Download - Tema 1: Introducción. Definiciones básicasagamenon.tsc.uah.es/.../asc/apuntes/ASC_201011_T1.pdf · 1 j RC ∣V0∣=∣Vi∣⋅ 1 1 R C 2 V 0 = V i −arctan R C Análisis y Síntesis

Análisis y Síntesis de Circuitos 2010 1

Tema 1: Introducción. Definiciones básicasÍndice

1.Introducción.

1. Análisis - Síntesis de circuitos.

2. Filtro eléctrico. Efecto de filtrado.

3. Aplicaciones de los filtros.

4.Tipos de filtros.

2. Conceptos básicos sobre Filtros Eléctricos.

1. Caracterización de un filtro.

1. Función de red. Función de Transferencia.

2. Respuesta en frecuencia. Filtrado analógico.

3. Distorsión.

4. Obtención de la respuesta en amplitud aproximada a partir del diagrama polo-cero.


Tema 1: Introducción. Definiciones básicasÍndice

2. Tipos de filtros

1. Especificaciones de amplitud: FPB,FPA,FPBa,FBaEl.

2. Especificaciones de fase: filtros paso todo.

3. Pasos en el proceso de diseño de filtros.

4. Normalización. Escalado

1. Escalado en frecuencia.

2. Escalado en impedancia.

5. Transformación de frecuencias/componentes.

1. Paso Bajo - Paso Alto.

2. Paso Bajo – Paso Banda.

3. Paso Bajo – Banda eliminada


1. Introducción1.1 Análisis – Síntesis de circuitos (FILTROS).

x(t) x(t)

Sistema

y(t)?

¿Sistema?

y(t)

● Obtener el sistema de manera que dada una señal de entrada produzca una salida deter- minada.

● Especificaciones en frecuencia para los FILTROS.

● Obtener la salida de un sistema dado ante una señal de entrada.

Excitación Respuesta


Zi

1. Introducción1.1 Análisis – Síntesis de circuitos (FILTROS).

● Ejemplo de especificaciones en frecuencia:

cto?

|Zi(ω)|

Solución:

CV(ω)

I(ω)

Z i =V

I =− j⋅

1⋅C


1.2 Filtro eléctrico. Efecto del filtrado

● “Circuito formado por R, L, C, elementos activos...que procesa de forma diferente las distintas componentes frecuenciales de la señal de entrada.”



● En el dominio del tiempo:

V 0=V i⋅1

1 jRC∣V 0∣=∣V i∣⋅

1

1RC 2

V 0=V i

−arctan RC



V i=a0∑k=1

∞

ak cos k tk V 0=a0⋅∣H =0 ∣∑

k=1

∞

ak⋅∣H =k ∣kH k

|V0(ω)|

ω

H ω

1ω

2ω

3

∣H 1∣

∣H 2∣

∣H 3∣

H 1

H 2H 3

∣V 0k ∣ V 0

Si ak=1 yk=0

∣H ∣=∣V 0∣H =V 0


● En el dominio de la frecuencia:

– La banda de frecuencias “más” atenuada es la banda eliminada y la banda que “menos” atenúa es la banda de paso.


H(ω)

Filtro

Vi(ω) Vo(ω)

|H(ω)|

ωωc

K

B. Paso B. Elilminada

V 0=V i⋅H

|Vi(ω)| |Vo(ω)|

ω1ω

2ω

3 > ω

cω

1ω

2


1.3 Aplicaciones de los filtros

● Adaptar las señales entre distintos sistemas.

● Eliminación de ruido en señales.

● Limitar en frecuencia señales para procesado o transmisión.

● Reconstrucción de señales.

● Síntesis de señales.

.

.

.


1.4 Tipos de filtros

● Analógico - Digital

x(t)Filtro

y(t)

x(t) y(t)A/D D/AFiltro digital

● Ventajas filtrado digital

– No varían sus prestaciones con t,T,...

– Fácil cambio de tipo de filtro

● Desventajas filtrado digital

– Sistema más complejo.

– Límite de frecuencia (A/D)

– Errores en el proceso de muestreo y cuantificación.



● Limitaciones de frecuencia.

– Activos limitados por los elementos activos.

– Pasivos menos limitados por la frecuencia.

● Precio

– Activos requieren alimentación ¿problema?.

– Activos se montan en IC.

– Pasivos: las bobinas suelen ser a medida, blindajes...

Activos - Pasivos.



