Tema 3: Análisis en el dominio de la frecuencia
Enrique San Andrés
Tema III 2
• Analizaremos la respuesta de los circuitos lineales frente a excitaciones sinusoidales– Fasores – impedancias
– Potencia compleja
– Circuitos resonantes
– Fundamentos de filtrado de señales
Objetivos del tema
Tema III 3
• Vamos a estudiar respuesta con fuentes variables con el tiempo sinusoidales– Denominación habitual: corriente alterna (AC)
• Razones para estudiar este tipo de excitación y no exponencial, lineal, triangular…
Análisis en régimen sinusoidal
– 1.- Aparece naturalmente en un sistema resonante amortiguado (sistema de 2º orden)
– 2.- Aparece en solución de ecuaciones diferenciales
• Derivada de sen cos
• Derivada de cos -sen
Tema III 4
– 3.- Los generadores típicos utilizan una espira que gira a velocidad angular uniforme y un imán permanente (o viceversa)
• Producen una tensión que es una sinusoide
Análisis en régimen sinusoidal
Imagen: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu
Tema III 5
– 4.-Toda función periódica puede descomponerse en sinusoides: series de Fourier
• Permite pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia
• Sin rigor: toda función periódica se puede expresar como una suma de sinusoidales con frecuencia múltiplo de la frecuencia de la señal
– https://www.youtube.com/watch?v=DzjwjDt2W1I
Análisis en régimen sinusoidal
Fuente: Lucas V. Barbosa – Wikimedia commons
Transformada de Fourier
• Cálculo de la serie de Fourier de una señal periódica
– Permite describir completamente una función periódica mediante un conjunto discreto de valores (amplitudes de cada uno de los términos periódicos) -> espectro discreto de frecuencias
• Las series de Fourier pueden extenderse a señales aperiódicas -> Transformada de Fourier
Microelectrónica 6
T
n
T
n
T
n
nn
dttT
nsentf
Tbdtt
T
ntf
Tadttf
Ta
tT
nsenbt
T
na
atf
0000
1
0
;22
;2
cos2
;2
22cos
2
Tema III 7
• Un generador AC se conecta en un determinado momento: respuesta transitoria + forzada– Nos centraremos en el estacionario (respuesta forzada)
Análisis en régimen sinusoidal
Tema III 8
• Generador AC de tensión:
– Vm: amplitud de pico
– t argumento o fase [rad] o [º]
– frecuencia angular [rad/s]
– T=2/ periodo [s]
– f = 1/T frecuencia temporal [s-1]
Análisis en régimen sinusoidal
cosmv t V t
Tema III 9
• Fuente de tensión desfasada:
– es la fase inicial
• Si es positiva la señal está adelantada
• Si es negativa está atrasada
Análisis en régimen sinusoidal
0cosmv t V t
0
0
0
Tema III 10
• La elección de senos o cosenos es arbitraria
– Recordatorio
• Ej: determinar amplitud, fase inicial, periodo y frecuencia
Análisis en régimen sinusoidal
sen cos2
cos sen2
sen sen cos cos sen
cos cos cos sen sen
A B A B A B
A B A B A B
º1050cos12 ttv
Tema III 11
• Ej: calcular diferencia de fase entre las tensiones
Análisis en régimen sinusoidal
º1012;º50cos10 21 tsentvttv
Tema III 12
• Respuesta en alterna del circuito RL
– Aplicando KVL
– Ecuación diferencial lineal de primer orden: como solución particular vamos a probar una sinusoide de la misma frecuencia
• Veremos que todas las corrientes y tensiones del circuito son sinusoidales de la misma frecuencia que la fuente
– Por tanto la solución particular (forzada) sería
– La solución homogénea será una exponencial decreciente
Análisis en régimen sinusoidal
tVtv ms cos
tVdt
diLRi m cos
0cos tIti m
Tema III 13
– Para separar incógnitas
– Relaciones entre incógnitas
– Determinación de A y B
Análisis en régimen sinusoidal
0cos tIti m
tBsentA
sentsentItIti mm
cos
coscoscos 000
22
1
0
0
0 tancos
BAI
A
B
senIB
IA
m
m
m
cos
cos cos cos
m
m
diRi L V t
dt
R A t Bsen t L A sen t B t V t
Tema III 14
– Determinación de A y B
– Empleando relaciones anteriores
Análisis en régimen sinusoidal
cos sen cosmRA LB t RB AL t V t
0
mRA LB V
RB LA
22
22
LR
LVB
LR
RVA
m
m
R
Lt
LR
Vti
LR
VBAI
R
L
A
B
m
mm
1
22
22
22
11
0
tancos
tantan
Tema III 15
• Herramienta matemática para simplificar: fasor
• Definición de fasor:– Número complejo que representa la amplitud y la fase de una
señal sinusoidal
– No contiene información de la frecuencia
– Transforma ED en operaciones algebraicas con complejos
Análisis en régimen sinusoidal
cos j
m mv t V t V V e
Tema III 16
• Recordatorio de operaciones con complejos
Análisis en régimen sinusoidal
x
yyxrerjsenrrjyxz j 122 tan;;cos
212121
212121
yyjxxzz
yyjxxzz
rjyxz
rz
r
r
z
z
rrzz
*
2/
2
1
2
1
2121
21
21.
