Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
TEMA 1Parte I
Vibraciones libres y amortiguadas
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1.1. Introducción: grados de libertad y magnitudes características
VIBRACIÓN MECÁNICA:
Oscilación repetida en torno a una posición de equilibrio
- Vibraciones convenientes: péndulo para regular un reloj, cuerda
pulsada de una guitarra
- Vibraciones inconvenientes: vibraciones en estructuras a causa de
terremotos, del viento, circulación de vehículos, máquinas.....
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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1) Fuerza adicional: desplazamiento equilibrio
2) Fuerza recuperadora: vuelta a posición equilibrio
3) Posición equilibrio: velocidad no nula
SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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GRADO DE LIBERTAD:
Variables necesarias y suficientes para especificar la posición
de un sistema mecánico
EJEMPLOS:
- disco que se mueve en el plano: tres grados de libertad
desplazamiento x, y
ángulo de rotación alrededor CM
- sólido rígido: seis grados de libertad
tres traslaciones elementales
tres rotaciones, seis coordenadas
- sistema con un grado de libertad ≠ sistema simple:
motor de automóvil: ángulo de giro del cigüeñal
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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OSCILACIONES PERIÓDICAS Y APERIÓDICAS O ALEATORIAS:
Oscilación periódica:
Periodo (T, τ): tiempo para que se repita el movimiento
Frecuencia (f, ν): número de oscilaciones por segundo
Amplitud (A): desplazamiento máximo
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS:
VIBRACIONES LIBRES: fuerzas gravitatorias o fuerzas elásticas
1) NO AMORTIGUADAS:
- fuerzas de rozamiento (resistencia del aire,
viscosidad....) son despreciables
- se repiten indefinidamente
2) AMORTIGUADAS:
- fuerzas de rozamiento no despreciables
- tienden a desaparecer
VIBRACIONES FORZADAS:
- compensación de pérdida de energía de la oscilación amortiguada
- fuerzas externas
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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FENÓMENO DE LA RESONANCIA:
- Edificación: oscilador con un conjunto de frecuencias naturales (rigidez,
masa y detalles de la construcción)
- Oscilación forzada: fuerza debida a sacudidas del terreno en terremoto
Diseño y construcción de puentes y edificios:
FRECUENCIA ONDAS SÍSMICAS ≈ FRECUENCIA NATURAL EDIFICIO
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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1.2. Vibraciones libres no amortiguadas
FUERZA RECUPERADORA:
- proporcional al desplazamiento: kx
- dirigida hacia posición de equilibrio
- movimiento periódico: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
- modelo de partida para vibraciones en aplicaciones técnicas
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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MODELO MECÁNICO:
- reposo: posición de equilibrio
- desplazamiento X0: V0
kxF −=
2
2
dtxdmmaF XX ==
xmk
dtxd
dtxdmkx −=⇒=− 2
2
2
2
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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0202
2
=+ xdt
xd ω
mk
=0ω
FRECUENCIA NATURAL DE OSCILACIÓN
Soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:
c
)cos()( 0 αω −= tAtx :A amplitud o desplazamiento máximo
:α)()( 0 αω −= tAsentx ángulo o constante de fase
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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)cos()( 0 αω −= tAtx
0
2ωπ
=T
πω2
0=f
)( 0 αωω −−== tsenAdtdxv
xtAdtdva 2
02 )cos( ωαωω −=−−==
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:
)cos()( 0 αω −= tAtx
ENERGÍA POTENCIAL:
)(cos21
21
0222 αω −== tkAkxEP
ENERGÍA CINÉTICA:
)(21
21
21
0222
0
22 αωω −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡== tsenAmdtdxmmvEC
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:
2200
22200
22
21)(
21)(cos
21 AmtsenAmtkAEEE CP ωαωωαω =−+−=+=
Energía cinética y potencial en función del tiempo:
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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MÉTODOS ENERGÉTICOS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
0)(=
+=⇒=+=
dtEEd
dtdEcteEEE PCT
PCT
021
21 22 =+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ + xxmxkxxmkx
dtd
&&&&&
00)( =+⇒=+ kxxmxxmkx &&&&&
EJEMPLO:
0=+ xmkx&&
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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1.3. Vibraciones libres amortiguadas
- VIBRACIONES NO AMORTIGUADAS: idealización
pérdidas de energía por rozamiento pequeñas
intervalos de tiempo cortos
- FUERZAS RESISTIVAS: proporcional a la velocidad y en sentido
opuesto
Oscilación en un fluido: aire, agua....
vFr λ−=
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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Modelo mecánico:
2
2
dtxdmmaF XX ==
2
2
dtxdm
dtdxkxvkx =−−=−− λλ
02
2
=++ kxdtdx
dtxdm λ
02 202
2=++ x
dtdx
dtxd
ωγ
mλγ =2
mk
=0ω
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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02 202
2=++ x
dtdx
dtxd
ωγ
Teoría ecuaciones diferenciales:
tDetx λ=)(
02 20
2 =++ ωγλλ
D, λ: ecuación diferencial y condiciones iniciales
ωγγωγωγγλ ii ±−=−±−=−±−= 220
20
22,1
2
222
04mm
k λγωω −=−=
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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tt eDeDtx 2121)( λλ +=
ωγλ i±−=2,1 )()( 21titit eDeDetx ωωγ −− +=
D1, D2: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad
tisente ti ωωω += cos
220 γωω −=Tres tipos de comportamiento según :
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS:
γω f0 0220 fγωω −=
αiAeD −=1αiAeD =2
La solución física debe ser siempre real:
)()()( 21tiitiittitit eAeeAeeeDeDetx ωαωαγωωγ −−−−− +=+=
)cos()( αωγ −= − tAetx t
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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)cos()( αωγ −= − tAetx t
AMPLITUD:
FRECUENCIA:
tAe γ−
220 γωω −=
1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS:
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS:
No tiene periodo en el sentido definido para las vibraciones libres:
ωπ2
=Tπω2
=f
Magnitudes constantes, aunque no lo es la amplitud
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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2) SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS:
γω =0 0=ω
El sistema no oscila:
teCtBtx γ−+= )()(
B,C: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad
- amortiguamiento crítico: menor amortiguamiento para no oscilación
- vuelta a la posición de equilibrio siguiendo curva exponencial
- no se puede redefinir periodo y frecuencia
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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2) SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS:
0ωγξ =
Ejemplo en el que este amortiguamiento es interesante: amortiguadores de los coches
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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3) SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS:
γω p0 0220 pγωω −=
Medio altamente viscoso:
mk
ms −=−= 2
220
2
4λωγ
tstst eBeAetx γ−− += )()(
A, B: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad
- vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar
- no es posible redefinir periodo y frecuencia
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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Ejemplos de movimiento subamortiguado, sobreamortiguado y críticamente amortiguado:
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas