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Trigonometría
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SEMANA 16
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
1. En un triángulo ABC, si: A = 60°;
b 4 7; c 6 7 .
Halle el lado “a”
A) 7 B) 10 C) 13 D) 14 E) 20
RESOLUCIÓN De la ley de cosenos:
2 2 2a b c 2bc cosA
2 2
2 0a 4 7 6 7 2 4 7 6 7 cos60
2a 196
a 14
RPTA.: D
2. Los lados de un triángulo son
proporcionales a los números 3;5
y 7. Siendo “ ” la medida de su
menor ángulo interno; halle
"sec " .
A) 13
7 B)
13
6 C)
7
13
D) 13
14 E)
14
13
RESOLUCIÓN
1
sec ?cos
Ley de cosenos:
2 2 23 5 7 2 5 7 cos
13
cos14
14
sec13
RPTA.: D
3. En un triángulo ABC, la expresión:
b sen B C
Wc b cosA
es equivalente a:
A) tg B B) ctg B C) 1 D) 2 E) 1/2
RESOLUCIÓN
* ABC A B C 180 B C 180 A
* Ley de proyecciones: c a cosB b cosA c b cosA a cosB
b sen 180 A b senA
Wa cosB a cosB
2RsenB senA
W tgB2RsenA cosB
RPTA.: A
4. En un triángulo ABC, se conoce
que: B = 45°; b = 2 y 6c .
Indicar la medida del ángulo C.
A) sólo 30° B) sólo 45º C) sólo 60° D) 30° ó 150°
E) 60° ó 120°
RESOLUCIÓN
2 6
sen45 senC
3
senC2
C = 60º ó 120º
RPTA.: E
53
menor ángulo
7
A C
B
6
45º
2
Trigonometría
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5. En un triángulo ABC, se conoce que: A = 120°, b = 7 cm y
c = 8 cm. Halle la longitud del lado a.
A) 13 m B) 130 m C) 1,3 m D) 0,13 m
E) 0,013 m
RESOLUCIÓN
2 2 2a 7 8 2 7 8 cos 120
a 13cm 0,13m
RPTA.: D
6. En un triángulo ABC de lados AB=c; AC = b; BC =a Determine:
M ab senC ctgA ctgB
A) 2c B) 2b C) 2a
D) 2a
2 E)
2c
2
RESOLUCIÓN M ab senC ctgA ctgB
sen A BM ab senC
senA senB
,
a = 2Rsen A b = 2Rsen B
c = 2Rsen C sen C
2sen A B
M 4R senA senB senCsenA senB
2 2M 2RsenC c
RPTA.: A
7. Halle la medida del ángulo B de un triangulo ABC cuyos lados a, b,
y c cumplen la relación:
b a c c a b 3ac
A) 30° B) 45° C) 60° D) 120° E) 150°
RESOLUCIÓN
b a c b a c 3ac
22b a c 3ac
2 2 2 2a c 2accosB a 2ac c 2ac
1
cosB2
B 120
RPTA.: D
8. En un triangulo ABC de lados BC = a, AC = b, AB = c Se
cumple: (a+b+c)(a+ b - c)= 7ab
3
Calcule: M = 3sen 2C senC
A) 36
35 B)
6
35
C) 35 D) 2 35
E) 18
RESOLUCIÓN
2 27ab 7ab
a b c a b c a b c3 3
2 2 2 ab 1a b c cosC
3 6
2ab cosC
Luego:
2M 3 2senC cosC senC 6 sen C cosC
2
35 1 35M 6
6 6 36
RPTA.: A
120º
a
B
8
C A7
35
1
6
c
Ley de senos
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9. Siendo P el semiperimetro de un triangulo ABC, indicar el
equivalente reducido de:
(b+c)cosA + (a+c) cosB + (a+b)cosC
A) p B) 2 p C) p
2
D) p
4 E) 4p
RESOLUCIÓN E bcosA ccosA acosB ccosB
acosC bcosC
Si: c bcosA acosB
E a b c
E = 2 p
RPTA.: B
10. En un triangulo ABC, reduce:
(bcosC a)tgB
EbsenC
A) 1 B) -1 C) -2
D) 2 E) -2
1
RESOLUCIÓN
bcosC bcosC ccosB tgBE
bsenC
ccosB senB
EbsenD cosB
E = -1 RPTA.: B
11. En un triangulo ABC se cumple:
sen A B cos B C
c a
Luego su ángulo “A” mide:
A) 120° B) 127° C) 143°
D) 135° E) 150°
RESOLUCIÓN * ABC: A B C 180
A B 180 C
B C 180 A
Condición:
sen A B cos B C
c a
sen 180 C cos 180 A
c a
senC cosA
2RsenC 2RsenA
1 ctgA
1 ctgA A 135º
RPTA.: D
12. En un triángulo uno de sus lados mide 20 cm y los ángulos internos
adyacentes con él miden 16° y 37°. Halle su perímetro.
A) 22 cm B) 24 cm C) 42 cm D) 44 cm E) 50 cm
RESOLUCIÓN
Aplicando “Ley de senos”
x 20 y
sen37 sen 180 53 sen16
sen 53º
x 2 y
3 4 7
5 20 25
Perímetro x y 20 42cm
RPTA.: C
13. En un triángulo ABC, simplifique
la expresión: E b cosB c cos C
A) b cos (B-C) B) a cos (B-C)
C) c cos (B-C) D) a sen (B-C) E) b sen (B-C)
x 15cmy = 7cm
x y
20 cm.