● Diseño

– Más complicado por la dependencia de las resistencias terminales.

– Dificultad de unión de bloques.

– Pocos circuitos realizan el mismo proceso.

– Mayor sensibilidad a la variación de elementos.

– Peor ajuste.

– Rango dinámico limitado.

– Más ruidosos.

– Pueden ser inestables.

Pasivos

Activos


2 Filtros.2.1 Caracterización de los filtros:

Función de redFiltro

x(t) y(t)=T{x(t)}El filtrado consiste en el procesado de la señal de entrada discriminando suscomponentes frecuenciales: banda dePaso y banda atenuada.

Como el sistema es LTI:

∑k=0

n

ak⋅∂k y t

∂ t k=∑

l=0

m

b l⋅∂l x t

∂ t l

En el dominio transformado, se llama FUNCIÓN DE RED:

(1)

F s =Respuesta s Excitación s

V s I s

;I s V s

;V 1 s

V 2 s ;I 1s

I 2 s


2.1 Caracterización de los filtros: Función de transferencia.

● Un caso concreto de función de red es la que se obtiene de aplicar TL a (1):

an snan−1 s

n−1...a1 sa0 Y s=bm snbm−1 s

m−1...b1 sb0 Y s nm

Y sX s

=H s=bm smbm−1 sm−1

...b1 sb0

an snan−1 sn−1

...a1 sa0

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

X(s)H(s) Y(s)=X(s) H(s)

● Caracteriza todo el comportamiento externo del sistema: relaciona la entrada con la salida en el dominio transformado.● H(s)=TL{h(t)}

● Necesario conocer las variables “entrada” y “salida”. Normalmente se trabajará con tensión de salida entre tensión de entrada.

H s=V s s

V e s

● Relación entrada-salida en dominio transformado con ci. nulas.

(2)


2.1 Caracterización de los filtros: Diagrama polo-cero

● Factorizando el numerador y denominador de (2):

Y sX s

=H s=bm snbm−1 sm−1

...b1 sb0

an snan−1 sn−1

...a1 sa0

=k⋅ s−sz 1

s−s z2 ... s−szm

s−s p1 s−s p 2

... s−s pn

Ceros H s : s=sz i/H s=szi =0

PolosH s : s=s pi/H s=s p i

=∞

Raices del numerador más n-m ceros en el infinito

Raices del denominador

DIAGRAMA POLO-CERO

Im

Re

Plano s


2.1 Caracterización de los filtros: Diagrama polo-cero

● Ejemplo: representar el diagrama polo-cero

● Reconstruir H(s) a partir del diagrama polo-cero.

H s=4⋅s10

s22s10 Re

Plano sPolos :s=−1±3jCeros : s=−10 raíz del numerador

s=∞

∞

-10 -1

3j

H s=k⋅s−−10

s−−13j s−−1−3j=k⋅

s10s22s10

● El diagrama polo-cero informa sobre el comportamiento del sistema excepto● Por el valor de una constante.● Es necesario conocer algo más sobre el sistema para conocer la constante. Por ejemplo H(0)=4 → k=4.


2.1 Caracterización de los filtrosFunción de transferencia

● Para que el sistema sea realizable y estable (todos los filtros con los que trabajaremos), H(s) debe cumplir:

– Mismo número de polos que de ceros: orden del filtro

– Todos los coeficientes del numerador y denominador deben ser reales → polos y ceros son reales o complejos conjugados.

– Polos con parte real negativa → Coeficientes del denominador de H(s) son positivos.

Y sX s

=H s=bm snbm−1 sm−1

...b1 sb0

an snan−1 sn−1

...a1 sa0

=k⋅ s−sz 1

s−s z2 ... s−szm

s−s p1 s−s p 2

... s−s pn


2.1 Caracterización de los filtros:Respuesta en frecuencia

Para sistemas estables se puede particularizar s=jω

X(s)H(s) Y(s)=X(s) H(s)

s=jω

X(ω)H(ω) Y(ω)=X(ω) H(ω)

Espectros entrada y salida

Respuesta en frecuencia

H ss= j=H =∣H ∣ej H

∣H ∣ Respuesta en amplitud

H Respuesta en fase

=−d

dRetardo de grupo


2.1 Caracterización de los filtros:Respuesta en frecuencia

Por tanto:

Y =X ⋅H =∣X ∣⋅∣H ∣⋅ej⋅x H

En el dominio del tiempo:

x t =a0∑k=1

∞

ak cosk 0 tx k 0 y t =a0⋅∣H =0∣∑k=1

∞

ak⋅∣H =k ∣ xk 0H k 0H

ω1 ω

2ω

3

∣X ∣∣H ∣

ω1

∣Y ∣

ω1

Cada componente frecuencial aparece a la salida del filtro:

• Multiplicada en amplitud por |H(ω=ωk)|

• Desfasada ϕH(ω=ωk ) → retardo de fase t d k

=H k

k

seg.


