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8/17/2019 Taller I de Regulación SDG Completa
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
José C. Moreno Dimas
Subdirección de GeneraciónGerencia de Ingeniería Eléctrica
Departamento de medición y regulación01 (55) 54 90 40 00 Ext. 73240 [email protected]
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
Objetivo
Desarrollar habilidades en el uso de herramientas asistidas por
computadora para análisis de sistemas de control
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
TEMARIO
I. Matlab
I.1. Revisión ambiente operativo de Matlab. .I.3. Variables simbólicasI.4. Diferenciación e Integración. .
I.6. Solución de ecuaciones diferencialesI.4. Epistemológico de la Transformada de Laplace
I.6. Transformada Inversa de Laplace
II. Simulink II.1. Revisión ambiente gráfico de simulación Simulink II.2. Funciones de transferenciaII.3. Mane o de variables transferencia entre Matlab Simulink
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
TEMARIO
III. Modelado de Sistemas
III.1. Circuitos eléctricos pasivos. .III.3. Métodos numéricos de solución de ecuaciones diferencialesIII.4. Máquinas Eléctricas
IV. Análisis de Sistemas de ControlIV.1. Análisis de respuesta de sistema de primer orden
. .IV.3. ControladoresIV.4. Error en estado estacionario
- Criterio de Routh- Gráficos de Bode- Lu ar de raices
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
TEMARIO
V. Conceptos básicos de sistemas de control discreto
V.1. Plataforma funcional de sistemas de control discreto. . V.3. Transformación de funciones de transferencia V.3. Simulación de sistemas discretos
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
EVALUACION
2. Examen 1 (Miercoles) sobre una aplicación de Matlab 20%3. Examen 2 (Viernes) sobre una aplicación en Matlab 20%4. Pro ecto ara entre a una semana des ués del curso 60%
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
%Sol uci ón de ecuaci ones ut i l i zando una%f unci ón decl aradacl ear
sol = sol ve( f ( 1) , f ( 2) )sol . xsol . y
syms x yy = x 2̂ - 16sol ve( y, x)%Aquí se consi der a que y=0
%Cr uce de Ci r cul o con rect acl ear
cl csyms x yy = x ;sol ve( y, x)S = 2*x + 4 - y;%Par a l a f or ma nor mal se usa S como ' dummy'sol ve( S, x)
f = [ x 2̂ + y 2̂ - 1, x + y - 1]sol = sol ve( f ( 1) , f ( 2) )sol . xsol . y
%SOLUCI ON DE SI STEMAS DE ECUACI ONES%ALGEBRAI CAScl earcl c
%CALCULO ANALI TI COcl earcl csyms x
^syms x yf ( 1) = x + y - 3;f ( 2) = x + 2*y - 6;
%Sal i da a t r avés de vect or
= x - x
%Der i vada de una f unci óndi f f ( f ) % ó di f f ( ' x 2̂ - 3*x + 4' )
di f f ( f , x)x, y = o ve ,
%Sal i da como dato en est r uct ur a de ar r egl ocl earcl c
%I nt egr al de una f unci óni nt ( f )%I nt egr al def i ni dai nt f x 1 2
syms x y
%I nt egr al def i ni da de 1 t o 2
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
%Cal cul o del J acobi anocl ear
syms x yf = [ x 2̂ + y 2̂ - 1, x + y - 1]
J ac = j acobi an( f )
%ECUACI ONES DI FERENCI ALEScl earcl csyms x y
%Sol uci ón con condi ci ones i ni ci al es cer odsol ve( ' D2x=- x' )
%Sol uci ón con condi ci ones i ni ci al es di f er ent es de cer o' - ' ' = ' ' = ', ,
%Sol uci ón de si st emas de ecuaci ones di f er enci al escl ear
cl csyms x ysol = dsol ve( ' Dy=3*y+4*x' , ' Dx =- 4*y+3*x' , ' y( 0) = 0' ,' x( 0) = 1' )sol . xsol . y
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Series de Fourier
t n
Senbt n
Cosaa
t f n
n
n
n
22
2)(
11
0
2222
2)( 000 aat nSenbt nCosaat f nn
0
0 )(
2
t f a
dt t n
t n
Senbdt t n
t n
Cosat na
dt t n
t f nn )2
cos(2
)2
cos(2
)2
cos()2
cos()( 0
nn0 0 1100
2)
2cos()(
2
nn adt t n
Cosadt t n
t f
dt t n
t f an )2
cos()(2
0 10 n
dt t n
Sent n
Senbdt t n
Sent n
Cosat n
Sena
dt t n
Sent f nn )2
(2
)2
(2
)2
()2
()( 0
nn0 0 1100
2
2)
2()(
2
nn bt n
Senbdt t n
Sent f
dt t n
Sent f bn )2
()(2
Fpar_Impar.m
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Series de Fourier
t n
Senbt n
Cosaa
t f n
n
n
n
22
2)(
11
0
0 )(2
dt t f a0
0
)( dt t Cost f an
0
2)(
2dt t
nSent f bn
Fpar_Impar.m
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Series de Fourier
Función par Función impar
)()( t f t f )()( t f t f
Fpar_Impar.m
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Series de Fourier
Si f(t) es periódica par Si f(t) es periódica impar
0
0 )(2
dt t f a
22 n
0
0 )( dt t f a
0na
0
n
0nb
0
2)(
2dt t
nSent f bn
Fpar_Impar.m
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Función sin Simetría Par ó Impar
Fpar_Impar.m
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Fasor
Fasor.m
