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Page 1: teoría cinemática 1

UNNOBA. Universidad NacionalNoroeste Pcia. de Buenos Aires

CURSO: FISICA GENERAL y I

CINEMATICA DE UNA PARTICULA

Pergamino 2012

Page 2: teoría cinemática 1

Docentes: Teoría: Ariel Di Loreto Práctica: Ramón Fernández Álvaro Carrera

Bibliografía: Serway – Jewett: ‘Física para ciencias e ingeniería’ Vol. 1 y

vol. 2, 6ta. o 7ma. Edición. Ed. Thomson Young, Freedman, Sears, Zemansky, : ‘ Física Universitaria’

12 Edic. Ed. Pearson. Vol. 1 y vol. 2. Halliday, Resnick. ‘Fundamentos de Física’, vol. 1 y vol. 2 Tipler, Mosca.

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I. INTRODUCCIÓN

MECANICA

MECÁNICA DE FLUIDOS

MECÁNICA DE CUERPO

DEFORMABLE

MECANICA DE CUERPO RIGIDOS

DINAMICAESTATICA

CINEMATICA

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II. NOCION DE CINEMATICA La cinemática es la rama de la mecánica clásica que estudia

las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para

describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.

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II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

1.ESPACIO ABSOLUTO. Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e

independiente de la existencia de estos.

Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio.

El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo.

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II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

2.TIEMPO ABSOLUTO

La Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos.

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II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA2. MOVIL

El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula.

La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico.

Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico.

Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema considerado.

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III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su

posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia.

En el espacio euclidiano un sistema de referencia queda definido por los elementos siguientes.

a. un origen O, que es un punto del espacio físico.

b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico.

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III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a

un sistema de referencia si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo.

En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho sistema de referencia.

De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.

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III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO En la Figura hemos representado dos

observadores, S y S′, y una partícula P.

Estos observadores utilizan los sistemas de referencia xyz y x′y′z′, respectivamente.

Si S y S′ se encuentran en reposo entre sí, describirán del mismo modo el movimiento de la partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes.

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III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Para el observador ubicado en la Tierra, la LUNA describirá una

órbita casi circular en torno a la TIERRA. Para el observador ubicado en el Sol, la trayectoria de la Luna es

una línea ondulante. Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos

relativos, podrán reconciliar sus observaciones

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEODecimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una línea recta

1. POSICIÓN.

La posición de la partícula en cualquier instante queda definida por la coordenada x medida a partir del origen O.

Si x es positiva la partícula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O.

Page 13: teoría cinemática 1

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO2. DESPLAZAMIENTO.

El desplazamiento se define como el cambio de posición. Se representa por el símbolo Δx. Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su

posición inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo

'

ˆ ˆ' '

x x x

r r r x i xi

ixixrrr ˆˆ

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO3. VELOCIDAD MEDIA

Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo Δt, entonces, la velocidad media será

2 2

2 1

ˆ ˆ' '

' '

m

m

x xxv

t t t

r r r x i xiv

t t t t t

tt

ixix

tt

rr

t

rvm

ˆˆ

Page 15: teoría cinemática 1

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO3. VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media se puede interpretar geométricamente, para ello se traza una línea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta línea forma un triángulo de altura x y base t.

La pendiente de la recta es x/t. Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final de la gráfica posición-tiempo

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de

tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo y por tanto valores más pequeños de x. Por tanto:

idt

dx

dt

rd

t

rv

dt

dx

t

xv

t

t

ˆlim

lim

0

0

Page 17: teoría cinemática 1

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

5. RAPIDEZ MEDIA.

La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partícula ST, dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir,

t

SR total

med

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO6. ACELERACIÓN MEDIA .

Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces:

La aceleración media se define como

'

'med

v v va

t t t

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IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO6. ACELERACIÓN INSTANTANEA .