r
Im
Re
r
y
x
z
j
j
j
esen
e
jjsene
Im
Recos
1;cos
Tema III 17
• Si la señal es– Entonces
– El uso de fasores sirve para trabajar en el dominio de la frecuencia en lugar de en el dominio del tiempo (dominio fasorial)
– Resumiendo:
• Paso al dominio del tiempo conocido el fasor:
• Paso al dominio fasorial desde el dominio del tiempo
Análisis en régimen sinusoidal
tVtv m cos
j
m
tjtjj
m
tj
mm
eVVdonde
eVeeVeVtVtv
~
~ReReRecos
tjeVtv ~Re
j
mm eVVtVtv ~
cos
Tema III 18
• Ej: sumar en el dominio fasorial las corrientes
Análisis en régimen sinusoidal
º205
º30cos4
2
1
tsenti
tti
Tema III 19
• Supongamos una tensión general
• Derivación– En el dominio del tiempo
– Representación fasorial del resultado
– En conclusión
• Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
Análisis en régimen sinusoidal
tVtv m cos
2cos
tVtsenV
dt
tdvmm
2 2j j
j
m mV e V e e j V
Vjdt
dv ~
• Integración
Microelectrónica 20
Análisis en régimen sinusoidal
cos cos2
m mm
V Vv t dt V t dt sen t t
2j
jm mV V Ve e
j j
Vvdt
j
Tema III 21
• Supongamos una tensión general
• Derivación• Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
• Integración• Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
Análisis en régimen sinusoidal
tVtv m cos
Vjdt
dv ~
j
Vvdt
~
Tema III 22
• Resistencia– Dominio del tiempo
– Supongamos que
– Ley de Ohm
Relaciones fasoriales para R, L y C
tIi m cos
v
i
tRIv
Riv
m cos
– Dominio de la frecuencia
V~
I~
jmeII
~
jmeRIV
~
IRV~~
V~
Im
I~
Re
Tema III 23
• Inductancia– Dominio del tiempo
– Supongamos que
– Relación v-i
Relaciones fasoriales para R, L y C
tIi m cos
2cos
tLI
tsenLIv
dt
diLv
m
m
– Dominio de la frecuencia
jmeII
~
j
m
j
m
eLIj
eLIV
2~
ILjV~~
+ v -
i
+ V -
I
V~
I~
Tema III 24
• Bobina– Dominio del tiempo
– La corriente se retrasa 90º respecto de la tensión
Relaciones fasoriales para R, L y C
– Dominio de la frecuencia
ILjV~~
+ v -
i
+ V -
I
V~
Im
I~
Re
I~
V~
Tema III 25
• Condensador– Dominio del tiempo
– Supongamos que
– Relación i-v
Relaciones fasoriales para R, L y C
tVv m cos
2cos
tCV
tsenCVi
dt
dvCi
m
m
– Dominio de la frecuencia
jmeVV
~
j
m
j
m
eCVj
eCVI
2~
ICj
V
VCjI
~1~
~~
Tema III 26
• Condensador
– La corriente se adelanta 90º respecto de la tensión
Relaciones fasoriales para R, L y C
V~
Im
I~
Re
ICj
V
VCjI
~1~
~~
Tema III 27
• Acabamos de encontrar las relaciones entre los fasores corriente y tensión para R, L y C– Expresiones
• Def. Impedancia (Z)– Es la relación entre la tensión fasorial y la corriente fasorial
• Es un número complejo, NO es un fasor.
