ALGEBRA LINEAL
Trabajo Colaborativo No. 2
Grupo: 100408_175
Presentado Por:
MAURICIO PATIÑO CAMARGO_ 79914320
JIMMY FERNEY CHAMBO CARO_79951320 MAURICIO RAMIREZ PITA_ 79912529
TUTOR:
IVAN FERNANDO AMAYA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD
MAYO DE 2012
INTRODUCCIÓN
Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que
son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se
presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.
En la unidad 2 del programa de Algebra Lineal se aborda la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales de forma gráfica y de forma analítica, viéndose en este
último caso los tres métodos conocidos de resolución de sistemas: sustitución,
igualación y reducción. Estos métodos nos permiten a la vez afrontar el
planteamiento y resolución de problemas diversos.
Se hace un reconocimiento general de la unidad 2 del curso de álgebra lineal, y se
presentan una serie de ejercicios desarrollados para aplicar dichos conocimientos.
OBJETIVOS
- Aplicar el método de Gauss Jordan para solucionar sistemas de ecuaciones
lineales.
- Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la
unidad 2 del programa de Algebra Lineal.
- Comprender los fundamentos teóricos de los sistemas lineales, rectas,
planos y los principios de espacio vectorial, a través del estudio, análisis y
solución de diferentes ejercicios.
- Conocer los sistemas de ecuaciones lineales, sus aplicaciones y solucionar
dichos sistemas a través de la práctica.
DESARROLLO DE PROBLEMAS Y EJERCICIOS
1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:
1.1 -x -4y-7z = -12
5x – 7y -3z = -5
-8x + 5y +6z= 3
-1 -4 -7 -12
5 -7 -3 -5 , Ahora llevemos la matriz a su forma escalonada
-8 5 6 3
-1 f1 1 4 7 12
5 -7 -3 -5
-8 5 6 3
5f1-f2 1 4 7 12
0 27 38 65
-8 5 6 3
8f1+ f3 1 4 7 12
0 27 38 65
0 37 62 99
F2/ 27 1 4 7 12
0 1 38/27 65/27
0 37 62 99
4F2+ f1 1 0 37/27 64/27
0 1 38/27 65/27
0 37 62 99
-37f1+ f3 1 0 37/27 64/27
0 1 38/27 65/27
0 0 268/27 268/27
27
268𝑓3 1 0 37/27 64/27
0 1 38/27 65/27
0 0 1 1
−38
27𝑓3 + 𝑓2 1 0 37/27 64/27
0 1 0 1
0 0 1 1
−37
27𝑓3 + 𝑓1 1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
Donde:
X= 1
Y= 1
Z = 1
1.2 3x - y - z + 4w= -10
8x –-3y -z – 2w= -18
3 -1 -1 4 10
8 -3 -1 -2 -18
F1/3 1 −1
3
−1
3
4
3
10
3
8 -3 -1 -2 -18
-8 f1+f2 1 −1
3
−1
3
4
3
10
3
0 −1
3
5
3
−38
3
−134
3
-3 f2 1 −1
3
−1
3
4
3
10
3
0 1 -5 38 134
1
3 f2+f1 1 0 -2 14 48
0 1 -5 38 134
La ecuación quedaría de la siguiente forma:
X – 2z + 14w = 48
Y – 5z + 38w=134
Despejamos x,y respectivamente y las ecuaciones poseen múltiples soluciones:
X= 48+ 2z- 14w
Y= 134+ 5z -38w
2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el
método que prefiera para hallar 𝐴−1).
𝑥 − 𝑦 − 7𝑧 = −8 3𝑥 − 8𝑦 − 2𝑧 = −7 −5𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −2
Solución Encontremos el determinante
𝐷𝑒𝑡𝐴 = 1 − 1 − 73 − 8 − 2−5 2 1
= 227
1 − 1 − 73 − 8 − 2−5 2 1
1 0 00 1 00 0 1
𝑓2 − 3𝑓1 1 − 1 − 70 − 5 19−5 2 1
1 0 0−3 1 0 0 0 1
𝑓3 + 5𝑓1 1 − 1 − 70 − 5 190 − 3 − 34
1 0 0−3 1 0 5 0 1
−1
5 𝑓2
1 − 1 − 7
0 1 19
5
0 − 3 − 34
1 0 03
5
−1
5 0
5 0 1
𝑓3 + 3𝑓2
1 − 1 − 7
0 1 19
5
0 0 −227
5
1 0 03
5
−1
5 0
34
5
−3
5 1
−5
227 𝑓3
1 − 1 − 7
0 1 19
5
0 0 1
1 0 03
5
−1
5 0
34
227
−3
227
−5
227
𝑓2 + 19
5 𝑓3
1 − 1 − 70 1 00 0 1
1 0 07
227
−34
227
−19
227
34
227
−3
227
−5
227
𝑓1 + 𝑓2
1 0 − 7
0 1 00 0 1
234
227
−34
227
−19
2277
227
−34
227
−19
227
34
227
−3
227
−5
227
𝑓1 + 7𝑓3
1 0 0
0 1 00 0 1
−4
227
−13
227
−54
2277
227
−34
227
−19
227
34
227
−3
227
−5
227
𝐴−1 =
−4
227
−13
227
−54
2277
227
−34
227
−19
227
34
227
−3
227
−5
227
−4
227
−13
227
−54
2277
227
−34
227
−19
227
34
227
−3
227
−5
227
231220261
𝑥 =231
227
𝑦 =220
227
𝑧 =261
227
𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
3.1. Las ecuaciones simétricas de la recta son:
𝑥 − 7
−8=
𝑦 + 1
6=
𝑧 − 1
−4
Las ecuaciones paramétricas de la recta son
𝑖 : 𝑥 = −8𝑡 + 7
𝑗 : 𝑦 = 6𝑡 − 1
𝑘 : 𝑧 = −4𝑡 + 1
3.2
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 5,3, −7 y el 𝑣 = 3𝑖 − 4𝑗 + 7𝑘
𝑥 = 5 + 3𝑡
𝑦 = 3 − 4𝑡
𝑧 = −7 + 7𝑡
𝐋𝐚𝐬 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚
𝐋𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐬𝐢𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐬𝐞 𝐨𝐛𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞𝐧 𝐝𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐚 𝐭 𝐞 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐥𝐨𝐬 𝐫𝐞𝐬𝐮𝐥𝐭𝐚𝐝𝐨𝐬.
