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Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
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Área de Mecánica de Fluidos
ANÁLISIS INTEGRAL 1. INTRODUCCIÓN
2. SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL
3. TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS
4. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA
5. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA
6. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
7. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO
8. BIBLIOGRAFÍA
9. PROBLEMAS RESUELTOS
Rafael Ballesteros Tajadura Curso 2004-2005
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
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1. INTRODUCCIÓN
La resolución de las ecuaciones diferenciales que gobiernan la dinámica de los fluidos (Ecuaciones de
Constitución) presenta enormes dificultades de origen matemático e incluso físico (el problema de la turbulencia, por
ejemplo). De una forma general, el movimiento de un fluido se determina resolviendo un sistema no lineal de cinco
ecuaciones en derivadas parciales, del tiempo y de las tres coordenadas espaciales, para el cálculo de las tres
componentes de la velocidad, temperatura y densidad, o de cualquier otra magnitud termodinámica que se exprese
mediante ellas. El sistema es de segundo orden en las derivadas espaciales de la velocidad y de la temperatura y de
primer orden en las restantes. Además, es necesario fijar las condiciones iniciales y de contorno que correspondan, las
cuales pueden adoptar formas muy variadas: fluidos en contacto con paredes u otros fluidos, superficies libres, etc. Las
ecuaciones citadas son las denominadas ecuaciones de Navier-Stokes, para las que se ha podido obtener soluciones
analíticas solo en algunos casos sencillos (alrededor de ochenta problemas) con hipótesis de flujo altamente
simplificadoras flujo estacionario flujo incompresible o flujo unidireccional.
Para evitar la dificultad que plantea una situación como la de las ecuaciones de Navier-Stokes, se siguen otras
alternativas. La primera consiste en el empleo de modelos simplificados, bien sea de las propiedades del fluido, bien
del tipo de movimiento considerado y hacer uso de técnicas analíticas y numéricas para la resolución de los problemas
planteados. La segunda consiste en el recurso a los métodos experimentales bajo la guía de la Semejanza Dinámica,
para reducir el número experimentos e interpretar debidamente los resultados.
Modelos simplificados: en los últimos años han adquirido un considerable auge las técnicas de
resolución numérica de las ecuaciones, gracias al extraordinario desarrollo de los métodos y equipos
informáticos, dando lugar a la Dinámica de Fluidos Computacional (técnicas CFD, “Computational Fluid
Dynamics”). Así, los métodos de volúmenes, elementos y diferencias finitas son progresivamente
incorporados por los equipos de investigación e instituciones dedicadas al análisis de flujos, e incluso en la
programación académica.
Sin embargo, debe considerarse que se trata de métodos complejos bajo el punto de vista
matemático, que requieren el conocimiento completo de las condiciones de contorno e iniciales, no siempre
determinables, que precisan de una capacidad de calculo muy grande, difícilmente disponible en general, y la
utilización de métodos informáticos cuyo estudio esta algo alejado de la formación de los usuarios. Por
último, señalar que con ellos se obtienen soluciones particulares a problemas concretos, por lo cual la
generalización de resultados resulta cuestionable. Una gran dificultad de estas técnicas aparece ligada a la
estabilidad dinámica de las ecuaciones, que da lugar a los fenómenos de turbulencia para valores del número
de Reynolds por encima de un valor crítico.
Métodos experimentales: Poseen larga tradición en el estudio de problemas de Mecánica de Fluidos
y constituyen uno de sus pilares básicos pues son el origen de la mayor parte de conocimientos. En una
disciplina tan compleja como la que nos ocupa toda la información de base empírica es necesaria para
intentar analizar y explicar fenómenos frente a los cuales las ecuaciones básicas son de escasa utilidad
practica.
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Podría pensarse que actualmente la mayor capacidad de cálculo de los ordenadores va a hacer
retroceder el empleo de técnicas experimentales, las cuales, por otra parte, resultan bastante caras. Tal forma
de pensar es completamente incorrecta, por varios motivos. En primer lugar, el ensayo de equipos y obras,
“in situ” o en modelo a escala reducida sigue siendo una garantía de primer orden. Por otra parte, los métodos
numéricos requieren de abundante información sobre la naturaleza del flujo y sobre las condiciones de
contorno lo cual implica necesidad de información experimental. Por último, el propio desarrollo de las
técnicas electrónicas e informáticas han potenciado extraordinariamente los métodos experimentales abriendo
nuevos campos de observación que anteriormente no podrían ser estudiados.
A pesar de lo anterior, la utilización de técnicas experimentales presenta unos inconvenientes obvios
de orden material, puesto que, en general, requieren medios importantes. Además junto a esta dificultad de
orden práctico, se presenta otra de orden metodológico que deriva de las propias limitaciones de la teoría de
modelos: imposibilidad de asegurar la semejanza perfecta cuando son variables los parámetros
adimensionales que gobiernan un fenómeno. Ello implica que la explotación de los resultados así obtenidos
deba hacerse teniendo en cuenta las particularidades del modelo estudiado, dificultando la generalización
inmediata a otros casos con variaciones geométricas o físicas.
Por otra parte, en ocasiones, en ingeniería no se está tan interesado en el conocimiento “exacto” de los campos
de velocidad, presión, temperatura, etc., como en las consecuencias macroscópicas de los mismos. Ello significa que
para el técnico las descripciones precisas de estas distribuciones no son un fin, sino un medio para determinar variables
de mayor interés practico: empujes, momentos, caudales, rendimientos, potencias, etc. En consecuencia, el estudio
profundo del flujo, ya sea por métodos analíticos o numéricos, sólo se efectúa para problemas muy complejos, para los
cuales se justifica el empleo de recursos importantes, en tiempo y dinero.
Por todo ello, resulta evidente la necesidad de disponer de un método alternativo que conjugue en la medida de
lo posible, simplicidad y rigor. Es por este motivo por el cual surgieron ya en el siglo pasado los llamados Métodos
Integrales, los cuales consisten en efectuar una aplicación de las ecuaciones básicas de la Mecánica y la
Termodinámica a unos determinados dominios del flujo, con características definidas, en los cuales tenga lugar el
fenómeno objeto de estudio.
En rigor, estos métodos no son exclusivos de la Mecánica de Fluidos, sino que son válidos en su formulación
general para todo sistema deformable. Sin embargo es evidente que es en el estudio de flujos de materia donde tienen el
mayor posibilidad de utilización, tanto por la necesidad que de ellos se tiene como por la relativa facilidad de su empleo
y grado de exactitud de las soluciones.
