Download - SOLUCIONES GUIAS
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SOLUCIONES GUA N1
Funciones y sus Grficas
N1 a) 11,0fDom b)
c) Intervalos de crecimiento ]0,1[, ]4,8[, ]10,11[
Intervalos de decrecimiento]1,4[, ]8,10[
d) Al transcurrir 4 aos (al finalizar el 4to ao) se observa la menor utilidad
correspondiente a un prdida de un 0,51%.
Transcurridos 11 aos se registra el mayor % de utilidad correspondiente a
1,86%.
N2 a) 3,2fDom
b)
c)
d) A inicios del 1998, 2000 y 2003 se registr 0c de temperatura.
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N3 a) 28,0fDom b)
c)
Interpretacin:
El club inicia con 50 integrantes y la cantidad de nuevos socios que se
inscriben despus de 28 aos es de 37.380 personas.
d) Intervalos de crecimiento ]0,8[, ]24,28[
Intervalos de decrecimiento ]8,24[
e) x=8 , P(8)=170,716666
A inicios de 1993 se integra la mayor cantidad de personas, 170.717
socios aproximadamente
N4 a)
b) 12,0fDom
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c)
d) Coordenada Inicial (0,48)
Coordenada Final (12,76)
Se estima que un bebe mida 48 cm al nacer (0 aos) y al ao 76 cm.
d)
Pendiente
,
Interpretaciones:
- Un bebe crecer 2,3 cm por mes aproximadamente
- Un bebe crecer mensualmente 2,3 cm aproximadamente
N5 a)
b)
,0fDom
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c)
d) Coordenada inicial (0,18)
Los ingresos iniciando el ao 2000 fueron de 18.000 dlares
e) Pendiente 2, al estar en miles se debe multiplicar para la interpretacin
(2 1000 = 2.000)
Interpretaciones:
- Los ingresos de la empresa aumentan 2.000 dlares por ao
- Los ingresos de la empresa por ao aumentaran 2.000 dlares
N6 a)
b) Pendiente 2
3 0,666666 , al estar en miles se debe multiplicar para la
interpretacin (0,666666 1000 667)
Interpretaciones:
- Los costos de la empresa disminuye en 667 Pesos por cinta
aproximadamente.
- los costos de la empresa disminuye por cinta en 667 Pesos
aproximadamente.
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c) (0) = 100 , al estar en miles se debe multiplicar para la interpretacin
100 1000 = 10.000)
Interpretaciones:
- Si la empresa no fabrica cintas su costo ser de $100.000
- Los costos fijos de la empresa corresponden a $100.000
d) (100) 33,33333 , al estar en miles se debe multiplicar para la
interpretacin (33,33333 1000 = 33.333)
Para minimizar el costo se deben producir 100 cintas a un costo de
$33.333
N7 a)
b) Pendiente -3, , al estar en millones se debe multiplicar para la
interpretacin (3 1.000.000 = 3.000.000)
Interpretaciones:
- Se estima que las utilidades de la empresa disminuye en 3
Millones de pesos por ao aproximadamente
- Se estima que las utilidades de la empresa disminuirn por ao
en $3.000.000
c) (0) = 18 , al estar en millones se debe multiplicar para la interpretacin
(18 1.000.000 = 18.000.000)
A inicios del ao 2012 (trascurrido cero aos) la empresa registra la
mayor utilidad correspondiente a $18.000.000
d) Despus de iniciado el ao 2018 (trascurridos 6 aos) se estima que la
empresa comience a tener prdidas.
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N8 a) 72,0fDom b)
c) (, ):
Al finalizar el mes 50 se observa una prdida de 400 euros
d) Interseccin Eje Y (0, 2100) :
La directiva comienza con 2100 euros de utilidad
Interseccin Eje X (30, 0) y (70,0) :
No se perciben utilidades al finalizar el mes 30 y 70.
e) Intervalo de decrecimiento ], [:
Las utilidades fueron disminuyendo durante los primero 50 meses de la
nueva admiracin
N9 a) 24,0fDom b)
c) Vrtice (, . )
A las 12 horas (medioda) se observa la mayor temperatura del da
sbado con 16,7C aproximadamente
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Interseccin Eje Y (0, -7,3)
El da sbado comienza con -7, 3C de temperatura
Interseccin Eje X (2, 0) y (22,0)
A la 2 y 22 horas la temperatura fue de 0C
d) Intervalo de crecimiento ]0,12[ :
Durante las primeras 12 horas del da sbado la temperatura est en
aumento.
N10 a)
b)
7,0fDom
c) La temperatura inicial del experimento fue de 8C y al finalizar de 15C
d) A los 2 y 4 minutos la temperatura fue de 0C
e) Vrtice (3, 1):
La menor temperatura -1C se observa al tercer minuto
f) Intervalo de decrecimiento ]0,3[ : Durante los primeros 3 minutos la
temperatura del lquido est disminuyendo
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11 a)
b) El mayor rendimiento se observa a 1 hora de iniciado el examen
c) intervalo decrecimiento ]1.5 , 2.5[
El rendimiento del alumno disminuye despus de los 90 minutos, hasta
completar los 2,5 horas
d) (0) = 0, coordenada inicial (0,0)
Al comenzar el examen el rendimiento del alumno es de un 0%
(2,5) = 50, coordenada final (2.5 , 50)
Al finalizar el examen el rendimiento del alumnos es de un 50%
N12 a)
b)
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c)
N13 a) 6,1fDom
b) Intervalos de crecimiento ]3,4[, ]5,6[
Intervalos de decrecimiento ]1,3[, ]4,5[
c) la menor se registr al finalizar el 5to ao ($14.580.000)
d) (1) 23,116666667: Al iniciar el segundo aos (finalizar el primer ao)
la utilidad corresponde a $23.116.667
(6) = 25,2 Al finalizar el sexto ao se observa la mayor utilidad
correspondiente a $25.200.00
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N14 a) 5.11,1fDom b)
c) Intervalos de crecimiento, ]1,3[, ]6,9[, ]11,11.5[
Intervalos de decrecimiento ]3,6[, ]9,1[
d) Al finalizar septiembre (inicios octubre) se registra la mayor
temperatura correspondiente a 29,45C, y al finalizar junio (inicios de
julio) la menor -15,4C.
N15 a)
b) ,0fDom
c) Coordenada inicial (0,1)
En una ciudad deshabitada (cero habitantes) el nivel promedio de
monxido de carbono en el aire se estima en 1 ppm
d) Pendiente 0,0005
Posibles interpretaciones:
- Se estima que el nivel promedio de monxido de carbono aumenta en
0,0005 PPM por Persona aproximadamente
-Por cada habitante se estima que en nivel promedio de monxido de
carbono en el aire aumente en 0,0005 ppm
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N16 a)
b) 20,0fDom
c) (0) = 104
La empresa comienza a funcionar con 104 trabajadores
(20) = 144
La empresa finaliza sus actividades despus de 20 aos con 144
trabajadores
d) Vrtice (11,225)
Trascurridos 11 aos, se observa la mayor cantidad de trabajadores en la
empresa correspondiente a 225 personas
e) Intervalo de decrecimiento ]11,20[
Entre los 11 y 20 aos de funcionamiento la cantidad de trabajadores
disminuye en la empresa
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SOLUCIONES GUA N2
Composicin y Lmites de funciones
N1 a) xexgf 4
b) 1335 1538 xxxgf
c) 52log xxgf
N2 a) A inicios del 2001 se fabricaron 98 motos, cuyo costo unitario es de US
1.806,37
b) 112014320)( )1202(031,0 tetC
c) La funcin C(t) indica el costo unitario en dlares por la fabricacin de
motos que depende de los aos transcurridos desde el 2000
d) 12,0:)(tCdom
e) El costo unitario de fabricacin iniciando el 2007 fue de
aproximadamente de US 1593,15
N3 a) 100 trabajadores embalan aproximadamente 639,25 kilos de fruta, cuyo
ingreso ser de $364.371 aprox.
b) nnnI 530570 3 c) El ingreso total en pesos por la venta de frutas dependiendo de la
cantidad de trabajadores n est dado por la funcin
d) El ingreso del fundo si trabajan 150 personas ser de $518.357 aprox.