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Otras Representaciones Equivalentes de las Seriesde Fourier
t n
Senbt n
Cosaa
t f n
n
n
n
22
2)(
11
0
n
n
n t n
Seno A At f
2)(
1
0
n
n
n t n
Cos A At f
2)(
1
0
2
00 A
22
nn ba An
n
nn
b
a1tan
2
00 A
22
nn ba An
n
nn
atan
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Formula de Euler
)()( wt iSenwt Coseiwt
Considerando las series de Taylor, tenemos;
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Forma Compleja de la Transformación de Fourier
1F F w 20 t nwFnt w
n00 2
2
)()()( 01
0
1
0 t nwSenbt nwCosaat f
n
n
n
n
)()(
)()(
00
00
0
0
t nw jSenet nwCos
t nw jSent nwCose
t jnw
t jnw
)()(
)()(
00
00
0
0
t nw jSenet nw jSen
t nw jSent nwCose
t jnw
t jnw
2)(
00
0
t jnwt jnw
eet nwCos
00 t jnwt jnw
2)( 0
jt nwSen
t nwt nwt nwt nw baba
11
022
)(n
n
n
n j
eeb
eeaat f
1
022
)( 00
n
nnnn eeat
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Forma Compleja de la Transformación de Fourier
Dado que las funciones Coseno y Seno son periodicas par e inmparrespectivamente tenemos que:
nn aa nn bb nn bb
Por lo cual podemos establecer que:
2
nnn
jbac
2
nnn
jbac
2
nnn
jbac
000000)(
t jnw
n
t jnw
n
t jnw
n
t jnw
n ececcececct f 1111 nnnn
t nw
n
nec
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Forma Compleja de la Transformación de Fourier
Sustituyendo:
2
2
nn jbac
0
0n
0
0n
en; 2
22
Tenemos: 20
0
0
0
cn
0
00)(1
dt t nw jSendt t nwCost f cn
0
0)(1
dt et f c t jnw
n
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Integral de Fourier
Una función eriódica t uede re resentarse como la serieinfinita de funciones sinusoidales (senos y cosenos) de
frecuencias discretas diferentes nw=2n
f 0
t n
i
n
neC t f
2
0
)(
Donde C n Es una función discreta de frecuencia
t n
i
2
1n
0
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Integral de Fourier
Si f(t) es una función no periódica entonces su periodo y su
01
22
f w
“ ”
a ser finito y w que originalmente era continua “tiende” a la formadiscreta 2n / tomando valores entre + y - , para dos valoresconsecu vos e n en remos
2212 nn
w
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Transformada de Laplace
Una función f(t) no periódica que es cero para t
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Para una función f(t) tal que f(t)=0, para t
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
Para una función f(t) tal que f(t)=0, para t
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCION RAMPA
t t f )(
%Cál cul o Tr ansf or mada de Lapl ace y Tr ansf or mada I nversa de Lapl ace%Funci ón Rampa
cl ear
s
t f L 1)(
syms s tA=1f =A*tF=l apl ace( f )I f l apl ace F)
TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCION SENOIDAL
%Funci ón Senoi dal
cl ear)()( wt Asenot f syms s t wA=1f =A*si n( w*t )F=l a l ace( f )
22
)(ws
wt f L
I f =i l apl ace( F)
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
FUNCION ESCALON COMO LA INTEGRAL DE LA DELTADE DIRAC
%Funci ón escal on como l a i nt egr al de l aDel t a de Di r accl ear
cl csyms x ya =5;xi =0xf i n=10xf 1) =xi
N=100;h=( xf i n- xi ) / N;f or k=1: Ny( k)= nt ( di r ac x- a) , 0, xf ( k) ) ;xf ( k+1) =xf ( k) +h;end
y( k+1) =i nt ( di r ac(x- a) , 0, xf ( k) ) ;x= oubl e( sym xf ) ;y=doubl e( sym( y) ) ;pl ot ( x, y)axi s( [ mi n( x) max( x) - 0. 2 1. 2] )gr d
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCION ESCALON
%Transf ormada de Lapl ace de una f unci ónescal ón ( Funci ón de Heavi si de)cl earat
at at u
,1
,0)(
syms t a=0f =heavi si de( t - a)F=l apl ace( f )
s
eat u L
as
)(
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCION PULSO
t b
bt aat u
,0
,1
,
)( %Transf or mada de Lapl ace de una f unci ónpul so
cl ear
%
s
eeat u L
bsas )(
cl csyms ta1=0. 5a2=1. 5= eavi si de( t - a1) - eavi si de t - a2) ;
F=l apl ace( f )i F=i l apl ace( F)t =- 2: 0. 1: 2;= eavi si de( t - a1) - eavi si de t - a2) ;
f =doubl e( f ) ;pl ot ( t , f )
axi s( [ mi n( t ) max( t ) mi n( f ) - 0. 2max f ) +0. 2] )gr i d
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCION TRASLADADA
)()( sF t f L
)()( sF eat f L as
at at u
,0
)( at t f )()(
e
at u L
as
)(
,
aset f L )(
s
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCION MULTIPLICADA POR e-at
)()( asF t f e L at
% Tr ansf or mada del pr oduct o de f ( t ) porexp( - at )cl ear
syms t wa=+2f =exp( - a*t ) *( si n( w*t ) )
i F=i l apl ace( F)
O S S O C
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Linealidad
)(....)()()(....)()( 22112211 sF csF csF ct f ct f ct f c L nnnn
)0()()(' f ssF t f L
Transformada de Laplace de una derivada
)0()0()()(
1''3'21
'2''
nnnnnn
f sf sF st f L
...
Transformada de Laplace de una integral
s
sF duu f L
t )(
)(
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema de Valor Final
)(lim)(lim 0 ssF t f st
Teorema de Valor Inicial
)(lim)(lim 0 ssF t f st
SIMULINK POWER SYSTEMS TOOLBOX
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SIMULINK POWER SYSTEMS TOOLBOX
di sp( ' Dat os del ci r cui t o' )R=47V=24di sp( ' Par a cal cul ar l a cor r i ent e seap ca a expr es on =I =V/ Rdi sp( ' Cor r i ent e que ci r cul a por l ares i s tenci a' )
Ar chi vo l eyohm. m Ar chi vo l eyohm. mdl
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Señales de Voltaje y Corriente Carga Resistiva usando Simulink
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Señales de Voltaje y Corriente Carga Resistiva usando Simulink
Clock
=v+
-R
Scope
=
i+
-
Current Measurement
Voltage Measurement To Workspace
Ar chi vo r esi st enci a. mdl
Señales de Voltaje y Corriente Carga Resistiva usando Código en MATLAB
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Señales de Voltaje y Corriente Carga Resistiva usando Código en MATLAB
%haci endo uso del bl oque ‘ t o f i l e’cl earl oad R;
R=R' ;s gnan o a or es
t =R( : , 1) ;I =R( : , 2) ;V=R( : , 3) ;%Gr af i candopl ot ( t , V, ' M' , t , I , ' c' )
l egend V Iaxi s( [ mi n( t ) max( t ) - 160 160] )gr i dt i t l e ' Res uest a Car a Resi st i va Tensi ón
de C. A. 'xl abel ' Ti empo [s ] 'yl abel ' V [ vol t s] / I [ amps] '
Archi vo resi s2f i l e. m
Señales de Voltaje y Corriente Carga Resistiva usando Código en MATLAB
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Señales de Voltaje y Corriente Carga Resistiva usando Código en MATLAB
%Los val ores se obt i enen desde l a%si mul aci ón haci endo%uso del bl oque ‘ t o wor kspace’
%Asi gnando Val or est =R( : , 1) ;I =R( : , 2) ;V=R( : , 3) ;%Gr af i candol ot ( t , V, ' M' , t , I , ' c' )
l egend V I
axi s( [ mi n( t ) max( t ) - 160 160] )gr i dt i t l e ' Respuest a Car ga Resi st i va
'. .xl abel ' Ti empo [ s] 'yl abel ' V [ vol t s ] / I [ amps] '
Archi vo res i s2works .
Señales de Voltaje y Corriente Carga Inductiva usando Simulink
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Señales de Voltaje y Corriente Carga Inductiva usando Simulink
Ar chi vo i nduct or. mdl
Señales de Voltaje y Corriente Carga Inductiva usando Código en MATLAB
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Señales de Voltaje y Corriente Carga Inductiva usando Código en MATLAB
%Los datos se obt i enen desde l a si mul aci ónhaci endo%uso del bl oque ‘ t o wor k space'
%Asi gnando Val or es,I =L( : , 2) ;V=L( : , 3) ;%Gr af i candopl ot ( t , V, ' b' , t , I , ' r ' )l egend Iaxi s( [ mi n( t ) max( t ) - 160 160] )gr i dt i t l e ' Respuest a Car ga I nduct i va Tensi ón de
C. A. 'xl abel ' Ti empo [ s] 'yl abel ' V [ vol t s ] / I [ amps] '
Ar chi vo i nduc2wor ksp. m
Señales de Voltaje y Corriente Carga Inductiva usando Código en MATLAB
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Señales de Voltaje y Corriente Carga Inductiva usando Código en MATLAB
%haci endo uso del bl oque ‘ t o f i l e’cl earl oad L;
L=L's gnan o a or est =L( : , 1) ;I =L( : , 2) ;V=L( : , 3) ;%Gr af i candopl ot ( t , V, ' b' , t , I , ' r ' )
l egend V Iaxi s( [ mi n( t ) max( t ) - 160 160] )gr i dt i t l e ' Res uest a Car a I nduct i va Tensi ón de
C. A. 'xl abel ' Ti empo [ s] 'yl abel ' V [ vol t s ] / I [ amps] '
Ar chi vo i nduc2f i l e. m
Señales de Voltaje y Corriente Carga Capacitiva usando Simulink
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Señales de Voltaje y Corriente Carga Capacitiva usando Simulink
Series RLC Branch Scope
i+
-
Current M easurement
v(t)=150sen 1000tv
+-
Voltage Measurement
C.mat
To File
R=1ohm
C=0.0002f
Ar chi vo capaci t or . m
Señales de Voltaje y Corriente Carga Capacitiva usando Código en MATLAB
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j y g p g
%Los datos se obt i enen desde l a si mul aci ón%haci endo uso del bl oque ‘ t o f i l e’cl ear
l oad C;'%Asi gnando Val or est =C( : , 1) ;I =C( : , 2) ;V=C( : , 3) ;%Gr af i candopl ot ( t , V, ' M' , t , I , ' c' )l egend V Iaxi s( [ mi n( t ) max( t ) - 160 160] )gr i dt i t l e ' Respuest a Car ga Capaci t i va Tensi ón deC. A. 'xl abel ' Ti empo [ s] 'yl abel ' V [ vol t s ] / I [ amps] '
Ar chi vo Cap2f i l e. m
Señales de Voltaje y Corriente Carga Capacitiva usando Código en MATLAB
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%Los val ores se obt i enen desde l a si mul aci ón%haci endo uso del bl oque ‘ t o workspace’%Asi gnando Val or es
t =C( : , 1) ;,V=C( : , 3) ;%Gr af i candopl ot ( t , V, ' M' , t , I , ' c' )l egend V Iaxi s( [ mi n( t ) max( t ) - 160 160] )gr i d
t i t l e ' Respuest a Car ga Capaci t i va Tensi ón deC. A. 'xl abel ' Ti empo [ s] 'yl abel ' V [ vol t s ] / I [ amps] '
Archi vo ca 2works .
Circuito Trifásico Conexión Estrella
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Circuito Trifásico Conexión Estrella
Continuous
Za
v+-
VMa
Ra
i+
-
IMa
powergui
Zb
Va
v+
ScopeRb
i+
Ar chi vo ct r i f compl ex1. mdl
Zc
Vb
-
VMb
CTC.mat
To FileRc
-
IMb
Vc
v+-
VMc
i+
-
IMc
Solución de Circuito Trifásico Conexión Estrella
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Solución de Circuito Trifásico Conexión Estrella
cl ccl earf =60; %Hzw=2*pi *f ;
Zc=( 5*cos( deg2r ad( 45) ) ) +( 5*si n( deg2r ad( 45) ) *i )RcL=r eal ( Zc)i f i mag( Zc)>0
%Sol uc i on del c i rcui toI =i nv(Z) *Vabs(I )
%Fuent e Tri f ási caVa=120;FaseA=90;Fa=deg2rad(FaseA) ;Vb=120;FaseB=- 30;Fb=deg2rad(FaseB) ;
c mag c wCc=i nf
el sei f i mag( Zc)
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%cl c%cl earf =60; %Hzw=2*pi *f ;%Fuent e Tri f ási caVa=120
%I mpedanci a ZcRcL=3. 5355Cc=i nf Lc=0. 0094i f Cc==i nf&Lc==0
Zc RcL
si m ctr i f compl ex1%Gr af i candol oad CTCCTC=CTC' ;t =CTC( : , 1) ;va=CTC : 2
FaseA=90;Fa=deg2rad(FaseA) ;Vb=120;FaseB=- 30;Fb=deg2rad(FaseB) ;
Vc=120;FaseC=- 150
el sei f Cc~=0&Lc==0Zc=RcL- ( 1/ ( Cc*w*i ) )
el sei f Lc~=0&Cc==i nf Zc=RcL+( Lc* w*i )
el se
Zc=RcL+( - 1/ ( Cc*w*i ) ) +( Lc*w*i )end
i a=CTC( : , 3) ;vb=CTC( : , 4);i b=CTC( : , 5) ;vc=CTC( : , 6) ;i c=CTC( : , 7) ;
pl ot ( t , va, ' Y' , t , i a, ' m' , t , vb, ' c' , t , i b, ' r ' , t , vc' ' t i c ' b'Fc=deg2rad(FaseC) ;%Resi st enci a i nt ernaRa=1;Rb=1;Rc=1;%I mpedanci a ZaRaL=3. 5355
VAN=( Va*cos( Fa)+Va*si n(Fa) *i ) *Za/ ( Ra+Za) ;VBN=( Vb*cos( Fb) +Vb*si n(Fb) *i ) *Zb/ ( Rb+Zb);VCN=( Vc*cos( Fc) +Vc*si n( Fc) *i ) *Zc/ ( Rc+Zc) ;%Sol uci ón ci rcui t o Tri f ási co%Sol uci on por el metodo de mal l as%M1: Va- Ra( I 1- I 3) - Za( I 1- I 3) - Rb( I 1- I 2) - Zb( I 1- I 2) - Vb=0%M2: Vb- Rb I 2- I 1 - Zb I 2- I 1 - Rc I 2- I 3 - Zc I 2- I 3 - Vc=0
l egend Va I a Vb I b Vc I cX=[ abs( VAN) abs( VBN) abs( VCN) ] ;axi s( [ mi n( t ) max( t ) - max( X) *1. 1 max( X) *1. 1] )gr i d mi nort i t l e ' Ci r cui t o Tr i f asi co Conexi on Est r el l a'xl abel ' Ti empo [s] 'l abel ' V vol t s I am s '
Ca=i nf La=0. 0094
i f Ca==i nf&La==0Za=RaLel sei f Ca~=0&La==0
Za=RaL- ( 1/ ( Ca*w*i ) )el sei f La~=0&Ca==i nf
%M3: Vc- Rc(I 3- I 2) - Zc(I 3- I 2) - Ra( I 3- I 1) - Za( I 3- I 1) - Va=0%Ecuaci ones de mal l a
%( Ra+Za+Rb+Zb) I 1- ( Zb+Rb) I 2- ( Ra+Za)I 3=Va-Vb%- ( Zb+Rb) I 1+( Rb+Zb+Rc+Zc) I 2- ( Rc- Zc) I 3=Vb- Vc%- ( Ra- Za) I 1- ( Rc- Zc) I 2+( Rc+Zc+Ra+Za) I 3=Vc- Va%Forma Mat r i ci al% ( Ra+Za+Rb+Zb) - ( Zb+Rb) - ( Ra+Za) I 1 VA
Za=RaL+( La*w*i )el se
Za=RaL+( - 1/ ( Ca*w*i ) ) +( La*w*i )end%I mpedanci a ZbRbL=3. 5355
Cb=i nf
%| - ( Zb+Rb) ( Rb+Zb+Rc+Zc) - ( Rc+Zc) | *| I 2| =| VB|%| - ( Ra+Za) - ( Rc+Zc) Rc+Zc+Ra+Za| | I 3| | VC|%For ma Nor mal i zada de El ementos de Mat r i zZ11=Ra+Za+Rb+Zb;Z12=- ( Zb+Rb);Z13=- ( Ra+Za);
Z21=- Zb+Rb ;Lb=0. 0094i f Cb==i nf &Lb==0
Zb=RbLel sei f Cb~=0&Lb==0
Zb=RbL- ( 1/ ( Cb*w*i ) )el sei f Lb~=0&Cb==i nf
Zb=RbL+ Lb*w*i
Z22=Rb+Zb+Rc+Zc;Z23=- ( Rc+Zc) ;Z31=- ( Ra+Za);Z32=- ( Rc+Zc) ;Z33=Rc+Zc+Ra+Za;V=[ VAN- VBN; VBN- VCN; VCN- VAN]Z=[ Z11 Z12 Z13; Z21 Z22 Z23; Z31 Z32 Z33]
el seZb=RbL+( - 1/ ( Cb*w*i ) ) +( Lb*w*i )
end
%Sol uci on del ci rcui t oI =i nv(Z) *Vabs(I )
r ad2deg( angl e(I ) ) Archi vo ct r i f . m
Circuito Trifásico Conexión Delta
-
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52/136
Circuito Trifásico Conexión Delta
v+-
VMa
Ra
+
IMa
Zc
Za
Va
v
+ -
VMc Scope
i -
ZbVb
v+-
CTD.mat
To File
Rb i
+
-
IMc
i+
-
IMb
VMb
Rc
Vc
Ar chi vo ct r i f dl t . mdl
Solución de Circuito Trifásico Conexión Delta
-