La naturaleza del medio material, las características del flujo y las propiedades asociadas al dominio merecen
una especial consideración, pues de las hipótesis que respecto a ellos se realicen, se derivará por una parte una mayor o
menor bondad de los resultados, y por otra, un distinto grado de complejidad del cálculo. La validez de los métodos
integrales viene condicionada por las hipótesis de cálculo adoptadas.
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En consecuencia, deberá elegirse adecuadamente el dominio en el cual se aplicarán los principios, de tal forma
que se puedan definir unas características de forma inequívoca, que sea posible definir su evolución temporal si
procede, que puedan formularse hipótesis razonables respecto a la dirección y distribución de la velocidad del fluido en
determinadas secciones, así como la distribución de presión y temperatura y que puedan efectuarse consideraciones
sobre la estacionariedad o variación cíclica del flujo.
Consideración aparte merece la naturaleza del fluido. Así, deberán efectuarse hipótesis respecto a la
compresibilidad o incompresibilidad del mismo, y en caso de ser precisa, utilizar una ecuación de estado. Además,
cuando no sea legítima la suposición de flujo ideal sin disipación viscosa, deberán efectuarse hipótesis para la
determinación de la misma. Por último, cuando exista transferencia de calor deberán efectuarse hipótesis respecto al
mecanismo de transmisión.
2. SISTEMA Y VOLÚMEN DE CONTROL
Los principios de conservación (de masa, energía, cantidad de movimiento) son aplicables a conjuntos
definidos de partículas dentro de un medio material. Es lo que se denomina habitualmente un sistema, y precisa para su
reconocimiento la previa determinación de la identidad y propiedades del conjunto de dichas partículas. Dado que se
usará la descripción Euleriana para la formulación del movimiento, es necesario obtener expresiones para las leyes de
variación de las variables fluidodinámicas ligadas a volúmenes de fluido o, en general, a volúmenes que pueden variar
con el tiempo de forma arbitraria, que desde ahora se denominarán volúmenes de control (espacio que limita el
dominio del flujo objeto de estudio), tal y como se muestra en la siguiente figura:
La dificultad de la aplicación de los principios de conservación en el volumen de control deriva del hecho de
que estos son válidos para los sistemas materiales, no para los espacios ocupados coyunturalmente por ellos. En
consecuencia, es preciso deducir un método que permita obtener la variación de una magnitud asociada a un sistema en
función de las propiedades del flujo en un determinado volumen de control ocupado, para un instante dado, por dicho
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sistema. El Teorema de Arrastre de Reynolds permite efectuar esta relación entre magnitudes, como se mostrará a
continuación. En la figura siguiente se muestran distintas posibilidades de volumen de control:
3. TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS
Asociadas a formulaciones diferenciales se tienen las magnitudes intensivas, que son aquéllas cuyo valor no
depende de la cantidad de materia que interviene en el fenómeno en cuestión. Ejemplos de tales magnitudes serían la
velocidad y la temperatura.
Las magnitudes extensivas están asociadas a formulaciones integrales y son aquéllas cuyo valor sí depende de
la cantidad de materia que interviene. Son ejemplos de tales magnitudes la masa, la cantidad de movimiento y la
entalpía.
Los ejemplos dados de magnitudes intensivas y extensivas sugieren una relación entre ambas. Si se denomina
t),xβ( una magnitud intensiva genérica, función de la posición y del tiempo, existe una magnitud extensiva )t,x(B
asociada a ella, función también del tiempo y de la posición del conjunto de partículas del sistema, estando relacionadas
ambas por la expresión:
dV)t,xβ(ρ)t,x(BVC∫=
La integral está definida en el volumen ocupado por el sistema. Las magnitudes t),xβ( y )t,x(B pueden
tener carácter escalar o vectorial. Es sabido que la magnitud t),xβ( , por ser intensiva, admite la operación derivada
material, en la forma:
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( )βvtβ
dtdβ
∇+∂∂
=
Sin embargo, la magnitud extensiva t),xB( no admite dicho operador, por lo cual hay que determinar las
variaciones por otro método, teniéndose como primera expresión:
dV)t,xβ(ρdtd
dtdB
VC∫=
En la expresión de la derivada material de una magnitud extensiva no es posible permutar el orden de los
operadores derivada e integral, puesto que el volumen de integración es dependiente de la variable temporal. Se tiene
pues, necesidad de hacer una transformación Lagrangiana, a fin de poder aplicar los principios de conservación, válidos
para sistemas de partículas en evolución y que ocupan posiciones cambiantes en el tiempo, al espacio definido por un
volumen de control que, en un instante, aloje al sistema.
El Teorema de Arrastre de Reynolds establece la relación existente entre la derivada material de una magnitud
extensiva de un sistema )t,x(B , con la derivada temporal de la integral de la magnitud intensiva asociada, en volumen
de integración definido, y el término de flujo de dicha magnitud intensiva a través de las superficies del volumen. Dicha
relación tiene la expresión:
)Adv(βρdVβρtdt
dBr
SCVC
⋅+∂∂
= ∫∫
en la que el primer término del segundo miembro representa la variación de la suma de la propiedad intensiva en el
interior del volumen de control, mientras que el segundo término es el flujo de dicha propiedad intensiva a través de la
superficie de control que encierra dicho volumen. VCr vvv −= es la velocidad relativa entre el fluido y el volumen de
control.
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4. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA
Recibe el nombre de ecuación de continuidad la expresión obtenida de la aplicación simultánea del Principio
de Conservación de la masa y del Teorema de Arrastre de Reynolds a un volumen de control. La magnitud extensiva es
la masa “m” mientras que la magnitud intensiva asociada sería “ 1β = ”.
Por el principio de conservación de masa, la masa de un sistema no varía, de tal manera que se puede escribir:
0dtdm
=
Por el Teorema de Arrastre se tendría:
)Adv(ρdVρtdt
dmr
SCVC
⋅+∂∂
= ∫∫
Igualando ambas expresiones, se deduce la llamada ecuación de continuidad o de conservación de la masa para
un volumen de control:
0)Adv(ρdVρt
r
SCVC
=⋅+∂∂
∫∫
Dicha expresión indica que la variación de masa (aumento o disminución) en el interior del volumen de control
se obtiene mediante el flujo de masa (hacia el interior o hacia el exterior) a través de las superficies del mismo.
5. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA
De la aplicación simultánea del Primer Principio de la Termodinámica y del Teorema de Arrastre de Reynolds,
se deduce la ecuación de la energía para volúmenes de control. Aquí, la magnitud extensiva es la energía, “E”, mientras
que la magnitud intensiva asociada es la energía por unidad de masa, “e”.
El Primer Principio permite relacionar la energía, el calor y el trabajo, mediante la expresión:
dtdW
dtdQ
dtdE
−=
El convenio de signos utilizado establece que el calor (Q) absorbido por el sistema es positivo mientras que el
cedido se considera negativo. En cambio se considera positivo el trabajo (W) efectuado por el sistema y negativo el
efectuado sobre el mismo.
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En este caso, el Teorema de Arrastre establece que:
)Adv(eρdVeρtdt
dEr
SCVC
⋅+∂∂
= ∫∫
Igualando ambas expresiones resulta la ecuación de la energía en su forma más general:
)Adv(eρdVeρtdt
dWdtdQ
r
SCVC
⋅+∂∂
=− ∫∫
La energía por unidad de masa es:
otras
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otraspotencialcinéticaernaint ezg2vueeeee +++=+++=
donde otrase incluye los posibles cambios de composición química, reacciones nucleares, efectos electromagnéticos y
electrostáticos, entre otros.
El término de trabajo se puede dividir en los siguientes términos:
VPS.visc.esfpresiónmotor WWWWWWW•••••••
++=++=
El trabajo de las fuerzas gravitatorias está incluido como energía potencial en la energía e. El trabajo de
elementos móviles denominado motor ( SW•
) incluye el trabajo intercambiado entre el volumen de control y una
máquina cuyo eje atraviese la superficie de control. El trabajo realizado por la presión actuante sobre las superficies de
control ( PW•
) es igual a la fuerza sobre un elemento de área Ad por la componente normal de la velocidad hacia el
volumen de control:
)Adv(pWSC
P ⋅= ∫•
Para la determinación del trabajo debido a los esfuerzos viscosos ( VW•
) es suficiente considerar éstos sólo en
la superficie de control (pues los esfuerzos cortantes internos se cancelan), y se obtiene integrando el producto escalar
de cada esfuerzo viscoso (con una componente normal y dos tangenciales) por la componente respectiva de la
velocidad:
dA)v·(WSC
V ∫ τ−=•
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donde τ es el vector esfuerzo sobre el elemento de área “dA”. Este término puede ser nulo o despreciable en ciertos
tipos particulares de superficies de control, entre las que se tiene:
-Superficie sólida: v = 0, por la condición de no deslizamiento, y por tanto: VW•
= 0.
-Superficie de una máquina: el esfuerzo viscoso es una contribución de la máquina y se incluye en el término
SW•
.
-Entrada o salida: el flujo suele ser normal al elemento de área y la única contribución procede del esfuerzo
viscoso normal, que habitualmente es muy pequeño.
-Superficie de corriente: hay que tenerlo en cuenta.
Agrupando términos, el término del trabajo es:
dA)v·()Adv(pWW .Corr.SupSCSC
S ∫∫ τ−⋅+=••
A partir de ahora, se considerará que no hay movimiento del volumen de control, es decir: 0vVC = y
vvr = . En estas condiciones, el término de trabajo de las fuerza de presión se puede incorporar al término de flujo de
energía, con lo que se llega a:
)Adv(ρpeρdVeρ
tWWQ r
SCVC
.Corr.SupS ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
=−− ∫∫•••
Como dentro de “e” aparece la energía interna, “u”, en el término del flujo de energía aparece la entalpía,
ρpuh += , por lo que la ecuación queda:
)Adv(zg2vhρdVzg
2vuρ
tWWQ r
SC
2
VC
2
.Corr.SupS ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
=−− ∫∫•••
Particularizándose para el caso de un flujo estacionario en un volumen de control con una entrada y una salida,
se obtiene:
•••••
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=−− 22
22
211
21
1.Corr.SupS mzg2vhmzg
2vhWWQ
Por la ecuación de continuidad: •••
== .mmm 21 Si se divide la ecuación anterior por •
m :
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.Corr.SupS2
22
21
21
1 wwqzg2vhzg
2vh ++−++=++
Dividiendo por g:
vsq2
222
2
21
211
1
1 HHHzg2
vgu
gρpz
g2v
gu
gρp
++−+++=+++
Llamando zg2
vgρ
pH2
O ++= , la expresión anterior quedará:
gquuHHHH 12
VS2O1O−−
+++=
donde el términog
quu 12 −− representa las variaciones de energía (medida en metros) reversibles e irreversibles. Las
reversibles son debidas al intercambio entre energía mecánica e interna durante procesos de expansión o compresión.
Las irreversibles tienen lugar como resultado de la disipación viscosa que convierte energía mecánica en energía
interna, no recuperable, y calor.
6. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
El Segundo Principio de Newton establece la relación existente entre fuerzas exteriores aplicadas a un sistema
y la variación de la cantidad de movimiento del mismo. La magnitud extensiva a considerar es ahora dicha cantidad de
movimiento “ vm ” mientras que la magnitud intensiva asociada es la velocidad “ v ”. De esta manera, se tiene:
( ) )Adv(vρdVvρt
Fdt
vmdr
SCVC
⋅+∂∂
=Σ= ∫∫
-En esta expresión v es la velocidad del flujo respecto a un sistema de coordenadas inercial.
-El término FΣ es el vector suma de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el volumen de control
considerado. Incluye las fuerzas de superficie ejercidas sobre las superficies de control más las fuerzas de volumen
(gravitatorias, inerciales, electromagnéticas) que actúan sobre la masa incluida en el volumen de control.
Si el sistema de referencia es inercial (reposo o velocidad de traslación uniforme) la derivada de la velocidad es
la aceleración absoluta del sistema. Si el sistema es no inercial debe corregirse la anterior expresión a fin de poder
utilizar las facilidades que proporciona el referir el volumen de control al sistema más propio. Dicha corrección consiste
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en incluir las fuerzas de inercia en el primer miembro a fin de utilizar las velocidades relativas en los dos términos
anteriores.
:v velocidad respecto al sistema no inercial :a i aceleración de la partícula respecto al sistema inercial, es decir:
arri adtvda +=
La segunda ley de Newton se aplica a :a i
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +==Σ arri adtvdmamF
)Adv(vρdVvρtdt
vdmdmaF r
SCVCVC
arr ⋅+∂∂
==−Σ ∫∫∫
siendo arra la aceleración del sistema no inercial respecto al inercial, es decir:
( )rv2rdtd
dtRda 2
2
arr ×Ω×Ω+×Ω+×Ω
+=
7. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO
Si se consideran momentos en lugar de fuerzas tanto en la expresión del Segundo Principio de Newton, como
en la del Teorema de Arrastre de Reynolds se llega a la expresión:
)Adv()vr(ρdV)vr(ρt
)Fr(M r
SCVCO ⋅×+×
∂∂
=×Σ=Σ ∫∫
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en la que se debe añadir el momento de las fuerzas de inercia en el volumen de control en caso de tomar un sistema de
referencia no inercial, llegándose a la siguiente expresión:
)Adv()vr(ρdV)vr(ρt
dm)ar()Fr( r
SCVCVC
arr ⋅×+×∂∂
=×−×Σ ∫∫∫
8. REFERENCIAS
Fox, R.W.; McDonald, A.T. “Introducción a la mecánica de fluidos”. McGraw-Hill1, 1995.