N4 a)
2
24
812100
50)(
t
ttN
b) La cantidad de viviendas construidas hoy es de 204.918 aprox
b) En un ao y medio se estima que la cantidad de viviendas sea de 288.235
aproximadamente, con una tasa de inters de un 8,6%
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N5 a) 100
5,05,035,05,0)(
2
tttR
b) A los 5 segundos la velocidad de reaccin es de
sC142,0 aprox.
N6 a) 1)2,08(4,0)( 2 ttC
b) En 2 aos se estima que el nivel de monxido de carbono sea de 4,52
partes por milln.
c) Se estima que en 5 aos el monxido de carbono sea de 6,2 partes por
milln
N7 a) 2
2
3300
100
1)(
pyI
b) El ingreso semanal en dlares est dado o depende del precio
unitario en dlares de las unidad vendidas
c) Si el precio unitario es de US10 el ingreso ser de US812,25, y si es de
US200 el ingres es US0
N8 a) El costo de produccin al fabricar 2, 20 y 200 artculos ser
respectivamente de 220, 40 y 22 dlares
b) Entre ms artculos se fabriquen el costo de produccin tiende a ser de 20
dlares.
x 1.000 10.000 1.000.000 10.000.000
)(xC 20,4 20,04 20,0004 20,00004
N9 a) Al finalizar el primer ao el % de inters se estima en 0,59%
b) )(tp 0,526280 0,899862 0,9 0,9 0,9 0,9
9,0)(lim
tPt
c) A largo Plazo (o a medida que transcurre el tiempo) se estima que el % de
inters de cuentas por cobrar llegar a un 0,9%
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N10 a) 20)(lim
xCx
b) Entre ms artculos se fabriquen el costo de produccin tiende a ser de
20 dlares.
N11 a) Si entrena 6 das se demorar 12,7 segundos aproximadamente en llegar
a la meta
b) 10)(lim
xfx
c) Si entrena en forma indefinida, se estima que su tiempo para llegar a la
meta ser de 10 segundos
N12 a) Transcurridos 11 aos se estiman 28 negocios
b) 60)(lim
xMx
A largo plazo se estima que la cantidad de mini-markets llegue a los 60
locales
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N13 6)(lim
xfx
Si la intensidad luminosa aumenta indefinidamente se espera que el
dimetro de la pupila sea de 6 mm
N14 a) 0)(lim
xPx
b) A largo plazo se estima que el % de estudiantes enfermos disminuya a
un 0%
N15 a) Se estima que a los 10 aos existirn 250 ciervos
b) A medida que transcurre el tiempo se estima que se llegue a 750 ciervos
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N16 a) )58(60)( mmI
b) Si hay 35 trabajadores el ingreso ser de $17.100
N17 a) Trascurrido 10 meses el precio del artculo ser de $2.609
aproximadamente.
b) 5)(lim
xPt
c) A largo plazo se estima que el precio del artculo ser de $5.000
N18 a) Si la persona se prepara 10 semanas, se espera que escriba en promedio
63 palabras por minuto
b) Si la persona practica en forma indefinida, se espera que en promedio
escriba 157 palabras por minutos
t 100 1000 10000
)(tN 156,995176 157 157
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SOLUCIONES GUA N3 DE CLCULO I
N1 a) A los 30 minutos est en el kilmetro 23
b) La velocidad promedio entre los 30 y 60 minutos es de 1,8 km/min
c) Se estima que La velocidad Instantnea a los 30 minutos es de 1,2
km/min
Intervalos de
Tiempo
Velocidad Promedio
(m/s)
3128 x 18,1
5,3029 x 19,1
1,309,29 x 20,1
01,3099,29 x 20,1
N3 a) La poblacin a los 10 aos ser de 21.040 habitantes aproximadamente
b) La tasa de crecimiento promedio entre el 6to y dcimo ao es de 2148
habitantes por ao
c) La tasa de crecimiento instantnea a los 10 aos ser de 6780
habitantes por ao aproximadamente.
Intervalos de
Tiempo Tasa de Crecimiento Promedio
5,105,9 t 94019012,65,95,10
)5,9()5,10(
pp
1,109,9 t 78651724,69,91,10
)9,9()1,10(
pp
01,1099,9 t 78022262,699,901,10
)99,9()01,10(
pp
001,10999,9 t 78015969,6999,9001,10
)999,9()001,10(
pp
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N3
Funcin Tipo de
Funcin Derivada
a) 3)( xxf Potencia
23xdx
df
b) 5)( xf Constante 0dx
df
c) xxf 5)( Exponencial 5ln5)( xxf
d) )(log)( 5 xxg Logartmica )5ln(
1)(
xxg
e) xey Exponencial
xey
f) )log()( xxf Logartmica 10ln1
xy
g)
x
xg
3
5)( Exponencial
3
5ln
3
5x
dx
dg
h) 5)( xxg Potencia
65)( xxg
i) x
xh1
)( Potencia 21
)(x
xh
j) x
xh1
)( Potencia 32
1)(
xxh
k) 4)( xf
Constante 0dx
df
l) 2
1)( xf Constante 0
dx
df
m) 3)( ttf Potencia
3 23
1)(
ttf
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3
n) 43
)( txf Potencia 44
3)(
txf
o) xxf 2)( Exponencial 2ln2 x
dx
df
p) )(log)( xxh e Logartmica x
xh1
)(
q) 5 2)( xxf Potencia 5 35
2
xdx
df
r) 21
)( xxf Potencia 2
1
2
1)(
xxf
s) 2
5)( xf Constante 0)( xf
N4
a) Potencia
1112)( xxf
b) Potencia
1211)( xxf
c) Potencia
3
5)(
3 2xxf
d) Lineal
1)( xf
e) Potencia
xxm
2
1)(
f) Exponencial
9ln9)( xxh
g) Logartmica
3ln1
)(x
xg
h) Constante
0)( xg
i) Logartmica
xxg
1)(
N5
Funcin Operacin Derivada
a) 65)( xxf
Multiplicacin por
constante
530xdx
df
b) 2)( xxxf Suma xdx
df21
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4
c) xexxf 5)( Resta xexxf 45)(
d) xexxf )(
Multiplicacin de dos
funciones
xx xeexf )(
e) xxy 22 Multiplicacin de dos
funciones 2ln222 2 xx xxy
f) xe
xy
4
Divisin x
xx
e
exexy
2
434
g) x
xxf
1)(
2 Divisin
2
22 )1(2
x
xx
dx
df
N6
a) 10ln7
)(x
xh b) x
xg1
)( c) xxf 56140)(
d) xxxxf )ln(2)( e) xx exexxg 52)( 2 f) p
epQp 5
)(
g) 2
ln1)(
x
xxf
h)
2)ln(
ln
)(x
x
exe
xf
xx
i) 210
8,19)(t
tth
N7
a) 1601066)( 2 xxxg b)
x
xx
e
xxexexf
2
2 332)(
c) 10ln
)log()(x
exexf
xx
d)
4
log25ln
)(x
xxx
xfs
e) 3
2 40122
32)(
ttttd f)
x
x
xxf log2
10ln
32)(
N8
a) 4 4 xexf b) 241235 940153813 xxxxxf c) 10ln52
2
xxf
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N9
a) 33424 412)23(5)( xxxxxf b) )26(
23
1
2
x
xxy
c) 10ln3
)32()(
2 xx
xxf
d)
xxxf
3)62(112)( 6
e) 32)3(2 2 xxxy f)
xey x 4 522
N10
a)
2
2 xexdx
dy b)
xedx
dy c) xdx
dy 3
d) 10ln12
2
x
x
dx
dy e) xxx
dx
dy145753
22 f) 57ln75 x
dx
dy
N11
a) 7020 xxI b) 3820)( ttd
c) 21
2
xxf d) 2ln21222)( 66 ww wwf
e) 3
10)(
xxf
f) 3ln3ln3)( x
x
xx
xf
g) t
etV8,0
100)( h) t
etp75,0
75,0)(
i)
24,04,06,04,06,0
41
24406,1416,9
x
xxxxR
j)
601
3
000.10)(
ttV
k) 500.12 V l) 25,0
5,0
101
5)(
t
t
e
etp
m) 6
6 56ln65)(x
xxg x n) 2ln23226)( 32 xx xxxf
o)
x
xx
xx
xf25
5ln5)log(10ln
5
)(
p) 12)( xxf
q) 2895.0
895,0
19991
3578210)(
te
etN
r) ktektP 500.1)(
-
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SOLUCIONES GUA N 4 DE CLCULO I
