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8/19/2019 T10 Probabilidad (1)

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TEMA 10: PROBABILIDAD

LOS SUCESOS: RELACIONES Y OPERACIONES

Se llaman sucesos aleatorios a aquellos acontecimientos cuyo resultado depende del azar.Para estudiar el azar y sus propiedades, se realizan experiencias aleatorias, que son experimentos cuyos resultadosdependen del azar. Una experiencia de este tipo sería lanzar un dado y observar lo que sale Conceptos básicos:Caso. Cada uno de los resultados de una experiencia aleatoria se denomina caso. También se denominan sucesoselementales Los posibles casos al lanzar un dado son ……

Espacio muestral. Es el conjunto de todos los casos posibles y lo designaremos por E.En la experiencia lanzar un dado será E =

Sucesos. Son subconjuntos extraídos del espacio muestral.En la experiencia lanzar un dado algunos sucesos son …..

El espacio muestral es un suceso seguro ya que cada vez que se realiza la experiencia ocurre un suceso elemental.En la experiencia lanzar un dado el suceso seguro será ….

Llamaremos suceso imposible a aquel que nunca sucede.En la experiencia lanzar un dado un suceso imposible sería ….

Relaciones y operaciones con sucesos.

Se llama unión de dos sucesos A y B, y se designa AB, al suceso formado por todos los elementos de A y de B. Elsuceso A B, ocurre cuando lo hacen A, B o ambos.

En la experiencia lanzar un dado, si A= 4,3,2,1 y B= 6,4,2 , entonces A B=

Se llama intersección de dos sucesos A y B, y se designa AB al suceso formado por los elementos que pertenecen a A ya B a la vez. El suceso A B ocurre cuando ocurren A y B a la vez.

En la experiencia lanzar un dado, si A= 4,3,2,1 y B= 6,4,2 , entonces A B=

Dos sucesos se dicen incompatibles cuando no tienen en común ningún suceso elemental. Es decir, no pueden ocurrirsimultáneamente.En la experiencia lanzar un dado dos sucesos incompatibles serán …..

Si dos sucesos, A y B, son incompatibles, entonces A

B=ø.

Un suceso, S’, se dice que es contrario del suceso S cuando entre ambos se reparten los elementos del espacio muestral. Elsuceso S’ ocurr e cuando no ocurre el S, es decir, son incompatibles.

En la experiencia lanzar un dado el suceso contrario a S= 3,1 es S’=….

Si S y S’ son sucesos contrarios entonces SS’=ø y SS’=E

Ejercicios.

1. Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en extraer una bola y anotar su

número.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?


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b) Consideramos los sucesos A=”obtener número primo” y B=”obtener múltiplo de 3”. Escribe los

sucesos A , B , AB , AB , A’ , B’ , AA’ , BB’ , AB)’

PROBABILIDADES DE LOS SUCESOS. PROPIEDADES

La probabilidad de un suceso S, que designaremos por P(S), indica el grado de confianza que podemos tener en que elsuceso S ocurra. Se expresa mediante un número comprendido entre 0 y 1.Si P(S) es un número cercano a 0, el suceso es poco probable y si es un número cercano a 1, es muy probable .

Propiedades de la probabilidad

La probabilidad de un suceso imposible es 0 (P(ø)=0), y la de un suceso seguro es 1 (P(ø)=1).La probabilidad de cualquier suceso está comprendida entre 0 y 1 (

0≤P S)≤1

) La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales es 1.

Si E= n x x x ,,, 21 , entonces P(x1)+P(x2) + …. +P(xn) = 1 La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de sus sucesos elementales.

Si S= n s s s ,,, 21 , entonces P(s)=P(s1)+P(s2)+….+P(sn) Si dos sucesos S y S’ son contrarios, entonces sus probabilidades suman 1.

P(S) + P(S’) = 1 luego P(S’) = 1 – P(S)

En la experiencia lanzar un dado y anotar el resultado

P(E)=P(1) + P(2) + ….. = …

Dado el suceso S= 5,3,1 la P(S)=P(1)+ ..

La probabilidad del suceso contrario es P(S’)=

Para asignar valores a estas probabilidades hemos de conocer cómo es el dado:a) Si el dado es correcto, los 6 sucesos elementales tienen la misma probabilidad (son equiprobables).

