Estática  del  Sólido        

Joaquin  Montero,  Facultad  Ingeniería  UNMDP  

 

Teoría  de  la  Membrana      1)Calcular  la  presión  interna  necesaria  para  mantener  una  carpa  inflable  esférica  de  espesor  “e”,  construida  con  un  material  cuya  masa  esta  distribuida  uniformente  con  la  siguiente  relación  Ψ=  0.5    kg/m2  .  2)Calcular  las  tensiones  meridionales  y  tangenciales  para  cada  punto    

DATOS  =  α  ,  R,  e,  Ψ                            

   

   

Para  calcular  la  presión  interna  se  tendrá  en  cuenta  que  las  tensiones  meridionales  son  cero  en  los  extremos,  debido  a  que  la  presión  es  la  justa  para  sostener  el  peso  de  la  carpa.  

 Primero  se  define  una  nueva  constante  para  simplificar  cuentas.  

γ=  Ψ  .  g  ,            siendo  “g”  la  gravedad      

Recordar  que  el  área  superficial  de  una  esfera  es  igual  al  perímetro  del  área  proyectada  (circulo  proyectado)  por  la  altura  del  casquete  .                                  σm=0                     𝐹! = 0 =  +p.π.(R.sen(α))2    -­‐  γ.2.  π.R..R(1-­‐cos(α))    

Donde  el  termino  positivo  es  la  fuerza  debida  a  la  presión  y  el  termino  negativo  debido  al  peso  propio  de  la  carpa,  como  no  hay  tensiones  meridionales  en  los  extremos  no  hay  ningún  termino  mas  involucrado  en  la  sumatoria.    

β  

α  R  

+X  

+Y  

Estática  del  Sólido    

𝑝 =γ. 2.π.𝑅!  . 1 − cos α

π.𝑅!. sen α ! =γ. 2.π.𝑅!  . 1 − cos απ.𝑅!. 1 − cos α !

=γ. 2.π.𝑅!  . (1 − cos(α))

π.𝑅!. 1 − cos α . (1 + cos(α))  

 

𝑝 =γ. 2

(1 + cos(α))  

 para  hallar  las  tensiones  meridionales  ,  se  deberá  hacer  un  balance  de  fuerzas  cortando  a  la  esfera  con  un  ángulo    β,    con  0>β>α                  

𝐹! = 0 = +p.π. (R. sen(β))! −  γ. 2.π.R.R 1 − cos β− σ! . 𝑠𝑒𝑛 β . 2π.𝑅. 𝑠𝑒𝑛 β . 𝑒    

 El  primer  termino  es  el  debido  a  la  presión  interna,  el  segundo  termino  es  el  debido  al  peso  propio  y  el  tercer  termino  es  la  componente  activa  en  la  dirección  “Y”  de  la  tensión  meridional  integrada  en  la  superficie  del  contorno  de  la  figura.  

   

σ! =+p.π. R. sen β ! −  γ. 2.π.R.R 1 − cos β

𝑠𝑒𝑛 β . 2π.𝑅. 𝑠𝑒𝑛 β . 𝑒  

=p.π.R!. sen(β)! −  γ. 2.π.R! 1 − cos β

2. e.π.R. sen(β)!  

 σ! =

+p.R2. 𝑒

 −2𝑅. γ

2. 𝑒(1 + cos  (β))  

 Reemplazando  por  la  Presión  interna  “p”,  y  reordenando    

σ! =γR𝑒  

11+ cos  (α)−

11+ cos  (β)  

 

σm  

β  

+Y  

Estática  del  Sólido        

Joaquin  Montero,  Facultad  Ingeniería  UNMDP  

 

Para  encontrar  la  tensión  tangencial  se  recurre  a  la  ecuación  de  Laplace  para  membranas  teniendo  en  cuenta  que  en  el  sentido  radial  además  de  tener  actuando  la  presión  interna,  habrá  un  termino  en  sentido  contrario,  debido  al  peso  propio  de  la  figura.    

σ!ρ!

+σ!ρ!=𝑝 − γ. cos  (β)

𝑒  

 debido  a  la  simetría  esférica,    ρ! = ρ! = 𝑅      

σ! = 𝑅  𝑝 − γ. cos  (β)

𝑒− σ!    

 

σ! = 𝑅  

γ. 2(1 + cos(α)) − γ. cos  (β)

𝑒−γR𝑒  

11 + cos  (α)

−1

1 + cos  (β)  

   

σ! =γR𝑒  

11 + cos  (α)

+1

1 + cos  (β)− cos  (β)