Ejercicio N1
a)
() ()
Tiempo Deuda -Tasa de crecimiento de la deuda
-Razn de cambio de la deuda
Aos Millones
dlares
-
-Millones dlares por ao
b) = [0,20]
c) La deuda de estados unidos al inicio de 1990 es de 3.247,7 millones de dlares
d) Derivada : 85,27182,5777,1044,0 23 ttt
dt
df
Valor: 65,330)10( dt
df
Transcurrido 10 aos la tasa de crecimiento de la deuda nacional de EEUU
corresponde a 330,65 millones de dlares por ao (o 330.650.000 dlares
por ao)
Ejercicio N2
a)
() ()
Tiempo Poblacin -Tasa de crecimiento de la poblacin
-Razn de cambio de la poblacin
Aos Miles
habitantes
-
-Miles de habitantes por ao
b) = [0,12]
c) Dentro de 5 aos se estima que la poblacin sea de 322.521 habitantes
Derivada :
te
dt
dp 75,075,0
Valor: 544,640)9( dt
dp
La tasa de crecimiento de la poblacin trascurrido nueve aos ser de 640.544
personas por ao (o 640,544 miles de habitantes por ao)
-
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Ejercicio N3
a) () ()
Tiempo Impuesto
Predial
-Tasa de crecimiento del impuesto
-Razn de cambio del impuesto
Aos Miles de
pesos
-
-Miles de peso por ao
b) Derivada : xx exexxI )50(2 2
Valor: 02176,39536)6( I
Posibles interpretaciones:
- La tasa de crecimiento del impuesto predial a inicios del ao 2011
corresponde a 39.536.022 pesos por ao (o 39.536,022 miles de pesos
por ao)
- La razn de cambio del impuesto predial a inicios del ao 2011
corresponde a 39.536.022 pesos por ao (o 39.536,022 miles de pesos
por ao)
Ejercicio N4
Derivada : t
etV8,0
10)(
Valor: 9815,545)5( V
La tasa de crecimiento de las ventas trascurrido 5 meses corresponde a 545.982
pesos por mes. (o 545,982 miles de pesos por mes)
-
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Ejercicio N5
a) () () ()
Tiempo Posicin Rapidez Instantnea Aceleracin Instantnea
Minutos km -
-Kilmetros por minutos
- 2
-Kilmetros por minutos2
b)
Derivada : tts 04,0)( 04,0)( ts
Valor: 23)30( s 2,1)30( s 04,0)30( s
Interpretacin:
- A los 30 minutos de su partida el ciclista se encuentra en el kilmetro 23
-La rapidez instantnea a los 30 minutos de su partida corresponde a 1,2
km/min
-La aceleracin instantnea a los 30 minutos corresponde a 0,04 km/min2
Ejercicio N6
Derivada : 53523)( xx exextd
535266)( xxex exexxetd
Valor: 31,7)3( d 69,67)4( d
La rapidez instantnea del automvil a las 3 horas es de 7,3 km/h y su aceleracin
instantnea a las 4 horas corresponde a 67,7 km/h2.
Ejercicio N7
a) () () ()
Tiempo Posicin Rapidez Instantnea Aceleracin Instantnea
minutos cm -
-centmetros por minuto
- 2
-centmetros por minutos2
-
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b) = [0,3]
c) Inicia su recorrido a los 45 cm del punto de partida
c) Derivada : 1823)(
2 ttxf 26)( txf
Valor: 26)2( f 10)2( f
La rapidez instantnea que lleva el carro a los 2 minutos corresponde a 26
cm/min y la aceleracin instantnea es de 10 cm/min2 .
Ejercicio N8
a)
() ()
Tiempo Volumen -Razn de cambio del volumen
-Taza de decrecimiento del volumen
minutos galones -
-Galones por minutos
b) () = 100.000 2 1
60 (1
60) () =
10.000
3 (1
60)
c) Valor: 66,1666)30( V
Posibles interpretaciones:
-La rapidez instantnea a los 30 minutos, con la que el agua sale del
depsito corresponde a 1.667 galones por minuto.
-A los 30 minutos, el agua sale del depsito a una razn de 1.667 galones por
minuto
Ejercicio N9
Derivada :
222
81,0
215,081,015,0)(
t
tttxc Valor: 0207,0)2( c
Posibles interpretaciones:
-A las dos horas la concentracin de medicamento est disminuyendo en 0,0207
ml/hr.
-La rapidez con la que disminuye la concentracin de medicamento a las dos horas
de su aplicacin es de 0,0207 ml/hr
-
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Ejercicio N10
Derivada :
222
1
21024124)(
t
ttttp
Valor: 6804733,5)5,1( p
Posibles interpretaciones
-La rapidez instantnea a las 1,5 horas con la que disminuye la poblacin, es de
5.680 bacterias por hora.
-la tasa de decrecimiento de la poblacin a las 1,5 horas es de 5.680 bacterias
por hora.
Ejercicio N11
a) Variables Significado Unidad de Medida
Cantidad de fertilizante Kilos
() Ingreso pesos
()
-Ingreso marginal
-Tasa de crecimiento de los ingresos
-Razn de cambio de los ingresos
-
-Pesos por kilo
() costos pesos
()
-Costo marginal
-Tasa de crecimiento de los costos
-Razn de cambio de los costos
-
-Pesos por kilo
-
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b) Derivada : xxI 418000)(
c) Valor: 200.538)30( I
- Al vender 30 kilos de fertilizante, el ingreso ser de 538.200 pesos
Valor: 880.17)30( I
Posibles interpretaciones:
- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, la tasa de crecimiento del
ingreso ser de 17.880 pesos por kilgramo
- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, el ingreso marginal ser de
17.880 pesos por kilgramo
d) Derivada : xxC 21000)(
e) Valor: 900.30)30( C
- El costo de 30 kilos de fertilizante ser de 30.900 pesos
Valor: 1060)30`( C
Posibles interpretaciones:
- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, la tasa de crecimiento del costo
ser de 1.060 pesos por kilgramo
- Si la produccin es de 30 kilos de fertilizante, el costo marginal ser de
1.060 pesos por kilgramo
-
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Ejercicio N12
a)
Variables Significado Unidad de Medida
Cantidad de productos unidades
() Ingreso dlares
() =
-Ingreso marginal
-Tasa de crecimiento de los ingresos
-Razn de cambio de los ingresos
-
-dlares por unidad
() costos pesos
()
=
-Costo marginal
-Tasa de crecimiento de los costos
-Razn de cambio de los costos
-
-dlares por unidad
b) Derivada : 50)( xIM y 01,0)( xCM Valor: 50)700( IM y 01,0)700( CM
- Si la produccin es de 700 unidades, la tasa de decrecimiento del costo ser
en 0,01 dlares por unidad
O Si la produccin es de 700 unidades, el costo marginal ser de -0,01
dlares por unidad
- Si la produccin es de 700 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso ser
de 50 dlares por unidad
O Si la produccin es de 700 unidades, el ingreso marginal ser de 50
dlares por unidad
Ejercicio N13
Derivada : 40)( xc xxi 02,0100)( Valor: 40)24( c 82,98)59( i
- Si la produccin es de 24 litros, la tasa de crecimiento del costo ser en 40
dlares por litro.