Entonces:P(1) = P(2) = …..

P(S)=P(1)+P(3)+P(5)=…

P(S’)= .. b) Si el dado es defectuoso, los sucesos elementales no tienen la misma probabilidad. Les asignaremos una a

cada uno con tal de que la suma de todos sea 1.

P(1)= P(2)= P(3)= P(4)= P(5)= P(6)=

P(S)= …

P(S’)= …


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PROBABILIDADES EN EXPERIENCIAS SENCILLAS

Experiencias irregulares. En este tipo de experiencias para asignar las probabilidades a los sucesos tenemos que experimentar. Por ejemplo al lanzaruna chincheta y ver si cae con la punta hacia arriba o hacia abajo necesitamos lanzarla muchas veces y contar cuantascaen con la punta hacia arriba y cuantas con la punta hacia abajo. La probabilidad será la frecuencia relativa de cadasuceso.Por ejemplo, lanzamos 100 veces la chincheta y cae 72 veces con la punta hacia arriba y 28 con la punta hacia abajo las probabilidades serán:

P(punta hacia arriba) =..

P(punta hacia abajo) = ..

Experiencias regulares. Ley de Laplace.

En este tipo de experiencias como lanzar un dado, extraer una carta de una baraja, …. No hace falta experimentar y

podemos utilizar la ley de Laplace: posiblescasosdenúmero

S a favorablescasosdenúmeroS P )(

Por ejemplo, en una bolsa tenemos 25 bolas, 12 rojas, 3 negras y 10 blancas si extraemos una al azar:

P(roja)= P(negra)= P(blanca)=

Ejercicios.

2. Lanzamos un dado con forma de dodecaedro, con las cara numeradas del 1 al 12. Calcular:

a) P(8)

b) P(menor que 3)

c) P(impar)

d) P(número primo)

e) P(entre 4 y 8)

3.

Lanzamos dos dados correctos y anotamos la suma de las puntuaciones.

a)¿Cuál es el espacio muestral?

b)¿Qué probabilidad tiene cada caso?

c) Calcula la probabilidad de que la suma sea mayor que 5.

a)


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PROBABILIDADES EN EXPERIENCIAS COMPUESTAS

Una experiencia compuesta es aquella que está formada por varias experiencias sencillas como por ejemplo lanzar undado y extraer una carta de una baraja o lanzar tres dados etc.Las experiencias sencillas que forman parte de una compuesta pueden ser dependientes o independientes.

Dos o más experiencias son independientes si el resultado de cada una de ellas no depende del resultado de las demás. Porejemplo ….

Dos o más experiencias son dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influye en las probabilidades de lassiguientes. Por ejemplo …

COMPOSICIÓN DE EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES

Para calcular las probabilidades de los sucesos compuestos se descomponen en sucesos simples y se calcula la probabilidad de estos.

Cuando varias experiencias aleatorias son independientes, la probabilidad de que ocurra S1 en la primera y S2 en lasegunda, etc es:

P(S

1

y S

2

y …)=P S

1

).P(S

2

). ……..

NOTA: Para calcular probabilidades de varios sucesos si decimos y multiplicamos y si decimos o sumamos.Por ejemplo:

la probabilidad de que ocurra A y B será P(A).P(B)La probabilidad de que ocurra A oB será P(A)+P(B)

Ejercicios:

4. Lanzamos dos dados, uno rojo y otro verde. Hallar estas probabilidades:

a)Sacar un 3 en el rojo y un 5 en el verde

b)Sacar un 5 en el rojo y un 3 en el verde


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c) Sacar un 2 y un 7

d)Sacar un número par y otro mayor que dos

5. Sacamos una bola de A y una bola de B. Calcular:

A B

a)P(roja en A y roja en B)=

b)P(negra en A y verde en B)=

c)P(una verde y otra negra)=

d)P(negra en A)=

e)P(las dos del mismo color)=

COMPOSICIÓN DE EXPERIENCIAS DEPENDIENTES

Si dos sucesos S1 y S2 corresponden a dos experiencias dependientes, la probabilidad de que ocurra S1 en la primera y S2 en la segunda es:

P(S1 y S2)=P(S1) . P(S2 /S1)

La expresión P(S2 /S1) se llama probabilidad condicionada y significa la probabilidad del suceso S2 sabiendo que el S1 ha ocurrido.

