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AArrqquuiitteeccttuurraa
ddee
OOrrddeennaaddoorreess
Centro Asociado Palma de Mallorca
Tutor: Antonio Rivero Cuesta
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UUnniiddaadd
DDiiddccttiiccaa11
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RReepprreesseennttaacciinnddee
llaaIInnffoorrmmaacciinn
yy
FFuunncciioonneessLLggiiccaass
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TTeemmaa
22
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AArriittmmttiiccaayyCCooddiiffiiccaacciinn
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AArriittmmttiiccaa
BBiinnaarriiaa
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SumaBinaria
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AcarreoSe define como el desbordamiento que se alcanza al
sumar al dgito de mayor valor (el 1) un valor distinto
de cero (0).Lo que conlleva al desplazamiento de una unidad en
el resultado de la suma.
No se puede realizar con slo el dgito inicialmente
existente.
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Realice la suma de dos nmeros binarios, de valor
decimal 7 y 12.
1 1 Acarreo
1 1 1
+ 1 1 0 0
1 0 0 1 1
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Realice la suma de dos nmeros binarios, de valor
decimal 5,5 y 6,75.
1 1 1 1 Acarreo
1 0 1, 1
+ 1 1 0, 1 1
1 1 0 0, 0 1
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RestaBinaria
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Aparece el concepto de prstamo.
El prstamo se define como el valor necesario que secedera al dgito anterior, de forma que ste pueda
restar un dgito que de otra forma sera suficiente.
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Realice la resta de dos nmeros binarios, 1100 y 111.
1 1 1 Prstamo
01 01 10 0 1 1 1
0 1 0 1
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Realice la resta de dos nmeros binarios, 10000 y 1.
1 1 1 1 Prstamo
01 10 10 10 0 1
0 1 1 1 1
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FFoorrmmaattoossddee
llooss
NNmmeerroossyyssuu
RReepprreesseennttaacciinn
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RepresentacindeNmerosenComa
Fija
sin
Signo
Un nmero se representa mediante dos partes
separadas mediante una coma, que ocupa una posicinfija dentro de los dgitos que componen el nmero.
A la izquierda de la coma se encuentra la parte entera,mientras que a su derecha est la parte fraccionaria.
Que la parte entera y fraccionaria tenga un nmero
fijo de bits, es el que obliga a que la coma seencuentre en una posicin fija, de ah la denominacin
de coma fija.
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RepresentacindeNmerosNaturales
en
Binario
Puro
El sistema de representacin en binario puro se realiza
mediante coma fija sin signo
Es un sistema polinomial de base b = 2 y sin parte
fraccionaria.Este sistema permite representar, con palabras de n
bits, todos los enteros positivos desde 0 hasta 2n1.
Por tanto su rango es de [0, 2n1] y su resolucin es
la unidad.
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RepresentacindeNmerosenComa
Fija
con
Signo
Los sistemas digitales deben ser capaces de procesar
tanto con nmeros positivos como con negativos, esdecir, informacin numrica con signo.
En la representacin habitual de nmeros se aade unsigno a su izquierda, + en los nmeros positivos y
en los nmeros negativos.
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La solucin adoptada para evitar la inclusin de un
nuevo nivel para el signo, es aadir un dgito ms queindique el signo del nmero.
Este bit denominado dgito de signo, se encuentrasituado en el extremo izquierdo de la representacindel nmero.
Toma el valor: 0 cuando se trate de nmeros positivos.
1 para los negativos.
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Los formatos ms habituales de representacin de los
nmeros con signo son: Signo-magnitud.
Complemento a la base. Complemento a la base menos uno.
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FormatodeNmerosBinariosen
Signo
Magnitud
Este tipo de representacin utiliza uno de los dgitos,
el situado ms a la izquierda del nmero, para indicarsu signo.
Recibe el nombre de signo-magnitud, porque undgito se dedica al signo y los dems a la magnitud.
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Con n bits, el valor decimal que se puede representar
estar comprendido en el rango simtrico:
[ (2
n1
1)]
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Un inconveniente, es la necesidad de utilizar circuitos
diferentes para realizar las operaciones de suma y de
resta.
