![Page 1: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/1.jpg)
Mecànica Fonamental
Luis Carlos PardoLuis Carlos Pardo Despatx C2.4, EEBE
![Page 2: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/2.jpg)
Tema3: Mecànica d’N cossos
1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules
2.- Centre de masses
3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules
4.- Energia d’un sistema de partícules
5.- Xocs5. Xocs
![Page 3: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/3.jpg)
Tema3: Mecànica d’N cossos
1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules
2.- Centre de masses
3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules
4.- Energia d’un sistema de partícules
5.- Xocs5. Xocs
![Page 4: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/4.jpg)
Forces sobre un sistema de N partículesForces externes
són causades per agents físics que no pertanyen al sistema considerat
Forces internessón causasdes per les forces que es fan
entre les partícules dins el sistema
iF
m
ji ijF F
F
im
imjmijF
Apliquem la segona llei
N
Apliquem la segona llei
1i ji i i
jF F m a
Per a cada partícula i es cumpleix :
N N N Si ara sumem per TOTES les partícules i :
1 1 1i ji i
i j i
F F F F
1 1 , 1 , 10
N N N N
ji ij ji ij iji j i j i j
F F F F F
Per la tercera llei Fij=-Fji
![Page 5: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/5.jpg)
1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules
2.- Centre de masses
3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules
4.- Energia d’un sistema de partícules
5.- Xocs5. Xocs
![Page 6: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/6.jpg)
Ens diu el centre de gravetatcondicions d’equilibri
Ens permet dividir els moviments en Centre de masses + moviments interns
(MOLT important per estudiar moviments moleculars)(MOLT important per estudiar moviments moleculars)
![Page 7: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/7.jpg)
N
Centre de Masses (CM)
1
1 1 1 1
··
i iN N N Ni
ext i i i i i CM CMNi i i i
i
m aF F m a m m a Ma
m
Definim per tant:
1 N
1i
ext CMF Ma 1
1 ·CM i ii
a m aM
Acceleració del CM
1
1 ·N
CM i ii
v m vM
Velocitat del CM
1
1 ·N
CM i ii
R m rM
La lluna NO orbita al voltant de la terra!!! Orbiten tots dos al voltant del CM
1iPosició del CM
Mlluna=7·1022kg
d t ll=3.84·105 km 1 ·0 · 1100
N
i ii terra lluna t ll
CM t llN
m rm m dr i d
M terra=6·1024kg
d t-ll 3.84 10 km
1
100CM t llNterra lluna
ii
m mm
T11
![Page 8: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/8.jpg)
Kepler+CM+Periode de l’estel (visible)=massa del forat negre!!!GAA: gaa.upc.edu
![Page 9: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/9.jpg)
1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules
2.- Centre de masses
3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules
4.- Energia d’un sistema de partícules
5.- Xocs5. Xocs
![Page 10: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/10.jpg)
Quantitat de moviment per un sistema de partícules:N
i iN N m v
Quantitat de moviment per un sistema de partícules:
dP
1
1 1
1
i iN Ni
i i CM CMNi i
ii
P p m Mv Pm
CMexterna
dPFdt
dP
(recordem:Fint=0 per la 3ª llei de Newton!)
Si la força externa es nul·la el moment linial es conserva 0CMdPdt
Exemplep
m v m v vi=1
El centre de masses es mou amb el moment de la bola inicial!!!
blanca blanca i ii totselscolors
m v m v
![Page 11: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/11.jpg)
Quantitat de moviment total respecte el centre de massesQ p
Sabem (hem demostrat) : TOTALCM PP
Sabem (hem demostrat) : TOTALCM
La posició del CM respecte del CM es (0,0,0) SEMPRE. 0VLa posició del CM respecte del CM es (0,0,0) SEMPRE.