Gerhart, P.; Gross, R.; Hochstein, J. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos”, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.
Santolaria, C.; Egusquiza, E.; Ballesteros, R.; Parrondo, J. “Dinámica de fluidos. Ecuaciones integrales”. Delegación de
alumnos de la ETSIIG, 1992.
Shames, I.H., “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill1, 1995.
Streeter, V.L.; Wylie, E.D., “Mecánica de los Fluidos”, Mc. Graw-Hill, 1987.
White, F.M. “Mecánica de fluidos”. McGraw-Hill, 1983.
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9. PROBLEMAS RESUELTOS
1) Un recipiente de sección transversal constante ST está lleno de un líquido de densidad ρ hasta una altura h0. En la parte inferior, existe un orificio de sección SS por el que el líquido puede abandonar el recipiente. Calcúlese la velocidad de descenso de la superficie libre del líquido.
ST
SS
h0Vc
RESOLUCIÓN
Se aplica la ecuación de continuidad en forma integral al volumen de control indicado en la figura, que posee una superficie de control en el orificio de salida y que se adapta a la superficie libre, por lo que es deformable:
0)Adv(ρdVρt
r
SCVC
=⋅+∂∂
∫∫
>dtdhSρdhSρ
dtddVρ
t TVC
TVC
==∂∂
∫∫
> SSr
SCSalida
r
SC
vSρ)Adv(ρ)Adv(ρ =⋅=⋅ ∫∫
Agrupando: SST vSρdtdhS −=ρ . Aplicando la ecuación de
Bernoulli entre la superficie libre y la salida del orificio, se obtiene la siguiente expresión para la velocidad de salida: hg2vS = (válida si ST SS >> ), por lo que la velocidad de descenso de la superficie del líquido es:
hg2SS
dtdh
T
S−=
Como se puede apreciar, en este caso, la superficie libre desciende con una velocidad cuyo módulo disminuye a medida que el recipiente se va vaciando.
ST
SS
hVc
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2) Un recipiente de sección transversal circular está lleno de un líquido de densidad ρ hasta una altura h0. En la parte inferior, existe un orificio de sección SS por el que el líquido puede abandonar el recipiente. Calcúlese la variación del radio con la altura h de la superficie libre si se desea que la velocidad de descenso de la superficie libre del líquido sea constante e igual a Cv . RESOLUCIÓN
Se aplica la ecuación de continuidad en forma integral a un volumen de control que incluye el líquido contenido en el recipiente, que posee una superficie de control en el orificio de salida y que se adapta a la superficie libre, por lo que es deformable:
0)Adv(ρdVρt
r
SCVC
=⋅+∂∂
∫∫
>dtdhrπρdhSρ
dtddVρ
t2
VCT
VC
==∂∂
∫∫
> SSr
SCSalida
r
SC
vSρ)Adv(ρ)Adv(ρ =⋅=⋅ ∫∫
Agrupando: SS2 vSρ
dtdhr −=πρ . Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie libre y la salida
del orificio, se obtiene la siguiente expresión para la velocidad de salida: hg2vS = (válida si ST SS >> ). Como se quiere que la velocidad de descenso de la superficie del líquido sea constante:
hg2rπ
Svdtdh
2S
C −=−=
Expresión de la que se puede obtener la relación entre r y h:
hg2v
SrC
S
π=
Si se quisiera calcular el volumen del recipiente para que se vaciase en “n” horas, la altura inicial del depósito sería: 3600nvh C0 = . El volumen se calcula integrando la sección desde el fondo hasta el nivel h0 mediante la expresión:
3/20
C
S
C
Sh
0
2h
0
hvSg2
32dhhg2
vπSπdhrπV
00
=== ∫∫
( )3/2C
C
S 3600nvvSg2
32V =
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3) La figura muestra una tobera situada al final de una manguera de riego por la que circula un caudal constante. Calcúlese la fuerza FT que soportan los tornillos que mantienen unida la tobera el resto de la manguera. Supóngase que el chorro es vertical descendente y que se conoce el volumen de la tobera.
Q
A2
A1
DATOS: Caudal: Q
Densidad del líquido: ρ Sección de entrada de la tobera: A1; Sección de salida de la tobera: A2, (A2<A1) Presión en la sección de entrada de la tobera: p1 Masa de la tobera: MT RESOLUCIÓN
Se va a resolver el problema con tres posibilidades en la elección del volumen de control: A) Como volumen de control, se elige el indicado en la figura, que incluye la tobera y el fluido contenido en la misma:
FT
z
SC2
FT
zVC
SC1FT
z
SC2
FT
zVC
SC1SC1
zzzz
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Con esta elección, el fluido sólo ejerce fuerzas de presión en las superficies de control 1 y 2. Los esfuerzos viscosos no actúan sobre las superficies de control, porque la superficie interior de la tobera (en la que está en contacto con el agua) no es un contorno del volumen de control; sólo la superficie exterior forma parte del mismo. Se va a suponer que la distribución de velocidades en cada sección es uniforme.
Se aplica la ecuación de conservación de cantidad de movimiento:
)Adv(vρdVvρt
F r
SCVC
⋅+∂∂
=Σ ∫∫
Se va a resolver en la dirección vertical, siendo el sentido positivo “hacia abajo”:
> T2211z FgMApApF ++−=Σ , siendo FT la fuerza ejercida por la conexión con la manguera sobre la tobera; como a priori se desconoce su sentido, se considerará que es positiva (hacia abajo); si al final del cálculo, sale negativa, su sentido será hacia arriba. La masa que aparece es la masa total incluida en el volumen de control, suma de la masa de la tobera, MT, y de la masa del agua, MA, contenida en la misma: M= MT + MA.
