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TEMA 3: CONJUNTOS
CONJUNTOS
NOCIÓN
Entenderemos como conjunto a la reunión,
agrupación, agregado, clase, colección o
familia de integrantes homogéneos o
heterogéneos con posibilidades reales o
abstractas, que reciben el nombre de
elemento del conjunto.
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
A. Extensión o forma tabular
Se enuncia todos los elementos válidos
para conjuntos con escasa cantidad de
elementos o para aquellos que siendo
excesivamente numerosos (o hasta
infinitos) poseen una cierta ley de
formación la cual resulta evidente.
B. Comprensión o forma constructiva
Se enuncia a sus elementos por medio
de una propiedad o cualidad común a
ellos y que le es valida únicamente a
estos.
Ejemplos:
A. Determinar el conjunto de las cinco
vocales
B. Determinar el conjunto de los
números impares (+) menores que
16.
PPoorr eexxtteennssiióónn::
A = {a, e, i, o, u}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
PPoorr ccoommpprreennssiióónn::
A = {x/x es una vocal}
B = {x/x es un número impar < 16}
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Un elemento pertenece () a un conjunto si
forma parte o es agregado de dicho
conjunto. Un elemento no pertenece () a
un conjunto si no cumple con la condición
anotada.
La relación de pertenencia vincula cada
elemento con el conjunto, más no vincula
elementos o conjuntos entre sí.
Ejm:
P = {a, b, c, … , x, y, z}
b P P
m P 1 P
5 P
RELACIÓN DE INCLUSIÓN
Se dice que A esta incluido en el conjunto B
cuando todo elemento “A” pertenece a “B” la
inclusión se simboliza por:
A B x A x B
También puede decirse que A es parte de,
es contenido en, es subconjunto de conjunto
B. Se puede denotar también por B A que
se lee “A” incluye, contiene o es
superconjunto del conjunto A.
Ejm:
M = {Tener}
N = {Perros}
P = {Mamíferos}
Entonces: M N P N P
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CONJUNTO NULO O VACÍO
Un conjunto que no posee elementos se
denomina conjunto vacío, también se le llama
conjunto nulo.
Se le denota comúnmente por: ó { }.
Convencionalmente el conjunto vacío es un
subconjunto de cualquier otro conjunto.
CONJUNTO UNITARIO
Es el conjunto que consta de un solo elemento,
al conjunto unitario también se le llama
SINGLETON.
CONJUNTO UNIVERSAL
Es un conjunto de referencia para el marco de
una situación particular, es posible elegirlo de
acuerdo a lo que se trata.
CONJUNTO DISJUNTOS
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen
elementos comunes, también se les llama
conjuntos excluyentes.
CONJUNTO POTENCIA
Se llama así al que está formado por todos los
subconjuntos de un conjunto dado. Dado un
conjunto “A” cuyo número de elementos
(cardinal) es n(A), el cardinal de su conjunto
potencia P(A) será aquella potencia de 2 cuyo
exponente es n(A)
n[P(A)] = 2n(A)
SUBCONJUNTO PROPIO
Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto
dado no es igual a este. Para un conjunto a de
cardinal n(A) tenemos:
# de subconjuntos propios de A = 2n(A) - 1
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Colocar el valor de verdad a cada proposición si:
A = {2; 3; {1}; {2, 1}}
A
3 A
1 A
{1} A
{3} A
A
a) FVFFVV b) FFVVFF c) FFFVVV
d) FVFVFV e) VVFVFV
2. ¿Cuántos subconjuntos tiene
A = {1, {1}, 1, }?
a) 16 b) 15 c) 8
d) 4 e) 32
3. ¿Cuántos subconjuntos tiene el siguiente
conjunto?
A = {x2/x Z; -9 < 2x – 1 < 11}
a) 10 b) 12 c) 15
d) 18 e) 23
4. Calcular la suma de los elementos del conjunto
A.
A = {x/x N; 10 < 3x + 2 < 18}
a) 10 b) 12 c) 15
d) 18 e) 23
5. Colocar el valor de verdad a cada proposición si:
A = {8; 3; {2}; {1, 3}}
3 A ( ) 8 A ( )
2 A ( ) 3 {1, 3} ( )
{3} A ( ) 4 A ( )
6. Si el conjunto A tiene 2 elementos. ¿Cuántos
subconjunto propios tendrá P(A)?
a) 3 b) 7 c) 8
d) 31 e) 15
7. Determine por extensión el conjunto:
A = {x-1/ x N, 4 x < 9}
a) {0, 1} b) {0, 1, 2} c) {-1, 0}
3
d) {-1, 0, 1} e) {0,2}
8. Dado el conjunto:
B = {x+3/x Z, x2 < 9}
Calcule la suma de los elementos del conjunto
“B”
a) 12 b) 15 c) 3
d) 9 e) 18
9. Determine por extensión el siguiente conjunto:
T = {x/x = x12
x3
; x N}
a) {3} b) {3, 4} c) {0, 3}
d) {0, 3, 4} e) {0,4}
10. Sabiendo que el conjunto:
A = {a + b; a + 2b – 2; 10}
es un conjunto unitario
Dar el valor de a2 + b2.
a) 16 b) 80 c) 68
d) 58 e) 52
11. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene:
A = {x/x Z; -7 < 4x + 1 < 21}
a) 64 b) 63 c) 16
d) 15 e) 31
12. Sabiendo que los conjuntos:
A = {4a + 3b; 23}
B = {3a + 7b; 41}
son unitarios.