(és la posició d’ell respecte a ell mateix)Per tant no es mou i la velocitat del CM respecte al CM és (0,0,0)
0 CMCMV
Per tant el moment TOTAL respecte al CM és:Per tant, el moment TOTAL respecte al CM és:
0 CMCMCMCMTOTALCM VMPP
El moment total PTOTAL respecte al CM es ZERO
P1, P3, T1, T4, T5, T6, T12, T14, T18
![Page 12: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/12.jpg)
1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules
2.- Centre de masses
3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules
4.- Energia d’un sistema de partícules
5.- Xocs5. Xocs
![Page 13: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/13.jpg)
Estenem les defincions d’un cos a N cossosun cos n cossos
2 21 1N
E M21E m v Energia cinètica
un cos n cossos
2 2
1 2 2c i i CMi
E m v M v
, 2c iE m v Energia cinèticaSi el moviment és de translació!
Energia Potencial “interna”
1 1 1
12
N N N N
ij iji j i j i
U U U
W U 1 1,1
N
i i jj
U U
Si Fext=0!!!!
212 CME mv U 21
2E mv U
dE
Energia MecànicaSi el moviment és de translació
220dE
dt
![Page 14: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/14.jpg)
1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules
2.- Centre de masses
3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules
4.- Energia d’un sistema de partícules
5.- Xocs5. Xocs
![Page 15: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/15.jpg)
XocUn xoc és el procés en el que dos o més partícules només interactuenUn xoc és el procés en el que dos o més partícules només interactuen molt intensament i a molt curta distància: això implica que Fext es pot considerar zero.
1m1( )iniv
1( )fiv1m
2m 2( )iniv 2( )fiv2m
( ) ( )ini fiP P
Si Fext=0!!!!!!
1 1, 2 2, 1 1, 2 2,ini ini fi fim v m v m v m v
ext
Large Hadron Colliderhttp://lhc.web.cern.ch/lhc/
TOFTOF en FRMIIwww.frm2.tum.de/en/science/spectrometry/toftof/index.html
![Page 16: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/16.jpg)
Suposem un xoc elàstic unidimensional
1m 2m1iv 2iv Per exemple un xoc frontalv1i>0 ; v2i<0
1m 2m1iv 2iv Per exemple un xoc per darrerav1i>0 ; v2i>0 i v1i>v2i
1m 2m1iv 2 0iv Per exemple un xoc amb m2 quieta
V2i=0V2i 0
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 12 2 2 2i i f f
i i f f
m v m v m v m v
m v m v m v m v
Fext=0Conservació del moment
ElàsticConservació de energia
1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v Fext=0Conservació del moment
Calculem la velocitat final... Però el sistema és horrible
Objectiu: canviar l’equació de conservació per una sense quadrats
![Page 17: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/17.jpg)
2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2i f f im v m v m v m v
m v m v m v m v
Simplifiquem el “1/2”i
Agrupem termes amb1 1 1 1 2 2 2 2i f f im v m v m v m v Agrupem termes amb
m1 i m2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
i f i f f i f i
i f f i
m v v v v m v v v v
m v v m v v
Apliquem:
2 2a b a b a b
1 1 2 2i f f iv v v v
Dividim la primera equacióentre la segona f f
v v v v
g
I ja està...Però normalment agrupem
P t t t i ió d “ ió” d l’ i é li l
2 1 2 1f f i iv v v vPerò normalment agrupem Les velocitats inicials i finals
Per tant tenim una nova equació de “conservació” de l’energia que és lineal en v
![Page 18: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/18.jpg)
Què significa això:SI EL XOC ÉS ELÀSTIC
Per exempleSI EL XOC ÉS ELÀSTIC
1 2imv 3mvINICIAL
