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CENTRO EDUCATIVO DE NIVEL TERCIARIO N 2INTRODUCCIN A LA LOGICA SIMBOLICAPRIMER AO
AO: 2005
GUIA DE TRABAJOS TEORICO PRACTICO N1: LGICA DE LAS PROPOSICIONES
La lgica es una ciencia formal, o sea, una ciencia que no se interesa ni por los
contenidos del pensamiento, ni por el contenido de las expresiones del pensamiento, sino
por sus formas, por sus estructuras. Los objetos lgicos, son pues, las estructuras lgicas:
en especial, las estructuras lgicas de las que se vale la ciencia para elaborar y expresar
el conocimiento cientfico, y, en general, cualquier tipo de conocimiento.
La lgica deductiva es la ciencia que estudia los mtodos y principios que permiten
diferenciar un razonamiento vlido de un invlido.
El lenguaje constituye un sistema de signos muy complejo. Los signos o combinaciones
de signos lingsticos forman expresiones lingsticas, como lo son por ejemplo, las
palabras, las frases y las oraciones.
Las oraciones, en particular, cumplen diversas funciones. Las denominadas
proposiciones o enunciados, son aquellas que tienen una funcin informativa, las cuales
se caracterizan porque afirman o niegan algo, como por ejemplo, Hoy es martes o Seis es
un nmero primo es decir, se caracterizan porque de ellas tiene sentido decir que son
verdaderas o falsas. Del primer ejemplo se puede decir que es verdadero; del ltimo, en
cambio, que es falso.
PROPOSICIN. Para la LGICA se consideran proposiciones, aquellas expresiones lingsticas que tienen una funcin informativa. De ellas tiene sentido decir si son
verdaderas o falsas.
Ejemplo: Consideramos las siguientes oraciones.-
- Estn atendiendo?
-Atiendan!
-El calor dilata los cuerpos
-Hoy es sbado
-Estamos en la clase de Lgica
Lgica Proposicional Luca Hilal1
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Se trata de cinco oraciones diferentes: una interrogativa, una imperativa y tres
declarativas. Una pregunta puede formularse o no, una orden puede ser cumplida o no.
En cambio de las tres ltimas que son declarativas, tiene sentido decir si son V F.
ACTIVIDAD 1 : Indicar cules de las siguientes expresiones son proposiciones y cules
no. Fundamentar cada respuesta.
Ej. : Aljate!
Respuesta: No es una proposicin por ser orden
1. Qu te sucede?.
2. Esta materia es entretenida.
3. Es hora de tomar un caf.
4. Que calor hace!.
5. Hace calor.
6. Cundo nos vamos?.
7. Todo nmero par es divisible por dos.
8. Cuntos matemticos se equivocan cuando estn enamorados!
9. Una proposicin es, o bien verdadera o bien falsa.
10. Una pregunta no es una proposicin.
11. Los rboles
12. Se aman
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Una proposicin simple o atmica (PA) es una proposicin completa sin trminos de
enlace
Una proposicin compuesta o molecular (PM) est formada por una o ms proposiciones
atmicas unidas por trminos de enlace.
Ejemplos:
Las mujeres no atienden las explicaciones
Hoy es lunes y hay clase.-
Hoy no es lunes implica que hay clases
Hoy es lunes o hay clase
Lgica Proposicional Luca Hilal2
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Hoy es lunes si y solo si hay clase
Estas proposiciones moleculares se han construido con una o dos proposiciones
atmicas y distintos trminos de enlace .-
Los trminos de enlace "y" , "no" , "o" , "si...entonces" y "si y solo si" no forman parte de las proposiciones atmicas. Se han aadido a ellas para construir una proposicin
molecular.
La forma de las PM construidas, depende del trmino de enlace utilizado y no del contenido de la proposicin o proposiciones atmicas.
Es decir, si en una PM se sustituyen las proposiciones atmicas por otras proposiciones
atmicas cualesquiera, la forma de la proposicin molecular se conserva.
En el ejemplo: Hoy es lunes y hay clase, se puede representar la forma de esta PM
utilizando el trmino de enlace "y" de la siguiente manera
( ) y ( )
Se pueden sustituir los parntesis, por cualquier proposicin y la forma es la misma.