2.1 Caracterización de los filtros: Distorsión

x(t)h(t)

A K A

t0

Un sistema no distorsiona cuando la señal a la salida es una réplica de la entrada.

y(t)=K x(t-t0)

Y s=K⋅e−s t0⋅X s

H s=Y sX s

=K⋅e−s t0 H =K⋅e− j t0

H =K

H =− t 0

(1)

(2)

ωc

K

H

=t0=cte

●Si no se cumple (1): DISTORSIÓN DE AMPLITUD●Si no se cumple (2): DISTORSIÓN DE FASE

APLICADO A LA BANDA DE PASO



Ejemplo:Señal x(t) es suma de 3 sinusoides



Ejemplo 1:Sistema sin distorsión

La salida del filtro



Ejemplo 2

Sistema DISTORSIÓNde AMPLITUD

La salida del filtro:



Ejemplo 3

Sistema DISTORSIÓNde FASE

La salida del filtro:


2.1 Caracterización de los filtros: Obtención aproximada de la respuesta en amplitud a partir

del diagrama polo-cero

H s=bm snbm−1 s

m−1...b1 sb0

an snan−1 sn−1

...a1 sa0

=k⋅ s−s z1

s−sz2 ... s−sz m

s−s p1 s−s p2

... s−s pn

La función de transferencia de un filtro de orden n:

La respuesta en frecuencia: s=jω

H j=k⋅ j−sz1

j−sz 2 ... j−szm

j−s p1 j−s p2

... j−s pn

∣H j∣=∣k∣⋅∣ j−sz 1∣∣ j−sz 2∣ ...∣ j−szm∣∣ j−s p1∣∣ j−s p2∣ ...∣ j−s pn∣

H =arg k ∑k=1

m

arg j−szk−∑k=1

n

arg j−s pk

● Al recorrer el eje jω desde cero, se producirán máximos de amplitud en la cercanía de polos y mínimos en la cercanía de ceros.

● Al recorrer el eje jω, la fase de los ceros respecto al eje se suma y la de los polos se resta.


2.1 Caracterización de los filtros: Obtención aproximada de la respuesta en amplitud a partir

del diagrama polo-cero

Im

Re

Plano sz

1

p1

p2

● Ejemplo ∣H ∣

H

≈Im(p1) z

1

π (rad)


2.2 Tipos de Filtros

X(ω)H(ω) Y(ω)=X(ω) H(ω)

H ss= j=H =∣H ∣ej H

Respuesta en amplitud: |H(ω)|

Respuesta en fase Φ H(ω)

Especificaciones de amplitud

Especificaciones de fase

En general el tratamiento será por separado


2.2 Tipos de FiltrosEspecificaciones de amplitud |H(ω)|

● En general serán las especificaciones que se intentan cumplir en la mayoría de los métodos de diseño.

● Se define la “Banda de Paso” como el margen de frecuencias que el filtro deja “pasar” y “Banda Eliminada” como el margen de frecuencias que el filtro “elimina”.

● Se define “ωp” a la frecuencia límite en la Banda de Paso y “ω

a” a

al frecuencia límite en la Banda Eliminada.

● Se suele expresar en función de la atenuación:

● Se distinguen 4 tipos de filtros en función de su respuesta en amplitud: Filtro paso bajo, paso alto, paso banda y banda eliminada.