• Unidades de ohm (complejos).
Impedancia
IRV~~
ILjV~~
ICj
V~1~
I
VZ ~
~
V~
I~
Z
Tema III 28
• Impedancia de R, L y C
• En general, depende de la frecuencia
Impedancia
RZR LjZL C
j
CjZC
1
Tema III 29
• En un elemento lineal general (o su combinación)
– R y X números reales
– R se denomina “Resistencia”
– X se denomina “Reactancia”
• X>0 se denomina reactancia inductiva
• X<0 se denomina reactancia capacitiva
Impedancia
jXRZ
Tema III 30
• Análogo de conductancia en AC: Admitancia
– Admitancia de elementos lineales
– G y B números reales
– G se denomina “Conductancia”
– B se denomina “Susceptancia”
Impedancia
GR
YR 1
LjYL
1 CjYC
jBGY
ZY
1
• ¿Qué ocurre con Kirchoff en AC? Caso 1: KVL
Tema III 31
Impedancia
𝑅𝑒 𝑉𝑚1𝑒𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜃1 +𝑅𝑒 𝑉𝑚2𝑒
𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜃2 +…+𝑅𝑒 𝑉𝑚𝑛𝑒𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜃𝑛 =0
𝑅𝑒 𝑉𝑚1𝑒𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜃1 + 𝑉𝑚2𝑒
𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜃2 +⋯+ 𝑉𝑚𝑛𝑒𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜃𝑛 =0
𝑅𝑒 𝑉𝑚1𝑒𝑗𝜃1 + 𝑉𝑚2𝑒
𝑗𝜃2 +⋯+ 𝑉𝑚𝑛𝑒𝑗𝜃𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑡 =0
𝑅𝑒 ෩𝑉1 +෪𝑉2 +⋯+ ෩𝑉𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑡 =0
෩𝑉1 +෪𝑉2 +⋯+ ෩𝑉𝑛=0
Tema III 32
• Leyes de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia– Las leyes de Kirchhoff son válidas en el dominio de la frecuencia, donde
deben expresarse en forma fasorial
• En cada lazo KVL
• En cada nudo KCL
– Por tanto, todas las técnicas de análisis estudiadas para DC pueden aplicarse a circuitos de alterna empleando fasores
• En particular, combinaciones serie, paralelo, etc.
N
n
nI1
0~
Impedancia
N
m
mV1
0~
Tema III 33
• Ej: Asociación de impedancias– Como la ley de ohm generalizada no cambia, ni Kirchhoff
• Impedancias en serie
• Admitancias (impedancias) en paralelo
N
n
neq ZZZZZ1
321 ...
Impedancia
N
n neq
N
n
neqZZZZZ
YYYYY13211
321
1...
1111...
Tema III 34
• Ej: circuito RL con fuente de tensión sinusoidal
– KVL a la malla
– Para pasar al dominio del tiempo
tVv mS cosm
j
mS VeVV 0~
R
L
LRZ
eZ
V
eZ
V
LjR
VI
ILjRILjIRIZIZV
jm
j
mm
LRS
1
222
tan
~
~~~~~~
t
Z
Vee
Z
VeIti mtjjmtj cosRe
~Re
Impedancia
Tema III 35
• Ej: calcular la impedancia equivalente si = 50rad/s
Impedancia
Tema III 36
• En resumen, para resolver un circuito en alterna se siguen los pasos1. Se transforma del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia
(análisis fasorial).