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cl ccl earf =60; %Hzw=2*pi *f ;%Fuent e Tri f ási ca
Zc=( 5*cos( deg2r ad( 45) ) ) +( 5*si n( deg2r ad( 45) ) *i )RcL=r eal ( Zc)i f i mag( Zc)>0
Lc=i mag( Zc) / ( w)
si m ct r i f dl t%Gr af i candol oad CTDCTD=CTD' ;
Va=110;FaseA=120;Fa=deg2rad(FaseA) ;Vb=110;FaseB=0;Fb=deg2rad(FaseB) ;
Vc=110;
el sei f i mag( Zc)0
La=i mag(Za) / ( w)Ca=i nf
el sei f i mag( Za) 0Lb=i mag(Zb) / ( w)Cb=i nf
el sei f i mag( Zb)
-
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cl ccl earf =60; %Hzw=2*pi *f ;%Fuent e Tri f ási ca
%I mpedanci a ZcRcL=3. 5355Cc=i nf Lc=0. 0094i f Cc==i nf&Lc==0
si m ct r i f dl t%Gr af i candol oad CTDCTD=CTD' ;t =CTD( : , 1) ;va=CTD : 2
Archi vo Ct r i f Dl t . m
Va=110;FaseA=120;Fa=deg2rad(FaseA) ;Vb=110;FaseB=0;Fb=deg2rad(FaseB) ;
Vc=110;
Zc=RcLel sei f Cc~=0&Lc==0
Zc=RcL+( 1/ ( Cc*w*i ) )el sei f Lc~=0&Cc==i nf
Zc=RcL+( Lc* w*i )el se
Zc=RcL+( - 1/ ( Cc*w*i ) ) +( Lc*w*i )
i a=CTD( : , 3) ;vb=CTD( : , 4);i b=CTD( : , 5) ;vc=CTD( : , 6);i c=CTD( : , 7) ;
pl ot ( t , va, ' Y' , t , i a, ' m' , t , vb, ' c' , t , i b, ' r ' , t , vc, ' g' , t , i c, ' b' )l e end Va I a Vb I b Vc I cFaseC=240;Fc=deg2rad(FaseC) ;%Resi st enci a i nt ernaRa=1;Rb=1;Rc=1;%Val or de I mpedanci as
endVAN=( Va*cos( Fa)+Va*si n(Fa) *i ) *Za/ ( Ra+Za)VBN=( Vb*cos( Fb)+Vb*si n(Fb)*i ) *Zb/ ( Rb+Zb)VCN=( Vc*cos( Fc) +Vc*s i n(Fc) *i ) *Zc/ ( Rc+Zc)%Sol uci ón ci rcui t o Tri f ási co%Sol uci on por el metodo de mal l as%M1: Va- Ra( I 1- I 3)+Za( I 1)+RbI 2=0
X=[ abs( VAN) abs( VBN) abs( VCN) ] ;axi s( [ mi n( t ) max( t ) - mi n( abs( V) ) *1. 1 max( abs( V) ) *1. 1] )gr i d mi nort i t l e ' Ci r cui to Tr i f as i co Conexi on Del ta'xl abel ' Ti empo [s] 'yl abel ' V [vol ts ] / I [amps] '
%I mpedanci a ZaRaL=3. 5355Ca=i nf
La=0. 0094i f Ca==i nf&La==0
Za=RaLel sei f Ca~=0&La==0
%M2: Vb-Rb(I 2- I 1)+Zb I 2)+RbI 1=0%M3: Vc- Rc( I 3- I 2) - Zc( I 3) +RaI 3=0%Ecuaci ones de mal l a
%( Ra+Za+Rb) I 1- RaI 3- RbI 2=Va%- RbI 1+( Rb+Zb+Rc) I 2- RcI 3=Vb%- RaI 1- RcI 2+( Rc+Zc+Ra)I 3=Vc%Forma Mat r i ci al
Za=RaL+( 1/ ( Ca*w*i ) )el sei f La~=0&Ca==i nf
Za=RaL+( La*w*i )el se
Za=RaL+( - 1/ ( Ca*w*i ) ) +( La*w*i )end%I mpedanci a Zb
| a+Za+Rb - b - a | | I 1| | Va- b%| -Rb Rb+Zb+Rc -Rc | * | I 2| =| Vb-Vc|%| - Ra - Rc Rc+Zc+Ra| | I 3| | Vc-Va|Z11=Ra+Za+Rb;Z12=- Rb;Z13=- Ra;Z21=- Rb;
RbL=3. 5355Cb=i nf Lb=0. 0094i f Cb==i nf &Lb==0
Zb=RbLel sei f Cb~=0&Lb==0
Zb=RbL+( 1/ ( Cb*w*i ) )
22= b+Zb+Rc;Z23=- Rc;Z31=- Ra;Z32=- Rc;Z33=Rc+Zc+Ra;Z=[ Z11 Z12 Z13; Z21 Z22 Z23; Z31 Z32 Z33]V=[ VAN- VBN; VBN- VCN; VCN- VAN]
el sei f Lb~=0&Cb== nf Zb=RbL+( Lb*w*i )
el seZb=RbL+( - 1/ ( Cb*w*i ) ) +( Lb*w*i )
end
ol uci on el ci r cui t oI =i nv(Z) *Vabs(I )r ad2deg( angl e(I ) )
SIMULINK POWER SYSTEMS TOOLBOX
-
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SOLUCION CIRCUITO ELECTRICO DOS MALLAS
-
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56/136
%PROGRAMA PARA SOLUCI ON DE CI RCUI TOS ELECTRI COS%DATOS DEL CI RCUI TOZ1=3;
V=[ V1; 0; - V2] ;%FORMA MATRI CI AL NORMALI ZADAZ=[ Z11 Z12 Z13; Z21 Z22 Z23; Z31 Z32 Z33] ;%SOLUCI ON DEL CI RCUI TO
*Z3=2;Z4=7;Z5=6;V1=100;
V2=70;
=%%SOLUCI ON POR EL METODO DE NODOS%%CALCULO DE EQUI VALENTE DE NORTON
I 1=V1/ Z1;
%%%SOLUCI ON POR EL METODO DE MALLAS%%ECUACI ONES DE MALLA% V1- Z1I 1- Z2( I 1- I 2) =0% Z2 I 2- I 1 +Z3I 2+Z4 I 2- I 3 =0
I 2=V2/ Z5; Y1=1/ Z1; Y2=1/ Z2; Y3=1/ Z3; Y4=1/ Z4;
=% Z4( I 3- I 2) +Z5I 3- V2=0%ECUACI ONES DE MALLA
% ( Z1+Z2) I 1- Z2I 2+0I 3=V1% - Z2I 1+( Z2+Z3+Z4) I 2- Z4I 3=0% 0I 1- Z4I 2+( Z4+Z5) I 3=V2
%ECUACI ONES DE NODO%I 1=( V1- V2) Y3+V1Y1+V1Y2