=20⋅log1

∣H ∣=10⋅log

1

∣H ∣2



Especificaciones de amplitud |H(ω)|: Filtro Paso Bajo

1

ωp =ω

a

|H(ω)|

ωp =ω

a

A1

A2

ωp

ωa

ωp ω

a

αp

αa

α (dB)

α (dB)

αa

αp

p=max=20⋅log A0

A1

a=min=20⋅log A0

A2

ω ω

ω ω

|H(ω)|

A0



Especificaciones de amplitud |H(ω)|: Filtro Paso Alto

ω ω

ωpω

a ω ωpω

a ω

A1

A2

αp

αa

ωp =ω

a ωp =ω

a

|H(ω)|

|H(ω)|

α (dB)

α (dB)

A0

A0


2.2 Tipos de FiltrosEspecificaciones de amplitud |H(ω)|: Filtro Paso Banda

|H(ω)|

|H(ω)|

ω ω

ωω

ω-pω

-a ω+p

ω-a=ω

-p ω-a=ω

-p

ω+a

=ω+p ω

+a=ω

+p

ω+a

ω-pω

-a ω+p ω

+a

A0

A1

A2

αp

αa

α (dB)

α (dB)

A0


2.2 Tipos de FiltrosEspecificaciones de amplitud |H(ω)|: Filtro Banda Eliminada

ω

α (dB)

α (dB)

αp

αa

ω ωω-p

ω-a

ω+p

ω+aω

-pω

-a ω+p

ω+a

A0

A1

A2

ω-a=ω

-pω

+a=ω

+p ω-a=ω

-pω

+a=ω

+pω

A0

|H(ω)|


2.2 Tipos de FiltrosEspecificaciones de fase

Retardo de Fase: ( )

.H kd

k

t segϕ ω

ω=

Retardo de Grupo: ( ) ( )( )Hdseg

d

φ ωτ ω

ω= −

Para que un filtro no provoque distorsión de Fase:

Fase lineal con la frecuencia Retardo de grupo constante: τ(ω)= cte.

H =∣H ∣ ej H

H =−⋅td



Especificaciones de fase: Filtros paso todo

• En el proceso de diseño de filtros, se ajustará en la medida de lo posible |H(ω)|.• Con esto ya queda fijada , que puede provocar en la banda de frecuencias de interés demasiada distorsión. Habrá que corregir la fase en esa banda de frecuencias.

• Para corregir la fase, se añaden en cascada con el filtro diseñado otros filtros con respuesta en amplitud constante y fase tal que corrija a la del filtro diseñado

HT(s)

H(s) HAP(s) HAP(s)

( ) ( ) ( )T APφ ω φ ω φ ω= +( ) ( ) ( )T APτ ω τ ω τ ω= +

La fase total en el margen de frecuencias de trabajo debe serlo más lineal posible

∣H T ∣=∣H ∣⋅1⋅1...

H




Para no provocar modificación en la respuesta en amplitud del filtro diseñado, el filtro pasotodo deberá presentar los polos y los ceros simétricos respecto al eje jω.

[ ]( ) Re ( )R APD D jω ω=

[ ]( ) Im ( )I APD D jω ω=

( )( ) 2

( )I

APR

Dj arctg

D

ωφ ωω

= −

|HAP(ω)|= 1 para todas las frecuencias

Fase que se sumará a la del filtro diseñado paracorregir la no linealidad en una banda de frecuencias

H AP s=N AP s

DAP s =±

DAP −s

DAP s

N AP s =±DAP −s

H AP=1⋅ej AP



Especificaciones de fase: Filtros paso todo● Orden 1:

-a a

H s =−−sasa

=s−asa

H =−2⋅arctg

a

H H

H =2 a

a2

2



Especificaciones de fase: Filtros paso todo● Orden 2:

Im(p)

Re(p)

H s =s2−b1 sb0

s2b1 sb0

=s2−0

Qs0

2

s20

Qs0

2

0=ℜ2 p ℑ

2 p

Q=0

2 ℜ p=ℜ2

p ℑ2 p

2 ℜ p● Dos parámetros de ajuste.● Posibilidad de eliminación de “picos”.

0=3Q=2Q=4

H H




Ejemplo:

• Normalmente las secciones paso todo serán de orden uno o dos.• Si el ajuste es sencillo se puede hacer mediante gráficas.• En la mayoría de los casos son algoritmos iterativos programados los que ajustan las redes paso todo.


3 Pasos en el proceso de diseño de filtros

EspecificacionesRestricciones

Tr. FrecuenciasNormalización

HPB(s)Circuito

H(λ)

Síntesis

Síntesis

Tr. FrecuenciasDesnormalización

Plantilla filtroPlantila FPB prototipo


4. Normalización. EscaladoObjetivos

● Trabajar con valores manejables (1Ω, 1F, 1H, 1Hz...).

– Simplicidad en los cálculos.

– Menor error en el redondeo.