La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la aceleración media cuando t tiende a cero es decir

0

2

2

lim( )

( )

t

v dva

t dt

d dx d xa

dt dt dt

Aceleración

Desaceleración

Page 21: teoría cinemática 1

Ejemplo 01 La posición de una partícula que se mueve en línea recta está

definida por la relación Determine: (a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0; (b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;

2 36x t t

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Solución La ecuaciones de movimiento son

Las cantidades solicitadas son

326 ttx 2312 tt

dt

dxv

tdt

xd

dt

dva 612

2

2

• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

• En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

Page 23: teoría cinemática 1

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

Page 24: teoría cinemática 1

DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA (Mov Rect Unif Acel)

2. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante

A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son

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Ejemplo 02

Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo se encuentra sometida a un campo gravitacional que le proporciona una aceleración g = 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la velocidad y la altura en función del tiempo, (b) el instante en que la bola choca con el piso y la velocidad correspondiente

Page 26: teoría cinemática 1

tvtvt

dttv

vdv

adtdv

81.900

81.9

0

2sm81.9

ttv

2s

m81.9

s

m10

0

210 2

0

10 9.81

10 9.81 10 9.81y t t

y

dyv t

dt

dy t dt y t y t t

22s

m905.4

s

m10m20 ttty

Solución

Page 27: teoría cinemática 1

Solución

0s

m81.9

s

m10

2

ttv

s019.1t

• Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene.

22

22

s019.1s

m905.4s019.1

s

m10m20

s

m905.4

s

m10m20

y

ttty

m1.25y

Cuando la bola alcanza su altura máxima su velocidad es cero, entonces se tiene

Page 28: teoría cinemática 1

Solución

• Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 Entoces tenemos.

0s

m905.4

s

m10m20 2

2

ttty

s28.3

físico sentidosin s243.1

tt

s28.3s

m81.9

s

m10s28.3

s

m81.9

s

m10

2

2

v

ttv

s

m2.22v

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Ejemplo 03El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos. Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

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Solución POSICIÓN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la velocidad es función del tiempo v = f(t). La posición es

Cuando t = 3 s, resulta

ACELERACIÓN. Sabiendo que v = f(t), la aceleración se determina a partir de a = dv/dt

Cuando t = 3 s

Page 31: teoría cinemática 1

OPCIONAL: MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS. Movimiento relativo

Sea A y B dos partículas que se mueven en línea recta como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O serán xA y xB. La posición relativa de B con respecto a A será.

La velocidad relativa de A con respecto a B será.

La aceleración relativa se expresa en la forma

B A B Ax x x ABAB xxx

B A B Av v v ABAB vvv

B A B Aa a a ABAB aaa

Page 32: teoría cinemática 1

OPCIONAL: Ejemplo 04

Desde una altura de 12 m, en el interior de un hueco de un ascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 18 m/s. En ese mismo instante un ascensor de plataforma abierta está a 5 m de altura ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s. Determine: (a) cuando y donde chocan la bola con el ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa al ascensor en el momento del choque

Page 33: teoría cinemática 1

OPCIONAL:

SOLUCION:• Remplazando la posición, velocidad inicial

y el valor de la aceleración de la bola en las ecuaciones generales se tiene.

22

221

00

20

s

m905.4

s

m18m12

s

m81.9

s

m18

ttattvyy

tatvv

B

B

• La posición y la velocidad del ascensor será.

ttvyy

v

EE

E

s

m2m5

s

m2

0

Page 34: teoría cinemática 1

OPCIONAL: • Escribiendo la ecuación para las posiciones relativas de la bola con respecto al elevador y asumiendo que cuando chocan la posición relativa es nula, se tiene.

0252905.41812

tttEBy

0.39s

3.65s

t

t

• Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuación de la posición del elevador y en la velocidad relativa de la bola con respecto al ascensor se tiene

65.325Ey m3.12Ey

65.381.916

281.918

tv EB

s

m81.19EBv

Page 35: teoría cinemática 1

OPCIONAL: Resolución gráfica de problemas de movimiento rectilíneo

La velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo están dadas por las ecuaciones,

La primera ecuación expresa que la velocidad instantánea es igual a la pendiente de la curva en dicho instante.