Para tres sucesos dependientes:

P(S1 y S2 y S3)=P(S1). P(S2 /S1). P(S3 /S1 y S2)

Donde P(S3 /S1 y S2) significa la probabilidad de que ocurra S3 sabiendo que S1 y S2 han ocurrido.

Ejercicios.

6. Tenemos una urna con 5 bolas blancas y 3 negras, extraemos dos bolas. Calcula la probabilidad de que:

a)Ambas sean negras.

b)La primera sea blanca y la segundo negra.

c)Las dos sean del mismo color.


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También se puede resolver recurriendo a un diagrama en árbol

TABLAS DE CONTINGENCIA

Interpretemos la siguiente tabla de contingencia sobre los alumnos/as de una clase y los resultados en matemáticas.

¿Cuántos personas aprueban matemáticas?

¿Cuántas chicas suspenden matemáticas?

¿Cuántos alumnos hay en esa clase?

Si elegimos una persona al azar calcula la probabilidad de que la persona elegida sea:

a)

Alumna o que aprueba las matemáticas.

b) Alumno que suspenda las matemáticas.

c)

Sabiendo que es alumno, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe las matemáticas?

Ejercicios.

7. Pasa a una tabla como la de la derecha el contenido de la urna de la izquierda. Di el valor de las siguientes

probabilidades :


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EJERCICIOS

1.

En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el “gordo”. a) ¿Cuál es el espacio muestral?b) Escribe los sucesos: A = MENOR QUE 5; B = PAR.c) Halla los sucesos A ⋃ B , A ⋂ B , A' , B' , A' ⋂ B' .

2. Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en una ficha y las ponemos en una bolsa. Extraemos unaletra al azar.

a) Escribe los sucesos elementales de este experimento. ¿Tienen todos la misma probabilidad?b) Escribe el suceso “obtener vocal” y calcula su probabilidad.

c) Si la palabra elegida fuera SUERTE, ¿cómo responderías a los apartados a) y b)?3. Lanzamos un dado rojo y otro verde. Anotamos el resultado. Por ejemplo, (3, 4) significa 3 en el rojo y 4 en el verde.

a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?b)Describe los siguientes sucesos:

A : la suma de puntos es 6; A = {(5, 1), (4, 2), …} B : En uno de los dados ha salido 4; B = {(4, 1), …} C : En los dados salió el mismo resultado.

c) Describe los sucesos A ⋃ B , A ⋂ B , A ⋂ C .d) Calcula la probabilidad de los sucesos de los apartados b) y c).e) Calcula la probabilidad de A' , B' y C' .

4. El juego del dominó consta de 28 fichas. Sacamos una al azar y anotamos la suma ( x ) de las puntuaciones.

a) ¿Cuál es el espacio muestral? Di la probabilidad de cada uno de los 13 casos que pueden darse.b) Describe los sucesos:

A : x es un número primo. B : x es mayor que 4. A ⋃ B , A ⋂ B , A'c) Calcula las probabilidades de los sucesos descritos en el apartado b).

5.

En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Calcula la probabilidad de que la primera bolaextraída :

a) Sea un número de una sola cifra.b) Sea un número múltiplo de 7.c) Sea un número mayor que 25.

6.

Se extrae una carta de una baraja española. Di cuál es la probabilidad de que sea:a) REY o AS. b) FIGURA y OROS. c) NO SEA ESPADAS.

7.

De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:a) Las dos sean copas. b) Al menos una sea copas. c) Una sea copa y la otra espada.Sol: a) 0,059 b) 0,441 c) 0,128.

8.

En una bolsa hay bolas de colores, pero no sabemos cuántas ni qué colores tienen. En 1 000 extracciones (devolviendola bola cada vez) hemos obtenido bola blanca en 411 ocasiones, bola negra en 190, bola verde en 179 y bola azul en220.

Al hacer una nueva extracción, di qué probabilidad asignarías a:a) Sacar bola blanca. b) No sacar bola blanca. c) Sacar bola verde o azul. d) No sacar bola negra ni azul.

