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8/16/2019 Taller de Repaso 10º Cálculo
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NOTA : ESTE TALLER ES PARA ESTUDIO NO SE RECIBIRÁ
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASISAPLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
NOMBRE___________________________________________________ junio 21 de 2013
Logro: Aplicar las razones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos.
CI identifica los datos para resolver de un triángulo rectánguloCA Sustenta la solución de un problema con ángulos de elevación y depresiónCP Propone interpretaciones trigonométricas para resolver problemas
1. Calcula el valor de a en cada figura
2. Resuelva los triángulos(determina todoslos lados que faltan y los ángulos)
X 6 2x x
X y
3. Halla los valores de a y b.
4. Halla el valor de y.
5. Halla el perímetro de un cuadradoinscrito en una circunferencia de radio
12cm.6. Desde la azotea de un edificio de 95 m.
de altura, se observa un automóvil conun ángulo e depresión de 25º. ¿cuál es ladistancia del automóvil a la base deledificio, medida horizontalmente?
7. ¿Cuál es la longitud de la sombra queproyecta un edificio de 120m de altura,cuando el sol presenta un ángulo deelevación de 35º desde la azotea de unedificio?
X sombra8. Un avión vuela sobre un observador a
350km/h. Un minuto después para ver elavión, debe mirar con un ángulo de
a
a
a a
1.6u56º
76º 1u
39º32.5º3.5u
a
b
100m
40º
20º
Grado DécimoTrigonometría
u11
x
y36º
4.5 x
y28º
65
y
40º30º
310
25º95m
TALLER DEREFUERZO
35º
120m
-
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NOTA : ESTE TALLER ES PARA ESTUDIO NO SE RECIBIRÁ
elevación de 20º. ¿A qué altura viaja elavión?
9. Halla la altura de los árboles
10. Busca la medida de los lados y losángulos que hacen falta.
11. ¿Cuál es el ángulo que debe formar untecho, con la horizontal, si las vigas quelo contienen tienen una longitud de 5m yel pilote central de 0,6m y cuál l longitudde la viga horizontal?
12. Un muro de una casa tiene 2,1 m. Paraalcanzarlo es necesario una escalera queforme 42º con la horizontal. ¿cuál es lalongitud de la escalera?
13. Un edificio está en la orilla de un lago. Unobservador está ubicado en direcciónopuesta en la otra orilla y los separa elagua. Dispone de un utensilio para medirángulos y de escala para medirpequeñas distancias. Sobre el piso planomide una distancia de 1m y los ángulosque forman las visuales que van de losextremos del segmento a la parte masala del edificio son 45º y 40ºrespectivamente. ¿Cuál es la altura deledificio?
14. Los organizadores de una pruebaciclística ordenan a un constructor unarampa de 10m de largo y que se levantedel suelo una altura de 3m. ¿Cuál es elángulo de elevación de la rampa?
15. Un río tiene las dos orillas paralelas.Desde los puntosP y Q de unaorilla se observaun punto N en laorilla opuesta silas visuales
forman con la orilla ángulos de 40º y 50º,respectivamente y la distancia entre los
puntos P y Q es 30m.¿cuál es el anchodel río?
16. Con los datos dela figurademuestro
α β α tantan
tan−
=
l x
α β β α
tantantantan
−
=
lh
3.2m
30º
2,3m
45º
1.4
y
xw
z
10cm38º α
β
δ
θ
ε
1,1m
5mα 0 6m
1m
45º 40º
42º
2,1
N
P Q
x
h β
α
l
x
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REAL COLEGIO SANFRANCISCO DE ASISRAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
NOMBRE_______________________________________________________________ Enero 21 de 2013
Logro: Establecer las distintas Razones entre los lados de un Triángulo Rectángulo.