O Si la produccin es de 24 litros, el costo marginal ser de 40 dlares por litro
- Si la produccin es de 59 litros, la tasa de crecimiento del ingreso ser de 98,9
dlares por litro
O Si la produccin es de 59 litros, el ingreso marginal ser de 98,9 dlares por
litro
-
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Ejercicio N14
Derivada : 25,0
5,0
101
5)(
t
t
e
etp
Valor: 123,0)5( p
Posibles interpretaciones
-La rapidez instantnea de esparcimiento del rumor a las 5 horas corresponde a un
12,3% de la poblacin por hora
-la tasa de crecimiento del rumor a las 5 horas corresponde a un 12,3% de la
poblacin por hora
Ejercicio N15
Derivada : 22
10
12,0)(
tt
etetC
Valor: 0223,0)3(0)2(06,0)1( CCC
-la tasa de crecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de una hora es de
0,06% por hora, es decir, el % de alcohol est aumentando en la sangre a 0,06%
por hora.
-la tasa de crecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de dos hora es de
0,0% por hora, es decir, el % de alcohol no est aumentando en la sangre.
-la tasa de decrecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de tres horas es de
0,02% por hora, es decir, el % de alcohol est disminuyendo en la sangre a 0,02%
por hora.
Ejercicio N16
Derivada : 22
2
16
80050
t
ttp Valor: 56,03 p ; 39,07 p
- A los 3 das del primer caso reportado la rapidez con que aumenta del % de
estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,56% por da. En otras palabras a los 3
das la tasa de crecimiento del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de
0,56% por da
- A los 7 das del primer caso reportado la rapidez con que disminuye % de
estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,39% por da. En otras palabras a los 7
das la tasa de decrecimiento del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de
0,39% por da
-
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Ejercicio N17
Derivada : () = 32 4 + 6 Valor: (0,5) = 4,75
La corriente que pasa a los 0,5 minutos por el alambre corresponde a 4,75 amperes
(coulombs/seg.).
Ejercicio N18
Derivada : 512 xtp Valor: 12510 p Transcurridas 10 semanas la tasa de crecimiento de la poblacin corresponde a 125
personas por semana.
Ejercicio N19
Derivada : xextp 04,05020 Valor: 11,39115 p - A los 15 das la poblacin crecer a una razn de 391 conejos por da
- La tasa de crecimiento a los 15 das ser de 391 conejos por da
Ejercicio N20
Derivada : 50)( xc 100)( xi Valor: 100)60( i 50)50( c
- Si la produccin es de 50 unidades, la tasa de crecimiento del costo ser en 50
dlares por unidad
- Si la produccin es de 60 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso ser de 100
dlares por unidad
Ejercicio N21
Derivada : 3618)(
55369)( 2
ttd
tttd Valor:
63)5,1(
163)2(
d
d
La rapidez instantnea del carrito a los 2 minutos es de segcm163
La aceleracin instantnea del carrito a los 1,5 minutos es de 263 segcm
-
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1
SOLUCIONES GUA N5 DE CLCULO I
N1 a)
186,1)11(1)10(
536,1)8(512,0)4(36,1)1(
UU
UUU
b) () =
1
1004
23
1003 +
29
1503 1,18x + 3,2
0)10()8()4()1( UUUU
c) Intervalos de crecimiento ]4,8[, ]10,12[ , la derivada siempre positiva
Intervalos de decrecimiento ]1,4[, ]8,10[ , la derivada siempre
negativa
Valor
Valor
f(x)
Signo + - + - +
d) Transcurridos 11 aos se registra el mayor % de utilidad
correspondiente a 6,86% y en trascurridos 4 aos el menor
registrando un prdida de 0,51%.
-
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2
N2 a) Dominio Emprico [3,4]
b) Valores Crticos: -2, 0 , 3
c)
c) Intervalos (de crecimiento) derivada positiva ]2,0[, ]3,4[,
Intervalos (de decrecimiento) derivada negativa ]3, 2[, ]0,3[,
d) El punto mximo )25.8,3( El punto mnimo )75.9,3(
Interpretacin:
A inicios del ao 2002 se observa el mayor % de inters
correspondiente a un 8,25%.
A inicios del ao 2008 se observa el menor % de inters
correspondiente a una prdida de un 9,75%
-
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3
N3 a) Valores Crticos: -1,5 0 1,5
b)
c)
d) punto mximo )88,646,5.2(
puntos mnimos )13.153,5.1( y )13.153,5.1(
N4 a) A las 8,5 horas de entrenamiento se observa en mximo rendimiento
con una rapidez de 53 km/h.
b) Entre la segunda y secta hora el rendimiento del deportista diminuye.
-
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4
N5 a) No es la mejor ubicacin ya que a los 18 km las emisiones
contaminantes son 768 ppm y si la colocara a 15 km la cantidad de
partculas serian de 525 ppm.
c) Crecimiento]6,8 [ , ]15,21[ La contaminacin aumenta a una distancia
de la fbrica entre los 6 y 8 km y entre los 15 y 21 km.
Decrecimiento ]8,15[ Entre los 8 y 15 kilmetros de distancia la
contaminacin tiende a disminuir
N6 a) Se minimiza el costo cuando el pedido es de 387 artculos y su valor
ser de $1.548.000
b) ]50,387[: Cuando la cantidad est entre los 50 y 387 el costo disminuye,
la funcin es decreciente.
]387, [: Cuando la cantidad de artculos esta sobre los 387 la funcin
crece, aumenta el costo.
-
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5
N7 a)
a) ,3Vdom
a) ]3,0[, ]1,7[: La disminucin de la virulencia se observa en dos periodos,
Despus de iniciado el ao 1997 hasta antes de comenzar el 2000. Y
luego despus del inicio del 2001 hasta antes de comenzar el 2007.
]0, 1[, ]7, [: El crecimiento de la virulencia se observa despus de
iniciado el ao 2000 hasta antes de comenzar el 2001, y despus de
iniciado el 2007.
b) La mnima virulencia se registr a inicios del ao 2007 siendo de un
0,71%
N8 a) Entre los 8 y 24 aos desde su creacin la cantidad de socios
disminuyen en el club deportivo.
b) Se estima que a partir del ao 2009 la cantidad de socios comienzan a
aumentar en forma indefinida.
-
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6
N9 a) Si la inversin flucta entre los 1667 y 5000 euros la rentabilidad
disminuye.
b) Sobre los 5000 euros de inversin, la rentabilidad crecer.
c) La mnima rentabilidad ocurre cuando la inversin es de 5000 euros y
corresponde a un 2%.
d)
N10 a) Para obtener el mayor rendimiento se debe estudiar 4,2 horas diarias
aproximadamente
b) Si el alumno no estudia, su rendimiento ser de un 20%
c)
-
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SOLUCIONES GUA N 6 DE CLCULO I
N1 El campo rectangular debe tener 600 metros de profundidad y 1200
metros de ancho
N2 Para minimizar el costo de la lata, es radio debe ser de 5,42 cm y la
altura ser 10,84 cm.
N3 Para que la superficie de cada corral sea la ms grande, las medidas
deben ser 46,875 pies de ancho y 75 pies de largo, por lo tanto el rea
ms grande corresponde a 3.515,624 pies2.
N4 Para que la caja tenga el mayor volumen debera ser base 20x20 cm y
altura 10 cm, entonces el volumen correspondera a 4000 cm3.
N5 Para que ingrese la mayor cantidad de luz las medidas de la ventada
deben ser aproximadamente ancho 3,8 pies, largo del rectngulo 10,09
pies.
N6 Para que la superficie del cartel sea las ms pequea sus medidas
deben ser de 36x24 cm.
N7 Para que la superficie del cartel impresa sea las ms grande sus
medidas deben ser de 13,43x8,95 pulgadas aproximadamente.