Si en la bolsa hay 22 bolas, ¿cuántas estimas que habrá de cada uno de los colores?Sol: a) 0,411 b) 0,589 c) 0,399 d) 0,59

Si hay 22 bolas: 9 bolas blancas, 9 bolas blancas, 4 bolas verdes y 5 bolas azules.9.

Ana tira un dado y su hermana Eva lo tira después. ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Eva seasuperior a la de Ana? Sol: 5/12.

10. Lanzamos dos dados y anotamos la puntuación del mayor (si coinciden, la de uno de ellos).a) Completa la tabla y di las probabilidades de los seis sucesos elementales 1, 2, 3, 4, 5 y 6.b) Halla la probabilidad de los sucesos: A : n.° par, B : n.° menor que 4, A ⋂ B .


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11. a) Tenemos dos barajas de 40 cartas. Sacamos una carta de cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que ambassean 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figuras (sota, caballo o rey)?

b) Tenemos una baraja de 40 cartas. Sacamos dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean un 7?¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figura?

Sol: a) 1/7 y 9/100 b) 1/130 y 11/130.

12. Lanzamos tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres puntuaciones sean menores que 5?Sol: 8/27.

13. Sacamos una bola de cada urna. Calcula:

a) La probabilidad de que ambas sean rojas.b) La probabilidad de que ambas sean negras. c) La probabilidad de que alguna sea verde.Sol: a) 6/25 b) 4/25 c) 1/5.

14. Sacamos dos bolas. Calcula:

15. Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una de B. Calcula:

16.

En un centro escolar hay 1 000 alumnos y alumnas repartidos así:

Llamamos: A :chicas, O :chicos, G :tiene gafas, no G :no tiene gafas. Calcula:a) P [A], P [O], P [G], P [no G]

b) Describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: A y G, O y no G, A/G, G/A, G/O.Sol: a) 0,485; 0,515; 0,282 y 0,718.

b) [A y G] = 0,135; [O y no G] = 0,368; [A/G] = 0,479; [G/A] = 0,278 y [G/O] = 0,285.

17. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En undeterminado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglésson chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidadde que sea chica? Sol: 0,69.

18.

En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres.a) Haz con los datos una tabla de contingencia.b) Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume: P [H y no F].c) Calcula también: P [M y F], P [M / F], P [F / M]

Sol: b) 0,3 c) [M y F] = 0,175; [M/F] = 0,467 y [F/M] = 0,35.

19.

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojoscastaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.Sol: 2/3.

a) P [2 rojas]b) P [2 verdes]

Sol: a) 3/10 b) 1/10

a) P [1.a roja y 2.a roja] b)P [1.a roja y 2.a verde]c) P [2.a roja / 1.a verde] d)P [2.a roja / 1.a roja]e) P [2.a roja] f ) P [2.a verde]Sol: a) 2/5 b) 1/5 c) 1/3 d) 2/3 e) 8/15 f) 7/15.


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20. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemasmecánicos y uno con problemas de chapa.

a) Hacer una tabla ordenando los datos anteriores. b) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.c) Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.d) Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.Sol: b) 30 c) 55 d) 0,6.

21. Los 1000 socios de un club deportivo se distribuyen de la forma que se indica en la tabla.

Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que:a) Sea un hombre. b) Sea una mujer.c) Juegue al baloncesto. d) Sea una mujer que practique baloncesto.e) Sea un hombre que no practique baloncesto. f) Juegue al baloncesto, sabiendo que es hombre.g) Sea mujer, sabiendo que no juega al baloncesto.

Sol: a) 0,515 b) 0,485 c) 0,282 d) 0,135 e) 0,368 f) 0,285 g) 0,487.

22.

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es 1/4 y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:a) De que ambos vivan 20 años. b) De que el hombre viva 20 años y su mujer no.c) De que ambos mueran antes de los 20 años.Sol: a) 1/12 b) 1/6 c) 1/2.

23.

Una urna contiene 100 bolas numeradas así: 00, 01, 02 … 99 Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades del número que tiene cada bola. Se extraeuna bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) x = 3 b) y = 3 c) x ≠ 7 d) x > 5e) x + y = 9 f) x < 3 g) y > 7 h) y < 7

Sol: a) 1/10 b) 1/10 c) 9/10 d) 2/5 e) 1/5 f) 3/10 g) 1/5 h) 7/10.

24.

Sacamos dos fichas de un dominó. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas la suma de sus puntuaciones sea unnúmero primo (2, 3, 5, 7 u 11)? Sol: 0,146.

25.

Después de tirar muchas veces un modelo de chinchetas, sabemos que la probabilidad de que una cualquiera caigacon la punta hacia arriba es 0,38. Si tiramos dos chinchetas, ¿cuál será la probabilidad de que las dos caigan dedistinta forma? Sol: 0,47.

26. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste serealiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo.Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. Sol: 0,85.

27. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francéscomo asignatura optativa.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

b) ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés? Sol: a) 0,75 b) 0,25.

28.

En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase.Calcula la probabilidad de que:a) Los dos sean chicos. b) Sean dos chicas. c) Sean un chico y una chica.Sol: a) 8/35 b) 9/35 c) 18/35.

29.

Extraemos una tarjeta de cada una de estas bolsas.

a) Calcula la probabilidad de obtener una S y una I, “SI”. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener “NO”? c) ¿Son sucesos contrarios “SI” y “NO”? Sol: a) 2/9 b) 2/9 c) No son sucesos contrarios.


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30. En un laboratorio se somete un nuevo medicamento a tres controles. La probabilidad de pasar el primero es 0,89, la de pasar el segundo es 0,93 y la de pasar el tercero es 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo producto pase las tres pruebas? Sol: 0,703.

31.

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad deque suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dosestudiantes suspenda el examen. Sol: 3/5.

32. Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

Sol: 7/10.

33.

Se extraen dos bolas de esta bolsa. Calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color.

Sol: 3/7.

34.

En una bolsa tenemos las letras S, S, N, I, I, O. Sacamos dos letras. ¿Cuál es la probabilidad de que con ellas se pueda escribir SI? Sol: 2/15.

35. Javier tiene en su monedero 4 monedas de cinco céntimos, 3 de veinte y 2 de un euro. Saca dos monedas al azar.¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?a) Que las dos sean de cinco céntimos. b) Que ninguna sea de un euro. c) Que saque 1,20 €. Sol: a) 1/6 b) 7/12 c) 1/6.

36.

En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas están marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se hacen tres extraccionesy se anotan los resultados en orden. Calcula la probabilidad de que el número formado sea el 121, suponiendo que:

a) La bola se reintegra a la bolsa. b) La bola no se devuelve a la bolsa.Sol: a) 1/8 b) 1/6.

37.

Un jugador de baloncesto suele acertar el 75% de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales. Si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo. Calcula la probabilidad de que:

a) Haga dos puntos. b) Haga un punto. c) No haga ningún punto.Sol: a) 0,56 b) 0,19 c) 0,25.

38. Matías y Elena juegan con una moneda. La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos vecescruz y una vez cara, gana Matías. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Elena.

Calcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar.Sol: [GANE MATÍAS] = 3/4 y [GANE ELENA] = 1/4.

39. En cierto lugar se sabe que si hoy hace sol, la probabilidad de que mañana también lo haga es 4/5. Pero si hoy está

nublado, la probabilidad de que mañana lo siga estando es 2/3.Si hoy es viernes y hace sol, ¿cuál es la probabilidad de que el domingo también haga sol? Sol: 0,7.

40. Esto es un plano de parte de la red de cercanías de una ciudad. En cada nudo es igual de probable que el trencontinúe por cualquiera de los caminos que salen de él.

Un viajero sube a un tren en A sin saber adónde se dirige.a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a la estación 5?b) Calcula la probabilidad de llegar a cada una de las estaciones.

Sol: a) 1/18

b) [1] = [2] = 1/12; [3] = 1/6; [4] = [5] = [6] = 1/18 y [7] = [8] = 1/4.


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41. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:a) Seleccionar tres niños.b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.c) Seleccionar por lo menos un niño.d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.Sol: a) 0,214 b) 0,482 c) 0,964 d) 0,268.

42.

Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad deque salga cara. Sol: 0,611.

43.

Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación,se extrae una segunda bola. Se pide:a) Probabilidad de que la segunda bola sea verde.b) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.Sol: a) 0,582 b) 0,418.

44.

Se hace girar la flecha en cada una de estas ruletas, y gana la que consiga la puntuación más alta.

Calcula la probabilidad de que gane A y la de que gane B . Sol: [GANE A] = 4/9 y [GANE B] = 5/9.45.

Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ómás, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:a) Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B. b) Probabilidad de que la bola sea blanca.Sol: a) 2/9 b) 26/45.

46.

Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatroveces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:a) Con una persona sin gafas. b) Con una mujer con gafas. Sol: a) 0,47 b) 0,48.

47.

En una urna marcada con la letra A hay una bola roja y una negra. En otra urna, que lleva la letra B, hay una bola

azul, una verde y una blanca. Se lanza un dado; si sale par, se saca una bola de la urna A, y si sale impar, de laurna B.a) Escribe todos los resultados posibles de esta experiencia aleatoria.b) ¿Tiene la misma probabilidad el suceso PAR y ROJA que el IMPAR y VERDE?c) Calcula la probabilidad de todos los sucesos elementales y halla su suma. ¿Qué obtienes?Sol: b) No.

48.

¿Cuál es la probabilidad de obtener bola blanca al elegir al azar una de estas bolsas y extraer de ella una bola?

Sol: 2/3.

49.

Lanzamos tres dados y anotamos la mayor puntuación. Calcula la probabilidad de que sea 5. Sol: 25/216.

50.

Lanzamos tres dados y anotamos la puntuación mediana. Calcula la probabilidad de que sea 5. Sol: 1/54.

51.

Tenemos tres cartulinas. La primera tiene una cara roja (R), y la otra, azul (A); la segunda A y verde (V), y la tercera, V y R. Las dejamos caer sobre una mesa. ¿Qué es más probable, que dos de ellas sean del mismo color o quesean de colores diferentes? Sol: Es más probable que salgan dos colores iguales.

52.

En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de lasque sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:

a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?Sol: a) 0,1559 b) 0,2917.


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AUTOEVALUACIÓN

1. En una bolsa tenemos 10 bolas numeradas del 1 al 10. Sacamos una al azar y anotamos el número obtenido.Escribe el espacio muestral.Consideramos los sucesos: A = "impar menor que 8" y B = "múltiplo de 3".Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A ', B ' , A B y A B.

2. Una caja contiene 12 lámparas de las cuales 4 son defectuosas. Se toman al azar tres lámparas del lote una trasotra. Hallar la probabilidad de que las tres lámparas no sean defectuosas.

3. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Elegimos un alumno/a al azar.Calcula las siguientes probabilidades:

a) Sea hombre. b) Sea mujer morena. c) Sea hombre rubio.

4.

Lanzamos un dado tres veces seguidas. Calcula la probabilidad de obtener:a) A = "Tres cincos" b) B = "El mismo número las tres veces"

5.

Tenemos una urna con 4 bolas blancas y 8 negras. Sacamos dos bolas a la vez. Calcula la probabilidad de obtener:a) Dos bolas blancas. b) Dos bolas de distinto color.

6.

Un juego consiste en tirar un dado y lanzar una moneda simultáneamente. Ganaremos si conseguimos sacar unnúmero impar en el dado y una cara en la moneda.a) ¿Qué probabilidad tenemos de ganar? b) ¿Y de perder?

7. En un centro deportivo hay matriculados 500 alumnos repartidos así:

a) Completa la tabla.b) Llamamos H = hombre, M = mujer, G = practica golf, NO G = no practica golf.Calcula las siguientes probabilidades:

P [H]= P [NO G]=

P( M/G)= P(G/M)=

8. Lanzamos dos dados y anotamos la suma de las puntuaciones obtenidas. Haz una tabla con todas las jugadas ycalcula la probabilidad de que el resultado sea:

a) 4 b) 2 c) 69.

La probabilidad de que llueva es del 70 %. Un jugador, los días que llueve tira un dado al aire y si sale el nº 5coge el paraguas, mientras que los días que no llueve lanza una moneda y si sale cara saca el paraguas.Calcular la probabilidad de que:

a) Saque el paraguas b) Se moje c) Saque el paraguas y no llueva

10. En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y selo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

HOMBRE MUJER

PRACTICA GOLF 256

NO PRACTICA GOLF 194

149 500

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