La segunda ecuación expresa que la aceleración es igual a la pendiente de la curva v-t en dicho instante

/

/

v dx dt

a dv dt

Page 36: teoría cinemática 1

Resolución gráfica de problemas de movimiento rectilíneo

Integrando la ecuación de la velocidad tenemos

El área bajo la gráfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo

El área bajo la gráfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de velocidades durante este intervalo de tiempo

2 2

1 12 1 2 1;

t t

t tA x x vdt A v v adt

Page 37: teoría cinemática 1

EJEMPLO 05 Un ciclista se mueve en línea recta tal que su posición es

descrita mediante la gráfica mostrada. Construir la gráfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0≤ t ≤ 30 s

Page 38: teoría cinemática 1

EJEMPLO 06Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una línea recta acelerando a razón constante durante 10 s. Posteriormente desacelera a una razón constante hasta detenerse. Trazar las gráficas v-t y s-t y determinar el tiempo t’ que emplea en detenerse

Page 39: teoría cinemática 1

Solución: Grafica v - tLa gráfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica a-t. Usando la condición inicial v = 0 cuando t = 0

Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene

tvdtdvasttv

10,10;1010000

1202,2;2;1010100

tvdtdvattstv

Cuando t = t´, la velocidad nuevamente es cero por tanto se tiene 0= -2t’ + 120

t’ = 60 s

Page 40: teoría cinemática 1

Solución: Grafica s - tLa gráfica posición-tiempo puede ser determinada mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica v-t. Usando la condición inicial s = 0 cuando t = 0

Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene

Cuando t = t´, la posición

S = 3000 m

2

005,10;10;100 tsdttdstvst

ts

600120

1202;1202;6010

2

10500

tts

dttdstvststs

Page 41: teoría cinemática 1

Ejemplo 07La gráfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en línea recta es el mostrado en la figura. Construir el gráfico a-s del movimiento y determinar el tiempo que requiere el motociclista para alcanzar la posición S = 120 m

Page 42: teoría cinemática 1

SoluciónGrafico a-s.Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la gráfica están dadas, la gráfica a-t puede ser determinada usando la ecuación dv = a ds

0

;15;12060

6.004.0

32.0;600

ds

dvva

vmsm

sds

dvva

svms

Page 43: teoría cinemática 1

SoluciónCalculo del tiempo.El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación v = ds/dt. Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t = 0

Cuando s = 60 m, t = 8,05 s

3ln5)32.0ln(532.0

32.0;32.0;600

0

st

s

dsdt

ds

v

dsdtsvms

st

o

Page 44: teoría cinemática 1

SoluciónCalculo del tiempo.Para el segundo tramo de movimiento

Cuando S = 120 m, t´= 12 s

05.415

15

15;15;12060

6005.8

s

t

dsdt

ds

v

dsdtvms

st

Page 45: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO CURVILÍNEOSe dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva.

Page 46: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

OBJETIVOS

1. Describir el movimiento de una partícula que viaja a lo largo de una trayectoria curva

2. Expresar las cantidades cinemáticas en coordenadas rectangulares, componentes normal y tangencial, así como radial y transversal

Page 47: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO1. Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el

origen de un sistema coordenado hacia el punto de ubicación instantánea P la partícula. Se representa por r = r(t).

Trayectoria

Posición

Page 48: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO2. Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la

partícula se mueve durante un pequeño intervalo de tiempo t hasta el punto P’, entonces su posición será r’ (t + ). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y se expresa

)()( trttrr

Page 49: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’

experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. la velocidad media se define como

La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamiento es decir es secante a la curva.

La velocidad media depende del intervalo de tiempo.

tt

trttr

t

rvm

)()(

Page 50: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO4. Velocidad Instantánea: Si el intervalo de tiempo se hace

cada ves más pequeño (t0), el desplazamiento también tiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtiene la velocidad instantánea. Es decir.

