![Page 1: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/1.jpg)
1Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Tema 4: Centro de masas
Mecánica Racional, 2º, Grado en Ingeniería Civil
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Universidad de Sevilla
![Page 2: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/2.jpg)
2Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
ÍndiceÍndice
Definición y propiedades
Cálculo de centro de masa
Cuerpos continuos
Figuras compuestas
Teoremas de Guldin
Velocidad y aceleración del CM
![Page 3: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/3.jpg)
3Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
IntroducciónIntroducción
El movimiento de un sólido rígido se puede entender como
la superposición de una traslación y una rotación
(Teoremas de Koenig)
La traslación corresponde al movimiento del centro de masas
La rotación se realiza respecto al centro de masas
CM
CM
![Page 4: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/4.jpg)
4Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Centro de masas: definición para un sistema discretoCentro de masas: definición para un sistema discreto
X
Y
Z
O
Dado un sistema de n partículas, se define la posición de
su centro de masas
mi es la masa de cada partícula
ri es el vector de posición de cada partícula
M es la masa total del sistema
![Page 5: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/5.jpg)
5Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Centro de masas: cálculo para un sistema discretoCentro de masas: cálculo para un sistema discreto
d X
Y
d
X
YG
dX
Y G
El CM está cerca de la masa mayorEjemplo: mt i e r r a=5.98×102 4kg, ms o l=1.99×103 0 kg,
d = 1.5× 108km
Si el sistema tiene algún plano,
línea o punto de simetría, el CM
está en él
Si hay varios elementos de
simetría el CM debe estar
en el corte de todo ellos
![Page 6: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/6.jpg)
6Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
ÍndiceÍndice
Definición y propiedades
Cálculo de centro de masa
Cuerpos continuos
Figuras compuestas
Teoremas de Guldin
Velocidad y aceleración del CM
![Page 7: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/7.jpg)
7Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Centro de masas: sistemas continuosCentro de masas: sistemas continuos
Un cuerpo continuo puede considerase compuesto por un
número infinito de masas diferenciales
L
Mdm
dl≡
Los sumatorios se convierten en diferenciales
Posición del centro de masas
dm
r
XO
![Page 8: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/8.jpg)
8Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
Densidades de masaDensidades de masa
Densidad superficial de masa
Si el cuerpo es
homogéneo
Densidad volumétrica de masa
Si el cuerpo es
homogéneo
Densidad lineal de masa
Si el cuerpo es
homogéneo
![Page 9: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/9.jpg)
9Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Centro de masas: sistemas continuosCentro de masas: sistemas continuos
Coordenadas cartesianas del centro de masas
X
Y
Z
O
![Page 10: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/10.jpg)
10Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
ÍndiceÍndice
Definición y propiedades
Cálculo de centro de masa
Cuerpos continuos
Figuras compuestas
Teoremas de Guldin
Velocidad y aceleración del CM
![Page 11: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/11.jpg)
11Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Centro de masas: composición de masasCentro de masas: composición de masas
Podemos calcular el CM como una composición de partes del sistema
Y
X
m1
m2
m4
a
m3
O
1 2
34Y
X
ma=m
1+m
4
O
ra r
b
mb=m
2+m
3
Y
XO
rC M
De este modo se puede calcular el CM de sistemas complejos
m1=m
4
m2=m
3
![Page 12: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/12.jpg)
12Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
ÍndiceÍndice
Definición y propiedades
Cálculo de centro de masa
Cuerpos continuos
Figuras compuestas
Teoremas de Guldin
Velocidad y aceleración del CM
![Page 13: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/13.jpg)
13Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Teoremas de Pappus-GuldinTeoremas de Pappus-Guldin
Primer teorema: El área A de una superficie de revolución generada por la
rotación de una curva plana C, alrededor de un eje externo a C y que esté
en su mismo plano, es igual al producto de la longitud LC de C por la
distancia LG recorrida por el centroide geométrico
Área del cono abierto
![Page 14: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/14.jpg)
14Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Teoremas de Pappus-GuldinTeoremas de Pappus-Guldin
Segundo teorema: El volumen V de un sólido de revolución generado por
la rotación de una figura plana S, alrededor de un eje externo a ella, es
igual al producto del área AS de F por la distancia LG recorrida por el CM
Volumen del cono
Baricentro del triángulo
![Page 15: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/15.jpg)
15Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Teoremas de Pappus-GuldinTeoremas de Pappus-Guldin
Aplicación a un toro
Área
Volumen
![Page 16: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/16.jpg)
16Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
ÍndiceÍndice
Definición y propiedades
Cálculo de centro de masa
Cuerpos continuos
Figuras compuestas
Teoremas de Guldin
Velocidad y aceleración CM
![Page 17: Tema 4: Centro de masas - laplace.us.eslaplace.us.es/wiki/images/6/67/MR_Tema04_1718.pdf · Cálculo de centro de masa Cuerpos continuos Figuras compuestas Teoremas de Guldin Velocidad](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022021622/5ba6f05f09d3f22f1b8c4f15/html5/thumbnails/17.jpg)
17Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Velocidad y aceleración del CMVelocidad y aceleración del CM
Velocidad del centro de masas
Aceleración del centro de masas
Cantidad de movimiento del centro de masas
X
Y
Z
O