Hallar: a + b
a) 2 b) 4 c) 5
d) 7 e) 9
13. Si el siguiente conjunto es unitario:
A = {a + b; b + c; a + c; 6}
Calcular: a x b x c
a) 3 b) 6 c) 9
d) 18 e) 27
14. Determinar por extensión el siguiente conjunto:
A = {x2 – 3x + 2/ 1 x < 3 1x5 N}
a) { } b) {0} c) {1}
d) {2} e) {0, 1}
15. Dados los conjuntos:
A = {( x -3) Z/ 16 x2 625}
B = {(2y - 1) Z/ 2 2y3 7}
Hallar: n(A) + n(B)
a) 12 b) 14 c) 17
d) 23 e) N.A.
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Dados: A = {a2 + 9; b + 2}
B = {-9; 10}
Si se sabe que A = B. Calcular a – b
a) 9 b) 12 c) -10
d) -9 e) -12
2. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario.
M = {aa + b; 2a + b; 9}
Hallar: a . b
a) 8 b) 4 c) 6
d) 10 e) 12
3. Sean los conjuntos iguales:
A = {a3 + 2; 20}
B = {29; b5 – 4a}
Hallar: a2 + b2
a) 10 b) 12 c) 13
d) 18 e) 20
4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda: M = {2; 3; {5}; {8; 10}}
I. n(M) = 5 IV. {2, {5}} M
II. {3} M V. {8; 10} M
III. {{5}} M
a) FFFVV b) VFVFV c) VFVVF
d) FFVVF e) FFVVV
5. Dado el conjunto: A = {; 5; 4; {4}}
¿Qué proposiciones son falsas?
I. A IV. A
II. {4} A V. {5} A
III. {5, 4} A
a) Solo IV b) Solo II c) Solo V
d) Solo IV y V e) N.A.
6. Calcular la suma de los elementos del conjunto B.
4
B = {x2/ x Z, -5 < x < 3}
a) 40 b) 30 c) 35
d) 32 e) 25
7. Sean los conjuntos iguales:
A = {a2 + 1; 12}
B = {a – b; 17}
¿Cuál puede ser el valor de a + b?
a) -12 b) -20 c) 12
d) 4 e) 10
8. El conjunto potencia de A tiene 512
subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene el
conjunto A?
a) 4 b) 2 c) 3
d) 8 e) N.A.
9. ¿Cuántas elementos tiene el conjunto potencia
del conjunto A?
A = {x/x es una cifra del número 3575}
a) 2 b) 12 c) 15
d) 13 e) 16
10. Si el conjunto A tiene 1024 subconjunto.
¿Cuántos elementos tiene A?
a) 6 b) 8 c) 9
d) 10 e) N.A.
11. Si: A = B
A = {3a+2 ; 81}
B = {3b+2 + 2; 27}
Hallar: a . b
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
12. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son
vacíos?
A = {x N/ x + 1 = 0}
B = {x Z/ 3x + 1 = 0}
C = {x Q/ x2 - 7 = 0}
D = {x R/ x4 + 4 = 0}
a) 1 b) 2 c) 3
d) F.D. e) Todos
13. Señalar verdadero o falso:
I. = 0 ( )
II. 2 {3, 4, 2} ( )
III. {5, 6} {3, 4} ( )
IV. {1, 3} {1, 3, 2} ( )
V. {2} {{2}, 3} ( )
14. Dado el conjunto:
A = {x Z / -5 x -2}
Hallar la suma de los elementos.
a) 13 b) 15 c) 23
d) 42 e) N.A.
15. Si: B = {2x -1 / x N 1 < x < 7}
entonces no es cierto que:
a) 1 B b) 5 B c) 7 B
d) 9 B e) N.A.
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OPERACIONES CON CONJUNTOS
Debemos tener en cuenta los siguientes gráficos:
A. UNIÓN O REUNIÓN
A B = {x/x A x B}
Cuando los conjuntos tienen algo en
común.
Cuando los conjuntos no tienen nada
en común.
Cuando un conjunto incluye a otro.