%I 2=V2Y4+V2Y5+( V2- V1)Y3%ECUACI ONES DE NODO%I 1=( Y1+Y2+Y3) V1- Y3V2
%| Z1+Z2 - Z2 0 | | I 1| | V1|%| - Z2 Z2+Z3+Z4 - Z4 | *| I 2| =| 0 |%| 0 - Z4 Z4+Z5| | I 3| | - V2|%FORMA NORMALI ZADA DE ELEMENTOS DE MATRI ZZ11=Z1+Z2;
=- + + +%FORMA MATRI CI AL%| Y1+Y2+Y3 - Y3 | | V1| | I 1|%| | *| | =| |%| - Y3 Y3+Y4+Y5 | | V2| | I 2|
%FORMA NORMALI ZADA DE ELEMENTOS DE MATRI ZZ12=- Z2;Z13=0;Z21=- Z2;Z22=Z2+Z3+Z4;Z23=- Z4;
=
Y11=Y1+Y2+Y3; Y12=- Y3; Y21=- Y3; Y22=Y3+Y4+Y5;I =[ I 1; I 2] ;
Z32=- Z4;Z33=Z4+Z5;
Y=[ Y11 Y12; Y21 Y22] ;%SOLUCI ON DEL CI RCUI TO
V=i nv( Y) *I
MODELADO DE SISTEMAS Y FUNCION DETRANSFERENCIA
-
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MODELADO DE SISTEMAS
-
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-
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1
11
L*C.s +L/R.s+12
Transfer Fcn Scope
11
Constant
C
Transfer Fcn3
L
Transfer Fcn2
R
1
Scope1
s
Integrator1
s
Integrator
MODELADO DE SISTEMAS
-
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
-
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MODELADO DE SISTEMAS
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
-
8/17/2019 Taller I de Regulación SDG Completa
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MODELADO DE SISTEMAS
Control De Motor DC en Simulink
-
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BL
w
Ia
Demux
TL m
DC_Motor
5 hp; 240V; 16.2 A; 1220rpm
Va
Te
kt
Kt
Ea
Divide
A+
F+
A-
F-
dc
i+
Current Measurement
Product
Laf ke
Ke
Ef
-
Ar chi vo mot ordc1. mdl
Diagrama a Bloques del control de motor de CD
-
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w
1Ki 1IaM1
Jm.s+Bm
Wm
1
Tm
BL
Tl
OmM
s
Om
La.s+Ra
Ia
Kb
Eb
a
Constant
cl earcl cLa=0. 012;Ra=0. 6;
w1
1
Jm
Transfer Fcn3
Kt
1
Transfer Fcn1
1
La
Transfer Fcn Scope
1
s
Integrator2
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
1 m=1;Bm=0;Ea=240;Ef =240;
Bm
1
Transfer Fcn5
Ra
1
Transfer Fcn2
Ia1
Kb
1
Eb1
af = . ;BL=0. 5;
si m mot or dc1Ke=max( ke) ;t max t ;
Ki =Kt ;Kb=Ke;s i m bl ocks
Ar chi vo MotorDC. m
Ar chi vo bl ocks. mdl
POLOS Y CEROS DE UNA FUNCION DE TRANSFERENCIA
-
8/17/2019 Taller I de Regulación SDG Completa
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Los puntos del plano complejo en que G(s) es analítica sedenominan untos ordinarios, en los untos en ue G s no esanalítica se denomina puntos singulares en estos puntos G(s) esinfinita, los puntos en que G(s) es igual a cero se denominar
)()(
zsK sG
21
G(s) no es analítica cuando: 0)( ps 1 ps
0)( 2 ps 2 ps
s es gua a cero cuan o:
)( 1
1
ps
zs
1
1
p
zs
)( 2 ps 2 p
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
-
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66/136
SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Ing. José C. Moreno Dimas
GIE – Medición y Regulación
18 de Abril del 2006
ECUACIONES DIFERENCIALES
-
8/17/2019 Taller I de Regulación SDG Completa
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Ecuación que contiene en sus términos las derivadas de una ómás funciones, puede ser ecuación diferencial ordinaria ó
12) ' xy ya 0) u
x
ud
012
012)
2'''
'''
c
y yb
'
0)(') y x ye
El orden de la ecuación se establece por el término que
El grado de la ecuación se establece por potencia mas alta
que presenta un t rm no
Ecuación Homogénea (forma inciso e)
Ecuación No Homogénea (forma inciso f)
ECUACIONES DIFERENCIALES
-
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68/136
Ecuación Diferencial Lineal
)()()(...)()( 0'
1
)1(
1
)( xg y xa y xa y xa y xa nnn
n
- Orden uno- n ca a rm no os coe c en es son unc ones e a
variable independiente- Una combinación lineal de sus soluciones es también
una soluci n de la ecuaci n.