Ejemplo: Es rojo y es azul
Soy alumno de este curso y estoy en la clase de lgica.
Se pueden tambin utilizar proposiciones moleculares y la forma es la misma.
Ejemplo: No me gusta esta clase y deseo no estar aqu
Tambin se podra utilizar una proposicin molecular y una proposicin atmica.
Ejemplo: Soy alumno de este curso y no me gusta lgica
Cualesquiera sean las proposiciones con las que se llenan los espacios, la forma es la
de una proposicin molecular con el trmino de enlace "y".
Todo lo dicho es aplicable a los trminos de enlace antes mencionados.
Ejem: ( ) o ( ) ; no ( )
si ( ) entonces ( )
( ) si y solo si ( )
ACTIVIDAD 2 Indicar cules de las siguientes proposiciones son compuestas y cules
son las proposiciones componentes.
1. Construyeron un dique para controlar las bruscas crecidas de primavera..
2. No se han producido epidemias de viruela en los ltimos diez aos.
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3. O me ayudas con el trabajo, o tendr que llamar a otra persona.
4. La clase es interesante y amena.
5. Puedes ver el partido si terminas de hacer la tarea.
6. El viento sopla del norte
7. Es tarde.
8. Es tarde pero no me di cuenta
9. En sueos me despierto y veo el mundo que tendra que ser.
10. Apruebo el examen si y solo si estudio.
SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIONES Los ejemplos dados se encuentran en lenguaje coloquial que, generalmente, resulta de
difcil manejo, por lo cual la Lgica tiene su propio lenguaje para simbolizar las
proposiciones y los conectivos: lenguaje simblico. Las proposiciones se representan con
las letras p, q, r...... que se denominan variables proposicionales y los conectivos con los
signos: , , , , , u otros, segn las convenciones adoptadas por cada autor
Ejemplo: Hasta ahora comprendo las explicaciones , se simboliza : p
ACTIVIDAD 3: Escribir en lenguaje lgico las proposiciones de la actividad 2.
OPERACIONES LGICAS
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos
proposiciones cuyos valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar ( conocer la
verdad o la falsedad) la proposicin resultante, a travs de su valor de verdad.
Si se conocen los valores de verdad de las proposiciones atmicas dentro de las
moleculares entonces es posible dar los valores de verdad de stas.
En consecuencia, la verdad o falsedad de una proposicin molecular depende de la
verdad o falsedad de las atmicas que la componen y de los trminos de enlace que las
ligan.
Podemos resumir las operaciones lgicas en el siguiente cuadro:
CONECTIVO OPERACIN ASOCIADA SIGNIFICADO
Lgica Proposicional Luca Hilal4
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negacin no p, no es cierto que p, no ocurre que p
conjuncin o producto lgico p y q, (pero, aunque, no obstante sin embargo) disyuncin p o q (en sentido incluyente)
o p , o q
si p entonces q; p implica q, p solo si q; q si p; cuando p, q condicional p es suficiente para q q es necesario para p, si p, q bicondicional p si y solo si q , cuando y solo cuando, es necesario y suficiente
ACTIVIDAD 4.: Proponer ejemplos de oraciones que no sean proposiciones.
ACTIVIDAD 5 : Escribir cinco proposiciones atmicas y luego formar con ellas diez
proposiciones moleculares.
ACTIVIDAD 6.: Considerando las expresiones que representan condicionales, escriba de
cinco maneras distintas en lenguaje coloquial un condicional donde el antecedente est
dado por la proposicin me aburro, y el consecuente por la proposicin resuelvo estas
actividades
AGRUPAMIENTOS Y PARNTESIS Es frecuente encontrar proposiciones que tienen ms de un trmino de enlace pero,
siempre, uno de los trminos de enlace es el mayor, por esto se le denominar dominante
porque es el que acta sobre toda la proposicin.
Ejemplo: ( p q ) r es una conjuncin
Los parntesis son smbolos de puntuacin de la lgica. Muestran como est agrupada
una proposicin y, por lo tanto, sealan cul es el trmino de enlace dominante.