N8 Para que la ventana abarque la mayor superficie las medidas del
rectngulo deben ser 2,8x1,4 metros.
N9 Para que la caja tenga el volumen ms grande el alto ser de 0,5 pies y
el ancho y largo de 2 pies.
N10 Para minimizar el costo del material el ancho y largo de la caja debe
ser de 40 cm y el alto de 20 cm
N11 El tarro de conserva tendr el mayor volumen cuando la atura sea de
34,12 cm y el radio de 2,06 cm aproximadamente.
-
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1
SOLUCIONES GUA N7 DE CLCULO I
1. Complete el siguiente cuadro
a) 3)( xxf Potencia c
x
4
4
b) 5)( xf Constante cx5
c) xxf 5)( Exponencial
c
x
5ln
5
d) xexf )( Exponencial ce x
e) 1)( xf Constante cx
f) x
xf1
)( Potencia cxLn
g) 3)( ttf Potencia c
t
4
33 4
h) xexf 5)( Exponencial c
e x
5
5
i)
x
xg
3
5)( Exponencial c
x
3
5ln
3
5
j) 5)( xxg Potencia c
x
4
4
k) 1)( xxh Potencia cxLn
l) x
xh1
)( Potencia cx 2
m) xexf 3)( Exponencial c
e x
3
3
n) 2
1)( xf Constante cx
2
1
-
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2
o) 43
)( txf Potencia cx
7
44 7
p) xxf 2)( Exponencial
c
x
2ln
2
2. A continuacin identifique el tipo de funcin y luego integre.
a) Contante
cxdxxg 54
)(
b) Potencia
cx
dxxf
16)(
16
c) Potencia
cx
dxxf 83
)(3 8
d) Potencia
cx
dxxf 2)(
2
e) Exponencial
ce
dxxfx
4)(
4
f) Exponencial
cdxxh
x
9ln9
)(
3. Complete el siguiente cuadro:
Funcin Operacin Integral
a) 65)( xxh Multiplicacin por constante c
x
7
5 7
b) xx exh 5)( Resta
ce x
x
5ln
5
c) xexxh 64)( Suma c
ex x
65
65
4.
a) cxxxdxxx 3233
322 b) cxxxdx
x
xx
ln72
3173 22
c) cxxxdxxx 825
3
285
23
d) cexdxex xx 323
5.
-
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3
6. las siguiente funciones bajo ciertas condiciones:
5.
a) 25)( 2 xxxf b) 520)( xxf
c) 23)( 23 xxexf x d) 7ln23 2 xxy
e)
62ln
2
x
y e) 80123)( 2 xxxA
6.
a) 10085,27191,2811,0)( 24 ttttf
b) 064,0001,0 2 xxxC
c) 520)(35,0 tetT
d) 18525,156)(8,0
t
etV
e) 80123)( 2 xxxA
-
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SOLUCIONES GUA N 8 DE CLCULO I
N1 a)
() = () ()
Tiempo Tasa de crecimiento de la deuda Deuda
Aos Millones de dlares
b) La tasa de crecimiento de la deuda nacional de EEUU en 1990
corresponde a 330.650.000 dlares por ao
c) 2,93085,27191,2859,311,0)( 234 tttttf
N2 a)
() ()
Tiempo Tasa de crecimiento de la poblacin Poblacin
Aos Miles de habitantes
b) La tasa de crecimiento de la poblacin a los 9 aos ser de 640.544
personas por ao.
c) 28000)( 75,0 tetp
N3 a) () () = () () = ()
Tiempo Aceleracin
Instantnea
Rapidez
Instantnea Posicin
Horas km/h2 km/h km
b) La aceleracin del ciclista trascurridos 30 minutos corresponde a 1,7
km/h2.
c) 25,17,296,604,415,118,0)()( 2345 xxxxxxRdxxA
d) xxxxxxxPxR 25,135,132,201,123,003,0)()( 23456
-
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N4 a) La aceleracin del automvil a los 30 minutos de su partida es de
7,39 km/h2
b) xexxxRdxxA 12123)()(2
c) xexxxxPdxxR 1126)()(23
N5 a) () = + 0,0012 + 9.999,5
b) El costo de produccin de 100 kilos de fertilizante es de $10.109,5
N6 a) xxCdxxCM 01,0300)()(
b) 200.250)()( xxIdxxIM
c) Es costo de produccin de 1000 unidades es de 290 dlares y el
ingreso por la venta de 5000 productos es de US252.200
N7 a) () ()
Tiempo Tasa de crecimiento de la temperatura temperatura
Horas 0 0
b) 1620)( 35,0 tetT
c) El temperatura en de la carne despus de t horas fuera del
congelador est dada por la funcin ()
d) La temperatura de la carne despus de 2 horas es 6,07 C.
N8 a) () ()
Tiempo Tasa de crecimiento del volumen del tumor Volumen del tumor
Das 3 3
b) 451515,0)( 006,0 tettV
c) El volumen del tumor en cm3 despus de t das del tratamiento est dada por la funcin ()
d)) A los 60 das el tumor tiene un volumen aprox. de 32,53cm .
N9 El costo en pesos de producir x litros de pintura por semana est dado por la
funcin xxc 4002000)( y El ingreso en pesos por la venta de x litros de
pintura por semana est dado por la funcin 100.20001,0100)( 2 xxxI
-
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N10 tetV 8,0125)(
La funcin )(tV corresponde al ingreso en miles pesos de las ventas
despus de t meses de haber aumentado el valor de los productos
N11 a) 300.200500200)( 03,01,0 tt eetP
b) La poblacin de bacterias despus de t horas despus de iniciada la observacin est dada por la funcin ()
c) La poblacin 12 horas despus es de 200.615 bacterias.
N12 El costo total de producir las cinco primeras unidades es de 1.587
dlares.
N13 El costo de producir 30 unidades es de 22.360 dlares.
N14 La distancia recorrida es de 26 metros.
N15 Dentro de ocho aos la poblacin ser 10.128 personas.
N16 22240)()( xxxIdqqIM corresponde a la funcin que determina el ingreso al vender x unidades en dlares
N17 a)
La funcin ingreso es : 2363074)( 23 xxxxI
b) El ingreso al vender 14 saca jugos es de 10.260 euros
-
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SOLUCIONES GUA N 9 DE CLCULO I
N1 a) 6,6
b) 24
c) 13/3
N2 a) En enero el valor por litro ser de $810 y en diciembre de $964
b) El precio promedio entre marzo y diciembre es de $901 por litro de
bencina
N3 La rapidez promedio del trfico entre la 1:00 y las 6:00 pm.es de 21,25
kilmetros por hora
N4 En valor promedio de pollo entre enero y marzo es de US18,99 el kilo
N5 La temperatura promedio entre los 5 y los 8 minutos de encendido es de
24,08C
N6 a) Por 100 unidades el consumidor est dispuesto a pagar $23.866.666 aprox
Por 100 unidades el consumidor paga $19.20.000
b) El excedente de los consumidores al comprar 100 unidades es de
$4.666.666
N7 a) El productor est dispuesto a percibir como mnimo 337,5 euros al vender
15 unidades
El productor obtiene 1.012,5 euros al vender 15 unidades
b) El excedente de los productores es de 675 euros al vender 15 unidades
N8 a) El valor unitario al vender 210 televisores es de 1.686 dlares
B) El excedente de los consumidores es 388.080 dlares al comprar 210
artculos
N9 a) El valor unitario al vender 20 cuadernos es de $892
B) El excedente de los productor es $1.400 al vender 20 cuadernos
-
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N10 El punto de equilibrio es 8000) ,10(),( 00 yx .
El excedente de los consumidores es $6.667 y el excedente de los
productores es $18.333
N11 El excedente de los consumidores es 4.000 dlares y el excedente de los
productores es 7.333,33 dlares.
N12 El precio promedio de la carne molida durante los 3 primeros meses del ao
es aproximadamente de $1.450.