ECUACIONES DIFERENCIALES
-
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Soluciones
y y ' xke x f y )(Ejemplo 1
0'' y y cos xsen xa x f y Ejemplo 2
0'' x b xe
-Solución Particular
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEASPRIMER ORDEN
-
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Separación de Variables -Forma Genérica de
x 2'
xdx
dy 2
1
y x y ' 0'
C xdxdy 21 cdx xKe y )(
xc xc x
C x y
ln
ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEASPRIMER ORDEN
-
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-Forma Genérica de Solución'
dx xdx xdx x
x y x y
)()()(
2'
x xy y
)( 222 xdx xdx xdx
edx xee x y
2
2
3
2
1)( xe x y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
-
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-Forma General
- La solución depende de las raíces del polinomio característico
-Raíces reales y distintas
-Raíces reales e iguales
-Raíces complejas conjugadas
METODOS NUMERICOS
-
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-Método de Euler solución EDO
' Bu Ay y
1
')()1(
k Buk At k k
t yk yk y
METODOS NUMERICOS
-
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74/136
-Inestabilidad numérica
y y '
1)0(
1.0
y
t
4)0(
5.0
y
t
6)0(
5.0
y
t
METODOS NUMERICOS
-
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-Método Trapezoidal
Bu'
dx x Bu x Ay x y )()()(
)(')1('
2
)()1( k yk yk yk y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
-
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3
'
2
''
1
'''u ya ya ya y
'
'3
'
22
2
'
1 1
x x y x
x x y x
u x
x
x
x
0100 2'
'
2
11
''''' '33 y x y x xaaa x 31233
BU AX X
'
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
''''''
-
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77/136
''' 1233'
2
''
1
'''
ububub ya ya ya y
223
dt Dcon
)()()( 33221123
123321
yaub yaub D yaub D y D
)()()(33322211
yaub D
yaub D
yaub D
y
)(1
)(1
)( 33222111
1
yaub yaub yaub Dx
)(1
)(1
332222 yaub yaub x
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
-
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1)( 2111 x yaub Dx
1
33222 yau D
yau x
)( 3222
333
x yaub Dx
D
)( 333 yaub Dx
ub
b
x
x
a
a
Dx
Dx
2
1
2
1
2
1
2
1
10
01
b xa Dx 3333 00
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
-
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ub
b
x
x
a
a
Dx
Dx
2
1
2
1
2
1
2
1
10
01
b xa Dx 3333 00
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
-
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' x
C
x
RC
x x
RC
x
111'
21211
L x
L x
L x L
11
112
V
L x
xC RC
x
x
1
01
2
1
'
2
1
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
-
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cl ear-Calculo respuesta circuito RLC por Euler
cl cR=10C=0. 01L=0. 1Vs=10A=[ - 1/ ( R*C) 1/ C; - 1/ L 0]B=[ 0; 1/ L]At =0. 001
TF=3a=si ze( Vsdat )
a=a( 1)X=[ 0; 0]f or =1: a
t ( k) =At *( k- 1) ;x1( k) =X( 1) ;x2( k) =X( 2) ;
=A*X+B*Vsdat k) ;Xp=X+At *M;X=Xp;
endpl ot t , x1, ' m' , t , Vsdat , ' b' )gr i d
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
-
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-Calculo respuesta circuito RLC por Método Trapezoidal
cl cR=10C=0. 01L=0. 1
Vs=10A=[ - 1/ ( R*C) 1/ C; - 1/ L 0]B=[ 0; 1/ L]At =0. 01
TF=3a=si ze( Vsdat ) ;a=a( 1) ;X=[ 0; 0] ;
I =eye( 2)f or k=1: a- 1
t ( k) =At *( k- 1) ;x1( k) =X( 1) ;x2( k) =X( 2) ;Xp=( i nv( I - A*At / 2) ) *( ( I +A*At / 2) *X+( 0. 5*B*At ) *( Vsdat ( k)+Vsdat ( k+1) ) ) ;X=Xp;t (k )
endx1(k+1)=x1(k)x2(k+1)=x2(k)t ( k+1) =t ( k) +AtVcdat=Vcdat ' ;Vsdat =Vsdat ' ;pl ot ( t , x1, ' m' , t , Vcdat , ' b' )gr i d
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
-
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TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
-
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EXPANSION POR FRACCIONES PARCIALES
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
-
8/17/2019 Taller I de Regulación SDG Completa
85/136
F(s) TIENE SOLO POLOS REALES Y DISTINTOS
t pt pt p n
eaeaeasF Lt
211
La solución tiene la forma
Ejemplo;
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
-
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
-
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F(s) TIENE POLOS DISTINTOS INCLUYENDO COMPLEJOS
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
F(s) TIENE POLOS IMAGINARIOS
-
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88/136
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
F(s) TIENE POLOS REPETIDOS
-
8/17/2019 Taller I de Regulación SDG Completa
89/136
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
ó
-
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90/136
Expansión en Fracciones Parciales con Matlab
)(....)(
)(
2
2
1
1 sk ps
r
ps
r
ps
r
sa
sb
n
n
[ r , p, k] =r esi due( b, a)
6116
6352
)(
)(
23
23
sss
sss
sa
sb
r =- 6. 0000- 4. 00003. 0000
p =- 3. 0000- 2. 0000- 1. 0000
k = 2
- 6- - - - - +
- 4- - - - - +
3- - - - - + 2
s + 3 s + 2 s + 1
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
FUNCION DE CONTROL
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proceso e en cac n requ ere represen ar e mo e o con nuoproporcionado por el fabricante en forma discreta.