> 0dVvρt VC
=∂∂
∫ , pues el flujo es estacionario
> 1212
22r
SC
AvρAvρ)Adv(vρ −=⋅∫
Agrupando:
1212
22T2211 AvρAvρFgMApAp −=++−
Despejando FT: gMApApAvρAvρF 22111
212
22T −+−−=
Aplicamos la ecuación de conservación de masa:
)Adv(ρdVρt
0 r
SCVC
⋅+∂∂
= ∫∫
> 0dVρt VC
=∂∂
∫ , pues el flujo es estacionario
> 121122r
SC
mmAvρAvρ)Adv(ρ••
−=−=⋅∫
Agrupando: •••
== mmm 12 . Llevando este resultado a la ecuación para calcular FT:
( ) gMApAp)vv(mF 221112T −−−−=•
Como se comentó antes, FT es la fuerza ejercida por la conexión con la manguera sobre la tobera; posee tres
contribuciones: un término de cantidad de movimiento, que es positivo )v(v 12 > , un término de fuerza debida a la presión, que es negativo, y un término que incluye el peso de la tobera y del agua contenida en la misma, que es negativo.
Para el caso de que p2 sea la presión atmosférica (p2 = 0) y despreciando tanto la diferencia de cotas como
posibles pérdidas de carga entre 1 y 2, aplicando la ecuación de Bernoulli se puede mostrar que la suma de los dos
primeros términos del segundo miembro es equivalente a ( )1
212
221112 v2)vv(mApAp)vv(m −
−=−−−••
, que
es siempre negativo, por lo que la tobera soporta una fuerza FT siempre negativa (hacia abajo):
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gMv2
)vv(mF1
212
T −−
−=•
En la ecuación de cantidad de movimiento, se han utilizado presiones relativas. Se va a examinar con detalle qué presiones actúan sobre la tobera. En las secciones 1 y 2 actúan las fuerzas ( ) 1Atm1 App + y ( ) 2Atm2 App +− . Sobre la superficie exterior solo actúa la presión atmosférica, que da lugar a una resultante en la dirección vertical hacia arriba; esta resultante se calcula integrando la fuerza ejercida por esa presión sobre la superficie cónica:
drdLθ
drdLθ
pAtm
pAtm
)AA(p)RR(pdrr2psindLr2pF 21Atm22
21Atm
1
2Atm
1
2AtmAtm −=−π=π=θπ= ∫∫
Por tanto, la fuerza neta es: ( ) ( ) 221121Atm2Atm21Atm1 ApAp)AA(pAppApp −=−−+−+ , que coincide con el término que se utilizó en el balance de fuerzas planteado anteriormente. B) Como volumen de control, se elige únicamente el fluido contenido en la tobera:
VC
SC1
SC2
z
Se aplica la ecuación de conservación de cantidad de movimiento:
)Adv(vρdVvρt
F r
SCVC
⋅+∂∂
=Σ ∫∫
Se va a resolver en la dirección vertical, siendo el sentido positivo “hacia abajo”:
> ( ) ( ) AA2Atm21Atm1z FgMAppAppF +++−+=Σ , siendo FA la fuerza ejercida por la tobera sobre el fluido. En este caso la masa que aparece es la masa del agua contenida en la tobera.
> 0dVvρt VC
=∂∂
∫ , pues el flujo es estacionario
> 1212
22r
SC
AvρAvρ)Adv(vρ −=⋅∫
Agrupando: 1
212
22AA2211 AvρAvρFgMApAp −=++−
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
18
( ) ( ) gMAppAppAvρAvρF A2Atm21Atm11212
22A −+++−−=
Como se ve, esta elección de volumen de control no es adecuada pues no pone de manifiesto la fuerza que se
está intentando calcular. C) Finalmente, como volumen de control, se elige únicamente la tobera:
FT
Sobre la tobera actúan, en la dirección vertical, el peso de la misma, la fuerza FT ejercida por la conexión con la manguera sobre la tobera, la acción del agua en la zona troncocónica y la presión atmosférica sobre la cara exterior:
0gM)AA(pFF T21AtmAT =+−−−
Como se ve, esta elección de volumen de control tampoco es adecuada pues aunque pone de manifiesto la fuerza que se está intentando calcular, depende de la interacción entre el agua y la tobera. Utilizando la expresión de FA obtenida en el apartado anterior, se obtiene:
( ) ( ) gM)AA(pgMAppAppAvρAvρF T21AtmA2Atm21Atm11212
22T −−+−+++−−=
Simplificando, se obtiene la misma expresión que en el apartado A):
( ) gMApAp)vv(mF 221112T −−−−=•
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
19
4) Como se aprecia en la figura, un chorro de agua de densidad ρA, con velocidad vA y sección transversal SA incide sobre un deflector montado sobre un carro de masa mC que, bajo la acción del chorro de agua, se mueve con una velocidad vC. Despreciando el rozamiento de las ruedas con el suelo, obténgase la evolución de la velocidad del carro, vC, con el tiempo. Supóngase que inicialmente el carro está en reposo, es decir, en t = 0, vC = 0.
vA
vCSA mC
θ
RESOLUCIÓN
Se va a resolver el problema considerando un sistema de referencia inercial y no inercial, y eligiendo diferentes posibilidades de volumen de control: Sistema de referencia inercial: con los ejes fijos en tierra. A) Se elige un volumen de control no deformable que, incluyendo el carro, se mueve con éste:
SCSalida
VCSCEntrada
xy
Aplicando la ecuación de continuidad:
0)Adv(ρdVρt
r
SCVC
=⋅+∂∂
∫∫
> 0dVρt VC
=∂∂
∫ , pues no cambian las dimensiones del volumen de control.
> rSSACAAAr
SCSalida
r
SCEntrada
r
SC
vSρ)v(vSρ)Adv(ρ)Adv(ρ)Adv(ρ +−−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫
Si se ignora la fricción entre el fluido y el deflector, las secciones de entrada y salida del volumen de control serán iguales( SA SS = ), por lo que, la ecuación de continuidad nos dice que el módulo de la velocidad relativa en la salida es
igual que en la entrada: CArS vvv −= .