𝑥 − 5
3=
𝑦 − 3
−4=
𝑧 + 7
7
4.
Solución
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑃𝑄 𝑦 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑄𝑅
𝑃𝑄 = 5 + 8 𝑖 + −4 − 5 𝑗 + −8 − 0 𝑘
𝑃𝑄 = 13𝑖 − 9𝑗 − 8𝑘
𝑃𝑅 = −3 + 8 𝑖 + −5 − 5 𝑗 + 1 − 0 𝑘
𝑃𝑅 = 5𝑖 − 10𝑗 + 1𝑘
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑃𝑄 𝑦 𝑃𝑅 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.
𝑃𝑄 𝑋𝑃𝑅 = 𝑖 𝑗 𝑘
13 −9 −85 −10 1
→ 𝑖 −9 −8−10 1
− 𝑗 13 −85 1
+ 𝑘 13 −95 −10
−89𝑖 − 53𝑗 − 85𝑘
𝑇𝑜𝑚𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−3,−5,1)
𝜋1: −89 𝑥 + 3 − 53 𝑦 + 5 − 85 𝑧 − 1
𝜋1: −89𝑥 − 267 − 53𝑦 − 265 − 85𝑧 + 85 = 0
𝜋1: −89𝑥 − 53𝑦 − 85𝑧 = 267 + 265 − 85
𝜋1: −89𝑥 − 53𝑦 − 85𝑧 = 447
𝑆𝑒𝑎 𝜋 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝜋: −5 𝑥 + 7 − 2 𝑦 + 8 + 6 𝑧 + 8 = 0
𝜋: −5𝑥 − 35 − 2𝑦 − 16 + 6𝑧 + 48 = 0
𝜋: −5𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 3
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑙𝑜
𝐷𝑒 𝜋1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛 = 1𝑖 − 5𝑗 − 8𝑘
𝐷𝑒 𝜋2 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛 = −2𝑖 − 5𝑗 − 7𝑘
𝑛 𝑋𝑛 = 𝑖 𝑗 𝑘1 −5 −8
−2 −5 −7 → 𝑖
−5 −8−5 −7
− 𝑗 1 −8
−2 −7 + 𝑘
1 −5−2 −5
−5𝑖 + 23𝑗 − 15𝑘 ≠ 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 Por lo tanto los planos no son paralelos.
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑐𝑖ó𝑛
1 −5 −8−2 −5 −7
109
2𝑓1 + 𝑓2 = 𝑓2 1 −5 −80 −15 −23
1029
−1
15𝑓2 = 𝑓2
1 −5 −8
0 123
15
10
−29
15
5𝑓2 + 𝑓1 = 𝑓1 1 0
−1
3
0 123
15
1
3−29
15
𝐷𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑥 −1
3𝑧 =
1
3 𝑦 +
23
15𝑧 =
−29
15
𝑥 =1
3+
1
3𝑧 𝑦 =
−29
15−
23
15𝑧 z=z Si hacemos z = t, se tienen las
ecuaciones paramétricas de la recta donde se interceptan los dos planos.
𝑥 =1
3+
1
3𝑡 ; 𝑦 =
−29
15−
23
15𝑡 ; z=t
CONCLUCIONES
Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y
ejercicios de la Unidad 2, sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales.
Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su
funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas situaciones.
BIBLIOGRAFIA
ZUÑIGA, CAMILO ALBERTO. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. MODULO ALGEBRA LINEAL. Bogotá D.C. 2010
http://intranet.iesmediterraneo.es/filesintranet
http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/matrices/index.html
http://html.rincondelvago.com/matrices-y-determinantes.html