La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria.

dt

rd

t

rv

t

0

lim

Page 51: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO3. Velocidad Instantánea:

Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la longitud del arco s = arco (PQ), obtenemos

A medida que Q se acerca a P la magnitud de r se aproxima a s, entonces se tiene

Además se tiene

t

s

s

r

t

s

s

rv

ttt

000limlimlim

tt

es

r

ds

rd

0

lim

tedt

dsv

dt

ds

t

svv

t

0lim

Page 52: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO5. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleración media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir

La aceleración media es un vector paralelo a v y también depende de la duración del intervalo de tiempo

PQ

PQm tt

vv

t

va

Page 53: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media es decir haciendo cada ves más y más pequeños los intervalos de tiempo

La aceleración instantánea es un vector que tiene misma dirección que el cambio instantáneo de la velocidad es decir apunta hacia la concavidad de la curva

2

2

0lim

dt

rd

dt

rd

dt

da

dt

vd

t

va

t

Page 54: teoría cinemática 1

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD

1. POSICIÓN. La posición instantánea de una partícula en componentes x, y es:

2. Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P a P en un intervalo de tiempo t. El desplazamiento está dado por:

Las coordenadas x, y son funciones del tiempo: x = f(t), y = f(t)

jyixrrr ˆˆ

jyixrrr ˆˆ

Page 55: teoría cinemática 1

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD

3. Velocidad media. Si una partícula se mueve de P a P’ experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. La velocidad media será

Es un vector secante a la trayectoria

La velocidad instantánea será un vector tangente a la trayectoria:

jt

yi

t

x

t

rvm

ˆˆ

jdt

dyi

dt

dx

dt

rd

t

rv

tˆˆlim

0

v

= vm

Page 56: teoría cinemática 1

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) en dos dimensiones

Velocidad instantánea en función del tiempo

Posición en función de tiempo, por componentes: x(t) e y(t)

Luego: r(t) →

Page 57: teoría cinemática 1

Movimiento en dos dimensiones: MR y MRUA.

Interpretación gráfica.

Page 58: teoría cinemática 1

Ejemplo 08En cualquier instante la posición horizontal del globo meteorológico está definida por x = (9t) m, donde t es el segundo. Si la ecuación de la trayectoria es y = xª/30, donde a = 2: Determinar la distancia del globo a la estación A, la magnitud y la dirección de la velocidad y de la aceleración cuando t = 2 s

Page 59: teoría cinemática 1

Solución Cuando t = 2 s, la posición del

globo es

La distancia en línea recta será

Las componentes de la velocidad son

La magnitud y dirección de la velocidad para t = 2 s son

2 2

9 9 / (2 ) 18

18( ) 10,8

30 30

x t m s s m

xy m

2 218 10,8 21r m

2

9 9 /

81/ 30 10.8 /

15 15

x

y

dv x t m s

dtd x dx t

v y x m sdt dt

2 29 10.8 14.1 /v m s

1tan 50.2yv

x

v

v

Page 60: teoría cinemática 1

SoluciónLas componentes de la aceleración será

La magnitud y dirección de la aceleración son

2

0

815.4 /

15

x x

y y

a v

d ta v m s

dt

2 2 20 5.4 5.4 /a m s

1 5.4tan 90

0a

Page 61: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO PARABÓLICOEs caso más simple del movimiento plano, en el cual ax = 0 y ay = g = 9,81 m/s2 = 32,2 pies/s2. En la figura se muestra este movimiento y su trayectoria

Page 62: teoría cinemática 1

8.3.1. MOVIMIENTO PARABÓLICO: HipótesisPara analizar este movimiento se usa las siguientes hipótesis

(a) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) terrestre con la altura;

(b) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil;

(c) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g es normal a dicha superficie) y

(d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.

