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GEOMETRÍA EN EL
ESPACIO
SUPERFICIES
S U P E R F I C I E S
Una superficie cuádricaes la gráfica de una ecuación polinómica de segundo grado con tres variables x, y, z ; salvo casos degenerados.
(A, B o C distintos de 0)
2 2 2 0Ax By Cz Dx Ey Fz G
S U P E R F I C I E S
Trazas de una superficie:
Curvas que surgen de las intersecciones de la superficie con los planos coordenados
Plano xy z=0
Plano xz y=0
Plano yz x=0
Traza xzTraza yz
Traza xy
Traza xzTraza yz
Traza xyNo existe
Traza xz
Traza yz
Traza xy
S U P E R F I C I E S
EJEMPLOS:
S U P E R F I C I E S
Secciones con planos paralelos a los planos cordenados:
// Plano xy z=t
//Plano xz y=k
//Plano yz x=mt,k, m números reales.
S U P E R F I C I E S
Ejemplo: Secciones paralelas al Plano xz en una esfera
// Plano xz y=3 circunferencia
//Plano xz y=4Circunferencia
//Plano xz y=5Circunferencia
1
E S F E R A : Es el conjunto de todos los puntos P del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Su ecuación:
220
20
20 rzzyyxx
rzyxC
radio ),,( 000
ESFERA
Ejemplo :
ESFERA
Ejemplo: E S F E R A
r= 3 y centro C(1,-2,3)
Su ecuación:
2 2 21 ( 2) ( 3) 9x y z
ESFERA
Plano coordenado
Trazas
xy (z=0) punto (1; -2;0)
xz (y=0)
yz (x=0)
2 2 21 ( 2) ( 3) 9x y z
2 2
2 2
1 4 ( 3) 9
1 ( 3) 5
5(1;0;3)
x z
x z
circunferencia con ry centro en
2 2
2 2
1 ( 2) ( 3) 9
2 ( 3) 8
8(0; 2;3)
y z
y z
circunferencia con ry centro en
2
ESFERA
ESFERA
Ecuación paramétrica de la esfera:
Su ecuación:
rzyxC
radio ),,( 000
Ejemplo: E S F E R A
R= 3 y centro C(1,-2,3)
ESFERA
senuzsenvuyvux
33cos32
coscos31
ELIPSOIDE
. E L I P S O I D E – con centro en C(x0,y0,z0)
a , b, c : longitudes de los semiejes.
Su ecuación: 12
20
2
20
2
20
czz
byy
axx
Plano coordenado
Trazas
xy (z=0)
xz (y=0)
yz (x=0)
2 2 2
2 2 2 1x y za b c
2 2
2 2 1x ya b
2 2
2 2 1x za c
2 2
2 2 1y zb c
3
ELIPSOIDE
E L I P S O I D E – C(0,0,0)
Ejemplo :
ELIPSOIDE
C(0,0,0)
. E L I P S O I D E – con centro C(x0,y0,z0)
a , b, c : longitudes de los semiejes.
Su ecuación paramétrica:
ELIPSOIDE
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
C(x0,y0,z0) - abre con respecto al eje z
Su ecuación:
12
20
2
20
2
20
czz
byy
axx
eje del hiperboloide corresponde a lavariable cuyo coeficiente es negativo
2 2 2
2 2 2 1x y za b c
Plano coordenado
Trazas
xy (z=0) Elipse
xz (y=0) Hiperb.
yz (x=0) Hiperb.
2 2
2 2 1x ya b
2 2
2 2 1x za c
2 2
2 2 1y zb c
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJAC(0,0,0)
abre con respecto al eje z
Ejemplo 1: 1222 zyx
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
C(0,0,0) – abre con respecto al eje z
036469 222 zyxEjemplo 2:
36469 222 zyx
1964
222
zyx
3y 6,2 cbaabre con respecto al eje y
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
Su ecuación paramétrica :
C(x0,y0,z0) – abre con respecto al eje z
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
C(x0,y0,z0) - abre respecto del eje z
Su ecuación:
12
20
2
20
2
20
czz
byy
axx
eje del hiperboloide corresponde a lavariable cuyo coeficiente es positivo
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA
C(0,0,0) - abre en Z
Plano coordenado
Trazas
xy (z=0)
xz (y=0) Hip.
yz (x=0) Hip.
Ninguna
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
12
2
2
2
cz
ax
12
2
2
2
cz
by
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA
Ejemplo :
C(0,0,0) – abre con respecto al eje z
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA
C(x0,y0,z0)- abre respecto del eje z
Su ecuación paramétrica :
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA
PARABOLOIDE ELÍPTICO
C(x0,y0,z0)- abre respecto al eje z
Su ecuación:
02
20
2
20 zzc
byy
axx
eje del paraboloide elíptico corresponde a la variable lineal.
V(0,0,0) - abre con respecto al eje Z
2 2
2 2
x y cza b
Plano coordenado
Trazas
xy (z=0) Punto:(0; 0)
xz (y=0)Paráb.
yz (x=0)Paráb.
2
2
x cza
2
2
y czb
PARABOLOIDE ELÍPTICO
PARABOLOIDE ELÍPTICO
C(x0,y0,z0)- abre respecto al eje z
Su ecuación paramétrica:
PARABOLOIDE ELÍPTICO
V(X0,Y0,Z0) con parábola directriz que abre respecto al eje Z
Su ecuación:
02
20
2
20 zzc
byy
axx
eje del paraboloide hiperbólico corresponde a la variable lineal.
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.
2 2
2 2
x y cza b
ay xb
Planocoordenado
Trazas
xy (z=0) Rectas
xz (y=0) Paráb.
yz (x=0) Paráb. 2
2
y czb
2
2
x cza
xbay
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
V(0,0,0) con parábola directriz que abre respecto al eje Z
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
Su ecuación paramétrica:
V(X0,Y0,Z0) con parábola directriz que abre respecto al eje Z
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
CILINDROS CUÁDRICOS
C: curva del plano xy
CILINDROS CUÁDRICOS
CILINDROCircular
CILINDROElíptico
CILINDROParabólico
CILINDROHiperbólico
CILINDROS CUÁDRICOS
CILINDRO CIRCULARCurva: Circunferenciaen el plano xy que se traslada en la dirección del eje Z, de radio ry centro de la traza xy en C(x0,y0,0)
Ecuación paramétrica:
Ecuación canónica:
CILINDROS CUÁDRICOS
CILINDRO ELÍPTICOCurva: Elipse en el plano xy que se traslada en la dirección del eje Z, Semiejes a y b, centro de la traza xy en C(x0,y0,0)
Ecuación canónica:
Ecuación paramétrica:
CILINDROS CUÁDRICOS
CILINDRO PARABÓLICO
Curva: Parábola en el plano xy que se traslada en la dirección del eje Z, vérticede la traza xy en V(x0,y0,0) y eje de simetría paralelo al eje x.
Ecuación canónica:
Ecuación paramétrica:
CILINDROS CUÁDRICOS
CILINDRO PARABÓLICO
Curva: Parábola en el plano xy que se traslada en la dirección del eje Z, vérticede la traza xy en V(x0,y0,0) y eje de simetría paralelo al eje y.
Ecuación canónica:
Ecuación paramétrica:
CILINDROS CUÁDRICOS
CILINDRO HIPERBÓLICOCurva: Hipérbola en el plano xy que se traslada en la dirección del eje Z, vérticede la traza xy en V(x0,y0,0) y eje de simetría paralelo al eje x.
Ecuación canónica:
CILINDROS CUÁDRICOS
Ejemplo: 422 zy
Cilindro circular generado por la circunferencia en el plano yz que se desplaza en la dirección del eje x
0424 222 zyxEjemplo 1:
424 222 zyx
124
222
zyx
2y 2,1 cba
Hiperboloide de 2 hojas con C(0,0,0) abre con respecto al eje y
GRAFICANDO SUPERFICIES
TRAZAS:
Plano coordenado
Trazas
xy (z=0) Hip.
xz (y=0)
yz (x=0) Hip.
Ninguna
14
22
xy
124
22
zy
124
222
zyxSecciones paralelas a xz:
GRAFICANDO SUPERFICIES
GRAFICANDO SUPERFICIES
22 2)3(1 zxy Ejemplo 2:
Paraboloide Elíptico con V(3,1,0)-abre con respecto al eje y
Secciones paralelas a xz:
Sección paralela a yz:
22 231 zxy
GRAFICANDO SUPERFICIES
Paraboloide Elíptico con V(3,1,0) abre con respecto al eje y
44 22 zxEjemplo 3:
Cilindro elíptico generado por la elipse en el plano xzque se desplaza en la dirección del eje y
GRAFICANDO SUPERFICIES
SUPERFICIES REGLADAS
Superficies que por su forma generativa tienen posibilidades estructurales.
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
..\..\..\..\..\Videos\Hyperboloid[1].wmv
Construccióndel Edificio de Acceso al Parque Oceanográfico (Valencia)
Una superficie reglada es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse
sobre una curva o varias, denominadas directrices.
SUPERFICIES REGLADAS
Bibliografía Hidalgo, E. (2013). Disponible en : http://www.monografias.com/trabajos-
pdf5/superficies-cuadraticas/superficies-cuadraticas.shtml
Imbach,G y otros. Apunte de cátedra. FADU.UNL. Mora, Walter (2011). Disponible en:http://galeon.com/jjisach/geometria/supercurvas.p
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