Adoptaremos algunas reglas acerca de la potencia de los trminos de enlace (segn
SUPPES- HILL)
REGLA 1
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El signo es ms potente que los otros trminos de enlace
( p q ) ( r s ) puede escribirse p q r s
REGLA 2 El signo es ms potente que y .
( p q ) ( rs ) puede escribirse pq rs.
REGLA 3 El signo de negacin ( ) es ms dbil que cualquiera de los otros trminos de
enlace.
pq ( conjuncin) no es lo mismo que ( pq) ( negacin)
REGLA 4 Los signos y son igualmente fuertes.
Cuando se presentan ambos en una proposicin, se tienen que poner siempre los
parntesis para indicar cul es el trmino de enlace dominante.
Ejemplo:
p q r no es claro
( p q) r conjuncin
p (q r) disyuncin
ACTIVIDAD 7: Colocar parntesis (si fuera necesario) para que la frmula lgica
corresponda a la proposicin que se indica en cada caso:
7.1.-Condicional: p q r s
7.2.-Conjuncin: p q r s
7.3.-Negacin: ~ p q r
7.4.-Disyuncin: p q r
7.5.-Bicondicional: p r q r
7.6.-Negacin: ~ p q r
7.7.-Disyuncin: p q r
7.8.- Conjuncin p q r
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ACTIVIDAD 8: Dadas las siguientes proposiciones, simbolizarlas en trminos de la lgica
proposicional. Usar parntesis cuando sea necesario.
1.- Si estudiamos con esfuerzo y resolvemos estos ejercicios, aprobaremos el examen.
2.- Estudiamos con esfuerzo y , si resolvemos estos ejercicios, aprobaremos el examen
3.- Si estudiamos con esfuerzo, resolvemos estos ejercicios y adems, aprobaremos el
examen
ACTIVIDAD 9: Con la proposicin " Las actividades son complicadas" formar cinco
negaciones en lenguaje corriente.
ACTIVIDAD 10: Con las proposiciones: "Comienzo una carrera" y "estoy entusiasmado",
formar conjunciones de cinco maneras distintas.
ACTIVIDAD 11: Traducir al lenguaje corriente cada una de las siguientes frmulas lgicas
considerando que p sustituye a la proposicin: Estoy en la clase de lgica, q: Presto
atencin, r: soy alumno de primer ao, s: Este es un ejercicio lgico.
1. ( p r ) ~ q
O, si estoy en la clase de lgica soy alumno de primer ao o, no presto atencin
2. ~ p r ~ q
3. ~ ( p r ~ q )
4. q ( p r )
5. ( p ~ r ) ( q s )
6. ~ p q r
7. ~ ( p ~ q ~ s )
8. ( p r ) ( ~ p ~ q )
9. p q r ~ p
10. q ~ q
ACTIVIDAD 12: Dadas las siguientes proposiciones, simbolizarlas en trminos de la
lgica proposicional. Usar parntesis cuando sea necesario.
1. Atiendo las explicaciones pero no entiendo.
2. No estoy enamorado aunque soy feliz.
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3. Resuelvo sola este ejercicio.
4. La lgica estudia los razonamientos deductivos.
5. No ocurre que haremos recreo.
6. No ocurre que, o trabajo en grupo o no vengo a clase.
7. Si estudio la teora, comprendo las consignas.
8. Estoy en clase o, si me quedo en clase entonces no apruebo el curso.
9. Canto o bailo, pero no me divierto.
10. El aula es incmoda y hay poca luz, o yo no dorm bien anoche.
SINTAXIS DE LAS FORMULAS PROPOSICIONALES
A los efectos de sintetizar lo desarrollado en los apartados precedentes, se establece la
siguiente sintaxis que describe como escribir proposiciones correctas en el lenguaje.
Es preciso definir unas reglas de escritura correcta de estas FORMULAS a partir de las
reglas usualmente admitidas para construir frases en el lenguaje real.