N13 La cantidad media de bacterias presentes durante los 5 primeros minutos del
experimento es de 2.272
N14 La temperatura promedio en el aeropuerto entre las 3:00 a.m. y las 8:00 a.m.
es de 3,8 Celsius.
N 15 El excedente de los consumidores es de 54 dlares.
N16 El excedente de los productores al vender 10 productos es de $2.060
N17 El precio promedio de la carne durante los primeros 4 meses fue $3.510
aproximadamente.
N18 El excedente de los consumidores es de aprox. $7.667
-
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1
SOLUCIONES GUA RESUMEN UNIDAD I
Ejercicio N1
a)
b) Dominio contextualizado de M(p) [0,6000]
c)
d) Coordenada inicial (0, 2) final (6000,6,2)
En una ciudad deshabitada (cero habitantes) el nivel promedio de monxido de
carbono en el aire se estima en 2 ppm
Cuando la cantidad de habitantes es de 6000 personas, el nivel promedio de monxido
de carbono en el aire se estima en 6,2 ppm
e) Pendiente
.= 0,0007
Posibles interpretaciones:
-Se estima que en nivel promedio de monxido de carbono en el aire aumenta en
0,0007 ppm por habitante.
-Por cada habitante se estima que en nivel promedio de monxido de carbono en el
aire aumente en 0,0007 ppm
-
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2
Ejercicio N2
80)(lim
tUt
La utilidad de la empresa a largo plazo ser de 80 millones de dlares
Ejercicio N3
a)
b) Dominio contextualizado de f(x) [0,1.5]
c)
d) Coordenada inicial (0, 0) final (1.5 , 72)
Al comenzar el examen el rendimiento del alumno es de un 0%
Al finalizar el examen el rendimiento del alumnos es de un 72%
e) A la hora de comenzar el examen, el alumno presenta su mayor rendimiento
correspondiente a un 96%
f) Intervalo de Crecimiento ]0,1[
Intervalo de Decrecimiento ]1, 1.5[
Durante la primera hora de trabajo el rendimiento del alumno aumenta, despus de la
hora de trabajo se observa una disminucin hasta el final de la evaluacin
-
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3
Ejercicio N4
a) () =
1
1000(400
4
3)
2
+ (400 4
3)
b) La funcin () entrega el ingreso semanal en miles de dlares dependiendo del precio
unitario de los artculos (en dlares)
Ejercicio N5
a) Dominio contextualizado de f(a) [0,11]
b)
c) final (10,5.6)
Al final de los 10 aos de funcionamiento de la empresa la utilidad corresponde a 5,6%
aproximadamente
d) Intervalo de crecimiento ]0,1[ , ]4,8[
Intervalo de decrecimiento ]1,4[ ]8,10[
La empresa registra un aumento del % de las utilidades durante el primer ao de
funcionamiento al igual que despus del cuarto ao (inicios del 5to ao) hasta finales
del octavo ao.
Despus del primer ao de funcionamiento (inicios del 2do ao) hasta finales del cuarto
ao se observa una disminucin del % de utilidades al igual que despus del octavo
hasta finales del dcimo ao.
c El valor mnimo se observa al finalizar cuarto ao, con una prdida de un 1,54%.
-
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4
Ejercicio N6
a)
b) Dominio [0,14]
c)
d) ]0,7[
Entre lo cero y siete metros de distancia horizontal desde que fue lanzado el tiro libre, la altura de la pelota aumenta.
e) La altura mxima que alcanza la pelota es de 2,45 metros y ocurre a los 7 metros de distancia horizontal en que fue pateada.
Ejercicio N7
a) Despus de 3 intento la rata se demorar 10,7 minutos aproximadamente en recorrer el laberinto
b) 5)(lim
nTn
c) Si aumenta la cantidad de intentos indefinidamente se espera que la rata recorra el laberinto en 5 minutos
-
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5
Ejercicio N8
a)
b) Dominio f(t) [0, ]
c) Coordenada inicial (0,160)
A inicios del ao 1995 los ingresos de la empresa son de 160.000 euros
d) Pendiente , , al estar en miles se debe multiplicar para la interpretacin
(30 1000 = 30.000)
Posibles interpretaciones:
- Se estima que los ingresos de la empresa aumentarn en 30.000 euros por ao
-Los ingresos de la empresa aumentarn por ao 30.000 euros
Ejercicio N9
a) I(t) = 950 (221.250+5.000
5.000)
b) La funcin I(t) entrega el ingreso total en pesos dependiendo de la cantidad de
trabajadores ( t)
c) I(2.500) = 1.782.200
Si hay 2.500 trabajadores se espera que el ingreso sea de $1.782.200
-
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6
Ejercicio N10
a) : [0,6] b) Intervalos de crecimiento ]0,2[
Intervalo de decrecimiento ]2,6[ El redimiento del deportista aumenta durante las dos primeras horas de trabajo. Por el contrario, el rendimiento disminuye entre la 2da y 6ra hora de entrenamiento.
c) El mayor redimiento es de 94 kilos y se observa en la segunda hora de trabajo, la menor se produce al inicio y sexta hora con 30 kilos
Ejercicio N11
a) (0) 1,904761905 La poblacin actual es de aproximadamente 1.904.762 insectos
b) 40)(lim
tPt
t 10 10.000 1.000.000
)(tp 38,11 40 40
A largo plazo se estima que la poblacin llegue a los 40 millones de insectos
Ejercicio N12
) () = 1300 4 (2
3+ 10 + 5 )
b) La funcin () corresponde a precio por kilogramos de palta en pesos que depende de la temperatura promedio en grados Celsius
c) (10) = 1300 4 (102
3+ 10 10 + 5 )
(10) =3040
3 1013,13
Si la temperatura fue de 10C el kilogramo de palta costar $1.013
Ejercicio N13
a) () = [0,6] b) Coordenadas Inicial (0,0.2) Final (6, 0.452)
Interpretacin: El deposito inicia con un inters anual de un 0,2% El deposito finaliza a los 6 aos con un inters anual de un 0,45%
d) El mximo inters se observa en a los dos aos y es de un 0,73% El menor inters se observa a los 5 aos con un prdida de 0,61%
-
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7
Ejercicio N14
a)
b) [0,30]
c) Pendiente: 0,2
d) La calificacin del alumno aumentar 0,2 dcimas por cada punto en la prueba
-
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1
SOLUCIONES GUA RESUMEN UNIDAD II
Ejercicio N1
Paso N1: Identificar los datos del problema
rea de la superficie 471 cm2 = 471 471 = 6,28 2 + 6,28
Paso N2: Determinar Funcin a Optimizar. Expresarla en funcin de una variable
Funcin a optimizar es el volumen = 3,14 2
(, ) = 3,14 2
Utilizando el dato del paso N1, despejamos una variable para luego reemplazarla en la funcin
a optimizar, para que dependa de una sola variable:
471 = 6,28 2 + 6,28
471 6,28 2 = 6,28
471 6,28 2
6,28 =
Se reemplaza en la funcin a optimizar reduciendola a su mxima expresin:
(, ) = 3,14 2
() = 3,14 2 471 6,28 2
6,28
() = 0,5 (471 6,28 2)
() = 235,5 3,143
Por lo tantao, la funcin a optimizar expresada en dependeincia de una variable es:
() = , ,
Paso N3: Determinar puntos crticos (derivando Funcin a Optimizar)
Derivar la funcin a optimizar y luego igualar a cero
() = 235,5 3,143
() = 235,5 9,422
0 = 235,5 9,422
1 = 5 2 = (5)
Los puntos crticos son 1 = 5 2 = (5)
-
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2
Paso N4: Verificar si los puntos crticos son un mximo o mnimo
Se descarta r2 = (5) ya que el radio no puede ser negativo. Comprobar si el radio r1 = 5 es
un mximo o mnimo
Por lo tanto r1 = 5 es un valor mximo
5f
Signo de () 0 -
Paso N5: Responder la pregunta
Para determinar la altura utilizar
471 6,28 2
6,28 =
=471 6,28 2
6,28 =
471 6,28 52
6,28 5= 10
Para que el cilindro tenga el mayor volumen el radio corresponde a 5 cm y la altura
corresponde a 10 cm
Ejercicio N2
a) Variables () ()
Significado tiempo poblacin Tasa de crecimiento de la poblacin
Unidad de
Medida aos
Millones de
habitantes
-
-millones de habitantes por ao
b) 2014 1800 = 214
(214) = 836,870,0098214 = 6.814,914116
Respuesta:
Para inicios 2014 se estima una poblacin de 6.814.914.116 habitantes (o
6.814,914116 millones de habitantes)
c) () = 8,2013260,0098
b) 2015 1800 = 215
(215) = 8,2013260,0098215 = 67,44383092
Respuesta:
La tasa de crecimiento iniciando el ao 2015 se estima en 67.443.831 habitantes por
ao. (o 67,44383092 millones de habitantes por ao)
-
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3
Ejercicio N3
a) Paso N1: Determinar Dominio Contextualizado
[0,10]
b) Paso N2: Encontrar Punto Crticos
() = 32 36 + 81 32 36 + 81 = 0
1 = 9 2 = 3
Paso N3: Determinar si los Puntos Crticos son mximos o mnimos relativos
Alternativa N1: criterio de la primera derivada
Por lo tanto x=3 es un mximo
relativo y x=9 es un mnimo relativo
Alternativa N1: graficando
Valor
inicial dominio
Punto crtico
Punto Crtico
Valor
final domino
f(0) f(3) f(9) f(10)
50 158 50 60
Por lo tanto x=3 es un mximo y
x=9 es un mnimo
Respuesta pregunta
Intervalo de decrecimiento ]3,9[ Intervalo de decrecimiento ]0,3[ , ]9,10[
3f 9f
()
Signo 0 - 0 +
c) Paso N4: Determinar mximos o mnimos absolutos
Por lo tanto x=3 es un mximo absoluto y x=0 y x=9 es un mnimo absoluto
Respuesta:
Transcurridas 3 horas se observara la mayor cantidad de personas conectadas
correpondente a 158 personas.