CI Reconozco las razones Trigonométricas de un triángulo rectánguloCA Sustenta la solución de triángulos rectángulos mediante la aplicación de razonesCP Soluciona problemas sobre triángulos rectángulos usando las razones Trigonométricas
1. Halla los valores exactos para seno, coseno y tangentedel ánguloθ y β en cada triángulo.
2. En cada uno de los triángulos rectángulos halla elvalor de cada una de las razones trigonométricaspara los ángulosα y β
3. Traza un triángulo para la razón trigonométricadada y encuentra las otras cinco razones restantes.
a) α cos =32 b)
21= β sen c) 2csc =φ
d)23tan =φ e)
52cot = β f) 3sec =α
4. Escribe todas las razones trigonométricas para losángulos agudos de un triángulo, cuyos lados son3cm, 4cm y 5cm.
5. Si108cos =α , busca las demás razones
trigonométricas para el ánguloα
6. Si43
=α sen , halla el valor de la expresión
sen α α sec.
7. Si25tan =θ , encuentre el valor de
θ θ θ θ sec.coscot.tan +
8. Si 3csc =α y423sec = β escribe los valores
de:a) senα b) α sec c) β tan
d) )º90tan( β −
e) )º90( β −sen
9. Con base
en eltriángulorectánguloACB,resuelve:
a) Si a=44 y b=5 halla las razones trigonométricas delos ángulos A y B
b) Si a=5 y c=16, halla las razones trigonométricas delos ángulos A y B
c) Si b=6 y c=10, halla las razones trigonométricas delos ángulos A y B
10. Relaciona las funciones trigonométricascomplementarias
Sen30º cot20ºTan20º sen55ºCos35º cos60º11. Uso la calculadora científica para comparar los
valores de las funciones trigonométricas (escribo >
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A E # 3 EA C EGI A F A CI C DE A IA E IG ICA A A G EGA I
FE : A EJA D DE GAD
B E J I 21 2013
: D .
CI I CA E C
.
1. H .
) ( 60 ) ) )4
3(
π −sen
) ( 250 ) ) )3
5cos(
π −
) ( 120 ) ) )2
11tan(
π −
) ( 186 ) ) )3
5cot(
π −
) ( 175 )) ( 330 )
2. D .
30 , 45 60
)
( 60 ) ( 120 )+ ( 60 ) ( 120 )) ( 150 ) ( 30 ) ( 150 ) ( 30 )
) )º60tan()º30tan(1
)º60tan()º30tan(−−−
−+−
) C ( 90 ). ( 60 ) 3) 2( 45 ) 2( 210 )) 2 2( 60 )+2 2( 60 )
3. E 2( α )= 2 α
4. A =30 , B = 150 C = 120 , ( 30 , 45 60 )
) ( A) B) ( C) ( B) ( B) ( C)) (A B)) (A B)) (C B A)
5. C
F 120 2103
π 300 1300
6. I . J
:
) ( 87 ) = 87) ( 312 )= 312) ( 246 ) = 246) ( 123 ) = 123) C ( 235 )= 55) ( 126 ) = 54
7. E
. .
) ( 87 ) ) ( 124 )) ( 235 ) ) ( 1004 )) ( 2315 ) ) ( 1256 )) ( 895 ) ) ( 827 )) ( 2856 )
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EA C EGI A F A CI C DE A IIDE IDADE IG ICA
FE : A EJA D DE GAD
B E J I 21 2013
: I FCI .CA A .C .
1. D ,3
4tan =θ
20
π θ ≤≤ ,
:
) θ sec ) θ cos 2. ,
2
0 π
θ ≤≤ ,
, :
) 2
3=θ sen )
4
1cos =θ
) 3
32csc =θ ) 3tan =θ
) 3
3cot =θ
3. E :) α tan α sen ) α sen α 2sec ) α csc α 2cos
4. , .