Page 63: teoría cinemática 1

DIAGRAMA DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

Page 64: teoría cinemática 1

Movimiento Parabólico. Diagrama vectorial 2D

Page 65: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones

Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0

0

20 0

2 20 0

;

1;

2

2 ( );

x

x

x

v v a t

x x v t a t

v v a x x

0

0 0

0

( )

( )

( )

x x

x

x x

v v

x x v t

v v

Page 66: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones

Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2

0

20 0

2 20 0

;

1;

2

2 ( );

y y y

y y

y y y

v v a t

y y v t a t

v v a y y

0

20 0

2 20 0

( )

1( )

2

( ) 2 ( )

y y

y

y y

v v gt

y y v t gt

v v g y y

Page 67: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO PARABÓLICO: Altura máxima y alcance alcanzado por el proyectil

Cuando se estudia el movimiento de proyectiles, dos características son de especial interés.1. El alcance R, es la máxima distancia horizontal alcanzada por el proyectil

2. La altura máxima h alcanzada por el proyectil

Deducir ambas ecuaciones

2 2sin

2i iv

hg

2 sin2i ivR

g

Page 68: teoría cinemática 1

MOVIMIENTO PARABÓLICO: alcance alcanzado por el proyectil

El máximo alcance es logrado cuando el ángulo de lanzamiento es 45°

Page 69: teoría cinemática 1

Experimento demostrativo de tiro parabólico

Movimiento uniformemente acelerado en eje y. ay = g

Movimiento rectilíneo en eje x, vx = constante

Page 70: teoría cinemática 1

Problema 1

Un saco desliza por una rampa saliendo de su extremo con una velcoidad de 12 m/s. Si la altura de la rampa es 6 m desde el piso. Determine el tiempo necesario para que saco impacte contra el piso y la distancia horizontal R que avanza

Page 71: teoría cinemática 1

La máquina de picar está diseñada para extraer madera en trozos y lanzarlos con una velocidad vo = 7,5 m/s. Si el tubo se orienta a 30° respecto a la horizontal como se muestra en la figura, determinar qué tan alto se apilarán los trozos de madera, si la distancia del apilamiento a la salida es 6 m

Problema 2

Page 72: teoría cinemática 1

La pista de carreras de este evento fue diseñado para que los pilotos puedan saltar de la pendiente de 30°, desde una altura de 1m. Durante la carrera, se observó que el conductor permaneció en el aire 1,5 s. Determine la velocidad de salida de la pendiente, la distancia horizontal alcanzada y la altura máxima que se eleva el piloto y su moto. Desprecie el tamaño de ambos.

Problema 3

Page 73: teoría cinemática 1

Un jugador de basquetbol lanza una pelota de baloncesto según el ángulo de θ = 50° con la horizontal. Determine la rapidez v0 a la cual se suelta la pelota para hacer el enceste en el centro del aro. ¿Con qué rapidez pasa la pelota a través del aro?.

Problema 4

Page 74: teoría cinemática 1

Un bombero desea saber la altura máxima de la pared a la cual puede proyectar el agua mediante el uso de la manguera. ¿A qué ángulo, θ, respecto de la horizontal debe inclinar la boquilla para lograr el objetivo?

Problema 5

Page 75: teoría cinemática 1

La moto de nieve mostrada en la figura sale de la rampa con una rapidez de 15 m/s bajo un ángulo de 40° respecto a la horizontal y aterriza en el punto B. Determine la distancia horizontal R que viaja y el tiempo que permanece en el aire

Problema 6

Page 76: teoría cinemática 1

El esquiador sale de la rampa formando un ángulo de θA = 25° y aterriza en el punto B de la pendiente. Determine la velocidad inicial del esquiador y el tiempo que permanece en el aire

Problema 7

Page 77: teoría cinemática 1

El jugador de béisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v0 = 30 m/s a un ángulo θ = 30° como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente después del lanzamiento y (b) en el vértice. Calcular en cada caso, la variación de velocidad por unidad de tiempo.

Problema 8


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