B. INTERSECCIÓN
A B = {x/x A x B}
C. DIFERENCIA
A - B = {x/x A x B}
A - B
A – B
A - B
B - A = {x/x B x A}
B - A
B – A
B - A
A B
A B
A
B
A B
A B
A
B
A B
A B
A
B
A B
A B
A
B
6
D. DIFERENCIA SIMÉTRICA
A B = (A - B) (B - A) = (A B) – (A B)
E. COMPLEMENTO
PPRROOPPIIEEDDAADDEESS
(A’) = A (A B)’ = A’ B’
U’ = (A B)’ = A’ B’
’ = U
LLEEYYEESS YY PPRROOPPIIEEDDAADDEESS DDEELL ÁÁLLGGEEBBRRAA DDEE
CCOONNJJUUNNTTOOSS
I. IDEMPOTENCIA
A A = A
A A = A
II. CONMUTATIVA
A B = B A
A B = B A
A B = B A
III. ELEMENTOS NEUTROS
A U = U
A U = A
A = A
A =
IV. COMPLEMENTO
A A’ = U
A A’ =
(A’)’ = A
V. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
A – B = A’ B’
A – B = B’ - A’
VI. LEYES DE MORGAN
(A B)’ = A’ B’
(A B)’ = A’ B’
VII. ASOCIATIVAS
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
VIII. DISTRIBUTIVAS
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
IX. SI A y B SON DISJUNTOS
A B =
A – B = A
B – A = B
A B = A B
A B
A B
A
B
A
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X. ABSORCIÓN
A (A B) = A
A (A B) = A
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
16. Si: U = {x/x N 0 x 9}
(A B)’ = {0, 6, 9}
A B = {1, 2, 7}
A – B = {3, 5}
¿Cuál es la suma de los elementos de (B - A)?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
17. Si: A B = y además
n [P(A B)] = 256
n(A) – n(B) = 1
n[A B] = 3
Hallar: n(B)
a) 3 b) 5 c) 7
d) 8 e) 4
18. Determinar: E = (A - B) (B - C)
Si: A = {x/x N / x es divisor de 12}
B = {x/x es un número natural / x es divisor
de 18}
C = {x/x N / x es divisor de 16}
Dar como respuesta n(E)
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) N.A.
19. En los diagramas mostrados como se puede
expresar lo sombreado.
I.
II.
III.
20. Sean A = {1, 5, 7, 8, 9}
B = {1, 5, 8, 9}
C = {1, 8}
D = {1, 9, 7}
Hallar: (A C) – (B D)
a) {8} b) {9} c) {7, 8}
d) {9, 7} e) {9, 8}
21. Para dos conjuntos A y B se tiene que:
A B = {x/x Z / 2 x 8}
A B = {5}
A – B = {4, 6, 7}
Hallar la suma de los elementos de B.
a) 31 b) 12 c) 18
d) 15 e) N.A.
22. Sean A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 4, 6, 8, 10}
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Hallar:
E = [A (B C)’] (A’ – B’)
Siendo:
U = {x/x N x < 12}
a) {9, 11} b) {9, 10, 11} c) {8, 9, 10}
d) {8, 10, 11} e) N.A.
23. Sean los conjuntos:
A = {x/x Z, x2 < 400}
B = {x/x Z, -2 < x + 1 < 400}
Determinar el cardinal del conjunto:
L = (A - B) B
a) 20 b) 21 c) 40
d) 38 e) 41
24. Se conoce que:
1. (A B C)’ = {1, 8, 12}
2. (A C) = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11}
A B U
A B U
A B U
C
8
3. (A B) = {2, 3, 4, 5, 7, 9}
4. (A C) = {5}
5. (B C) =
6. B’ = {1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 12}
Calcular la suma de los elementos de:
D = (B C) – A
a) 30 b) 35 c) 41
d) 43 e) 47
25. Dado el conjunto universal “U” y los conjuntos
“A”, “B” y “C” sabiendo además:
1. A C = {7}
2. (A B C)’ = {2, 10}
3. B’ = {2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11}
4. A C = {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11}
5. A B = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 11}
6. B C =
Calcular: “2n(A) + n(B)”
26. Se tiene dos conjuntos A y B tales que:
1. n(A) – n(B) = 3
2. n[P(A B)] = 2048
3. n[P(A B)] = 16
4. n(B’) = 9
¿Cuántos subconjuntos tiene A’?