2. Se calculan las impedancias
3. Se resuelve el circuito con las técnicas del Tema 1.
4. Se transforma de vuelta la solución al dominio del tiempo.
Análisis fasorial
Tema III 37
• Ej: determinar la tensión en la bobina
Impedancia
12/4cos201 tV
Tema III 38
• Circuitos equivalentes de Thévenin y Norton– El teorema de Thévenin se aplican también en AC
• Voc (ó Vth) es el voltaje (fasor) que aparece entre los terminales cuando B se desconecta
• Zth es la impedancia entre los terminales de A cuando todas las fuentes independientes se anulan (fuentes de tensión se cortocircuitan y fuentes de corriente en abierto)
• Entonces, A se puede sustituir por una fuente de tensión real con VS=Voc y Zint=Zth
– El teorema de Norton también es aplicable
• IN=Vth/Zth
• ZN=Zth
Análisis fasorial
A B B
Zth
Análisis fasorial
• Cuidado si hay frecuencias diferentes
Microelectrónica 39
Tema III 40
• Potencia instantánea– Recordando el tema I, la potencia instantánea es el producto de v(t)i(t)
– Supongamos un circuito en régimen sinusoidal
– En una determinada parte del circuito
– Entonces
• Aplicando la identidad
– Resulta
• Término constante + término dependiente del tiempo (frecuencia doble)
im
vm
tIti
tVtv
cos
cos
Potencia
ivmm ttIVtitvtp coscos
BABABA coscos2
1coscos
ivmmivmm tIVIVtp 2cos2
1cos
2
1
Tema III 41
• Potencia instantánea
– Ej: Vm=4V, Im=0.5A, T=5ms, v=0
– i=0 i=/4 i= /2
Potencia
ivmmivmm tIVIVtp 2cos2
1cos
2
1
Tema III 42
• Potencia media, P– Es el promedio de la potencia instantánea en un período
– Para señales de alterna
– Al término cos(v-i) se le denomina factor de potencia
Potencia
dttpT
PT
0
1
Tema III 43
• Algunos casos particulares– Circuito puramente resistivo (tensión y corriente en fase)
– Circuito puramente reactivo (L ó C)
Potencia
mmmmiv IVIVP2
10cos
2
1
02
cos2
1
2
mmiv IVP
Tema III 44
• Potencia media, P– Se puede calcular empleando fasores:
– Entonces
– Por tanto:
i
v
j
m
j
m
eII
eVV
~
~
Potencia
ivivmm
j
mm
jj
mm
j
m
j
m
jsenIV
eIVeeIVeIeVIV iviviv
cos2
1
2
1
2
1
2
1~.
~
2
1 *
Pcos2
1~.
~
2
1Re *
ivmmIVIV
Tema III 45
• Potencia media disipada, P– En una carga general, ZL
– Recordatorio: en DC
Potencia
LLLL RIZIIZIIZIVP222** ~
2
1Re
~
2
1~Re
2
1~.
~
2
1Re
~.
~
2
1Re
RIP 2
Tema III 46
• Ej: calcular potencias medias de la fuente y de la resistencia
Potencia
Tema III 47
• Supongamos que un circuito está conectado a una impedancia “regulable” ZL
– ¿Cuándo se transmitirá la máxima potencia a la carga?
– Spoiler: máxima transferencia de energía cuando ZL=Zth*
Máxima transferencia de potencia
Circuito lineal de dos
terminales ZLZL
Zth
Tema III 48
– Para demostrarlo, partiremos del equivalente thèvenin
– Corriente por ZL:
– Potencia media en ZL:
– Máximo: derivada nula
th
L th
VI
Z Z
Potencia
ZL
Zth
22
2 2
1 1
2 2
th L
L
th L th L
V RP I R
R R X X
LLLththth jXRZjXRZ ;
thL
LthLth
LthLth
L
XXXXRR
XXRV
X
P
00
222
2
Tema III 49
– Potencia media en ZL:
– Máximo: derivadas nulas
Potencia
ZL
Zth
22
2
1 1
2 2
th L
L
th L
V RP I R
R R
2 22
22
2 2
20 0
th th L th L th L
Lth L
th L L th
V R R V R R RP
R R R
R R R R
Tema III 50
– En conclusión, la potencia máxima se da:
Potencia
ZL
Zth
*
thL
thL
thLZZ
XX
RR
th
th
R
VP
8
2
max
2
2
22
2
22
2
max420222
th
thth
th
thth
LthLth
thL
R
VR
R
VR
XXRR
VRP
Tema III 51
– Determinar la impedancia de carga que maximiza la potencia media
Potencia
LZº010
Tema III 52
• Utilizado para simplificar cálculos de potencia transmitida a una carga por una fuente periódica (no necesariamente sinusoidal) – El valor eficaz de tensión (o corriente) de una fuente periódica es el
valor que de una fuente de DC que comunicara la misma potencia a una carga resistiva
Valor eficaz
R
Vdt
TR
Vdt
R
V
TP
effT
effT
eff
2
0
2
0
211
T
dtVTR
P0
211
T
eff
effT
dtVT
VR
VdtV
TR 0
2
2
0
2 111
Tema III 53
• Ej: fuente sinusoidal
• Corriente eficaz– Razonamiento análogo
– Fuente sinusoidal
Valor eficaz
0
00
0
0
0
2
00
2
00
2
707.022
11
4
2
2
11
cos1
cos11
VVT
TV
tsent
TV
dttT
VdttVT
dtVT
V
T
TTT
eff
T
eff dtIT
I0
21
2
0IIeff
Tema III 54
• Coloquialmente: cuando a un sistema se le aplica una señal periódica y el sistema tiene un máximo de absorción de energía– Puede ser intencionada o no.
