MTM 554 Topologa: Trabajo en clase 1 / Tarea 1AEntrega: 2:45 PM, Viernes, 24 de Octubre de 2014 en la oficina del profesor.

Nota: En todas las preguntas, aun si su respuesta es cerrada se la debe justificar para obtener unacalificacion.

Apellidos: Torres EspanaNombres: Milton AdrianCalificacion: /21Reconocimientos: Pablo Rosero

Ejercicio 1 (4 puntos) Sea X un conjunto no vaco, donde se define la funcion

: P(X) P(X)A 7 A

que verifica las siguientes propiedades:

1. = 2. A X,A A

3. A X, (A) = A

4. A,B X, (A B) = A B

Sea F = {F X : F = F }Demuestre que T = {A X : Ac F} es una topologa para la cual, A X,A = AEs util verificar que si A B, entonces A B

Demostracion. La primera condicion es facil de ver, por (1) y (2) tenemos que X F .Para la segunda y tercera condicion, sea {Vi}iI tal que Vi T probaremos que

iI Vi esta en

T . Para ello, notemos que si A B, entonces A B y por lo tanto obtenemos((iI

Vi

)c)=

(iI

V ci

) V ci , i I.

Se sigue de esto, (iI

V ci

)iI

(V ci )

iI

V ci ,

en combinacion con la propiedad (2) tenemos que((

iI Vi)c)

=(

iI Vi)c

. Luego,iI Vi esta

en T .Por otro lado, si U, V T observemos que

((U V )c) = (U c V c) = (U c) (V c) = U c V c = (U V )c ,

por lo que la interseccion finita de abiertos en T tambien es un abierto. Entonces T es una topologasobre X. Ademas, por la definicion de T , los cerrados son aquellos tales que F = F , as F coincidecon la clausura de cada F X en la topologa.

Ejercicio 2 (3 puntos) Dada la definicion de abierto en un espacio metrico (X, d), demuestre quela familia de abiertos forma una topologa en X.

Demostracion. Sea {Ai}iI una familia cualquiera de abiertos en (X, d).

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1. Trivialmente es abierto. Si x X entonces existe 0 < x < diam(X) tal que B(x, ) X,por lo tanto X es abierto.

2. Fijando i I, por la definicion de abierto en espacios metricos, para cada x Ai existe x > 0tal que B(x, x) Ai. Tenemos que B(x, x) Ai

iI Ai, entonces

iI Ai T .

3. Sean A1 y A2 abiertos de X, si x A1 A2 existen 1 > 0 y 2 > 0 tales que B(x, 1) A1y B(x, 2) A2. Tomando 3 = |12|2 , podemos ver que x B(x, 3) B(x, 1) B(x, 2).Por lo tanto, A1 A2 T .

Ejercicio 3 (4 puntos) Sea X = R, y sean a < b R. Verifique que B = {[a, b[: a < b} generauna topologa en R, esta topologa es llamada la topologa del lmite inferior.

Demostracion. Comprobemos las condiciones para que B sea una base:

1. Sea x R, se puede notar con facilidad que para cualquier x existiran a, b R tal quex [a, b[ entonces X = a

Ejercicio 5 (5 puntos) Sea X = {1, 2, 3, 4, 5}. Es posible que la familia B sea base de unatopologa en X? En caso de no serla, escriba la base mas pequena posible en la que la familia B esparte de su topologa generada.

1. Si B = {{3}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}}.Demostracion. B no es una base, pues BB B = {1, 3, 4, 5} 6= X. Ahora, definamos

B = {{1, 3}, {2}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}}.

B es una base, ya que BB B = X. Ademas, si {1, 3, 4} {1, 3, 5} = {1, 3} entonces{1, 3} B. Para el resto de los casos la interseccion es vaca o el mismo caso anterior.

2. Si B = {{3}, {1, 3, 4}, {2, 5}}.Demostracion. B es una base, puesto que BB B = X. Tambien, si {1, 3, 4} {3} = {3}entonces {3} B. Para el resto de los casos se tiene interseccion vaca.

Puede usar los diagramas de Hasse para explicar su respuesta

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