Una frmula sintcticamente correcta se define de acuerdo con las siguientes reglas:
a) Las letras proposicionales p, q,r, s,t, son frmulas correctamente formadas
b) Si A y B son frmulas correctas, tambin son frmulas correctas
A
B
A B
A B
A B
AB
c) Slo son frmulas correctas las que cumplen con la condicin a) y b)
A efectos de interpretacin de la relacin entre conectivos y letras proposicionales cuando
hay mas de una conectiva se definen las reglas siguientes:
d) Una conectiva afecta a las letras proposicionales inmediatas o a algn
conjunto de letras y smbolos inmediatos a ellos entre parntesis.
e) Para evitar el exceso de parntesis se define jerarqua entre conectivas
NIVEL1
NIVEL2 ,
Lgica Proposicional Luca Hilal8
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NIVEL3
NIVEL 4
DEFINICION SEMNTICA DE CONECTIVAS
Intuitivamente podemos afirmar que la semntica nos informa el significado de las
proposiciones en el mundo real. Las conectivas generan un significado de las frases
compuestas a partir de las proposiciones componentes que conectan. Para ello se
utilizarn tablas de relacin entre significados de las proposiciones componentes y la
compuesta por cada conectiva, estas tablas se denominan TABLA DE VERDAD.
Se denomina interpretacin de una frmula a una asignacin de significados a sus
frmulas componentes bsicas. Una interpretacin es una lnea de la tabla de verdad de
la frmula.
TABLAS DE VERDAD DE LAS OPERACIONES LOGICAS: DEFINICIONES
NEGACIN
La negacin de una proposicin sustituida por la variable p es la proposicin no p, p
cuya tabla de valores de verdad es :
P p V F F V
Se trata de una operacin unitaria o mondica, pues a partir de una proposicin se
obtiene otra, que es su negacin
CONJUNCIN
La conjuncin de las prop. p y q es la prop. "p q" cuya tabla de verdad es ( cuatro
combinaciones posibles)
P q p q V V V V F F F V F F F F
La conjuncin de dos proposiciones es V si y solo si ambas proposiciones son
verdaderas; en todo otro caso es F. Es una operacin binaria o didica porque a partir de
dos proposiciones atmicas obtenemos una molecular.
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Ejemplo: Sea p : llueve, q : sale el sol
pq: Llueve y sale el sol
pq: A la vez llueve y sale el sol
pq: Llueve pero sale el sol
pq: Llueve aunque sale el sol
pq: Llueve sin embargo sale el sol
DISYUNCIN
Una disyuncin es una prop. molecular formada por el trmino de enlace " o". En la
disyuncin se utiliza el sentido incluyente. Esto significa que en cualquier disyuncin, por
lo menos una de las dos prop. es cierta y quizs ambas. Hay cuatro combinaciones
posibles de valores de certeza:
p q p q V V V V F V F V V F F F
Es una operacin binaria o didica, porque a partir de dos proposiciones atmicas se
obtiene una molecular.
Ejemplo: La lgica es difcil o la profesora explica mal .
p: la lgica es difcil
q: la profesora explica mal
Si por lo menos una de las proposiciones atmicas es V, entonces la disyuncin es V;
adems, si ambas proposiciones son V, entonces, la disyuncin tambin ser V. Si las
proposiciones son ambas F, la disyuncin ser F.
CONDICIONAL ( pq ) Los elementos del condicional se denominan antecedente y consecuente. El condicional
usual en matemtica es material en el sentido de que no es necesario que el consecuente
se derive lgicamente del antecedente. Cuando esto ocurre, el condicional se llama
formal y queda incluido en el primero.