2 1i iv vVelocitat relativa d’aproximació inicial1m 2m
1 2iv s 2 3imv s
2 1 5i imv v s
Velocitat relativa d’allunyament final 2 1f fv v 1 ?imv s 2 ?i
mv s
FINAL
v v v v
1m 2m
2 1 5f fmv v 2 1 2 1f f i iv v v v 2 1 5f fv v s
No sabem les velocitats finals, però s’allunyaran a la mateixa velocitat relativa
![Page 19: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/19.jpg)
Calculem, per fi, les velocitats finals
Elà ti C ió d i 2 1 2 1
1 1 2 2 1 1 2 2
f f i i
i i f f
v v v vm v m v m v m v
Fext=0Conservació del moment
ElàsticConservació de energia
2 2 1 2 11
1 2
2 i if
m v m m vv
m m
Aïllant: 1 1 1 2 22
1 2
2 i if
m v m m vv
m m
Suposem que v2i=0
1 12 im v1iv 2 0iv 1 2 1im m v
Obt i 1 12
1 2
ifv
m m
1m 2m1iv 1 2 1
11 2
ifv
m m
Obtenim
Si volem que la segona partícula tingui velocitat màxima: m2 mooolt petita
1 2 11 1
1 2
if i
m m vv v
m m
1 12 1
1 2
2 2if i
m vv vm m
1 2m m
Si m1=m2: transferència total de moment! Moderador en centrals nuclears
2m v 1 2 11
1 2
0if
m m vv
m m
1 12 1
1 2
2 if i
m vv vm m
![Page 20: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/20.jpg)
... I si el xoc NO es elàstic... I si el xoc NO es elàstic
2 1 2 1f f i iv v v v ElàsticConservació de energia No es cumpleix
1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v Fext=0Conservació del moment
Si el xoc no és elàstic i es perd energia: la velocitat relativa final serà més petita que la inicial
2 1 2 1f f i iv v v v
Si el xoc no és elàstic i es perd energia: la velocitat relativa final serà més petita que la inicial
Si el xoc no és elàstic i es guanya energia: la velocitat relativa final serà més gran que la inicial
2 1 2 1f f i iv v v v
En qualsevol cas no es igual la velocitat relativa inicial i final
2 1 2 1f f i iv v v v
Definim el coeficient de restitució per quantificar la pèrdua “de velocitat relativa”
2 1f fv ve
v v
2 1i iv v
Coeficient de restitució
![Page 21: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/21.jpg)
Classificació dels xocsClassificació dels xocs
El sistema és conservatiuElàstics 1e Inelàstics 1e
El sistema no és conservatiu
i i fiP P No hi ha forces externes
ini fiP P
L’energia cinètica es conserva L’energia cinètica no es conserva
El moment es conserva
( ) ( )c ini c fiE E ( ) ( )c ini c fiE E
Completament inelàstics
Implosiól tí l d id
Explosiótí l d ll é tí lles partícules queden unides una partícula dona lloc a més partícules
1( ) 2( )fi fiv v1( ) 2( )ini iniv v
v v v v2 1
2 1
0f f
i i
v ve
v v
2 1
2 1
f f
i i
v ve
v v
P5, P9, P14, P19, P24, t2, t3
![Page 22: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/22.jpg)
Xocs de dues partícules des del sistema centre de masses:
1 2 2 2
1 2CM
m v m vvm m
La velocitat de la partícula 1, respecte al CM:La velocitat de la partícula 1, respecte al CM:
21 1 1 2
1 2CM
mu v v v vm m
La velocitat de la partícula 1, respecte al CM:
12 2 1 2
1 2CM
mu v v v vm m
Les dues partícules es mouen en la mateixa direcció però en sentit contrari!!!!
Des de “fora” Des del C.M.
m1( )iniv
1( )fiv1m
1m 1m
2m 2( )iniv 2( )fiv2m
![Page 23: Tema 5 fisicaI EEBE - gcm.upc.edu · GAA: gaa.upc.edu. 1.- Fb itdtílForces sobre un sistema de partícules 2.- Centre de masses 3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022052712/5b352cf07f8b9a330e8cedd2/html5/thumbnails/23.jpg)
El Jardín de las delicias Hieronymus Bosch (1480)El Jardín de las delicias, Hieronymus Bosch (1480)
El Jardin de las delicias, El bosco, 1480