Iniciada la oferta y a la 9na hora se observa la menor cantidad de personas conectadas,
correspondente a 50.
f(0) f(3) f(9) f(10)
50 158 50 60
-
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4
Ejercicio N4
a) () () ()
Tiempo Posicin Rapidez Instantnea Aceleracin Instantnea
Horas km -
- Kilmetros por hora
- 2
- Kilmetros por hora2
b) `() = 6 + 452
`(1,5) 92
Interpretacin: La rapidez instantnea a las 1,5 horas es de 92 km/h
c) ``() = 6 + 90
``(0,6) = 48
Interpretacin: La aceleracin instantnea a las 0,6 horas es de 48 km/h2
Ejercicio N5
a) Variables Significado Unidad de Medida
Cantidad de tela Toneladas
() Ingreso Miles euros
()
Ingreso marginal
Tasa de crecimiento del ingreso
Razn de cambio del ingreso
/
() costo Miles euros
()
Costo marginal
Tasa de crecimiento del costo
Razn de cambio del costo
/
b) () = 0,0032 + 2 () = 100 0,18
c) (200) = 64
Posibles interpretaciones
- Si la empresa importa 200 toneladas de tela, el costo marginal ser de 64.000 euros
por tonelada (o bien 64 miles euros/tonelada)
-Si la empresa importa 200 toneladas de tela, la tasa de crecimiento del costo ser de
64.000 euros por tonelada (o bien 64 miles euros/tonelada)
(200) = 520
-Si la empresa importa 200 toneladas de tela, el ingreso marginas ser 520.000 euros
por tonelada (o bien 520 miles euros/tonelada)
-Si la empresa importa 200 toneladas de tela, la tasa de crecimiento del ingreso ser
520.000 euros por tonelada (o bien 520 miles euros/tonelada)
-
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5
Ejercicio N6
a) () = 2 2+7 + 392 b)
x
xx
e
xxexexf
2
2 332)(
c) 10ln
)log()(x
exexf
xx d)
tetP 15500.22)(
Ejercicio N7
a)
() ()
tiempo personas -Tasa de crecimiento de la cantidad de habitantes
-Razn de cambio de la cantidad de habitantes
aos Millones de
habitantes
-millones de habitantes por ao
-
b) (2) = 11,38461538
Trascurrido 2 aos (iniciando el aos 2002) la cantidad de habitantes es de 11.384.615
personas
b) Derivada () =4(+24)(4+288)1
(+24)2
Valor (2) = 0,2840236686
Posibles interpretaciones:
- Transcurrido dos aos la razn de cambio de la poblacin es de -284.024 habitantes
por ao (o bien -0,2840236686 millones de habitantes por ao)
- Trascurrido dos aos la tasa de decrecimiento corresponde a 284.024 habitantes por
ao (o bien 0,2840236686 millones de habitantes por ao)
- Transcurrido dos aos la poblacin disminuye en 284.024 habitantes por ao (o bien
0,2840236686 millones de habitantes por ao)
-
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6
Ejercicio N8
Paso N1: Identificar los datos del problema
Volumen de la caja 500.000 cm3 = 500.000 500.000 = 2
Paso N2: Determinar Funcin a Optimizar. Expresarla en funcin de una variable
Funcin a optimizar es el rea = 4 + 2
(, ) = 4 + 2
Utilizando el dato del paso N1, despejamos una variable para luego reemplazarla en la funcin
a optimizar, para que dependa de una sola variable:
500.000 = 2
500.000
2=
Se reemplaza en la funcin a optimizar reduciendola a su mxima expresin:
(, ) = 4 + 2
() = 4 500.000
2 + 2
() =2.000.000
+ 2
() = 2.000.000 1 + 2
Por lo tanao, la funcin a optimizar expresada en dependeincia de una variable es:
() = . . +
Paso N3: Determinar puntos crticos (derivando Funcin a Optimizar)
Derivar la funcin a optimizar y luego igualar a cero y resolver ecuacin
() = 2.000.000 1 + 2
() = 2.000.000 2 + 2
`() =2.000.000
2+ 2
0 =2.000.000
2+ 2
= 100
Los puntos solo hay un punto crtico = 100
-
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7
Paso N4: Verificar si los puntos crticos son un mximo o mnimo
Por lo tanto = 100 es un valor mnimo
100A
Signo de () - 0 +
Paso N5: Responder la pregunta
Para determinar la altura utilizar
500.000
2=
500.000
1002=
50 =
Para minimizar la cantidad de material usada, la caja debe medir 100x100 cm de base
y 50 cm de alto
-
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8
Ejercicio N9
Paso N1: Determinar Dominio Contextualizado
[1,8]
Paso N2: Encontrar Punto Crticos
() = 3 112 + 28 3 112 + 28 = 0
(2 11 + 28) = 0 1 = 0 2 = 4 3 = 7
Paso N3: Determinar si los Puntos Crticos son mximos o mnimos relativos
Se descarta x=0 porque est fuera del dominio contextualizado
Alternativa N1: criterio de
la primera derivada
Por lo tanto x=4 es un mximo relativo y x=7 es un mnimo relativo
Alternativa N2: graficando
Valor inicial
dominio
Punto
crtico
Punto
Crtico
Valor final
domino
f(1) f(4) f(7) f(8)
45,6 88,3 63,6 77,7
Por lo tanto x=4 es un mximo relativo y x=7 es un mnimo relativo
Paso N4: Determinar mximos o mnimos absolutos
Con la aternativa dos del paso 3, se determina los mximos y minimos asolutos
Por lo tanto x=4 es un mximo absoluto y x=7 es un mnimo absoluto
Respuesta: El mayor rendimiento lo obtendr si estudia 4 horas diarias, y el menor
rendimiento, si estudia 1 hora diaria.