– Adaptación de un circuito al valor de componentes disponibles.

● Generalización de la Teoría de Diseño de Filtros.

– Basada en el diseño de FPB prototipo.

– La desnormalización permitirá adaptar las frecuencias y el filtro a las especificaciones iniciales.

ωp=1 ω

|H(ω)|


4.1 Escalado en frecuencia

● Se desea utilizar el siguiente circuito para obtener la función de transferencia y respuesta en frecuencia siguiente:

H s=1

s1 1

1

2

ωωc=1

|H(ω)|


4.1 Escalado en frecuencia

La función de transferencia del circuito paso bajo dado es: H s=

1RC

s1RC

=1

s1

Identificando con la función de transferencia objetivo: RC=1

Para R=1Ω, C=1F.

● Si ahora se desea que ωc=10 rad/s ¿cómo cambiaría H(s) y los componentes?.

ω'= 10 ω Por lo que s '=10 s s=s '10

H s=1

s1 H s ' =

1s '10

1=

10s '10

La nueva función de transferencia sería:

El valor del condensador cambiaría a: 1Cs

1

Cs '10

=1

C10

s '=

1C ' s '

C '=C10

Para valores de bobinas: Ls L⋅s '10

=L ' s '=L

10s ' L '=

L10

El valor de las resistencias no cambia


4.1 Escalado en frecuenciaResumen

1

1

2

ωωc

|H(ω)|

1

1

2

ωkωω

|H(ω)|

ω'= 10 ω

s '=k s s=s 'k

Cambio de variable

Para valores de bobinas: Ls L⋅s 'k

=L ' s '=Lk

s ' L '=Lk

El valor de las resistencias no cambia

El valor del condensador cambiaría a:

1Cs

1

Cs 'k

=1

Ck

s '=

1C ' s '

C '=Ck


4.2 Escalado en impedancia

● Una vez diseñado el circuito, puede ser necesario cambiar los valores de los componentes para adaptarnos a valores disponibles o por imposición de utilizar algún valor concreto.

● De teoría de circuitos sabemos que “si todas las impedancias de un circuito se multiplican por un mismo valor k

z , se cumple

que”:

– Todas las funciones de red con dimensiones de impedancia (V(s)/I(s)) quedan multiplicadas por k

z.

– Todas las funciones de red con dimensiones de admitancia (I(s)/V(s)) quedan divididas por k

z.

– Todas las funciones de red adimensionales (V0(s)/V

i(s)), (I

0(s)/

Ii(s)) no cambian.


4.2 Escalado en impedancia

● Con esto, si se define kz como constante de normalización:

Z R s =R Z R'=R⋅k z ; R'=R⋅k z

Z L s=L⋅s Z L'=L⋅s⋅k z ; L '=L⋅k z

ZC s =1C s

Z C '=1

C s⋅k z=

1Ck z

s; C '=

Ck z


4. Normalización. EscaladoResumen

● Normalización (dividir el eje de frecuencias por kω y dividir

las impedancias por kz):

● Desnormalización (multiplicar el eje de frecuencias por kω y

multiplicar las impedancias por kz):

s s⋅k

Ln=L⋅k

k z

Cn=C⋅k⋅k z

Rn=Rk z

ssk

L=Ln⋅k z

k

C=C n

k⋅k z

R=R⋅k z


5. Transformación de frecuencias/componentes.Objetivos

● Mediante transformaciones matemáticas se puede transformar la Función de Transferencia de un filtro cualquiera a un Filtro Paso Bajo.

● Con esto se puede generalizar el proceso de diseño de filtros, enfocando el diseño en únicamente Filtros Paso Bajo, que mediante posteriores transformaciones darán lugar a otros tipos de filtros.

● Las transformaciones realizarán una asignación de puntos en el plano s en otros puntos λ de tal manera que H(s) corresponde a un filtro paso bajo y H(λ) corresponde al filtro que buscamos.

s=F 1

− p p−a a

p

a s=F 2

s=F 3

F.P. Alto

F.P. Banda

F. Banda Eliminada


5.1 Transformación Paso Bajo – Paso Alto

H s

s=0

2

H

s= j s= j ' '=−

02

=− p ' p=−0

2

− p

=0

2

p

=−a ' a=−0

2

−a

=0

2

a

− p p−a a

p

a

'

− p p−a a

a

'

p


5.1 Transformación Paso Bajo – Paso Alto

● Representando la función de transformación:

