i=1
N
Qi
La suma algebraica de la línea de energía alrededor de cualquier lazo
definido debe ser cero. Como en el caso de las tuberías en serie, se
acostumbra suponer que V2/2g << (p/γ + z). Por consiguiente, para
cualquier elemento i, la ecuación de energía del lugar A al B es
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( pγ +z )A
−( pγ +z )B
=(R i+∑K2g A i
2 )Qi2i=1 ,…,N
Teniendo en cuenta las pérdidas de carga por fricción en elementos de
tuberías se puede expresar la perdida de la forma exponencial:
Las incógnitas en las ecuaciones anteriores son las descargas Q¡ y la
diferencia de altura piezométrica entre A y B; la descarga hacia el sistema
se conoce. Es posible convertir los términos correspondientes a las
pérdidas menores mediante una longitud equivalente definida
anteriormente. Para cada elemento i la longitud equivalente Le de ∑K
componentes que provocan pérdidas menores es
(Le )i=Di
f i∑K
Así pues la ecuación anterior se simplifica como sigue
( pγ +z )A
−( pγ +z )B
=RiQ i2
En la cual el coeficiente de resistencia modificado de cada tubo Ri está
dado por
Ri=8 f i[Li+(Le )i]g π2Di
5 Qi
2
B. TUBERÍAS RAMIFICADAS
Se habla de tuberías ramificadas cuando el fluido se lleva de un punto a
varios puntos diferentes.
TUBERIAS RAMIFICADAS 5
hL=RQ 2
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Los sistemas de tuberías ramificadas están constituidos por una o más
tuberías que se separan o dividen en dos o más tuberías (o que se reducen
a una sola) y que no vuelven a juntarse de nuevo aguas abajo
Este caso se presenta en la mayoría de los sistemas de distribución de
fluido, por ejemplo una red de tuberías de agua en una vivienda, como el
ejemplo de la figura.
En este caso el sistema de tuberías se subdivide en ramas o tramos, que
parten de un nodo hasta el nodo siguiente. Los nodos se producen en
todos los puntos donde la tubería se subdivide en dos o más, pudiéndose
añadir nodos adicionales en los cambios de sección para facilitar el cálculo.
El problema general, asociado a los sistemas de tuberías ramificadas,
consiste en determinar el caudal de cada una de las tuberías cuando se
conocen el resto de los dos datos (presión en cada uno de los depósitos,
sus cotas, datos de la tubería y propiedades del fluido). Este tipo de
problemas se puede resolver al aplicar la ecuación de continuidad, que
establece que el caudal total que llega al nudo, ha de ser igual al caudal
total que abandona dicho nudo.
En este caso para cada nodo se cumple la ecuación de continuidad:
Y en cada tramo, entre dos nodos, se cumple la ecuación de Bernoulli
generalizada:
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∑Q=0
P i1
ρg+V i2
2 g+Z1−hLij=
P j
ρg+V j2
2g+Z j
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Si existe una bomba en el tuvo como se muestra en la figura anterior se
modifica como sigue:
Se introduce una incógnita más, la carga de la bomba hw.
FIGURA. Sistema de tuberías ramales:a) flujo por gravedad
b) flujo propulsado por bomba
El caso más sencillo de sistemas de tuberías ramificadas es cuando se
tienen 3 tramos, como en la figura.
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P i1
ρg+V i2
2 g+Z1+hWij−hLij=
P j
ρg+V j2
2 g+Z j
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Este sistema ramificado es gobernado por un sistema de 4 ecuaciones,
donde supondremos inicialmente que el diámetro de tubería es constante
en cada tramo, por lo cual en la ecuación de Bernoulli generalizada las
velocidades se cancelan:
Deberá resolverse entonces este sistema de cuatro ecuaciones, en donde
se pueden tener hasta 4 incógnitas.
El problema más común para este tipo de configuraciones de tubería
consiste en determinar la tubería y la potencia de la bomba en función de
los caudales requeridos en los puntos 3 y 4. Esto es lo que se requiere, por
ejemplo, cuando se diseña un sistema de tuberías para una vivienda.
1. Caso particular de sistemas de distribución de aguaEn el caso particular de un sistema de distribución de agua el
procedimiento consiste en ir a la extremidad de tubería más alejada, y
moverse hacia el principio de la tubería sumando los caudales requeridos
cada vez que aparece un nodo.