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
20
Se va a aplicar la ecuación de cantidad de movimiento; antes se van a expresar las diferentes velocidades del fluido en las superficies de control: Velocidad absoluta de entrada: ivA
Velocidad relativa de entrada: i ) v-(v CA
Velocidad relativa de salida: j sen )v-(v + i cos ) v-(v CACA θθ
Velocidad absoluta de salida: i v + j sen ) v-(v + i cos ) v-(v CCACA θθ
)Adv(vρdVvρt
FΣ r
SCVC
⋅+∂∂
= ∫∫
Se va a resolver la componente horizontal de la ecuación: > 0Fx =Σ , pues no hay fuerzas exteriores
> ( )dt
dvmmdVvρdVvρt
dVvρt
CoFluidoCarrC
rroVCFluidoCaVCCarroVC
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
=∂∂
∫∫∫
> =⋅+⋅=⋅ ∫∫∫ )Adv(vρ)Adv(vρ)Adv(vρ r
SCSalida
r
SCEntrada
r
SC
[ ] 1)θ (cos) v-(vSρS) v-(vvθ cos ) v-(vρS) v-(vv-ρ 2CAAAACACCAAACAAA −=++=
Agrupando:
( ) θ) cos-(1 ) v-(vSρdt
dvmm 2CAAA
CoFluidoCarrC =+
B) Se elige un volumen de control no deformable que se mueve con el carro, pero sin incluir el carro:
SCSalida
VCSCEntrada
xy
Aplicando la ecuación de continuidad, se obtiene el mismo resultado que en el caso anterior. Se va a aplicar la ecuación de cantidad de movimiento. Las diferentes velocidades del fluido en las superficies de control son también las mismas que en el caso anterior:
)Adv(vρdVvρt
FΣ r
SCVC
⋅+∂∂
= ∫∫
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
21
Se va a resolver la componente horizontal de la ecuación:
>dt
dvmF CCx −=Σ (inercia del carro)
>dt
dvmdVvρt
dVvρt
CoFluidoCarr
rroVCFluidoCaVC
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=∂∂
∫∫
> 1)θ (cos ) v-(vSρ)Adv(vρ)Adv(vρ)Adv(vρ 2CAAAr
SCSalida
r
SCEntrada
r
SC
−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫
Agrupando se obtiene la misma expresión que antes:
( ) θ) cos-(1 ) v-(vSρdt
dvmm 2CAAA
CoFluidoCarrC =+
C) Se elige un volumen de control deformable que incluye el carro; la Superficie de Control de Entrada permanece inmóvil:
xC
SCSalida
VCSCEntrada
xy
Se va a aplicar la ecuación de continuidad; hay que tener en cuenta que, como la Superficie de Control de Entrada no se mueve, coincidirán los valores de la velocidad relativa y la absoluta: Velocidad absoluta de entrada: ivA
Velocidad relativa de entrada: ivA Aplicando la ecuación de continuidad:
0)Adv(ρdVρt
r
SCVC
=⋅+∂∂
∫∫
> CAAC
AACAVCVC
vSρdt
dxSρdxSρt
dVρt
==∂∂
=∂∂
∫∫ ; ahora va aumentando la masa de agua dentro del
volumen de control. > rSSAAAAr
SCSalida
r
SCEntrada
r
SC
vSρSvρ)Adv(ρ)Adv(ρ)Adv(ρ +−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫
Si se ignora la fricción entre el fluido y el deflector, las secciones de entrada y salida del volumen de control serán
iguales( SA SS = ), por lo que agrupando: 0vSρSvρSvρ rSSAAAAACA =+− , la ecuación de continuidad nos
dice que el módulo de la velocidad relativa en la salida es, como en el caso anterior, igual a: CArS vvv −= . Vectorialmente, en la salida las velocidades son: Velocidad relativa de salida: j sen )v-(v + i cos ) v-(v CACA θθ
Velocidad absoluta de salida: i v + j sen ) v-(v + i cos ) v-(v CCACA θθ
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
22
Se va a aplicar la ecuación de cantidad de movimiento:
)Adv(vρdVvρt
FΣ r
SCVC
⋅+∂∂
= ∫∫
Se va a resolver la componente horizontal de la ecuación: > 0Fx =Σ , pues no hay fuerzas exteriores
> =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
=∂∂
∫∫∫∫ dVvρdVvρdVvρt
dVvρt orroVCFluidoChrroVCFluidoCaVCcarroVC
( ) ( ) CAAAC
fluidoCC
AAAC
fluidoC vSvρdt
dvmmdt
dxSvρdt
dvmm ++=++=
> =⋅+⋅=⋅ ∫∫∫ )Adv(vρ)Adv(vρ)Adv(vρ r
SCSalida
r
SCEntrada
r
SC
[ ] ACACCAAAAAA S) v-(vvθ cos ) v-(vρSvv-ρ ++= Agrupando, se acaba obteniendo la misma expresión que en los casos anteriores:
( ) θ) cos-(1 ) v-(vSρdt
dvmm 2CAAA
CoFluidoCarrC =+
Sistema de referencia no inercial: con los ejes fijos en el carro. A) Se elige un volumen de control no deformable que se mueve con el carro e incluye el carro:
SCSalida
VCSCEntrada
xy
Aplicando la ecuación de continuidad:
0)Adv(ρdVρt
r
SCVC
=⋅+∂∂
∫∫
> 0dVρt VC
=∂∂
∫ , pues no cambian las dimensiones del volumen de control.
> rSSACAAAr
SCSalida
r
SCEntrada
r
SC
vSρ)v(vSρ)Adv(ρ)Adv(ρ)Adv(ρ +−−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
23
Si se ignora la fricción entre el fluido y el deflector, las secciones de entrada y salida del volumen de control serán iguales( SA SS = ), por lo que, la ecuación de continuidad nos dice que el módulo de la velocidad relativa en la salida es
igual que en la entrada: CArS vvv −= . Se va a aplicar la ecuación de cantidad de movimiento en un sistema de referencia no inercial; antes se van a
expresar las diferentes velocidades del fluido en las superficies de control: Velocidad absoluta y relativa de entrada: i ) v-(v CA
Velocidad absoluta y relativa de salida: j sen )v-(v + i cos ) v-(v CACA θθ
)Adv(vρdVvρt
dmaFΣ r
SCVCVC
arr ⋅+∂∂
=− ∫∫∫
Se va a resolver la componente horizontal de la ecuación: > 0Fx =Σ , pues no hay fuerzas exteriores
> 0dVvρt VC
=∂∂
∫ , pues según esta referencia el flujo es estacionario
> ( )oFluidoCarrCC
VC
arr mmdt
dvdma +−=− ∫
> =⋅+⋅=⋅ ∫∫∫ )Adv(vρ)Adv(vρ)Adv(vρ r
SCSalida
r
SCEntrada
r
SC
[ ] 1)θ (cos) v-(vSρS) v-(vθ cos ) v-(vρS) v-(v) v-(v-ρ 2CAAAACACAAACACAA −=+=
Agrupando:
( ) θ) cos-(1 ) v-(vSρdt
dvmm 2CAAA
CoFluidoCarrC =+
B) Se elige un volumen de control no deformable que se mueve con el carro, pero sin incluir el carro:
SCSalida
VCSCEntrada
xy
Aplicando la ecuación de continuidad, se obtiene el mismo resultado que en el caso anterior. Se va a aplicar la
ecuación de cantidad de movimiento; las diferentes velocidades del fluido en las superficies de control son también las mismas que en el caso anterior:
)Adv(vρdVvρt
FΣ r
SCVC
⋅+∂∂
= ∫∫
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
24
Se va a resolver la componente horizontal de la ecuación:
>dt
dvmF CCx −=Σ (inercia del carro)
> oFluidoCarrC
VC
arr mdt
dvdma −=− ∫
> 0dVvρt VC
=∂∂
∫ , pues según esta referencia el flujo es estacionario
> 1)θ (cos ) v-(vSρ)Adv(vρ)Adv(vρ)Adv(vρ 2CAAAr
SCSalida
r
SCEntrada
r
SC
−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫
Agrupando se obtiene la misma expresión que antes:
( ) θ) cos-(1 ) v-(vSρdt
dvmm 2CAAA
CoFluidoCarrC =+
A continuación se va a obtener la evolución de la velocidad del carro en función del tiempo, integrando la
ecuación diferencial obtenida, que se va a rescribir de la siguiente manera:
( ) dt;K dtmm
θ) cos-(1Sρ ) v-(v
dv
oFluidoCarrC
AA2
CA
C =+
= ( )oFluidoCarrC
AA
mmθ) cos-(1SρKiendos
+=
Integrando:
K tv1
) v-(v1;dt K
) v-(vdv
ACA
t
0
v
02
CA
CC
=−= ∫∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=K tv1
11vvA
AC
Esta expresión se representa gráficamente a continuación (para dos valores diferentes del parámetro K). Se aprecia como el carro se va acelerando hasta alcanzar asintóticamente la velocidad del chorro Av .