'=−0

2

02=K

ω

ω'

− p p

Parámetro de transformación


5.1 Transformación Paso Bajo – Paso AltoTransformación de impedancias

H s ( )RZ s R=

s=0

2

Z L s =L s

Z C s =1

C s

Z =L0

2

=

11

L 02⋅

=1

C '⋅

C '=1

L 02

Circuito Paso Bajo Circuito Paso Alto

Z =1

C⋅0

2

=1

C 02⋅=L '

L '=1

C 02

Z =R

R '=R

H =H 0

2

síntesis

síntesis

PROBLEMA: Síntesis de filtros Activos RC se transforman en RL! TRANSFORMACIÓN RC-CR


5.1 Transformación Paso Bajo – Paso AltoTransformación RC - CR

● Si en una red (R, C y generadores dependientes adimensionales) se cambian las R por C=1/R y los C por R=1/C:

– Las funciones de red con dimensiones de impedancia:

– Las funciones de red con dimensiones de admitancia:

– Las funciones de red adimensionales:

Z ' s =1s⋅Z

1s

Y ' s =s⋅Y 1s

H ' s =H 1s


5.2 Transformación Paso Bajo – Paso Banda

s=20

2

B

H s H

s= j s= j '=

' 2−02

B '=

B

2± B

2

2

02

P.Ba-> PB P.B-> P.Ba



s=20

2

B

= ' 2−0

2

B

'

B=20=3

p=2

'p≈5,6 '−p≈1,6



● Realizando la transformación en las plantillas en las plantillas:

s=20

2

B '=

B

2± B

2

2

02


5.2 Transformación Paso Bajo – Paso BandaCondiciones de simetría

● De las ecuaciones de transformación se obtienen las siguientes igualdades: Condiciones de Simetría.

● Se cumplen para cada ωx del FPB que se transforma en ω'

+x

y ω'-x del FPBanda:

● Si la plantilla del FPBanda no cumple estas condiciones, se debe hacer más restrictiva hasta que la cumpla, para así poder obtener la plantilla de un FPB.

'p⋅ '−p=02

'p− '−p=B p

'a⋅ '−a=02

'a− '−a=B a

' x⋅ '− x=02

'x− '−x=B x


5.2 Transformación Paso Bajo – Paso BandaTransformación de impedancias

H s ( )RZ s R=

Z L s =L s

Z C s =1

C s

Z =L

20

2

B =

LB

1B

L 02

=L' 1

C '

C '=B

L 02

Circuito Paso Bajo Circuito Paso Banda

Z =1

C⋅

20

2

B

=1

CB

1

BC 0

2

=1

C ' 1L'

L '=1

C 02

Z =R

R '=R

H =H

20

2

B

síntesis

síntesis

s=20

2

B

L '=LB

C '=CB


5.3 Transformación Paso Bajo – Banda Eliminada

H s H

s= j s= j '

s=B

202

PB → BaEliminada BaEliminada → PB

=B '

02− ' 2

'=−B2

± B2

2

02


5.3 Transformación Paso Bajo – Banda Eliminada

● Realizando la transformación en las plantillas:

s=B

202 '=

−B2

± B2

2

02


5.3 Transformación Paso Bajo – Banda EliminadaCondiciones de simetría

● De las ecuaciones de transformación se obtienen las siguientes igualdades: Condiciones de Simetría.

● Se cumplen para cada ωx del FPB que se transforma en ω'

+x

y ω'-x del FPBanda:

● Si la plantilla del FPBanda no cumple estas condiciones, se debe hacer más restrictiva hasta que la cumpla, para así poder obtener la plantilla de un FPB.

' p⋅ '− p=02

' p− '− p=B p

'a⋅ '−a=02

'a− '−a=Ba

'x⋅ '− x=02

'x− '−x=B x


5.3 Transformación Paso Bajo – Banda EliminadaTransformación de impedancias

H s ( )RZ s R=

Z L s =L s

Z C s =1

C s

Z =LB

20

2=1

1LB

⋅1LB0

2

=1

C '1

L '

C '=C B

02

Circuito Paso Bajo Circuito Paso Banda

Z =1

C⋅B

20

2

=

20

2

C B =

1C B

1

CB0

2

=L ' 1

C '

L '=L B

02

Z =R

R '=R

H =H B

20

2

síntesis

síntesisL '=

1C B

C '=1

L B

s=B

202

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