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7/30/2019 TRIGONOMETRIA_RESUMEN TEORICO 1 (POR LA EDITORIAL RUBIOS)
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Se deduce:
1. EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL:
2. EN EL SISTEMA CENTESIMAL:
RELACIN ENTRE SISTEMAS CONOCIDOS
(Base de comparacin es la
medida del ngulo de una vuelta)
S = 9K C = 10K
Donde:K: Constante de proporcionalidadS: Nmero de grados sexagesimalesC: Nmero de grados centesimalesR: Nmero de radianes
Tambin es importante:
m: Nmero de minutos sexagesimalesn : Nmero de minutos centesimales
p : Nmero de segundos sexagesimalesq : Nmero de segundos centesimales
CAPACIDADES:1. Define correctamente el ngulo trigonomtrico.2. Aplica la conversin entre sistemas de medicin
angular.3. Utiliza los conceptos fundamentales en la resolucin
de problemas especficos.
A todo ngulo trigonomtrico le corresponde unamedida la cual puede expresarse por cualquier nmeroREAL ( ).
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOSNGULOS TRIGONOMTRICOS
Dos o ms ngulos trigonomtricos sern COTERMI-NALES si:
* Tienen el mismo lado inicial.* Tienen el mismo lado final.* Tienen el mismo origen.Sin tener en cuenta su SENTIDO ni su MEDIDA
CAPTULO11NGULO TRIGONOMTR
SISTEMAS DE MEDICIN A
ngulo Trigonomtrico Sistemas de Medicin Angular 1
Se determina por la rotacin de un rayo OA que gira alrededor de su origen O hasta la posicin final OB en un mismo plano.
NGULO TRIGONOMTRICO
Posicin inicial
P o s i c i n f i n a l
A
B
O
a
+
Sentido antihorario Sentido horario
Sentido de rotacin del rayo (Convencin)
- < medida del ngulo trigonomtrico < +
SISTEMAS DE MEDICIN CONOCIDOS
q a
qNmeroentero
de vueltas+ a
q-a = Nmero entero de vueltas
1
4
1
4
SISTEMASEXAGESIMAL
(Ingls)
SISTEMACENTESIMAL
(francs)
SISTEMARADIAL
(internacional)
UNIDAD O1 1 radg1
DEFINICIN
EQUIVA-LENCIAS
O1 mS 1 vuelta
3601 rad = AOBmS
om S 1 vuelta=360, ,,o1 60 3600
, ,,1 60
q
A
B
r
r o
gm S 1 vuelta=m1 100 10000
m s1 100
400g s
Si: AB = OA = r q = 1 radmS 1 vuelta = 2prad
400g1
m S 1 vuelta
VALORESDE p
Grados SegundosMinutos60 60
60 603600
x 3600
Grados SegundosMinutos100 100
100 10010000
x 10000
Recuerdasiempre:
o g360 400 2p rado g180 200 p rad
o g9 10
S C R360 400 2
==p
S C 20R K9 10
===p
KR20p=
m n27 50
=
p q81 250
=
1
3
1
3
De aqu ... !
o g , ,, sm9 < > 10 27 < >50 81 < >250
p 227
p 10
p 2
p 355113
3+
, ,,oTambin: 1 rad 57 17 45o1 rad > 1 1g>Entonces:
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RUBIOS
IV. Si:a=-780b =90ab son coterminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
VI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
VII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
VIII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
IX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
XI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
XII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
XIII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
XIV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
XV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
XVI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
Para un ngulo trigonomtrico cuyo sentido es ANTIHORARIO se cumple:
C > S > R
C: Nmero de grados centesimales (Nmero mayor)S: Nmero de grados sexagesimales (Nmerointermedio)
R: Nmero de radianes (Nmero menor)
60 S : Nmero de minuto sexagesimal3600 S : Nmero de segundo sexagesimal100 C : Nmero de minuto centesimal
10000 C : Nmero de segundo centesimal
APLICACIN
Determine el valor de verdad de los siguientesproporciones:
I. b+q-a=360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
II. x = 270 +q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
III. Si:a=1860b =60ab son coterminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )
2
q
a
b
x
q
5150 rad6
p
5450 rad4p
g600 3 radp
1S C 19C S
-+ =-
C S 11 5C S
+ -=-
2S 3C 1 7C S
+ +=-
g 240 rad5 1
108
p+=
aa ' 61a '
=
g mm 101pp =p
g80 72m100 54 '
s243 " 1500
CAPTULO22 RAZONES TRIGONOMTRICASDE UN NGULO AGUDO
CAPACIDADES:
1 Utiliza correctamente las razones trigonomtricas deun ngulo agudo en situaciones problemticasespecficos.
2 Calcula las razones trigonomtricas de los ngulosms conocidos sin tablas ni calculadoras.
3 Reconoce y aplica las razones trigonomtricas en laresolucin de tringulos rectngulos.
seno cosenotangente cotangentesecante cosecante
RT CO - RTseno cosecante
coseno secantetangente cotangente
RT RT RECPROCAS
senacsca = 1cosaseca = 1tanacota = 1* sen10csc10=1 * cos5x sec50 = 1
Como los catetossiempre sonmenores quela hipotenusa.
Se cumple:0 < sena < 10 < cosa < 1
tana > 0cota > 0sec a > 1csca > 1
Recuerdasiempre
lostringulos
rectngulosms
utilizados
Son las seis fracciones que se forman con los lados de un tringulo rectngulo
PROPIEDADES
RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDO
a
A C
B
c
ba
sen = aca ; csc =c
aa
cos = bca ; sec =c
ba
tan = a ba ; cot =baa
Si: a y b son ngulos complementariosse cumple: RT(a ) = CO - RT (b) a + b = 90* sen10 = cos80 * sec5x = csc4x
x=10 x=10* RT :Razn
Trigonomtrica* CO-RT :Co Razn
Trigonomtrica
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CAPTULO33 RESOLUCIN DETRINGULOS RECTNGULOS
RT(a ) Lado desconocidoLado conocido
3
45
k2
k
k
45o
8
5 k2
k
7k
82
37 /2
k1 0
k
3k53 /2
k5
k
2k
60k
30k 3
2k
53
4k
3k
375k
74
24k
7k
1625k
15
754
6 2+
6 2-
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o o o
APLICACIN
1. En un tringulo rectngulo ABC, recto en C, se cumple:Determine:
Respuesta:
2. Si:
Determine:
Respuesta:
7tanA3
=
W a b=+
W 7 tanB 6 sec A= +
5sec 02 2
pq=
-
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4
CAPTULO44 INTRODUCCIN A LAGEOMETRA ANALTICA
CAPACIDADES:
1. Define conceptos sobre plano cartesiano y par ordenado.
2. Determina puntos en un sistema bidimensional decoordenados que correspondan a pares ordenadas denmeros reales: Clculos.
3. Reconoce y aplicar las frmulas bsicas de Puntos.4. Estudia y aplicar a situaciones problemticas
especficas las frmulas de la Recta y Circunferencia.
PLANO CARTESIANO
IC
IVC
.P(2;-5)
IIIC
.P3 (-3;-4)
IIC.P2 (-4;3) .P(x; y)
5
1ra componente(abscisa)
2da componente(ordenada)r
x =x + r x1 2
1 + r y =
y + r y1 21 + r
coordenadas del punto medioM(x; y)(r = 1 y m = n)
x =x + x1 2
2y =
y + y1 2
2
Coordenadas del punto P(x; y)que divide al segmento P1P2en una razn. (r = m )n
C(x ;x )3 3
A(x ;y )1 1 B(x ;y )2 2
G(x;y)
x =x1 + x2 + x3
3
y =y1 + y2+ y3
3
COORDENADAS DEL BARICENTROG(x;y) DE UN TRINGULO
DISTANCIA(d) ENTRE DOS PUNTOS PP1 2
P(x; y)
P (x1; y1)1
m
nP (x2 ; y2)2
2 2(y -y ) +(x -x )2 1 2 1P P1 2 | d |
| d | 2 2(Dx) +(Dy)
Deducir las frmulas en una hoja aparte para que no te olvides ....!