a) 8 b) 16 c) 64
d) 128 e) 32
27. Si: C – B = {7, 5, 6}
C – A = {7, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 3, 4, 8, 9, 10}
C = {4, 5, 6, 7, 9, 10}
¿Cuántos elementos hay en la parte
sombreada?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 2
28. Si “A”, “B” y “C” tienen 1, 2, 3 elementos
respectivamente:
A = {a + b; 7; b + c2}
B = {a; c2; b + 1; (b + 2)}
C = {3; a – 1; c2 + 3}
Donde: a, b y c Z
Hallar: n[P [(A C) (B C)]]
a) 4 b) 3 c) 8
d) 16 e) 32
29. Si: U = {1, 2, 3, 4, 5}
A B = {1, 2, 3, 4}
A B = {1, 3}
A – B = {2}
Luego el conjunto B es:
a) {1, 2} b) {2} c) {1, 2, 3}
d) {1, 3, 4} e) {3, 5}
30. Siendo: A = {1, b, c, d, e}
B = {a, b, d}
C = {c, e, b}
Hallar el cardinal del conjunto
M = [(A B) - C] ( A B)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Siendo A y B dos subconjuntos del conjunto
universal U se sabe que:
n(A’) = 10
n(B’) = 5
n(U) = 17
n[(A B)’] = 13
Hallar: n(A B) + n(A B)
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 19
2. Si: M = {1, 2, 3, 5}
N = {2, 3, 4, 5, 6}
P = {0, 1, 2, 3}
Diga cual de las siguientes igualdades es
correcta:
a) M (N P) = (M N) P
A B
C
9
b) P (M N) = (M N) (M P)
c) (M N) (M P) = M (N P)
d) M (N P) = (M N) (M P)
e) N.A.
3. Si: U = {x/x N 0 x 9}
(A B) ‘ = {0, 6, 9}
(A B) = {1, 2, 7}
(A - B) = {5, 3}
¿Cuál es la suma de los elementos B – A?
a) 12 b) 18 c) 15
d) 10 e) 20
4. El siguiente grafico indica cantidades de
elementos por zona. ¿Cuántos elementos tendrá
la expresión?
(E - F)’ (G’ - E)
a) 8 b) 17 c) 20
d) 24 e) 30
5. Dados los conjuntos:
A = {4, 5, 8, 9, 10}
B = {5, 6, 7, 8, 9}
C = {2, 3, 4, 5, 6}
Hallar el cardinal de:
(A C) (B - A)
a) 4 b) 3 c) 5
d) 6 e) N.A.
6. Hallar la suma de elementos de A B siendo:
A = {x + 1/ x N, 5 x < 10}
B = {3
1x N / x N, 6 < x 20}
a) 36 b) 43 c) 45
d) 34 e) 39
7. ¿Qué operación representa la zona sombreada?
a) (B C) – (A - B)
b) (C - B) (B - A)
c) (C - A) (B - C)
d) (B - C) (A C)
e) (B - A) (C - A)
8. Si: U = {x/x N, 0 < x < 15}
A = {x2 + x + 2/ x N; 2 x < 6}
B = {2x + x / x N; 1 x < 5}
Hallar el cardinal de (A B)’
a) 4 b) 5 c) 6
d) 9 e) 8
9. Dados los conjuntos:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {x-1 / x N, 2 x 6}
B = {x/x N, 2 x 5}
C = {x N / (x - 1) (x - 2) (x-6) = 0}
Hallar: [(B C)’ – (A B C)]’
a) b) {2, 3} c) {1, 2, 3}
d) {4} e) {2}
10. Si: A = {a + b; 12; 2a – 2b + 4}
Es un conjunto unitario y
B = {x/x N, b < x < a}
C = { x/x N, a – 3 < x < 3b - 2}
¿Cuántos subconjuntos tiene:
“(B C) A”?
a) 8 b) 16 c) 4
d) 3 e) 32
11. Con la siguiente información:
U = {x/x Z, -4 < x 5}
A B = {2, 3}
(A B)’ = {-3, 1}
A’ = {-1, 0, 1, -3}
Hallar cuantos subconjuntos tiene: A B
a) 8 b) 4 c) 16
d) 2 e) 32
12. Dados los conjuntos A y B se conocen:
n(A) – n(B) = 2
n(A - B) = n(A’)
n[P(A’)] = 128
n[U] = 20
Hallar n[P(B - A)]
E
6
4 5
7 9
6
3
F
G
8
A B
C
U
10
a) 16 b) 8 c) 32
d) 4 e) N.A.
13. Dados los conjuntos:
U = {x/x Z, 2 x < 13}
A = {2, 5, 6, 7}
B = {x/x A x < 5}
C = {x/x A x < 10}
Hallar cuantos subconjuntos tiene:
[(A - B)’ (C - B)’]’
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8 e) 16
14. Si: U = {x/x N, 1 < x < 12}
A = {x/x N, x2 = 3x + 10}
B = {x/x N, (x + 5) (x - 4) (x - 2) = 0}
Hallar: n(A B)’
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 4
15. En el siguiente gráfico se muestran las
cantidades de elemento por zonas, hallar la
cantidad de elementos de:
E = [(A B) – (C D)] [(C - B) [(D - A)]
a) 6 b) 8 c) 9
d) 7 e) N.A.
2 2 3 4 4
3
A
C D
B