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ComplementosPara evitar el inconveniente del sistema de
representacin en signo-magnitud se utilizan los
complementos.Son transformaciones en la representacin de nmeros
utilizados por las mquinas digitales para convertir
restas en sumas.
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Los complementos pueden ser de dos clases:
Complemento a la base b.
Complemento a la base menos uno.
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ComplementoalaBaseDado un nmero positivo N, de n dgitos enteros y
representado en base b, se define su complemento a la
base, como el nmero Cb(N) que cumple:
N + Cb(N) = bn
ParaN = 0 su complemento vale Cb(N) = 0.
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En el sistema decimal recibe el nombre de
complemento a diezEn el sistema binario se denomina complemento a
dos.
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Calcular el complemento a la base de los nmeros:
C10(72) = 10272 = 100 72 = 28(10
C2(110,01) = 23110,01 = 1000 110,01 = 001,11
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ComplementoalaBaseMenos
Uno
Dado un nmero positivo N en base b, compuesto por
n dgitos en la parte entera y m dgitos en la partefraccionaria, se define su complemento a la base
menos uno, como el nmero Cb1(N) que cumple:
N + Cb1(N) = bnbm
0
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Cuando la parte fraccionaria es cero, bm = b0 = 1,
siendo en este caso el complemento a la base menosuno igual a:
Cb1(N) = bn1 N
Se debe observar que bn 1 es el valor mximo que sepuede representar en la base b con n dgitos enteros.
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Para N > 0, el valor de su complemento a la base
menos uno es igual a:
Cb(N) = bn 1 N.
ParaN = 0 su complemento vale:
Cb-1(N) = bn 1 N = bn 1,
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Calcular el complemento a la base menos uno:
C9(72) = 1021 72 = 99 72 = 27(10
C2(110,01) = 2322110,01 = 111,11 111,01 =
001,10
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ConveniodelComplementoa
dosen
Nmeros
Binarios
l i d l l d f
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En el convenio del complemento a dos con formato
denbits, incluido el signo, se pueden representar slonmeros comprendidos en elrango asimtrico:
[2n1, 2n11]
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ConveniodelComplementoa
Unoen
Nmeros
Binarios
E l i d l l t f t
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En el convenio del complemento a uno con formato
de n bits, incluido el signo, se pueden representarnmeros comprendidos en el rango simtrico:
[(2n11), 2n11]
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CCoommppaarraacciinn
eennttrree
llaassRReepprreesseennttaacciioonneessDDiiffeerreenntteessddee
NNmmeerroossBBiinnaarriiooss
ccoonnSSiiggnnoo
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R t i d l N
-
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RepresentacindelosNmeros
Realesen
Binario
Todos los nmeros reales binarios, que se han
representado anteriormente, tienen un formato decoma fija.
Con este formato un nmero real se representamediante dos partes separadas mediante una coma.
Modificar la posicin de la coma tiene un efecto de
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Modificar la posicin de la coma tiene un efecto de
multiplicacin por un factor que es potencia de dos: Negativa 2n.
Positiva 2m.
Segn se desplace n posiciones a la izquierda o m
posiciones a la derecha respectivamente.
Representar el nmero 12 25(10 en binario con formato
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Representar el nmero 12,25(10en binario con formato
de coma fija.Desplazar, en la representacin binaria, la coma una
posicin a derecha e izquierda y calcular los nuevos
valores que toma en cada caso el nmero binariomodificado.
12,25(10= 1100,01(2
11000,1(2= 24,5(10
110,001(2= 6,125(10
Coma Flotante
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ComaFlotanteEl tamao de los nmeros binarios o palabras de
memoria, con el que operan los sistemas digitales,
suele ser demasiado pequeo para representarnmeros reales en coma fija, ya que limita
considerablemente su rango de representacin.
En la notacin en coma flotante un nmero tiene tres
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En la notacin en coma flotante, un nmero tiene tres
componentes:
Una mantisa M.
Un exponente E.
Una base b.
Generalizando un nmero N en coma flotante tiene la
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Generalizando, un nmero N en coma flotante tiene la
siguiente composicin:
N = S M(b)E
S: es el signo del nmero.
M: es el valor absoluto de la mantisa.
E: es el valor del exponente.
b: es la base del sistema de numeracin utilizado.
La precisin de los clculos depende directamente del
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La precisinde los clculos depende directamente delnmero de dgitos que tenga la mantisa.
El rangode representacin, o valores extremos que elsistema digital es capaz de manejar, lo determina el
nmero de dgitos que tiene el exponente.
La representacin de un nmero en coma flotante no
es nica, pues tiene tantas variaciones como lugares
pueda ocupar la coma.
Para evitar representaciones mltiples del mismo
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Para evitar representaciones mltiples del mismo
nmero, se adopta el convenio de situar la coma en un
lugar fijo de la mantisa.
Para mantener el mayor nmero de dgitos
significativos en la mantisa y con ello disponer de lamayor precisin posible, los nmeros en coma
flotante se normalizan.
Al proceso que transforma cualquier mantisa, en una
mantisa normalizada se denomina normalizacin.
Implica el ajuste del exponente para que el valor delnmero no quede alterado.
Un formato de coma flotante muy extendido en los
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y
sistemas digitales es el estndar IEEE 754:
Un bit de signo S, que es el signo de la mantisa.
El campo del exponente E de 8 bits (incluido
implcitamente el signo del exponente).
El campo de la mantisa m de 23 bits.
N = (1)S 2E127 (1,m)
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( ) ( , )
El estndar IEEE 754 tambin establece un formato
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de 64 bits, 11 bits en el campo del exponente y 52 bits
en el campo de la mantisa, cumplindose la expresin:
N = (1)S 2E1023 (1,m)
Representar el nmero 6,125(10 segn el estndar
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p ( g
IEEE 754 con formato de 32 bits.
El nmero 6,125(10 se representa, su valor positivo
en binario, como 110,001.
Segn el estndar IEEE 754, el nmero propuesto,debe cumplir la expresin:
N = (1)S 2E127 (1,m) =
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N = (1)1
(2129127
(10) (1,10001(2) =N = (1) (4(10) (1,53125(10) = 6,125
Su almacenamiento, segn el estndar IEEE 754 para
nmeros de 32 bits en coma flotante, es:
31 23 0
1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Casos especiales de representacin mediante el
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estndar IEEE 754:
El cero se representa mediante una secuencia de 32
ceros.
Los nmeros en los que el exponente E = 255representan valores infinitos o expresiones de la forma
0/0.
El ltimo caso trata de cubrir el hueco dejado por la
representacin en coma flotante con mantisa
normalizada, y conseguir una representacin cercanaal cero que tenga una distribucin de errores
uniforme.
Para ello este estndar emplea la representacin no
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normalizada para E = 0 y M 0, cumpliendo el
nmero N representado la siguiente expresin.
N = (1)S 2126 (0,m)
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Determinar el valor decimal del nmero siguiente
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expresado en el formato binario de coma flotante de
32 bits, segn el estndar IEEE 754:
0000 0000 0001 1101 0100 0000 0000 0000
El nmero representado en coma flotante es un casoespecial de los representados en la Tabla 3.6, donde el
exponente E = 0 y la mantisa M 0.
Aplicando la expresin correspondiente a este caso
i l b i
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especial, se obtiene:
N = (1)0 2126(0,001110101(2) =
N = 1,175494 1038 0,228515 =
N = 2,686188 1039
-
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DDeeffiinniicciioonneessyy
CCooddiiffiiccaacciinn
ddee
llaa
IInnffoorrmmaacciinn
PropiedadesdeIntersdelos
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p
Cdigos
UNIFORMIDAD: Un cdigo es uniforme si a cada
smbolo fuente le corresponde una palabra cdigo. Alos cdigos que cumplen esta propiedad tambin se
les denomina cdigo bloque.
NO SINGULARIDAD: Un cdigo uniforme es nosingular si a cada smbolo fuente le corresponde
palabras de cdigo distintas.