• Se dice que una red está en resonancia o es resonante si su voltaje y su corriente están en fase– Comportamiento puramente resistivo de la red.
– Para que haya resonancia, si hay elementos reactivos debe haber al menos dos.
• Cuando está en resonancia la respuesta tiene la amplitud máxima
Resonancia
Tema III 55
• Resonancia en el circuito RLC paralelo – Sería equivalente a alimentar un L y C conectados a un generador de
corriente sinusoidal
– Admitancia vista desde la fuente
– Habrá resonancia cuando la fuente vea comportamiento resistivo
– El módulo de la admitancia es mínimo en la resonancia -> impedancia máxima -> máxima tensión
LCj
RY
11
Resonancia
Hz
LCfósrad
LCLCj
2
1.
10
10
1
0
RIV Sout 0
Tema III 56
• Resonancia en el circuito RLC paralelo – Simulación con R=100ohm, IS=1A, L=1mH, C=1uF
Resonancia
kHzLC
f 03.52
10
Resonancia
• Que en resonancia la red tenga comportamiento resistivo no quiere decir que en C y L no haya corriente
–
– Como entonces
• C y L se intercambian energía a la frecuencia de resonancia, y la corriente entre ellos puede ser (en módulo) superior a la de la fuente.
Lj
RI
Z
VI
L
L
0
~~~
RICj
Z
VI
C
C
~~
~0
CL
0
0
1
0
~~~~~0 LCLC IIICRjII
Tema III 57
Tema III 58
• Resonancia en el circuito RLC paralelo – Simulación con R=100ohm, IS=1A, L=1mH, C=1uF
Resonancia
ACRI
srad
kHzf
16.3
.106.31
03.5
0
13
0
0
Resonancia
• Vout en resonancia depende solamente de R
• La “esbeltez” de la curva depende de C y L– Azul: L/2, C*2
– Roja: L*2, C/2
• Cuanto más estrecha, mayor selectividad de la resonancia: factor de calidad Q
Microelectrónica 59
Resonancia
• Def: factor de calidad de un proceso resonante
– Un fenómeno naturalmente resonante típicamente Q>10
• P. ej: los rebotes de una pelota de golf Q~35
• En nuestro caso la energía se almacena en C y L, y se disipa en la R– Circuito RLC paralelo máxima E en condensador:
– E disipada en un ciclo:
– Cuanto mayor sea Q mejor es el comportamiento como circuito resonante -> Más selectivo en frecuencia
cicloporperdidaE
almacenadaEmáxQ 2
L
CRRCQ 0
Tema III 60
1
2𝐶𝑉𝑚𝑎𝑥
2
1
2
𝑉𝑚𝑎𝑥2
𝑅𝑇
𝑄 = 2𝜋
12𝐶𝑉𝑚𝑎𝑥
2
12𝑉𝑚𝑎𝑥2
𝑅𝑇
⇒
Tema III 61
• Ancho de banda: rango en el que Pout 0.5Pmax
– Potencia con cuadrado de V –> ancho de banda en
Resonancia
maxmax 707.02
VV
V
kHz
kHzBW
kHz
kHz
59.1
]89.5,3.4[
89.5
3.4
2
1
Tema III 62
• Las frecuencias de corte se pueden calcular analíticamente (RLC paralelo)
– Cuanto mayor es Q menor es el ancho de banda
– Para Q>10
• Resonancia en circuito serie es análoga– Se alimentaría con una fuente de tensión.