) . ) 2 2
) C (1 2 )) ( )
) 1
cos 2
−seny y )
x2tan1
1+
) x x
x tansec
tan
2
− ) senxsenx −++ 11
1
1
5. E
.) 2 2 2
) 1 2 φ+ 4 φ) 3φ 2φ φ+1) 4φ+3 2φ 2φ+2 4φ) 3ψ 1
) 4ψ+ 2ψ 36.
x x x x
tansec
tansec−
+
( + ) 2. E
7.
.) α α 2α) C 2α 2α 1) )1)(1( α α sensen +− α
) α α csc
11−
sen 1 2 2α
) C α + α. α α α
8. E ( ) .
a) . = + b) x x
k x
csc.secsec 2
=
c) senxsenx
xk
+=2cos1
d) 1cos1csc
2+=
− x
xk
e) k x
k =
−
−
cos1
1
f) senx x xk
−= cscsec
1
9.
) = .) + . =
) 1sec
tan12
2=
+
x
α
) xsenx
senxcsc1
)1(+=
+
) 2 +2= 2 +1
G : D
A E 4
-
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) 4 2 = 3 2
) 4 4 = 2 2 1)
α
α
α
α
cos1
cot
sec1
csc+
=+
) . =1 ) α α = α) C ( + ) = +1) θ θ
θ
θ cossec
cot−=
sen
) x x
xcsc
sectan =
) (1 2 )(1+ 2 )=1) 1
sec
cos
csc=+
x x
xsenx
) x x
senx 2coscsc
1 =−
) (1+ )(1 )=2 2
) (1+ )(1 ) = 2
) 4 2 = 4 + 2
) δ
δ
δ
δ δ
sn
sen cos1
cos1csc2
++
+
=
) xsenx x cot.cos =
) θ θ θ θ cos21)cos( 2 sensen +=+
) 1)cos1(csc 22 =− θ θ
) senx
x x
senx+
=−
1
cos
cos
1
) 2)cos()cos( 22 =−++ θ θ θ θ sensen
) 1cotcostan 2222 =+ x xsen x x
) xsenx x x sec1 costan =
++
) x xec x x 2224 tansecsec =−
) 1cos2cos 222 −=− x xsen x
) x
senx xsenx x x
cos
1
1cos
1costan +=
−+
+−
) x
x
xsenx
senx xcos1
sectan3 +
=−
) 1cotcsctan 2222 =θ θ θ θ sen
) x x xsenx seccostan =+
) xsenx xsenx
x xsencos1
cos
cos 33−=
+
+
-
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:
23
cos −= x
1=senx 0cos 22 =− xsen x 0cos2 =α 02 =φ sen
2sec = x
7.2
12cos −= x
8. 04cot 2 =− x
9. 1tan3 = x
10. 2sec3 −= x
11. 34 −=ω sen 12. 3cos2 = x
13. 5tan4 =α 14. 1csc3 = x 15. 1.cos2 =senx x
16.2
12cos −= x
17. 04cot 2 =− x 18. 3cos2 = x 19. 5tan4 =α 20. 1csc3 = x
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
3738
57.
2π
φ =
5
:
21
. .
. 12csc = x
.2
12 = xsen
. 14
tan =α
. 13
cos −=α
. α α sensen =2
. ο ο cos2
1cos 2 =
. 0cos. = xsenx
. 1sec
−=
α α
csx
. 1tan3 2 =α
. 2sec 2 =ε
.1cos.4
= xsenx
. α α sensen2
13=
. 0cos =− xsenx
. x x csctan =
. 06 =+ sensen
. x x 22 sec3tan4 =
. 1cos3cos2 2 =− x x
. x xsen cos2 =
39. tan2 −= x
40. 3senx=-241. Cos2x+cosx42. Sen4x-2sen2
43. )º30( + xsen
44. Sen 2x+5cos 2
45. Sen 2x=1+se46. Cot 2x-4=047. 2sen 2t+3sent48. 2cos 2x+2sen49. 2sen 3x+sen 2
50. Cos 2x-sen 2x
51. 2cotx.secx+52. tanx+cotx=s53. 2csc 2x+cot 2x54. Cos2x+cosx55. σ 2 sensen =
56. Senx-2cscx=
, , : )cos(125 φ −= wt V π 120=W
.