0
10
0 50t0
K2
VA
K1
K2 < K1
VC(t)
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
25
5) La figura muestra un esquema de un cohete desplazándose verticalmente en la atmósfera terrestre. La masa inicial
del cohete es M y el motor genera un flujo másico de gases ( me
•
) a alta velocidad, ve, respecto al cohete. Si el flujo dentro del cohete es estacionario, obténgase la evolución temporal de la velocidad del satélite. Téngase en cuenta el arrastre D del aire sobre el cohete.
RESOLUCIÓN
Se aplica la ecuación de conservación de cantidad de movimiento a un volumen de control que incluye el cohete y tiene una única superficie de control, que es la salida de gases del motor. Se adopta un sistema de referencia inercial con los ejes fijos en tierra:
)Adv(vρdVvρt
F r
SCVC
⋅+∂∂
=Σ ∫∫
Esta ecuación se va a resolver en la dirección vertical, siendo el sentido positivo “hacia abajo”:
> Dgt)m-(MzΣF e +=•
; se tiene en cuenta el arrastre D ejercido por el aire y el peso del cohete, que
disminuye a medida que se van quemando los gases.
> vmt)m-(Mdtdvt)m-(M v-
tdVvρ eee
VC
•••+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=∂∂
∫t
> ( ) ( )v-vmAvv-vρ)Adv(vρ eeeeerSC
•==⋅∫
Agrupando términos, obtenemos el valor del empuje suministrado por el motor:
( )v-vmvmt)m-(MdtdvDgt)m-(M eeeee
••••++−=+
Simplificando:
eee vmDdtdvgt)m-(M
••=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
Se ha obtenido una ecuación diferencial, que permite obtener la evolución con el tiempo de la velocidad del cohete. Se va a resolver suponiendo que la fuerza de arrastre es constante (que no es cierto, pues depende de la
velocidad del cohete al cuadrado mediante la relación: F2
D Avρ21CD = ).
tgt)m-(M
Mln m
Dvmvee
ee −−
= ••
•
ve
Aeme
v
.
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
26
A continuación se representa esta relación para los valores siguientes: kg/s, 170 me =•
m/s, 2300 ve = kg, 30000 M = y se va a prescindir de la fuerza de arrastre:
02500
50007500
1000012500
15000
0 50 100 150 200t [s]
v [m/s]
Se aprecia cómo la velocidad aumenta progresivamente, tendiendo a infinito (pues con los datos del problema,
la masa llega a anularse). En la realidad, la dependencia de la fuerza de arrastre con el cuadrado de la velocidad, impide esa tendencia.
La ecuación de la velocidad del cohete puede ser integrada de nuevo para obtener la distancia recorrida, obteniéndose la expresión siguiente:
2tg
Mt)m-(Mln
m
M
t)m-(M
Mln t tm
Dvmx2
e
eee
ee −⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛++
−=
•
•••
•
Esta expresión es representada a continuación para los mismos valores del ejemplo anterior:
050
100150
200250300
0 50 100 150 200
x [km]
t [s]
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
27
6) La figura muestra una vista en planta de un aspersor de riego de un solo brazo de radio R. Bajo la acción del chorro de líquido (de densidad ρ), el aspersor gira a velocidad angular constante ω alrededor de la parte vertical del aspersor, que soporta un par resistente de valor T0. El caudal que circula por el aspersor es Q y la sección interior de los dos tramos del aspersor es A. Calcúlese la velocidad de giro en función de la geometría y de las propiedades del flujo.
k nr
θnω
TO
R
A
RESOLUCIÓN
Se va a resolver el problema en el volumen de control indicado en la figura, tanto desde un sistema de referencia inercial como no inercial:
k nr
θnω
AVC
k nr
θnω
VC
Sistema de referencia inercial: con los ejes fijos en tierra.
Aplicando la ecuación de continuidad:
0)Adv(ρdVρt
r
SCVC
=⋅+∂∂
∫∫
> 0dVρt VC
=∂∂
∫ , pues la masa de fluido dentro del volumen de control no varía
> 21r
SC2
r
SC1
r
SC
vAρvAρ)Adv(ρ)Adv(ρ)Adv(ρ +−=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫ ; es decir: Qmm 12 ρ==••
Se va a aplicar la ecuación de conservación del momento cinético:
)Adv()vr(ρdV)vr(ρt
M r
SCVCO ⋅×+×
∂∂
=Σ ∫∫
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
28
Se va a resolver la componente de la ecuación en la dirección k , que es perpendicular a la vista representada, y cuyo sentido positivo es saliente de la figura:
> kTM 0O −=Σ
> 0dV)vr(ρt VC
=×∂∂
∫ , pues aunque la velocidad varía dentro del volumen de control (el módulo no, pero sí
la dirección), el producto vectorial )vr( × es nulo en el tramo vertical y en la parte radial del brazo, mientras que en la
zona de salida da lugar a un vector en la dirección k , de módulo constante
> 1122r
2SC
r
1SC
r
SC
m)vr(m)vr()Adv()vr(ρ)Adv()vr(ρ)Adv()vr(ρ••
×−×=⋅×+⋅×=⋅× ∫∫∫
kVRnVnR)vr( θr2 −=×=× , siendo V la velocidad absoluta del fluido en la sección de salida, que
es igual a la composición de la velocidad relativa ( ) θA nQ/AV = y la de arrastre θnRω− :
( ) ( )[ ] θθθθ nRωQ/AnRωnQ/AnVV −=−==
( ) k0kQ/An0)vr( r1 =×=× Por tanto, la componente en la dirección k del término de superficie de control es:
RVQmVR)Adv()vr(ρ 2r
SC
ρ−==⋅ו
∫ , y agrupando todos términos en la ecuación de conservación del
momento cinético, se obtiene: RVQT0 ρ−=− . Sustituyendo el valor de la velocidad
absoluta: ( )[ ]RωQ/ARQT0 −ρ−=− . Despejando la velocidad de giro:
( )2
0
RQρT
RQ/Aω −=
Sistema de referencia no inercial: con los ejes girando con el aspersor.