Resonancia
QBW 0
12
QQ 22
11 0
2
02,1
1,2 0
11
2Q
Resonancia
• Resumen de circuitos RLC resonantes
Paralelo Serie
Frecuencia de resonancia 0
Factor de calidad Q
Ancho de banda BW
Frecuencias de corte (media potencia)
Aprox. Para Q alto (>10)
QQ 22
11 0
2
02,1
QQ 22
11 0
2
02,1
0
11
2Q
Q0
Q0
RCR
L
0
0 1
L
RRC
0
0
LC
1
LC
1
Tema III 63
0
11
2Q
Tema III 64
• Ej: calcular la frecuencia de resonancia del circuito
Resonancia
Tema I 65
• Los filtros llevan empleándose desde los comienzos de la ingeniería eléctrica– Eliminación (atenuación) de frecuencias indeseadas
– Amplificación de rangos determinados de frecuencias
• Def: Un filtro es un circuito que se diseña para permitir el paso (o amplificar) un determinado rango de frecuencias y rechazar (o atenuar) el resto.– Diseñar un filtro que cumpla unas determinadas especificaciones es un
tema complejo, solo vamos a realizar una pequeña introducción
Filtros
• Herramienta para determinar la respuesta de un circuito frente a variedad de entradas.– En particular para analizar comportamiento de un filtro.
• H() una magnitud fasorial (salida) del circuito dividida entre otra magnitud fasorial (entrada) en función de la frecuencia– I y O pueden ser voltajes o tensiones (o combinaciones)
– Es una función compleja (tiene módulo y fase)
Tema III 66
Función de transferencia
OH O H I
I
Red lineal
H()I() O()
Tema III 67
• En circuitos lineales entrada y salida pueden ser tensiones o corrientes 4 posibilidades
– Ganancia en tensión
– Ganancia en corriente
– Transferencia de impedancia
– Transferencia de admitancia
Función de transferencia
o
V
i
VH A
V
o
I
i
IH A
I
o
i
VH
I
o
i
IH
V
Tema I 68
• Clasificación de filtros ideales– Filtro pasa-baja - Filtro pasa-alta
– Filtro pasa-banda - Filtro rechaza-banda
Filtros
H
c
1
0
H
c
1
0
H
1
1
00 2
H
1
1
00 2
Tema I 69
• Los filtros ideales son irrealizables. – Atenuación de la banda de paso
– Parte de las frecuencias de rechazo no son filtradas
– Rizado
Filtros
Tema I 70
• Tipos de circuitos (analógicos) de filtrado– Pasivos: constan solamente de elementos pasivos (R, L ó C) y por
tanto no puede producir amplificación.
• Empleados desde hace unos 80-90 años…
• En general necesitan inductancias (caras, pesadas y voluminosas) por lo que son difíciles de fabricar con circuitos integrados.
– Activos: constan además de elementos activos (transistores, operacionales, etc.) por lo que pueden además amplificar señales.