DECODIFICACIN UNVOCA: Un cdigo es t d difi bl i l i t i
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unvocamente decodificable si, y slo si, su extensin
de orden n es no singular para cualquier valor finito n.
DECODIFICACIN INSTANTNEA: Se
denomina instantneo, a un cdigo unvocamentedecodificable, cuando ste permite decodificar sin
ambigedad las palabras contenidas en una secuencia
de smbolos del alfabeto cdigo, sin necesitar elconocimiento de los smbolos que les suceden.
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CCddiiggoossBBiinnaarriiooss
PONDERADOS: Son aquellos cdigos que a cadadgito binario se le asigna un peso y a cada palabra
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dgito binario se le asigna un peso y a cada palabra
cdigo la suma de los pesos de los dgitos binarios
con valor uno, siendo el resultado igual al nmero
decimal al que representan.La distancia entre dos palabras de cdigo, se definecomo el nmero de dgitos que deben ser invertidos en
una de ellas para obtener la otra.
DISTANCIA DEL CDIGO BINARIO: se definecomo la menor de las distancias entre dos
cualesquiera de sus palabras cdigo.
Dos palabras de cdigo son adyacentessi su distanciaes uno es decir slo difieren en un bit
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es uno, es decir, slo difieren en un bit.
CONTINUOS: Son aquellos cdigos cuyas palabrasconsecutivas son adyacentes; es decir, si dos
cualesquiera de sus palabras de cdigo consecutivasslo difieren en un bit.
CCLICOS: Son aquellos cdigos que adems de sercontinuos, la primera y ltima palabra de cdigo
tambin son adyacentes.
DENSO: Se define a un cdigo como denso siteniendo una longitud de palabra de n bits estformado por 2
npalabras de cdigo.
AUTOCOMPLEMENTARIOS AL NMERO N:Son aquellos cdigos cuya palabra de cdigo y su
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Son aquellos cdigos, cuya palabra de cdigo y su
complementada suman N. Los cdigos con esta
propiedad posibilitan efectuar ms fcilmente las
operaciones de resta mediante el complemento a N.
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TTiippooss
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CCddiiggooss
NNuummrriiccooss
CdigoBinarioNatural
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Este cdigo representa los valores decimales en elsistema de base dos.
En la Tabla 3.15 se representa, a modo de ejemplo, elcdigo binario natural, para el caso de longitud de
palabra de cuatro bits.
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CdigosBCD
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En aplicaciones de introduccin de informacindigital en forma decimal y en su visualizacin, como
son por ejemplo los displays, resulta aconsejable, para
simplificar los circuitos digitales, el empleo de
cdigos que representen por separado cada uno de los
dgitos del nmero decimal.
Este tipo de cdigos se denomina decimales
codificados en binario (Binary Coded Decimal,
cdigos BCD en lo sucesivo).
El nmero de dgitos binarios necesarios para la
codificacin es cuatro.
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Pueden ser cdigos:
Ponderados.
No ponderados.
Dentro de los cdigos ponderados se pueden destacar
el BCD Natural o BCD 8421.
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La conversin de un nmero decimal a cdigo BCD
se realiza expresando cada dgito decimal mediante la
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combinacin binaria correspondiente del cdigo BCDelegido.
La conversin del cdigo BCD a un nmero decimalse realiza dividiendo el nmero, a partir de la coma,
en grupos de cuatro bits, expresando en cada grupo su
valor decimal correspondiente del cdigo BCDelegido.
La representacin del nmero decimal 37,6 en el
cdigo BCD natural es:
-
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3 7 , 6
0 0 1 1 0 1 1 1 , 0 1 1 0
El valor decimal del cdigo BCD natural:
1001010011,011 es:
-
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1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 , 0 1 1 0
2 5 3 , 6
Representar el nmero decimal 127,25 en los cdigos
BCD natural, Aiken 2421, exceso 3 y en binario
l
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natural.
Determinar el nmero decimal del cdigo: 0100 0101
1000,0011 cuando est expresado en: BCD natural,
Aik 2421 3 bi i l
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Aiken 2421, exceso 3 y en binario natural.