Se va a aplicar la ecuación de conservación del momento cinético para un volumen de control no inercial , que tiene en cuenta el momento de las fuerzas de inercia:
)Adv()vr(ρdV)vr(ρt
dm)ar(M r
SCVCVC
arrO ⋅×+×∂∂
=×−Σ ∫∫∫
> kTM 0O −=Σ
> 0dV)vr(ρt VC
=×∂∂
∫ , pues en este caso el flujo es estacionario dentro del volumen de control
> 1122r
2SC
r
1SC
r
SC
m)vr(m)vr()Adv()vr(ρ)Adv()vr(ρ)Adv()vr(ρ••
×−×=⋅×+⋅×=⋅× ∫∫∫
kVRnVnR)vr( AθAr2 −=×=×
( ) k0kQ/An0)vr( r1 =×=×
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
29
Por tanto, la componente en la dirección k del término de superficie de control es:
A2Ar
SC
RVQmVR)Adv()vr(ρ ρ−==⋅ו
∫ ,
Para el cálculo del término que incluye la aceleración de arrastre: dm)ar(VC
arr∫ × , se va a calcular por
separado en el tramo radial del brazo y en el tramo tangencial de salida. Teniendo en cuenta que la velocidad de giro es constante y que el sistemas de referencia inercial no tiene aceleración lineal, la aceleración de arrastre es:
( ) ( )rωωvω2rωωvω2rdtωd
dtRda 2
S2
arr ××+×=××+×+×+=
Tramo radial: kωω;nVv;nrr rAr ===
( ) r2
θAarr nrωnVω2rωωvω2a −−=××+×= , por tanto: kVω2rar Aarr =× Tramo tangencial: kωω;nVv;nRr θAr ===
( ) r2
rAarr nRωnVω2rωωvω2a −=××+×= , por tanto: 0ar arr =×
Por tanto: kRQωkdrAVω2rdm)ar( 2R
0A
VC
arr ρ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ=× ∫∫
Agrupando todos los términos:
A2
0 RVQRQωT ρ−=ρ−−
Despejando la velocidad de giro, se obtiene la misma expresión que antes:
( )2
0
RQρT
RQ/Aω −=
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
30
7) La figura representa una pequeña turbina hidráulica de geometría axial, que permite transformar la energía hidráulica del agua que pasa a su través en energía mecánica en su eje de giro. Con los datos suministrados, suponiendo que el eje de giro es horizontal, que el flujo es isotermo, obténgase la reacción horizontal conjunta que deben soportar los tornillos de las bridas B1 y B2.
Turbina B1
B2
DATOS: Potencia absorbida por la turbina: SW•
Caudal: Q Densidad del líquido: ρ
Sección de la tubería en la brida B1: A1 Sección de la tubería en la brida B2: A2 Sección de la tubería en la turbina: AT
Presión en la sección de la brida B1: p1 RESOLUCIÓN
Se elige el volumen de control indicado en la figura que corta las bridas en las que se quiere obtener la reacción:
VC
SC1SC2
x
Se aplica la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x:
)Adv(vρdVvρt
FΣ r
SCVC
⋅+∂∂
= ∫∫
> 2211xx ApApRF −+=Σ , siendo Rx la reacción conjunta en las bridas
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
31
> 0dVvρt VC
=∂∂
∫ , pues el flujo es estacionario
> )v-v(QρAvvρAvv-ρ)Adv(vρ)Adv(vρ)Adv(vρ 12222111r
SC2
r
SC1
r
SC
=+=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫
Agrupando: )v-v(QρApApR 121122x +−= En esta expresión se desconoce el valor de P2, puesto que los valores de las velocidades se obtienen a partir de la
ecuación de continuidad: 22112211 A/QvA/Qv;AvAvQ ==== . Para obtener el valor de P2, se aplica la ecuación de la energía:
)Adv(eρdVeρtdt
dWdtdQ
r
SCVC
⋅+∂∂
=− ∫∫
> 0dtdQ
= , pues no hay transferencia de calor
> 222111S
SC
SPS AvpAvpW)Adv(pWWWdt
dW+−=⋅+=+=
••••
∫
> 0dVeρt VC
=∂∂
∫ , pues el flujo es estacionario
> ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+=⋅∫ 2
v-2vQρAveρAve-ρ)Adv(eρ
21
22
222111r
SC
, pues ni la energía potencial ni la energía
interna varían entre entrada y salida. Agrupándolo todo:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−+−
•
2v-
2vQρAvpAvpW
21
22
222111S
Expresión de la que se puede despejar 22 AP , que es lo que nos hace falta en la expresión de Rx:
2
21
22
S111
22 v2v-
2vQρWAvp
Ap⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
•
)v-v(QρApv
2v-
2vQρWAvp
R 12112
21
22
S111
x +−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
•
Área de Mecánica de Fluidos. ANÁLISIS INTEGRAL
32
Aplicación numérica:
Potencia absorbida por la turbina: SW•
= 7350 W Caudal: Q =1.26 m3/s Densidad del líquido: ρ = 1000 kg/m3 Sección de la tubería en la brida B1: A1 = 0.28 m2 Sección de la tubería en la brida B2: A2 = 0.16 m2 Sección de la tubería en la turbina: AT = 0.08 m2 Presión en la sección de la brida B1: p1 = 103.6 kPa
Se calculan en primer lugar los valores de la velocidad en las secciones de entrada y salida:
s/m88.7A/Qvs/m46.4A/Qv 2211 ====
)46.4-88.7(26.1100028.01036007.88
24.46-
27.8826.10001735028.046.4103600
R
22
x +−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
kN59.12R x −=
Sale con signo negativo, luego la fuerza que se ejerce sobre el volumen de control va de derecha a izquierda, y
por tanto, la fuerza que soportan los tornillos de las bridas es de 12.59 kN.