• Más sencillos de fabricar en un único circuito integrado
Filtros
Tema I 71
• Ej: obtener AV() del circuito RC y representar respuesta frente a señales sinusoidales
– Al pasarlo al dominio del tiempo habrá una atenuación y un desfase dependiendo de la frecuencia
Función de transferencia
1
1
1
1 1
R
Co i
C R C
oV
i
Z RZ
V VZ Z Z
j C
V j CA
V j RCR
j C
Tema I 72
• Ej: obtener AV() del circuito RC y representar respuesta frente a señales sinusoidales
– Representación: módulo y argumento (fase)
Función de transferencia
2 2
2 2
1 1
1 11
arg
V
c
V
c
A
RC
A arctg
1
1
oV
i
VA
V j RC
Tema I 73
• Ej: obtener AV() del circuito RC y representar respuesta frente a señales sinusoidales– Manualmente: algunos puntos importantes
– c=1/RC=20 rad.s-1=3.18 Hz
Función de transferencia
2
2
1
1
arg
V
c
V
c
A
A arctg
/c |AV|
0 1 0
.5 0.89 -26.6º
1 0.707 -45º
2 .45 -63º
10 0.1 -84º
0 -90º
Tema I 74
• Ej obtener AV() del circuito RC y representar respuesta frente a señales sinusoidales– PSPICE
• c =1/RC=20 rad/s (3.18 Hz)
Función de transferencia
2
2
1
1
arg
V
c
V
c
A
A arctg
Tema I 75
• Filtro pasivo pasa-baja– Representación más visual: diagrama de Bode
Filtros pasivos
Tema I 76
• Ej: obtener AV() del circuito RL y representar respuesta frente a señales sinusoidales
Función de transferencia
R Lo i
L R L
V
Z R ZV V
Z j L Z Z
j LA
R j L
Tema I 77
• Ej: obtener AV() del circuito RL y representar respuesta frente a señales sinusoidales
– Necesitamos representar módulo y argumento
Función de transferencia
2 2 2 2
21
arg 90º 90º
cV c
c
V
c
L RA
LR L
LA arctg arctg
R
V
j LA
R j L
Tema I 78
• Ej: obtener AV() del circuito RL y representar respuesta frente a señales sinusoidales– c=R/L=2000 rad.s-1=318 Hz
Función de transferencia
Tema I 79
• Ejemplo de aplicación
Filtros pasivos
Tema I 80
• En general en un filtro (habitualmente de V pero puede ser de I) se definen las frecuencias de corte como las frecuencias a las que el filtro atenúa un factor 0.707 respecto al máximo– Se corresponden con los puntos en los que la potencia es la mitad de la
máxima
– Pasa-baja y pasa-alta tienen una única frecuencia de corte
– Pasa-banda y rechazo-banda tienen dos frecuencias de corte que determinan el ancho de banda (2-1)
– Además de la frecuencia de corte determinada, un buen filtro tiene una caída brusca y poco rizado.
Filtros pasivos
Tema I 81
• Filtro pasa-banda– Una posibilidad es combinar un pasa-baja en serie con un pasa-alta
• No es lo ideal por necesitar muchos elementos y complejidad del cálculo de para un rango determinado
– Más habitual: circuito RLC (serie o paralelo)
Filtros pasivos
Tema I 82
• Filtro pasa-banda– circuito RLC serie
• Para 0, A ωRC 0
• Para A R/ωL 0
• En las frecuencias centrales el filtro deja pasar la señal (A>0)
• Tiene ganancia máxima 1 a la frecuencia de resonancia
Filtros pasivos
2
2 2 2 211
V V
R RCA A
R j L LC R Cj C
LC
LC
CRCRLC
CRLC
RC
101
1
11
2
22222222
22222
Tema I 83
• Filtro rechaza-banda– Por ejemplo, tomando la salida entre L y C
• Expresiones análogas a las anteriores
Filtros pasivos
Tema I 84
• Conclusiones sobre los filtros pasivos– Su ganancia máxima es la unidad, no amplifican.
– Su diseño no es único, existen diferentes opciones para un mismo criterio de diseño.
– Los filtros que hemos visto son los más simples, con más elementos se pueden obtener funciones de transferencia más complejas.
Filtros pasivos
Tema I 85
• Ej: determinar tipo de filtro y frecuencias de corte
Filtros pasivos
Tema I 86
• Los filtros pasivos tienen limitaciones– Generalmente necesitan bobinas (voluminosas, caras y poco integrables)
– Se comportan mal para frecuencias por debajo de la radiofrecuencia (f<3kHz)
• Por eso son útiles sobre todo a alta frecuencia
– Difícil de controlar la ganancia en tensión
• Los filtros activos intentan superar estas limitaciones– Pueden ser más pequeños y baratos al evitar inductancias.
– Se pueden integrar.
– Pueden proporcionar ganancia de manera sencilla (unir filtrado y amplificación)
– Se pueden combinar empleando amplificadores de aislamiento.
• Es más sencillo el diseño en cascada
Filtros activos
Tema I 87
• Ej. de filtro pasa-banda– Se puede hacer una realización en cascada pasa-baja con pasa-alta
Filtros activos
Tema III 88
• Hemos estudiado cómo se comportan los circuitos lineales frente a excitaciones sinusoidales– Fasores – impedancias
– Potencia compleja
– Concepto de resonancia, resonancia en circuitos
– Introducción al filtrado de señales
Objetivos del tema