La ventaja que presentan los cdigos BCD, como yase ha indicado anteriormente, es que al efectuarse
difi i i d di t d d it
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codificaciones independientes para cada dgito, sefacilita la conversin decimal-binario.
La desventaja que presentan es que se necesitan msbits para ser representados.
CdigosContinuosyCclicos
L di li d fi i i ti
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Los cdigos cclicos por definicin son continuos.
Garantizan que entre dos palabras de cdigo
adyacentes solamente cambiar un bit.Se evita la aparicin de palabras transitorias de cdigo
debidas a la imposibilidad de conmutacin de dos o
ms dgitos.
Una de las aplicaciones importantes de estos cdigos
est en los sistemas de conversin de digital a
analgico y de analgico a digital.
CdigoGray
El di G d l di li
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El cdigo Gray es uno de los cdigos cclicos msusados.
Tambin recibe el nombre de cdigo reflejado,debido al reflejo que se debe realizar en las palabrascdigo al construirlo.
TABLA 3.25Construccin del cdigo Gray o cdigo reflejado
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TABLA 3.26Cdigo Gray de cuatro bits
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TABLA 3.27Propiedades del cdigo Gray
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ConversindeBinarioaGray
101011 en cdigo binario natural a cdigo Gray
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101011, en cdigo binario natural, a cdigo Gray.
ConversindeGrayaBinario
111110 en cdigo Gray a cdigo binario natural
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111110, en cdigo Gray, a cdigo binario natural.
CdigoJohnson
El cdigo Johnson es continuo y cclico
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El cdigo Johnson es continuo y cclico.
Este cdigo recibe tambin el nombre de cdigoprogresivo, debido a que el nmero de unos aumentay disminuye progresivamente de una combinacin a la
siguiente.
Presenta la desventaja de tener una capacidad decodificacin para n bits de tan slo 2 n smbolos
fuentes distintos, por lo que no es denso.
TABLA 3.28Cdigo Johnson
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TABLA 3.29Propiedades del cdigo Johnson
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TABLA 3.30Propiedades de los cdigos
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CdigosAlfanumricos
Se caracterizan porque permiten representar tanto
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Se caracterizan porque permiten representar tantonmeros como caracteres alfabticos.
Incluyen caracteres especiales y de control,
necesarios, estos ltimos, para la transferencia de
informacin.
Podemos destacar:
EBCDIC
ASCII
CdigoASCII
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CdigosDetectoresdeError
Cuando se transmite informacin digital por un medio
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Cuando se transmite informacin digital por un mediofsico, tal como cable, radio, fibra ptica, etc., se
pueden producir errores, debido a la presencia de
ruido, interferencias electromagnticas, fallo decomponentes, falsos contactos, etc.
En un cdigo denso no es posible la deteccin de unerror.
Es necesario que las palabras cdigo no presenten
todas las posibles combinaciones.
Esta condicin es necesaria, pero no suficiente.
La condicin necesaria y suficiente para que un
cdigo binario permita detectar errores en un bit es
que su distancia sea superior a la unidad.
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que su distancia sea superior a la unidad.
Para ello, se aade informacin redundante (bits de
chequeo) a la palabra a transmitir aumentando sudistancia.
CdigosdeParidad
Se define la paridad de una combinacin o palabra de
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p pcdigo binario, como el nmero de unos que contiene.
Si el nmero de unos:
Es par, la configuracin tendr paridad par.
En caso contrario, tendr paridad impar.
Los cdigos de paridad se forman partiendo de
cualquier cdigo cuya distancia mnima sea uno.
A cada combinacin del cdigo base se le aade un
bit llamado bit de paridad.
El bit de paridad toma un valor tal que hace que el
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El bit de paridad toma un valor tal que hace que el
nmero total de unos en el grupo sea siempre par o
impar.Si se desea obtener un cdigo de paridad par, dicho bit
ser tal que el nmero de unos en cada palabra del
nuevo cdigo sea par.
