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Trigonometría
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SEMANA 15
ECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1. Halle la suma de las 3 primeras soluciones positivas de la
ecuación: 2
sen 5x 10º2
A) 111º B) 133º C) 122º
D) 132º E) 123º
RESOLUCIÓN
P
2 2sen 5x 10º V arcsen 45º
2 2
n
5x 10º 180º n 1 45º
n
x 36º n 1 9º 2º;n
Si: n = -1 x = - 43º
n = 0 x = 11º
n = 1 x = 29º
n = 2 x = 83º
11º 29º 83º 123º
RPTA.: E
2. Indique el número de soluciones
positivas y menores a una vuelta de la ecuación:secx cosx senx
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
* 0º < x < 360º
*1
secx cosx senx cosx senxcosx
2 21 cos x senxcosx sen x senx cosx
2sen x senx cosx 0 senx senx cosx 0
i) senx 0 x 0º,180º,360º,...
ii) senx
senx cosx 0 senx cosx 1cosx
tg x= 1 x = 45º, 225º, … Son “3” soluciones: 180;45º;225º
RPTA.: C
3. Resolver y dar la suma de
soluciones de la ecuación:
cos2x senx 0; x 0º;360º
A) 450º B) 630º C) 540º
D) 360º E) 300º
RESOLUCIÓN
cos2x senx 0;x 0º;360º
21 2sen x senx 0
20 2sen x senx 1
2 sen x 1
sen x -1
0 2senx 1 senx 1
IIIC: x = 210º i) IVC: x = 330º
ii) sen x = 1 x = 90º
90º 210º 330º 630º
RPTA.: B
4. Halle la suma de las soluciones de
la ecuación: ctg x – csc 2x = 1
Para ángulos positivos menores de 360º
A) 360º B) 630º C) 450º D) 660º E) 810º
RESOLUCIÓN
cosx 1
1senx 2senxcosx
22cos x 1 2senxcosx
tg 2x =1
de donde: k
x2 8
Se pide: Soluc 630º
RPTA.: B
1senx
2
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5. Al resolver la ecuación:
tg2xcosx 3senx
donde: 0 x 360º , la suma de
todas sus soluciones es:
A) 1260º B) 990º C) 650º
D) 720º E) 570º
RESOLUCIÓN
tg2x 3tgx
2
2tgx3tgx
1 tg x
donde: tg x = 0
x = 0; 180º; 360º
Pero: 22 = 3 -3tg x
2 1tg x
3
x = 30º; 150º; 210º; 330º
Se pide: Soluc = 1 260º
RPTA.: A
6. Halle los valores de “x” en el
primer cuadrante que verifican la ecuación:
cos4x -3 cos3x+3cos2x -1=0
A) 15º y 75º B) 45º y 30º C) 30º y 60º D) 15º y 30º
E) 18º y 60º
RESOLUCIÓN
- 3 cos 3x = 1 - cos 4x-3 cos 2x
2-3cos 3x=1- 2cos 2x 1 3cos2x
2-3cos 3x=2-3cos2x-2cos 2x
-3cosx 2cos2x-1 2 cos2x 1 2cos2x
de donde: x = 30º y 60º
RPTA.: C
7. Resolver la ecuación:
sen 2x = cos x e indicar sus
soluciones para x 0º;360º
A) 30º;90º;150º;270º
B) 30º;90º
C) 60º;90º;120º;270º
D) 60º;90º
E) 30º;60º
RESOLUCIÓN
sen2x cosx;x 0º,360º
2senx cosx cosx
2senx cosx cosx 0
cosx 2senx 1 0
i) cos x = 0 x = 90º ; 270º;…
ii) 1
senx x 30;150º;...2
.
conjunto solución =
30º;90º;150º;270º
RPTA.: A
8. Siendo tg2x tgx sen3x secx ;
x 0; Indique la suma de las
soluciones.