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
REPRESENTACION MATEMATICA DE MODELOS DE CONTROL DISCRETOS
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CONVERSIÓN MODELO CONTINUO A DISCRETO
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Solución en tiem o real de una ecuación diferencial
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
SISTEMAS RETROALIMENTADOS
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SISTEMAS RETROALIMENTADOS
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
ANALISIS DE RESPUESTA SISTEMA DE PRIMER ORDEN
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ANALISIS DE RESPUESTA SISTEMA DE PRIMER ORDEN
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
ANALISIS DE RESPUESTA SISTEMA DE PRIMER ORDEN
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ANALISIS DE RESPUESTA SISTEMA DE PRIMER ORDEN
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
ANALISIS DE RESPUESTA EN SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
RESPUESTA A ENTRADA ESCALON SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
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RESPUESTA A ENTRADA ESCALON SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN-
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
RESPUESTA A ENTRADA ESCALON SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
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RESPUESTA A ENTRADA ESCALON SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
RESPUESTA A ENTRADA ESCALON SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
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RESPUESTA A ENTRADA ESCALON SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
RESPUESTA A ENTRADA ESCALON SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
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RESPUESTA A ENTRADA ESCALON SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
RESPUESTA SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
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RESPUESTA SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
cl earL=0. 7C=0. 3
21)( nw LC sV
R=5wn=sqr t ( 1/ ( L*C) )E=( 1/ ( R*C) ) / ( 2*wn)
V=t f ( [ 1] , [ 1 0] )C=t f ( [ wn 2̂] , [ 1 2*E*wn wn 2̂] )
222 211)( nn R wsws
LC RC s
sV r =
[ num, den] = t f data(Vr )num=cel l 2mat ( num)den=cel l 2mat ( den)[ r p k] =r esi due( num, den)
gr i d
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CONTROLADORES
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CONTROLADORES
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CONTROLADORES
-
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO CONTROLADOR PROPORCIONAL
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO CONTROLADOR PROPORCIONALINTEGRAL
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
ANALISIS GENERAL DE ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CONSTANTE ESTATICA DE ERROR EN POSICION Kp
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CONSTANTE ESTATICA DE ERROR EN POSICION Kp
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CONSTANTE ESTATICA DE ERROR EN VELOCIDAD Kv
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CONSTANTE ESTATICA DE ERROR DE ACELERACION Ka
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CONSTANTE ESTATICA DE ERROR DE ACELERACION Ka
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
ANALISIS GENERAL DE ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
ANALISIS DE ESTABILIDAD
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CRITERIO DE ROUTH
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CRITERIO DE ROUTH
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CRITERIO DE ROUTH
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CRITERIO DE ROUTH
-
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CRITERIO DE ROUTH
-
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CRITERIO DE ROUTH
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8/17/2019 Taller I de Regulación SDG Completa
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CRITERIO DE ROUTH
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
CRITERIO DE ROUTH
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
GRAFICOS DE BODE
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
GRAFICOS DE BODE
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
GRAFICO DE BODE G(jw) = Kp
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
GRAFICO DE BODE FUNCION INTEGRAL
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
GRAFICO DE BODE FUNCION DERIVATIVA
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
GRAFICO DE BODE FUNCION DE ATRASO PRIMER ORDEN
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
GRAFICO DE BODE FUNCION DE ADELANTO PRIMER ORDEN
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
MARGENES DE FASE Y GANANCIA
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
MARGENES DE FASE Y GANANCIA
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
LUGAR DE RAICES
with real and imaginary ordinates. The root locus is a curve of the location ofth l f t f f ti t ( ll th i K) i
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the poles of a transfer function as some parameter (generally the gain K) isvaried.
The locus of the roots of the characteristic equation of the closed loop systemas the gain varies from zero to infinity gives the name of the method. Such a
locations of the closed loop poles. This method is very powerful graphicaltechnique for investigating the effects of the variation of a system parameter onthe locations of the closed loop poles. General rules for constructing the rootlocus exist and if the designer follows them, sketching of the root loci becomesa simple matter.
system. From the design viewpoint, in some systems simple gain adjustmentcan move the closed loop poles to the desired locations. Root loci arecompleted to select the best parameter value for stability. A normalinterpretation of improving stability is when the real part of a pole is further leftof the imaginary axis
GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
LUGAR DE RAICES
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
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GERENCIA DE INGENIERIA ELECTRICA
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