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Suponga que el ejemplo de los tres tanques se requiera llevar un caudal de
2 l/s al tanque 3 y 1 l/s al tanque 4. Esto nos indica que:
Una vez que se conoce el caudal en cada uno de los tramos se calcula el
diámetro de la tubería suponiendo una velocidad, escogiendo por supuesto
tamaños comerciales de tuberías. Para sistemas de distribución de agua se
usan velocidades entre 0,6 m/s y 3 m/s, esto ya que velocidades mayores
producen ruido en la tubería y velocidades menores permiten que se
produzcan depósitos que tienden a taparlas.
Una vez conocido el tamaño de la tubería y el caudal de cada tramo se
calculan las pérdidas de carga en cada tramo, y se determina el camino
más desfavorable para el líquido, que será el trayecto que éste debe
realizar, desde el principio de la tubería hasta el punto más alejado con la
mayor pérdida de carga.
En el ejemplo se calcularan las pérdidas para los caminos 13 y 14, siendo
las pérdidas de carga:
Se puede luego utilizar la ecuación de Bernoulli generalizada aplicándola
entre el inicio y el final, obteniendo dos ecuaciones que nos permiten
calcular la potencia de la bomba:
La potencia necesaria para la bomba será el valor mayor obtenido.
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Evidentemente en un sistema correctamente balanceado se puede pensar
que los dos valores son similares, si no es el caso esto se puede lograr
variando el diámetro de tubería para disminuir la pérdida de carga.
EJEMPLO 1.- Se dan los siguientes datos para el sistema de tuberías de
tres ramas mostrado en la figura.
Determine las velocidades de flujo Qi y la carga piezométrica H en la
unión. Suponga factores de fricción constantes.
Solución
Para la hallar los valores de longitudes y coeficiente de resistencia
equivalentes necesitamos utiliza las siguientes ecuaciones.
( ¿ )i=Di
f i∗∑ K…….………… .. (1 )
Ri=8 f i[Li+(¿)]g π2D i
5 …………… ......(2)
Utilizando las ecuaciones (1) y ec. (2) , hallaremos “Le” y “R”
¿
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¿
¿
Con las direcciones de flujo supuestas como se muestra, se escribe la
ecuación de energía para tubería y se resuelven para la descarga
desconocida:
Q1=(H−5R1 )
12 ; Q2=( 20−H
R2 )12 ; Q3=(H−13
R3 )12
Tenemos que por continuidad sabemos que -Q1+ Q2 - Q3 = 0. Después de
eliminar Q1, Q2 y Q3 con las relaciones de energía se obtiene una ecuación
algebraica en función de H:
w (H )=−( H−51.06 x105 )
1/2
+( 20−H1.66 x104 )
1/2
−( H−134.21 X104 )
1 /2
=0
Aun cuando esta ecuación se resuelve como una ecuación cuadrática, se
elige método de posición falsa para calcular H, el cual se requiere si los
factores de fricción varían.
La fórmula de recurrencia es H r=H 1w (H u )−H uw(H l)
w (H u )−w ¿¿
La solución se muestra en la tabla siguiente. Observe que con las
suposiciones iníciales de H 1 y H u, la convención de signos de w necesita
que 20 > H > 13. La iteración continua hasta que el criterio de
convergencia mostrado en la última columna llegue hacer menor que el
valor arbitrario 0.005.
Por consiguiente H= 15.2 m. A continuación se calcula las descargar:
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Q1( 15.2−51.06 x105 )=0.0098m3/s
Q2( 20−15.21.66 x104 )=0.0170m3/ s
Q3=( 15.2−134.21 x104 )=0.0072m3/s
Observe que se satisface la continuidad.
EJEMPLO 2.- Para el sistema mostrado en la fig. 03, determine la
distribución de flujo Qi del agua y la carga piezométrica H en la unión. La
potencia suministrada al fluido por la bomba es constante, igual a γ
QH_P=20 kW Suponga factores de fricción constantes.