A) 2
B) C)
3
2
D) 2 E) 5
2
RESOLUCIÓN
tg2x tgx sen3x secx,x 0;
3
x ,x , ,2 4 4
sen 3x sen3x
;cosx 0cos2x cosx cosx
i) sen 3x = 0k
x3
k=1 x=
3
2
k=2 x= 3
k=3 x=
ii) cos 2x = 1 2x = 2 x =
(ya se considero)
Suma = 2
RPTA.: D
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9. Resolver:
2 2 2 2cos x cos 2x cos 3x cos 4x
Indique el número de soluciones
en el intervalo de 0;
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
2 2 2 22cos x 2cos 2x 2cos 3x 2cos 4x
cos2x cos4x cos6x cos8x
2cos3x cos x 2cos7x cos x
i) cos x = 0 x2
ii) cos3x cos7x 0 2sen5x sen2x 0
a) sen 2x = 0k
x2
k = 0x = 0
k = 1x = 2
k= 2 x =
b) sen 5x = 0 k
x5
k = 1 x
5
k= 2 2
x5
k = 33
x5
k = 44
x5
Hay 7 soluciones
RPTA.: C
10. Resolver: senx cosx tgx secx
La solución de la ecuación es: (K es un número entero)
A) k4
B) k
6
C) k12
D) k
18
E) k4
RESOLUCIÓN
senx 1
senx cosxcosx cosx
3 2cos x senx 1 cos x
3tg x 1 tgx 1
x = k +4
RPTA.: E
11. Determine la suma de soluciones
de la ecuación:
senx 3 cosx 1 ;x 0;2
A) 2
3
B)
3
5
C)
5
3
D) 3
2
E)
6
RESOLUCIÓN
senx 3cosx 1
1 3cosx senx
1 3 1
cosx senx2 2 2
1
cos30º cosx sen30º senx2
1
cos x 30º2
i) x 30º 60º x 30º6
ii) 3
x 30º 300º x 270º2
3 5
6 2 3
RPTA.: C
1
2
1
2
60º
300º
C.T.
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12. Halle uno de los valores de x que
satisfacen la ecuación
cos5x 3sen5x 2cosx 0
(K es un número entero)
A) K
2 12
B) K
3 12
C) K
4 12
D) K
2 18
E) K
2 12
RESOLUCIÓN
cosx 3sen5x 2cosx
cos 5x cosx3
de donde:
1
kx
2 12
2
kx
3 18
RPTA.: A
13. Resolver e indicar la suma de las 2 primeras soluciones positivas
de la ecuación:
2 2cos 5x sen x cos4x
A) 5
12
B)
5
24
C)
7
24
D) 7
12
E)
11
24
RESOLUCIÓN
2 2cos 5x sen x cos4x 0
cos 5x x cos 5x x cos4x 0
cos6x cos4x cos4x 0
cos4x cos6x 1 0
i) cos4x 0 4x 90º x 22º30'
ii) cos6x 1 6x 360º x 60º
11
22º30' 60º8 3 24
RPTA.: E
14. Al resolver la ecuación:
1 tgx 1 sen2x 1 tgx 1 cos2x
La suma de las soluciones comprendidos entre 0 y 180º
será: A) 360º B) 240º C) 245º
D) 315º E) 325º
RESOLUCIÓN
2
2 2
2tgx 1 tg x1 tgx 1 1 tgx 1
1 tg x 1 tg x
2
2
2 2
1 tgx 2tg x1 tgx 1 tgx
1 tg x 1 tg x
de donde: 1x k4
2x k6
Se pide: Soluc. 315º
RPTA.: D
15. Al resolver la ecuación: 2sen 2x =cos x tgx cscx
Calcule la diferencia entre las menores soluciones positivas.