= 60. ?
013
-1 x=0
23
)º60cos( −=+ x
x=3x
+1=0x-12=0+senx-1=00
secx+cotx+1=0cx.cscx-3=0-1
σ 2 -1
-
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A C A A C C AA AC
: A A A
B 21 2013
: A
C CA C
1. , , ( ),
.
) ) ) ) ) ) ) ) ) )
2. .
3. C .
( )=
1
0 0
) C = ( )
( )?) C
( ) ( )?) = , ( ) ( )
.
4. C .
1 1 1
1
1 1 0
0
) C ?
) C ?) C
?)
.)
: A
6
-
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5. ( ) ( )
:
) C 15?
) 30?)
?
6. .
-
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EE
B E
: A
C CA A C
1. E
2. C ,
.
cma 10º60º40 === β α cmbcmc 11,12,º80 ===θ
cma 10,º60,º40 === β α cacmc 6.43,3.57,º5.34 ===α
cma 10,º60,º40 === β α cma 5.23,º70,º50 === β α
cccmb 36.1,92.2,º6.84 === β cmccmb
20,15,º45 ===
α cmacmb 12,10,º60 ===θ cmbcma 3,11.2,º55 ===α
cmccmbcma 6,5.7,5 === cmccmba 7,10,10 ===
3. 5 7 .
A E 7
5u
60
4u
x
3.5
30 x
x
20
10u
15
90u
100
1
x
α α
θ
β
b a
c
C EG A F A C C DE ADE E E DE C E
FE : A E A D DE GAD 21 2
. .
.
4 ,?
: , .
F2
.hb A =
4. C .
5. D
15 /
6. 40
B 30
G
30
0u
10.2 cm8.4c
15.4cm
13
75.4
. 22 / ,
?
D
C 250 ,
. C
10
-
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A C .
7. 10 , 15
. 25 . C .
8.
,
.C
?
9.
100 .
20 68 , AB.
10.
, 250 30 25 . C
?
11. D
80 . 60 / 100 / ,
?
12. 10 12 , 48 15'. C .
13. E
25 . C ,
36 .
-
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E
B E: C
C A CA A C
1. E ,
.. x y 162 = x ye 93)
2−=
. y x 252 = y x f 615)2
−=
. y x 122 −= y xg 369)2
=
. x y 32 −= x yh 16)2
−= 2. E , ,
. E (2,5). E (2,5). ( 2,0), (0,0). C (2,3), ( 2,3) (0,0). C ( 3,5),( 3, 5) (0,0). (0,7) (0,0). (0,1/5) (0,0). (0, 2) = 63.
.. 32 += x y 12)
2=+++ y x xe
. 22
−= x y / 1442
) −+−+ x y y f . 2)3( −= x y
. x y 100)3(36 2 =+ 4. A
.. 252 +−−= x x y
. 2710 x y −=
. y x x =−+− 5611 2
. y x x =−++− 5523 2 5. A
.
. )2(42)1( −−=− x y x yc +−= 72)
. x y +=+ 122)5( 28) =+− y xd
6. A
011542)1 =−−− y x x 2)22
+ y x
0133102)3 =+++ y x x 42
2)4 −− x y
A E 8
C E A A C C DE AA A B A
E : A E A D DE AD
. .
.
.
.
.
02 =
2+
.
0= 06 =+ y
D
a
b
c
d
-
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E
B E
: . E
CI CA C
1. H
.. =1 . 34=r . =2 . 7=r
=1/2 .3
22=r
. 2=r
. 53=r . 23=r
2. E
.