16º 37º
180º-53º
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RESOLUCIÓN E 2RsenB cosB 2RsenC cosC
E Rsen2B Rsen2C
E R 2sen B C cos B C
E acos B C
RPTA.: B
14. Halle “x” en la figura:
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
RESOLUCIÓN
Aplicando ”Ley de cosenos”
2 2 2x 3 5 2 3 5 cos120
x = 7 RPTA.: B
15. En un triángulo ABC reduce:
2 2 2 2M a b c cosA b a c cosB
2 2c a b cosC
A) 3 B) a + b + c
C) 3 (a + b + c) D) abc E) 3abc
RESOLUCIÓN
2 2 2 2M acosA b c bcosB a c
2 2ccosC a b
2 2 2M ab cosA ac cosA a bcosB 2 2 2bc cosB a ccosC b ccosC
M ab b cosA a cosB ac c cosA a cosC
“c” “b”
bc c cosB b cosC
“a”
M 3abc
RPTA.:E
16. En un triángulo ABC, simplifique la
expresión:
2 2a B b AE cos cos
2 2 2 2
Siendo p el semiperimetro de dicho triángulo
A) p B) 2p C) p
2
D) p/4 E) 4p
RESOLUCIÓN
2 2B A4E a 2cos b 2cos
2 2
4E a 1 cosB b 1 cosA
4E a acosB b bcosA
4 E a b c
P
E2
RPTA.: C
17. En un triángulo ABC, determine el valor de x para que verifique la
siguiente expresión:
B C B C 2cxtg tg
2 2 b c
A) A
tg2
B) A
4tg2
C) A
ctg2
D) A
2tg2
E) A
2ctg2
x
35
x = ?
35
120º
60º
60º 60º
5
Trigonometría
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RESOLUCIÓN
Si:
B Ctg
b c 2
B Cb ctg
2
B C B Ctg tg
2c 2 2
B Cb ctg
2
como:
A B C B C A90º tg ctg
2 2 2 2
A
x ctg2
RPTA.: C
18. En un triángulo ABC, BC = a,
AC = b, AB = c Simplifique:
2 2 2M a cos 2A 2C b cos 2B 2C b
A) 2a
2 B)
2b
2
C) 2a D) 2b
E) 22a
RESOLUCIÓN Como: 2A 2B 2C 360
cos 2A 2C cos2B cos 2B 2C cos2A
2 2 2M a cos2B b cos2A b
2 2M a cos2B b 1 cos2A
21 2sen B 22sen A
Ley de senos:
a 2RsenA b 2RsenB 2 2 2 2 2 2M a 2a sen B 2b sen A a
RPTA.: C
19. En un triángulo ABC (AB = c, AC = b, BC = a), si
b = 3a, m ACB = 60°, calcule el
valor de: M 5tgA ctgA
A) 3
3 B) 3 C)
5 3
3
D) 2 3 E) 8 3
3
RESOLUCIÓN Si: C = 60 A+B = 120°, b = 3a
Ley de tangente:
B A B Atg tg
b a 2a2 2
B Ab a 4a tg60tg
2
B A 3 B A
tg tg 32 2 2
3 3
3B A B A 32 2tgA tg
3 52 2 51
2 2
Luego:
3 5 8 8 3M 5
5 33 3
RPTA.: E
20. En un triángulo ABC, si:
A + B = 72° A - B =36°
Halle: a b
Wa b
A) 5 B) 5
5 C)1
D) 5 E) 1
5
RESOLUCIÓN En triángulo ABC, de la Ley de tangentes:
Trigonometría
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A Btg
a b 2W ?
A Ba btg
2
72 sen36tgtg362 cos36W
sen1836 tg18tg
cos182
2sen36 cos18 sen54 sen18
W2cos36 sen18 sen54 sen18
5 1 5 1
4 4cos36 sen18W 5
cos36 sen18 5 1 5 1
4 4
RPTA.: A
21. En un triángulo ABC, BC = a,
AB = c, AB = c si
4 2 2 2 4 2 2 4c 2 a b c a a b b 0
Halle la medida del ángulo agudo C.
A) 90° B) 60° C) 45° D) 30° E) 15°
RESOLUCIÓN
4 2 2 2 4 2 2 4c 2 a b c a a b b 0
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2a c 2b c 2a b a b
222222 bacba
2 2 2 2 2 2 2 22abcosc a b 4a b cos c a b
2 1cos c
4
1
cos C C 602
(Agudo)
RPTA.: B
22. En un triángulo ABC (BC = a; AC = b, AB = c) inscrito en una circunferencia de radio R, se
cumplem C= 45º, además
2 2 2a b 2 2R
Calcule: M tg2A 3tg2B
A) -1 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
2 2 2a b 2 2R …………………………*
Ley de senos: a 2RsenA ,
b 2RsenB
En (*) 2 2 2 24R sen A sen B 2 2R
2
sen A B sen A B2
,
Pero: C = 45° (1)A B 135
2
sen135: sen A B sen A B 12
2
2
(2) A B 90
(1) + (2): 2A = 225° (1)-(2)
= 2B = 45° Luego:
M tg 225 3tg45 1 3(1) 2
RPTA.: B