A) 2
3
B)
6
C)
12
D) 2
15
E)
3
4
RESOLUCIÓN
2 ksen2x cos x tgx cscx,x
2
2 senx 12senx cosx cos x
cosx senx ; senx 0
cosx 0
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x6
5
x6
Diferencia = 2
3
RPTA.: A
16. Determinar todas las soluciones
de la ecuación:
1 tgx 3 ctgx
1 tgx 3 ctgx
k
A) k4
B) K
6
C) K12
D) K
18
E) K4
RESOLUCIÓN
2 6
2tgx 2ctgx
ctgx 3tgx 2ctg x 3
x k6
RPTA.: B
17. Al resolver la ecuación:
sen x 135º cos x 135º cos x 135º
El mayor ángulo negativo x es:
A) 15º B) – 75º C) 45º
D) 87º E) – 39º
RESOLUCIÓN
sen x 135 cos x 135 cos x 135
sen x 135 2senx sen135
2 2 2
senx cosx 2senx2 2 2
tg x = - 1
x = - 45º
RPTA.: C
18. Resolver la ecuación:
23 1 cosx sen x;n
A) {2 n } B) { n } C) n2
D) 4 n E) n4
RESOLUCIÓN
23 1 cosx sen x 23 3cosx 1 cos x
2cos x 3cosx 2 0
cos x - 2
cos x - 1 i) cosx 2 0 cosx 2 x
¡Incompatible!
ii) cos x -1 = 0cos x =1
x 2 n ; "n"
RPTA.: A
19. Indique la solución general de la
ecuación:
4 4 5sen x cos x ;"n"
8
A) x 2 n6
B) x n2 3
C) x 2 n3
D) x n2 6
E) x n6
1senx
2
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RESOLUCIÓN
4 4 5sen x cos x
8
3 cos4x 5
4 8
1
cos4x2
P
1V arccos 120
2
4x 360 n 120
x 90 n 30
x n2 6
; "n"
RPTA.: D
20. Resolver la siguiente ecuación
trigonométrica
2 2 3cos 5x sen 3x cos2x, k
2
A) 2K 12
B) 2K 14
C) 2K 13
D) 2K 15
E) 2K 18
RESOLUCIÓN
2 2 3cos 5x sen 3x cos2x
2
3cos8x cos2x cos2x
2
i) cos2x 0 2x 2k 1 x 2k 1 ,k Z2 2
ii) 3
cos8x x2
x 2k 1 ,k4
RPTA.: B
21. Resolver la ecuación
trigonométrica: 2 20,5cos x 3senx cosx 0,5sen x 0, k
A) k
2 6
B) k
3
C) k
2 3
D)
k
2 12
E) k6
RESOLUCIÓN
2 2cos x sen x 3 2senx cosx 0
3
3 sen2x cos2x tg2x3
k
2x k x ,k6 2 12
RPTA.: D
22. Resolver la ecuación
trigonométrica
x
3cosx 7 4cos2
Indique la suma de las soluciones
en el intervalo de 0;6
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
RESOLUCIÓN
2x x x3cosx 7 4cos 6cos 4cos 10 0
2 2 2
2 x3 2cos 1
2
2 x x x x3cos 2cos 5 0 3cos 5 cos 1 0
2 2 2 2
x3cos
2 - 5 0
xcos
2 + 1
xcos 1
2
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Luego: x
2k 12
x 2 2k 1 k 0 x 2
k 1 x 6
Suma = 8
RPTA.: D
23. Dado el sistema:
x y2
cosx 3 2 cosy
Indique una solución general de y
k
A) k24
B) k12
C) k10
D) k6
E) k3
RESOLUCIÓN
Como:x y cosx cos y seny2 2
Luego en: cosx 3 2 cosy , se tiene:
tgy 2 3 y k ,k12
RPTA.: B
24. Dado el sistema:
6
senx seny2
2
cosx cosy2
Halle: “x” y “y”, si 0 x ;
0 y
A) 7
x ;y12 12
B) 7
x ;y10 10
C) 3
x ;y4 2
D) 2
x ;y3 4
E) 3
x ;y8 8
RESOLUCIÓN
Como:
a)6 x y x y
senx seny 2sen cos2 2 2
=6
2………………………………….……(1)
Como:
b)2 x y x y
cosx cosy 2cos cos2 2 2
=2
2……………………………………..(2)
(1) (2)
x y 2tg 3 x y
2 3
………
También:
2
a : 2 2 3sen x sen y 2senx seny
2 ……(3)
2 2 2 1
b : cos x cos y 2cosx cosy2
.….(4)
(3) + (4):
2 2cos x y 2 cos x y 0 x y2
…
: 7 7
2x x6 12
: 2y y6 12
RPTA.: A