Ej. de condicional material: Si 2+2= 4 entonces hoy es lunes
Ej. de condicional formal: Si 2+2= 4 entonces 4= 2+2
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La tabla de valores de verdad es:
p q p q V V V V F F F V V F F V
Ejemplo: sea p la variable que sustituye a la proposicin Curso la licenciatura en
Pedagoga De la Matemtica, q representa a la proposicin Estoy entusiasmado, el
condicional entre ambas est dado por:
p q: Si curso la licenciatura en Pedagoga De la Matemtica entonces estoy
entusiasmado
p q: Si curso la tecnicatura, estoy entusiasmado
p q: Cursar la tecnicatura implica estar entusiasmado
p q: Curso la tecnicatura slo si estoy entusiasmado
p q: Estoy entusiasmado si curso la tecnicatura
p q: Para estar entusiasmado, es suficiente cursar la tecnicatura
p q: Estar entusiasmado es necesario para cursar la tecnicatura
p q: Cuando curso la tecnicatura, estoy entusiasmado
BICONDICIONAL ( p q )
El bicondicional, solo es verdadero si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
p q p q V V V V F F F V F F F V
El bicondicional puede definirse como la conjuncin de un condicional y su recproco. De
este modo la tabla de valores de verdad de pq, puede obtenerse mediante la tabla de
( pq ) (qp ).
p q p q q p (p q) (q p) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V
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Ejemplo: " Usted puede votar si y solo si figura en los padrones "
" T es un tringulo equiltero si y solo si T es un tringulo "
a)-DIAGRAMA DE VALORES DE CERTEZA (o de verdad)
Independientemente de la longitud y de lo complicada que sea una proposicin molecular,
se pueden hallar sus valores de certeza si se conocen los valores de certeza de sus
partes.-
Sea por ejemplo la frmula ( p q ) r donde p y r son V y q es F , el diagrama tendr
la forma:
( p q) r
V F V
V V Se comienza con las variables atmicas, luego el conectivo de menor alcance y se
contina hasta el trmino de enlace final.-
EJERCICIO:- construir un diagrama para ( p q p) ( r s) donde p y q son V y r
y s son F
b) TABLAS DE VALORES DE VERDAD
Si no se conocen los valores de verdad de sus partes, se utilizan mecanismos de
decisin dados por tablas de verdad. Las tablas son exhaustivas operaciones lgicas
cuyos resultados pueden tener distintas formas:-
Forma Tautolgica:- Su valor de certeza es V, independientemente de los valores de certeza de las proposiciones atmicas. Decimos que la frmula es un tautologa.
EJEMPLO DE TAUTOLOGIA
( p q) p q
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Forma Contingente: Las valoraciones son V y F, es una funcin de verdad, porque los valores dependen de los valores de V de las proposiciones. La frmula es una
contingencia.
EJEMPLO DE CONTINGENCIA
Forma Contradictoria: tiene siempre el valor F independientemente del valor de verdad de las variables. Decimos que la frmula es una contradiccin.
EJEMPLO DE CONTRADICCION:
p p
ACTIVIDAD 13 Construir un diagrama de valores de verdad para cada frmula de la
actividad 11 sabiendo que p es V, q , r son F , s es V
ACTIVIDAD 14.Construir una tabla de valores de verdad para cada una de las frmulas
obtenidas en la actividad 12 y clasificarlas
EQUIVALENCIA LGICA
Dos proposiciones son equivalentes cuanto tienen las mismas tablas de Valores de
Verdad bien, cuando al componerlas con el bicondicional, da una tautologa.
ACTIVIDAD 15: Escribir ejemplos de frmulas equivalentes
LEYES LGICAS
Algunas tautologas reciben nombres especiales, por ser de uso frecuente, entre ellas:
1- Involutiva: ~ ~ p p
2.Idem Potencia p p p ; p p p
3.Trasposicin ( p q ) ( ~ q ~ p )
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4.Conmutatividad ( p q ) ( q p )
( p q ) ( q p )
5. Asociatividad [ p ( q r ) ] [ ( p q ) r ]
[ p ( q r ) ] [ ( p q ) r ]
6. Distributividad de la conjuncin con respecto a la disyuncin
[ p ( q r )] [ ( p q ) ( p r )]
7. Distributividad de la disyuncin respecto de la conjuncin
[ p ( q r )] [ ( p q ) ( p r )]
8. Distributividad del condicional con respecto de la conjuncin
[ p ( q r )] ( p q ) ( p r )
9. Distributividad del condicional con respecto de la disyuncin
[ p ( q v r )] ( p q ) ( p r )
10. De Morgan :~ ( p q ) ( ~ p ~ q )
~ ( p q ) ( ~ p ~ q )
11. Exportacin: [ ( p q ) r ] [ p ( q r )]
12. Absorcin : p [ p ( p q )]
p [ p ( p q )]13. Definicin de condicional : ( p q) ( p q)
14. Definicin de bicondicional: (pq) ( p q) ( q p)
15. Negacin del condicional: ( p q) ( p q )
16. Expansiones Booleanas: p p (q ~ q) p p (q ~ q) p p (q ~ q r) p p (q ~ q r)
NEGACIN DE UN CONDICIONAL.