REA DE POLGONOS
x1 y1x2 y2x3 y3x4 y4x5 y5
xn ynx1 y1
x1y2x2y3x3y4
xnM
x4y5
x2y1x3y2x4y3
x1ynN
x5y4
rea = 12 M - N144444444
P2 (x2 ; y2)
P3 (x3 ; y 3)
P4 (x4 ; y4)
P 5 (x5 ; y5)
P 1 (x1 ; y1 )
y1
APLICACIN
1. Determine el radio vector de los siguientes puntos:a) P(2;-3) r =b) Q(-7;3) r =c) R(-3;5) r =d) S(3;-2) r =
2. Determine la distancia entre los siguientes puntos:a) A(-2;-1) al punto B(2;3) d =b) P(3;4) al punto Q(-3;-4) d =
3. Determine el radio vector del punto medio. Delsegmento formado al unir A(-5;7) y B(1;3).Respuesta
4. Dos vrtices consecutivos de un cuadrado son A(-3;2) B(2;-10). Determine el permetro delcuadrado.
5. Si: (3;5) es el punto medio de A(-5;1) y B(a;b).Determine a-b.
Respuesta
Respuesta
ab
a
b
A
B
CD
37
q
3. Del grfico, calcule tanq
Respuesta
4.
Respuesta
Del grfico,halle ABen trminos dea, b, a y b.
5. Si ABCD es un cuadrado, halle x.
Respuesta
L A B
CD
a
x
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5
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
1
3y
x
2
m1 m3 = -1.m2 m3 = -1.
2 3
m1 m2=
1 2
| d | =|Ax + By + C |1 1
A2 + B2
DISTANCIA (d) ENTREDOS RECTAS PARALELAS
ECUACIN SEGMENTARIA
DISTANCIA(d) DE UNPUNTO(P ) A UNA RECTA ( )1
P(x1; y1)
A x+ B
y+ C =
0
:d
A x+B
y+ C
= 0 1
:
A x+B
y+ C
= 0 2
:
1
2d
d =|C -C |2 1
A2 + B2
(0; b)
(a; 0)
x
y
: xayb = 1
ECUACIN INTERCEPTO CON EL EJE y
(0; b)
x
y
m = pendiente de rectab: Ordenada de intercepto
y = mx + b:
ECUACIN PUNTO (P ) Y PENDIENTE (m)1
m =y -y2 1x -x2 1
DyDx=
P(x ;y )2 2
x
y
P(x;y)
P(x ;y )1 1
:y-y = m(x-x )1 1
P(x; y)
x
y
r
o
P(x; y)
C(h; k)
x
y
circunferencia
Seccionescnicas
CIRCUNFERENCIAEs el lugar geomtrico de todos lospuntos de un plano que estn a unamisma distancia de otro punto fijo del
mismo plano denominado centro.
ECUACIN GENERAL2 2: x +y +Ax+By+C = 0
Ecuacinordinaria
con centroen: C(h; k) y
radio (r)
Ecuacincannica
con centroO(0; 0) yradio (r)
2 2 2:(x-h) +(y-k) = r 2 2 2: x +y = r
APLICACIN
1. Determine el centro y radio de cada una de lassiguientes circunferencias:
2 2a) x +y = 49
b)
2 2c) (x-y) +(y+5) = 100
2 2d) (x+5) +(y-6) =81
2 2e) x +y +4x-6y-5 = 0
Respuesta
2 2x +y = 20
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
1
LA RECTA
NGULO DE INCLINACIN (q)PENDIENTE DE RECTA (m)
2
y
x
q2 q1
m = tanq1 10 < m
-
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CAPACIDADES:1 Utiliza las razones trigonomtricas de un ngulo de
cualquier medida a situaciones problemticasespecficas.
2 Deduce los valores reales de las razones trigo-nomtricas de los principales ngulos cuadrantales(0, 90, 180, 270 y 360)
3 Calcula las razones trigonomtricas de ngulosmayores de una vuelta con ayuda de los nguloscoterminales.
6
CAPTULO55 RAZONES TRIGONOMTRICAS DENGULOS DE CUALQUIER MEDIDA
NGULOS EN POSICIN NORMAL(CANNICO O ESTNDAR)
b
x
yy
ax q x
y
a
x
y
a , b, q y f son ngulos que no estn en posicin normal
f x
y
x
y
a
b
b x
y
x
y
qf
RAZONES TRIGONOMTRICAS DENGULOS EN POSICIN NORMAL
El signo de las R.T. deun ngulo en posicinnormal depende de laabscisa y ordenada delpunto de su posicinfinal.
NGULOS COTERMINALES
oa
b
oa
b
APLICACIN
1. Calcule:W=tanq+cotqde:
Respuesta
2. Determine el signo de la siguiente expresin:
Respuesta
3. Calcule tanq
4. Calcule:
5. Si: tanq= 0,75secq>0Calcule: W=secq+cosq
Respuesta
Respuesta
Respuesta
(-3;-4)
x
y
q
x
y
P(x; y)
a
r y
x
= Nmero entero de vueltas= 360 n; (n Z)= 360 n + b
Tambin ...!a-ba-b
a
* Tienen el mismo vrtice.* Tienen el mismo lado inicial.* Tienen el mismo lado final.
CARACTERSTICA
NGULOS QUE NO ESTN EN POSICIN NORMAL
IC IIC IIIC IVC
csc asec acot atan acos asen a
+
+
++
+
+
++++++sen =a
cos =a
tan =a
yr
xr sec =a
r x
yx cot =a
xy
csc =ar y
3 cosW ; si IICsec tan
-q= qq+q
(-3;-4)
xy
q
4 2
3 2
sen 90 cos 180 tan 360W 11sec 10 csc2
+ += pp+
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE:
seno
- 1
-1
- 1
- 11 1
11
1
1
000
00 0
0000
NDND
ND
NDND
ND
ND
ND
ND
ND
360270180900
cosecantesecantecotangentetangentecoseno
ngulo
RAZONES TRIGONOMTRICAS DENGULOS COTERMINALES
y
450o180o
-180oR
P
Q
Sa
b
r P(x; y)
y
x
RT(a ) = RT(b)ab son ngulos coterminales
No olvides que:Los puntos P, Q, R y S son denominados puntoscuadrantales, y no pertenecen a ningn cuadrante.
450, 180 y -180 son denominados nguloscuadrantales.
No olvides que:Los puntos P, Q, R y S son denominados puntoscuadrantales, y no pertenecen a ningn cuadrante.
450, 180 y -180 son denominados nguloscuadrantales.
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CAPACIDAD:
- Deduce correctamente la reduccin al primer cuadrante, considerando los casos que se presentanen problemas especficos.
1er CASO: Para ngulos menores de 360
RT 180360
q RT(q)
RT 90270 q CO-RT(q)
- q se asume que es agudo- indica el signo de la reduccin y depende del ngulo
y la razn trigonomtrica a reducir.
CAPTULO66 REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE
2do CASO: Para ngulos mayores de 360
3er CASO: Para ngulos negativos
RT360
2pkq RT( )qo
k Z
El nmero de vueltas se elimina
sen(-q) = - senq
cos(-q) = cosq
tan(-q) = - tanq
cot(-q) = - cotq
sec(-q) = secq
csc(-q) = - cscq
APLICACIN
1. CalculeW=sen150+sen210+sen330Respuesta
2. Calcule:W=cos120+cos240+cos300
3. Determine el valor de:
4. Realizar:
5. Simplifique
6. Determine el valor de:
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
31 101W sen cos4 4
p p= +
sen( ) cos( )2W 71tan(22 x) cot( x)2
pp+a+ +a= pp+ +
3sen( )cos( ) tan( )2 2E
tan( )
p p+a -a +a=
p+a
E tan sec( ) cos( )2
1Si : sen " " es agudo2
p=a -a p-a
a= a
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si: a+b = 180(ngulos suplementarios)
sen = sena bcos = - cosa btan = - tana bcot = - cota bsec = - seca bcsc = csca b
PROPIEDADES
... No te compliques, de lo anterior, podemosgeneralizar analticamente slo en dos casos .. !
1er CASO
RT (K q) = RT(q); k Zp +- +-
2do CASO
RT [(2n+1) = CO-RT(q); n Zp q]2 +-+-
+- Indica el signo de la reduccin en ambos casos, y depende del ngulo y la razn trigonomtrica a reducir Ejemplos:
sen(5p+ ) = -sen = 3p p -3 3 2IIIC
1.-
(5: impar)
2.- tan33 = tan (8p + ) = + tan = 1p p p4 4 4IC(8: par)
3.- sen(71 - ) = - cos = - 1pp p2 3 3 2IIIC
Recuerda el procedimiento!
Se cumple:
sen = - sena bcos = cosabtan = - tana bcot = - cota bsec = secabcsc = - csca b
si: a+b = 360
y
x
(2n+1) = 4 + 1
(2n+1) = 4 - 1
K: PARK: IMPAR A
, A
B
B,
-q
-q+q
+q-q
+qIIC IC
IIIC IVC-q+q
1442443
1442443
1444244
(71: 4-1)
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