Solución
Las longitudes y coeficientes de resistencia equivalentes se calculan con
las ecuaciones siguientes:
(¿)i=Di
f i∗∑ K
Ri=8 f i[Li+(¿)]g π2D i
5
Reemplazamos valores para cada tramo de tuberías obtenemos:
¿
TUBERIAS RAMIFICADAS 12
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¿
¿
Supongo las direcciones de flujo mostrados. La ecuación de energía para la
tubería 1 desde el depósito hasta la unión B es:
z1+HP=H+R1Q12
En la cual H es la carga piezométrica en B. si sustituimos los parámetros
conocidos, se resuelve para H y se obtiene:
H=10+ 20 x103
9800Q1
– 1.42x 103
Q 12
H=10+ 2.04Q1
−1420Q12
Una solución iterativa se muestra en la tabla adjunta. Se estimó un valor
de Q1 para cada iteración. Entonces, se calcula el valor de H y se evalúan
Q2 y Q3 de las relaciones:
Q2=(H−Z2R2 )=( H−30
1.32 x104 )Q3=(H−Z3
R3 )=( H−156.28 x104 )
En la última columna de la tabla, se emplea un balance de continuidad
para verificar la precisión de la estimación de Q1. La tercera estimación de
Q1 está basada en una interpolación lineal con ∑Q=0 y los valores de Q1
y ∆Q de las dos primeras iteraciones.
La solución aproximada es H = 43.64 m, en el cuadro los caudales están
en m3/s y para pasarlo a litros se multiplica por 1000 y por ello tenemos
que:
Q1=54 L /s Q2=32 L/s Q3=21 L/s .
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C. FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS
La fórmula de Hazen-Williams tiene origen empírico. Se usa ampliamente
en los cálculos de tuberías para abastecimiento de agua. Su uso está
limitado al agua en flujo turbulento, para tuberías de diámetro mayor de
2'' y velocidades que no excedan de 3 m/s.
La ecuación de Hazen-Williams usualmente se expresa así
Q=0 .000426∗CH∗D2.63∗S0.54
Expresión en la que:
Q: gasto en litros por segundo
CH: coeficiente de Hazen y Williams
D: diámetro en pulgadas
S: pendiente de la línea de energía en metros por km
Para una tubería dada, la longitud, el diámetro y el coeficiente de
resistencia son constantes, luego
Q=K h f0.54
Siendo:
K=0 .000426∗CH∗D2.63∗L−0.54
La expresión
Pot= γQH76
=1000 x0.6 x 20.7776
=164HP
Los valores de la constante CH de Hazen y Williams han sido determinados
experimentalmente. Son función de la naturaleza de las paredes.
(Obsérvese que este coeficiente CH es diferente del de Chezy). Los valores
usuales son los de la Tabla:
NATURALEZA DE LAS PAREDES
CH
EXTREMADAMENTE LISAS Y RECTAS 140
LISAS 130
MADERA LISA, CEMENTO PULIDO 120
ACERO RIBETEADO 110
FIERRO FUNDIDO VIEJO 95
FIERRO VIEJO EN MAL ESTADO 60-80
TUBERIAS RAMIFICADAS 14
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FUERTEMENTE CORROÍDO 40-50
Tabla. Coeficientes de Hazen-Williams
Hagamos una breve discusión de la fórmula
Si el Diámetro D y la pendiente de la línea de energía S se mantienen
constantes se tiene que
Q1
Q2
=CH 1
CH 2
Significa esto que si el coeficiente CH varía, el gasto variará en la misma
proporción. Podría también aplicarse este concepto a dos tuberías, que
tengan el mismo diámetro y el mismo valor de S . Sus gastos estarán en la
misma proporción que sus respectivos coeficientes de Hazen y Williams.
Si el diámetro y el gasto permanecen constantes, entonces
CH 1S10.54=CH 2
S20.54
S2S1
=(CH 1
CH 2)1.85
Así por ejemplo si dos tuberías tienen el mismo diámetro y el mismo gasto,
pero la primera tiene CH igual a 100 y la segunda igual a 120, entonces
S2S1
=( 100120 )1.85
=0.714
Conviene obtener la expresión de la pérdida de carga a partir de la
ecuación de Hazen y Williams.
S0.54= Q
0.000426C HD2.63
S= Q1.85
5.813 x10−7C H1.85D 4.866
h f=LQ1.85
5.813 x10−7CH1.85D 4.866
Para una tubería particular se cumple que
h f=K∗Q1.85
Así por ejemplo, si D = 10'', CH = 120 y L = 1,25 km se obtiene
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h f=1.25
5.813 x10−77022.4 x 7.345 x104Q1.85=0.00417Q1.85
h f=0.00417Q1.85
Que es la ecuación de descarga para la tubería.