Por el contrario, para obtener un cdigo de paridad
impar, dicho bit ser tal que el nmero de unos encada palabra del nuevo cdigo sea impar.
TABLA 3.32Cdigo de paridad correspondiente al cdigo base BCD natural
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La deteccin de errores requiere que el transmisor
genere el cdigo de paridad, a partir del cdigo base,
aadiendo el bit de paridad (par o impar) y enviando
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p (p p ) yesta informacin por el medio de transmisin.
El receptor, en el otro extremo del medio detransmisin, debe comprobar si la paridad se mantiene
igual a la prefijada en el transmisor (par o impar),
detectando el error cuando sta no se cumpla.
CdigosdePesoFijo
Cabe destacar el cdigo 2 entre 5 y el cdigobi i i
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g y gbiquinario.
Este ltimo es ponderado y consta de dos partes, una
de dos bits y otra de cinco bits, de ah su nombre.
Los dos cdigos indicados se caracterizan por tener
una distancia de cdigo igual a dos (lo que permite ladeteccin de un bit de error) y todas sus palabras
cdigo tienen exactamente dos unos (paridad par).
TABLA 3.33
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CdigosCorrectoresdeError
Adems de detectar la presencia de un error,proporcionan informacin indicando los bits en los
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proporcionan informacin, indicando los bits en los
que se ha producido el error.
Una vez identificados los bits errneos basta con
invertir su valor y as obtener el valor correcto de los
datos.Estos cdigos, se utilizan principalmente en la
transmisin de informacin, y en especial en aquellos
casos donde la transmisin se realiza una sola vez,existiendo la imposibilidad de volver a repetirla
cuando se detecta que se ha producido el error.
Tal es el caso de los sistemas que trabajan en tiempo
real, en los que la informacin que se transmite es
utilizada por el sistema receptor en el mismo instantel ib
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en el que se recibe.
La condicin necesaria y suficiente para que uncdigo permita corregir errores en un bit es que la
distancia mnima debe ser superior a dos.
CdigoHamming
Para detectar F bit errneos la distancia mnima ha deser:
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ser:
2 F + 1
A una palabra de n bits habr que aadir k bits de
paridad tal que:
2kn+ k
Se dice que es ptimocuando cumple la igualdad:
2k= n+ k+ 1
Procedimiento:
Numerar de derecha a izquierda los bits con 1,2,3,4...
Los bits de paridad ocuparn las posiciones:
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Los bits de paridad ocuparn las posiciones:
20, 21, 22, 23,... 1,2,4,8,...
Los bits del testTideben de cumplir que el conjunto
evaluado tengaparidad par.
TABLA 3.34Palabra de test de paridad, en funcin de la posicin del error,
para el cdigo Hamming
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GeneradorHamming
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CorrectorHamming
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El valor sealado por los bits de test, representa la
posicin (T3T2T1) = (011).
El bit de la posicin tercera del mensaje recibido
(0110111) d b i ti
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(0110111) se debe invertir.
Obtenindose el mensaje correcto 0110011 del dgitodecimal 6.
TablaHamming
Determinar si el dato 1010101 recibido en cdigoHamming, es correcto o bien corregirlo si es
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g, g
necesario.
B4 B3 B2 C3 B1 C2 C1
PosicinPi P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 Ti
Mensaje 1 0 1 0 1 0 1P7P5P3P1 1 1 1 1 T1= 0
P7P6P3P2 1 0 1 0 T2= 0P7P6P5P4 1 0 1 0 T3= 0
TablaHamming
Determinar si el dato 1000010 recibido en cdigoHamming, es correcto o bien corregirlo si es
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g, g
necesario.
B4 B3 B2 C3 B1 C2 C1
PosicinPi P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 Ti
Mensaje 1 0 0 0 0 1 0P7P5P3P1 1 0 0 0 T1= 1
P7P6P3P2 1 0 0 1 T2= 0P7P6P5P4 1 0 0 0 T3= 1
El valor sealado por los bits de test, representa la
posicin (T3T2T1) = (101).
El bit de la posicin 5 del mensaje recibido se debeinvertir
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invertir.
1010010