. C (0,1) =3 . C
−
21
,43
=r
. C ( 2, 3), =5 . C(2,3), =5
. C( 3, 4), 2=r
4),0,7(. =r c f
3. E .
. 2+ 2=25
. 2+ 2 4 +6 =0
. 2+ 2 10 +2 +22=0
. 36 2+36 2 48 36 25=0
. 5 2+5 2 8 4 121=0
. 36 2+36 2 36 +24 23=0
. 8 2+8 2+24 4 19=0
. 36 2+36 2 48 36 25=0
4. :. D (1, 2)
:9)2()1( 22 =++− y x
. H C (3,1)
. E C( 1,2),
A E 9
C EGI A F A CI C DE A ICI C FE E CIA EC ACIFE : A E A D DE GAD
. .
.
7
.
.
.
. H ,
. E
(2, 2) (2,2).
5. H :
. A(5, 1), B(3, 3) D (1, 1
. A(2,1), B( 2,5) D ( 6,1)
. A(0,4), B( 5,8) D ( 3,2
. A( 3,6), B(1,2) D (1, 1)
. A(1,1), B(7,7) D (13,1)
. A( 1,8), B(5, 2) D (11,
6. C
( ), A(0,2) B(0,8) 7. D
G
2.
)
AB
.
D
-
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REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASISGRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
NOMBRE ____________________________________________________Marzo 17 de 2012
Logro: Identificar las propiedades y características de las gráficas de las funcionesTrigonométricasCI Identifico las características de las gráficas de las funciones TrigonométricasCA Explico las propiedades de las funciones trigonométricas a partir de su gráficaCP Utilizo los valores y propiedades de las funciones seno y coseno para establecer otros valores y propiedades.
1. Determino en cada grupo cuales ángulos tienenel mismo lado terminal.a)
47
,4
5,
4
π π π − c)
413
,4
3,
45 π π π
−
b)4
,4
5,
47 π π π
− d)4
,4
11,
43 π π π −−−
2. Establece en cada grupo cuáles ángulostienen el mismo lado terminal. a) 25º,-335º,745º c) 15º,-345º,-15º b) 275º,-90º,270º d) 100º35´,-79º25´,
259º25´
3. Hallo el valor de verdad de las afirmacionesacerca de la función y = sen (justifica)a) Es una función periódica de periodoπ b) Su rango es el conjunto de los números
realesc) Es una función pard) Crece cuando aumenta de
2
π a π . e) Su máximo valor es 1
f) Su dominio es el conjunto de todos losnúmeros reales. g) Su máximo valor lo toma cuando es un
número real de la forma (2n+1) 2
π , con nun número entero.
4. Hallo el valor de verdad de las afirmacionesacerca de la función y = cos (justifica)a) Su dominio es el intervalo [-1,1]b) Es una función par.c) Es periódica de periodo principal 4π .d) Crece cuando aumenta de 0 a
2
π . e) No está definida en entero. =(2n+1)
2
π , con n un número f) Su rango es el intervalo[-1,1]g) Cos = 0 cuando = (2n+1)
2
π , con nun número entero.
5. En un mismo sistema de coordenadas, trazacon diferente color, las graficas y = sen yy = cos para 0≤ ≤ 2π y define lo enunciado.
a) El intervalo en el cual ambas funciones soncrecientes.
b) El intervalo en el cual ambas funciones sondecrecientes.
c) Los valores de para los cuales sen =cos .
6. Analiza las gráficas y = sen y y = cos ,y realiza un cuadro comparativo que
muestre semejanza y diferencia de las dosfunciones.