Lgica Proposicional Luca Hilal14
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Las proposiciones ( p q) y p q
son equivalentes ya que su bicondicional nos dio una tautologa o sea:
( p q) ( p q )
En consecuencia la negacin de la primera es equivalente a la negacin de la segunda
( p q) ( p q )
Aplicando la ley de De Morgan al segundo miembro de la equivalencia, queda: ( p q) ( p q )
La negacin de una implicacin es equivalente a la conj. del antecedente con la
negacin del consecuente.--
ACTIVIDAD 16: Aplicar las leyes lgicas para encontrar proposiciones equivalentes a:
1. No es cierto que, o voy al cine o voy a bailar
2. No ocurre que, si presento la monografa entonces apruebo la asignatura
3. No ocurre que, si desapruebo el parcial, promociono esta asignatura o la regularizo.
4. Salgo a caminar pero no me canso
CONDICIONES NECESARIA Y SUFICIENTE DE UN CONDICIONAL
Consideramos la Tabla Valores de Verdad de la implicacin
p q p q V V V V F F F V V F F V
Hay tres casos en que pq es V :
a) Si sabemos que p q es V y p es V , q tambin debe ser V en cambio si p es F
nada podemos decir de q , ya que puede ser V F .O sea que es suficiente saber que p, es V para que q lo sea.
Se dice entonces que el antecedente p es condicin suficiente para el consecuente q y
se expresa : q si p.
Ejemplos:- Es suficiente que la figura tenga tres lados para ser tringulo.
- Para aprobar este parcial es suficiente resolver los ejercicios y obtener 60 puntos
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- atiendo las explicaciones o no comprendo el tema, si asisto a clase.
b)- Cuando p q es V, si q es V entonces p puede ser V F, pero para que p
sea V es necesario que q lo sea.
Se dice entonces que q es condicin necesaria para p y se expresa : p solo si q
Ejemplos:- Para que un metal se dilate es necesario someterlo al calor.
Para regularizar la asignatura, es necesario aprobar el parcial o su recuperatorio
Apruebo el parcial solo si estudio la teoria y comprendo los ejercicios
ACTIVIDAD 17: Analizar las condiciones necesaria y suficiente de los siguientes
condicionales y simbolizarlos
1. Es necesario escuchar msica para ser feliz.
2. Soy feliz si escucho msica.
3. Soy feliz solamente si escucho msica.
4. Es suficiente estar enamorado, para ser feliz.
5. Para ser feliz es necesario escuchar msica y no estar enamorado.
6. Para escuchar msica es suficiente ser feliz o estar enamorado.
7. Soy feliz si escucho msica.
8. Para estar enamorado es necesario ser feliz.
9. Soy feliz o no escucho msica si estoy enamorado.
10. Slo si escucho msica, soy feliz.
11.Para ser feliz es suficiente estar enamorado
CONDICIONALES ASOCIADOS
Sea el condicional p q ,que llamamos directo; en conexin con l , se presentan otros
tres , obtenidos por permutaciones o negaciones del antecedentes y consecuente:
p q directo
q p recproco
p q contrario
q p contrarecproco
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Los cuatro condicionales propuestos se llaman conjugados y cualesquiera de ellos puede
tomarse como recproco .-
Construya las tablas de verdad de los condicionales asociados para determinar si existen
frmulas equivalentes entre ellos.
ACTIVIDAD 18: Elegir entre las frmulas de las actividades 11 y 12 las que correspondan
a condicionales y formular los asociados
ACTIVIDAD 19: Negar las frmulas de la actividad 17 y retraducirlas al lenguaje coloquial.
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