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D. TUBERÍAS CON DOS O MÁS RAMALES DE DESCARGA INDEPENDIENTE
Sea un estanque alimentador del que sale una tubería de longitud L
diámetro D, y coeficiente de resistencia f. Esta tubería se bifurca en los
ramales 2 y 3. Se conoce la elevación del estanque y las cotas de
descarga. Se trata de calcular el gasto en cada ramal.
Figura: Tuberías con ramales de descarga independiente
El método de cálculo sugerido es el siguiente
Suponer una cota piezométrica en el punto P.
Calcular las energías disponibles para cada tramo
Calcular el gasto en cada tubería. Se puede usar la ecuación de Darcy
O bien otra ecuación de la forma
Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo
TUBERIAS RAMIFICADAS 17
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EJEMPLO 3.- Hallar H y los caudales de cada uno de los ramales en lts/s.
Aplicando la fórmula de Hazen Williams:
Q=0.000426∗C∗D2.63∗S0.54
Q=0.000426∗C∗D2.63∗S0.54
H asumido
QO h1 Q1 h2 Q2 h3 Q3Q0-Q1-Q2-Q3
20 142.490 10 60.155 20 74.118 25 52.079 -43.862
25 160.737 5 41.373 15 63.453 20 46.167 9.743
24.091 157.555 5.909 45.278 15.909 65.501 20.909 47.289 0
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Interpolando
H=24.091m
Q0=157.55ltss
; Q1=45.28ltss
; Q2=65.5ltss
; Q3=47.29ltss
EJEMPLO 4.- Determinar el gasto que fluye en cada uno de los ramales
del sistema de abastecimiento de agua mostrado en la figura y hallar la
presión en el punto P.
La elevación del punto P es 10 m.
Inicialmente la válvula está completamente abierta.
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Si se aumenta la presión en el punto P hasta 20 m de columna de agua
(cerrando la válvula ubicada en el ramal 2), determinar el nuevo valor de
gasto en cada tubería y la pérdida de carga en la válvula.
Solución. La ecuación de Hazen y Williams es
De donde,
;
Siendo K característico de cada tubería e igual a
Se puede calcular la ecuación respectiva para cada ramal hallando los
correspondientes valores de K
Empecemos por la segunda parte del problema. Si la presión en el nudo P
es 20 m, entonces que son las energías disponibles en cada tramo.
Reemplazando se obtiene el gasto en los ramales 1 y 3. La ecuación de
descarga no es aplicable al tramo 2 por tener una válvula.
Q2 será simplemente la diferencia, Q2 = 41,2 l/sTUBERIAS RAMIFICADAS 20
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Para el tramo 2 la energía necesaria para vencer las fuerzas de fricción es
Como la energía disponible es de 10 m resulta que la pérdida de la carga
en la válvula es 5,94 m.
Para la primera parte del problema el método más simple consiste en
tantear valores para la presión en P, calculando luego las energías
disponibles en cada tramo y los gastos. Cuando la ecuación de continuidad
quede satisfecha se ha encontrado la respuesta.
pP = 15 m hf1 = 25 m Q,1= 146,04
hf2 = 5 m Q2 = 46,1
hf3 =15 m Q3 = 75,6 Q1-(Q2 + Q3 )= 24,3
pP = 17,5 m hf1 = 22,5 m Q1 = 138
Hf2 = 7,5 m Q2 = 57,4
Hf3 = 17,5 m Q3 = 82,2 Q1-( Q2+ Q3 )=-1,6
Con una presión de 17,5 m en P prácticamente queda satisfecha la
ecuación de continuidad. Si se continúan los cálculos se obtiene
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IV. RECOMENDACIONES
Hacer un análisis exhaustivo al momento de desarrollar problemas
relacionados con tres reservorios ya que depende mucho del análisis que
se realice para encontrar la solución.
Seguir el procedimiento descrito en cada caso para poder determinar la
solución a los problemas planteados.
Tener mucho cuidado al momento de realizar el cálculo, para que de esta
manera llegar al verdadero resultado teniendo un margen de error
mínimo.
V. BIBLIOGRAFIA
Hidráulica de tuberías y canales – Arturo Rocha. Hidráulica general – Sotelo Dávila. Mecánica de fluidos – Merle C. Potter. Mecánica de fluidos – Víctor L. Streeter. Mecánica de fluidos e hidráulica – Ronald v. Giles / jack b. Evett /
Cheng Liu
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