Download - Tecnicas de conteo
![Page 1: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/1.jpg)
Universidad Tecnológica Israel
Trabajo de Estadística
Introducción a la estadística
Paola TeránCarlos Chango
Jorge Campoverde
![Page 2: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/2.jpg)
Técnicas de conteo
Principio fundamental del conteo Si un evento puede suceder o realizarse de n maneras
diferentes y si, continuando el procedimiento un segundo ejemplo puede realizarse de n1 maneras diferentes y asi sucesivamente, entonces el numero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1*n2*n3...
![Page 3: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/3.jpg)
Técnicas de conteo
Notación factorial• El producto de numero enteros positivos desde 1
hasta n se emplea con mucha frecuencia en Matemáticas, y lo denotaremos por el símbolo n!.
)!)(1)...(2)(1(!
)!1(!
3*2*1)...2)(1(!
*...*3*2*1!
rnrnnnnn
nnn
nnnn
nn
)1()!1(
)!1()1(
)!1(
)!1(
nnn
nnn
n
n
![Page 4: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/4.jpg)
Técnicas de conteo
Permutaciones Una ordenación de un conjunto de n objetos en un
orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Una ordenación de un numero r de dichos objetos r<=n en un orden dado se llama una permutación r o permutación de n objetos tomados r a la vez
!1
!
!0
!),(
)!(
!),(
nnn
rnP
nr
rn
nrnP
![Page 5: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/5.jpg)
Técnicas de conteo
Ejemplo:
!1
!
!0
!),(
)!(
!),(
nnn
rnP
nr
rn
nrnP
24!4)4,4(
24!1
!1*2*3*4
)!34(
!4)3,4(
12!2
!2*3*4
)!24(
!4)2,4(
4!3
!3*4
)!14(
!4)1,4(
},,,{
P
P
P
P
dcbas
![Page 6: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/6.jpg)
Técnicas de conteo
Combinaciones Supongamos que tenemos una colección de n
objetos. Una combinación de n objetos tomados r a la vez es un subconjunto de r elementos . En otras palabras una combinación es una selección de r o n objetos donde el orden no se tiene en cuenta
!)!(
!
!
),(),(
rrn
n
r
rnPrnC
![Page 7: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/7.jpg)
Técnicas de conteo
Ejemplo: Un restaurante tiene 6 postres diferentes. Encuentre el numero de formas en las que un cliente pueda escoger 2 de los postres.
!)!(
!
!
),(),(
rrn
n
r
rnPrnC
15!2!4
!4*5*6
!2!4
!6)2,6( C
![Page 8: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/8.jpg)
Técnicas de conteo
Diferencias entre permutación y combinación "Mi ensalada de frutas es una combinación de
manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden sí importa es una permutación.
![Page 9: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/9.jpg)
Técnicas de conteo
Diagramas de árbol Para la construcción de un diagrama en árbol se
partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
![Page 10: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/10.jpg)
Técnicas de conteo
Ejemplo: Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar.
![Page 11: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/11.jpg)
Introducción a la ProbabilidadEspacio muestral y eventos
El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral.
S espacio muestral e.m. S={cara,sello} S={1,2,3,4,5,6}
1203*2*1!*7
!7*8*9*10
!3!*7
!10)3,10( C
![Page 12: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/12.jpg)
Introducción a la Probabilidad
Un resultado particular, esto es un elemento del espacio muestral se llama punto muestral.
Un evento a es un subconjunto del espacio muestral S el conjunto vacío Φ y el espacio S por si son eventos.
S{(1,1)(1,2)...(1,6),(2,1)(2,2).....(6,6)} A={(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)} B={(6,6)} C={ }
![Page 13: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/13.jpg)
Introducción a la ProbabilidadOperaciones Es el conjunto que sucede si y solo si A o B o
ambos suceden. Es el evento que sucede si y solo si A y B suceden
simultáneamente Es el evento que sucede si y solo si ambos
suceden. Dos eventos se llaman mutuamente exclusivos si son
disyuntivos, es decir . En otras palabras dos eventos son mutuamente exclusivos si no pueden suceder simultáneamente.
A∩ B
BA
CA
{} BA
![Page 14: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/14.jpg)
Introducción a la ProbabilidadAxiomas de Probabilidad• Sea S un espacio muestral y P una función de valores
reales. Entonces P se llama función de probabilidad del evento A, entonces se cumplen los siguientes axiomas de probabilidad.
• P1] evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1• P2] P(S)= 1• P3] sean A y B eventos mutuamente exclusivos
entonces :
)()()( BPAPBAP
![Page 15: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/15.jpg)
Introducción a la Probabilidad• Teoremas de Probabilidad• T1] si ф es el conjunto vacio, entonces P(ф)=0
eventossonAy
0)(
)()()(
)()()(
)()(
P
APAPP
APPAP
APAP
AA
..emsonAy
A
![Page 16: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/16.jpg)
Introducción a la Probabilidad• T2] si es el complemento A entonces P( )=1-P(A)CA CA
eventossonAyAC
..emsonAyA
AAC
C
)(1)(
1)()(
)()(
APAP
APAP
SPAAP
SAA
C
C
C
C
![Page 17: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/17.jpg)
Introducción a la Probabilidad• T3] sean Ay B eventos entonces P(A-B)=P(A)-P( )A∩ B
..
)()(
emsonBByAA
BABA
)()()(
)()()(
)()]()[(
BAPAPBAP
APBAPBAP
APBABAP
![Page 18: Tecnicas de conteo](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061317/558498a4d8b42ac1328b4da3/html5/thumbnails/18.jpg)
Introducción a la Probabilidad• T4] sean A y B eventos entonces P( )=P(A)+P(B)-P(
)A∩ BBA
..
)()(
emsonByBA
APBBA
)()()()(
)()()(
)()()(
)(])[(
BAPBAPBPAP
BAPAPBAP
BAPBPBAP
BAPBBAP