7. Seguido al val valor de la función apareceel cuadrante de . Teniendo en cuenta estoy con la ayuda de una calculadora, hallacos si sen se da y sen si se da cos .a) Cos = 0.6, I d)sen = 0.8, II b) Cos = -0.75, III e) cos = -0.75, II c) Sen = -0.38.IV f) sen = 0.38,II
8. En cálculo se demuestra que si estámedido en radianes, entonces:
Cos =720242
1642 θ θ θ
++− y
sen =50401206
753 θ θ θ θ ++− . Esta
aproximación se hace más exacta si losvalores de se escogen cerca de 0.Utiliza estas fórmulas para aproximarsen y cos ; luego, usa la calculadorapara evaluar cada aproximación con seiscifras decimales y calcula el error en suaproximación (es decir, la diferencia entreel valor dado en la calculador y el halladoen la fórmula). Nota si la medida de estádada en grados, es necesario convertirlaprimero a radianes.a) =0.7 c) =35º d) 0.017b) = 0.5º
9. Dada una función real f, diremos que esuna función periódica si existe númeroreal positivo r tal que para todo númeroreal x se cumple que f(x)=f(x+r). Al menor
TrigonometríaGrado Décimo
TALLERNº 9
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8/16/2019 Taller de Repaso 10º Cálculo
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número real P, de tales r positivos paralos que se cumple la propiedad señalada,le llamaremos elperiodo principal de lafunción. A partir de lo anterior da razones quesustenten las afirmaciones siguientes.a) La función f(x) = senx es una función
periódica, su periodo principal es 2π . b) La función f(x) = cosx es una función
periódica, su periodo principal es 2π . 10. ¿Cuál es el periodo de las funciones
representadas en las gráficas dadas?
11. Completo la tabla las siguientes las tablas
Cuando aumenta
detan cot sec csc
0 a2
π
Crecede 0a ∞
2
π a π
Crecede 1 a+ ∞
π a2
3π decrecede -1 a+ ∞
23π
a π decrecede 0 a +∞
Cuando aumenta
desen cos
0 a2π Crece de 0 a 1
2
π a π
π a2
3π
23π a π
12. Determino el periodo de las seis funcionestrigonométricas.
-
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E
B E
: C
C CA C
1. (0,0) :
. (0,12) (0, 4)
. (5,0) ( 3 ,0)
. (0,5)
)15,2(
. (8,0) ( 8,0)
5
4=e
. (3,0) ( 3,0)
. (4,0) ( 4,0) 1
,3(
2. Hallo las coordenadas del foco y de loslongitudes de los ejes y la excentricidasiguiente elipses. Realizo las gráficas.
. 116925
22
=+ y x
425)22
=+ y xg
. 11625
22
=+ y x
169)22
=+ y xh
. 114449
22
=+ y x 125) 2
2
=+ y xi
. 44 22 =+ y x 22)22
++ y x j
. 0131624 22 =++−+ y x y x
. 0314369 22 =+−−+ y x y x
3. ,
91, 446,000 94, 560,000 ,
. ?
4. .
1. ( 3) 2+16( 2) 2=16
A E 1
C E A A C C DE AA E E
E : A E A D DE AD
..
.
3.
)2
vértices, lasde las
100
144
1= y
.
?
.
.
2. 9( 3) 2+4( 1) 2=36
.
3. 4 2+25 2=100
.
4. 13 2+4 2=52
.
5. 1
D
( +2) 2+4( +1) 2=6
-
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17/17
:
A
1. (0,0) :
. (0,12) (0, 4)
. (5,0) ( 3 ,0)
. (8,0) ( 8,0) ( 6,0)
. (3,0) ( 3,0)
. (4,0) ( 4,0) 1
,3(
2. Hallo las coordenadas del foco y de loslongitudes de los ejes de las siguienteRealizo las gráficas.
. 116925
22
=− y x
. 116
)1(25
)1( 22=
−−
+ y x
0131624 22 =++−− y x y x
. 031436922 =+−−− y x y x
. ( 3) 2 16( 2) 2=16
. 16( +2) 2 4( +1) 2=6
. 144169) 22 =− y xh
A 11
A A AA
: A A A
.
.
, (6 , 0) 6.
)2
vértices, lasipérbola