4f 7f
Signo() 0 - 0 +
-
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Ejercicio N10
a) () = () = 2 +1
50 y () = () = 0,002 + 1
b) (150) = 1,0
Posibles interpretaciones
-Si la empresa produce 150 productos, el costo marginal ser 1.000 dlares por
unidad (o bien 1,0 miles dlares /unidad)
-Si la empresa produce 150 productos, la tasa de crecimiento del costo ser 1.000
dlares por unidad (o bien 1,0 miles dlares /unidad)
(150) = 1,3
Posibles interpretaciones
-Si la empresa vende 150 productos, el ingreso marginal ser 1.300 dlares por
unidad (o bien 1,3 miles dlares /unidad)
-Si la empresa vende 150 productos, la tasa de crecimiento del ingreso ser 1.300
dlares por unidad (o bien 1,3 miles dlares /unidad)
Ejercicio N11
Funcin Derivada () =1
50 Valor (30) = 0,6
Interpretacin: La rapidez instantnea del ciclista a los 30 minutos corresponde a 0,6 km/min.
Funcin Derivada () =1
50= 0,02 Valor (30) = 0,02
Interpretacin: La aceleracin instantnea a los 30 minutos es de 0,02 km/min2.
Ejercicio N12
Paso N1: Identificar los datos del problema
Permetro del rea rectangular 480 metros = 480 480 = 4 + 6
Paso N2: Determinar Funcin a Optimizar. Expresarla en funcin de una variable
Funcin a optimizar es el rea de 1 corral =
(, ) =
Utilizando el dato del paso N1, despejamos una variable para luego reemplazarla en la funcin
a optimizar, para que dependa de una sola variable:
480 = 4 + 6
480 4
6=
-
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10
Se reemplaza en la funcin a optimizar reduciendola a su mxima expresin:
(, ) =
() = 480 4
6
() = 80 2
32
Por lo tanao, la funcin a optimizar expresada en dependeincia de una variable es:
() =
Paso N3: Determinar puntos crticos (derivando Funcin a Optimizar)
Derivar la funcin a optimizar y luego igualar a cero y resolver ecuacin
() = 80 2
32
() = 80 4
3
0 = 80 4
3
60 =
Los puntos solo hay un punto crtico = 60
Paso N4: Verificar si los puntos crticos son un mximo o mnimo
Por lo tanto = 60 es un valor mximo
60A
Signo de () + 0 -
Paso N5: Responder la pregunta
Para determinar el ancho de cada corral utilizar
480 4
6=
480 4 60
6=
40 =
Se debe calcular el rea = = 60 40 = 2400
El rea ms grande posible para cada uno de los tres corrales 2400 m2
-
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Ejercicio N13
a) Paso N1: Determinar Dominio Contextualizado
[0,1.5]
Paso N2: Encontrar Punto Crticos
() = 192 192 192 192 = 0 = 1
Paso N3: Determinar si los Puntos Crticos son mximos o mnimos relativos
Alternativa N1: criterio de la primera derivada
Por lo tanto x=1 es un mximo relativo
Alternativa N2: graficando
Valor inicial
dominio
Punto crtico
Valor final
domino
f(0) f(1) f(1.5)
0 96 72
Por lo tanto x=1 es un mximo relativo
Responder: Intervalos de crecimiento ]0,1[ Intervalos de decrecimiento ]1,1.5[
Durante la primera hora que rinde el examen, el rendimiento de alumno aumenta.
Durante los ltimos 30 minutos del examen, el rendimiento del alumno disminuye
1f
Signo() 0 -
b) Paso N4: Determinar mximos o mnimos absolutos
Con la aternativa dos del paso 3, se determina los mximos y minimos asolutos
Por lo tanto x=1 es un mximo absoluto y x=0 es un mnimo absoluto
Respuesta: Se observa el mximo rendimiento del alumno a la hora de comenzado el
examen, correspondiente a un 96%
-
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Ejercicio N14
a) () ()
Cantidad de pendrives Ingreso -Tasa de crecimiento del ingreso
-Razn de cambio del ingreso
unidades pesos - Pesos por unidad
-
b) `() = 850 + 0,08
c) `(2000) = 1.010
Interpretaciones:
- Si se venden 2.000 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso ser de 1.010 pesos
por unidad
Ejercicio N15
a) () () ()
Tiempo Distancia
vertical Rapidez Instantnea Velocidad Instantnea
segundos metros -
- metros por segundo
- 2
- metros por segundo2
b) D(4) = 576
La distancia por encima del suelo del proyectil despus de 4 segundos ser de 576
metros
c) () = 216 36 (4) = 72
Respuesta: La rapidez instantnea a los 4 segundos de ser disparado el proyectil es de
72 /
d) () = 36 (4) = 36
Respuesta: La aceleracin instantnea a los 4 segundos de ser disparado el proyectil es
de 36 /
Ejercicio N16
Derivada () = 30
Valor (10) = 30
Interpretaciones:
- La tasa de crecimiento de las ventas de la empresa transcurridas 10 aos corresponde a
30.000.000 euros por ao. (o 30 millones de euros por ao)
-
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SOLUCIONES GUA RESUMEN UNIDAD III
Ejercicio N1
a)
Variables
= () ()
Significado Tiempo Tasa de crecimiento poblacin Poblacin
Unidad de
Medida Aos Personas/ao
Cantidad de
personas
b) () = 100
53 + 500 +
(0) = 100 053 + 500 0 + = 2.500
2.500 =
() = 10053 + 500 + 2.500
c) La funcin () corresponde a la cantidad de habitantes despus de t aos
d) (5) 6.462 Respuesta: Dentro de 5 aos la poblacin ser de 6.462 habitantes
Ejercicio N2
a)
() () = ()
Tiempo Rapidez Instantnea Posicin
minutos Metros/minuto metros
b) () = () = 3 + 0,12 +1
63 + (0) = 2
(0) = 3 0 + 0,1 32 +1
6 03 + = 2 = 2
() = 3 + 0,12 +1
63 + 2
c) (3) = 16,4 A los 3 minutos el tren se encuentra a 16,4 metros del punto de partida
-
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2
Ejercicio N3
EP = 0 0 (x)dx0
0 donde 0 = (0)
0 = 100 0 = (100) 6.201,66667
0 0 = 620200
() =1
18.0003 + 6.200 +
() = 620.055100
0
0 0 (x)dx = 6.366.666 6.255.555,56 = 111.1100
0
El excedente del productor al vender 100 calculadores corresponde a $110.110
Ejercicio N4
a) (4) = 0,4
Respuesta: La Temperatura a las 4 de la madrugada es de -0,4c
b) VP(f(x)) =1
ba f(x)dx
b
a
= 0 ; b = 7
() =41
3003 1,622 + 6 +
7
0() 9,5 VP =
1
7 9,5 1,36
Respuesta: La Temperatura promedio entre la medianoche y las 7 de la maana, fue
1,36C.
-
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3
Ejercicio N5
Ejercicio N6
() = (20 38) (0) = 100
() = 202
2 38 + () = 102 38t + c ( )
(0) = 0 0 + c c = 100
() = 102 38t + 100
(10) = 10 102 38 10 + 100 = 720
Respuesta: Se encuentra a 720 metros de su casa a los 10 segundos de haber
entrado a la carretera.
a) Variables () () = ()
Significado Artculos Ingreso Marginal Ingreso
Unidad de
Medida Unidades Dlares/unidad dlares
b) () = 50,2 + 0,012 + 1 +
(40) = 61
() = 50,2 + 0,012 + 1 + 5
50,240 + 0,01 402 + 1 40 + = 61
5
c) La funcin () corresponde a los ingresos en dlares por la venta de x artculos
-
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4
Ejercicio N7
a) () = (135 0,75) (0) = 25.180
() = 135 0,75
0,75+ () = 180 0,75 + c
(0) = 180 + c 25.180 = 180 + c c = 25.000
() = 180 0,75 + 25.000
b) Interpretacin: La funcin () entrega en la cantidad de habitantes de cierta
poblacin dentro de aos
c) (3) = 180 (0,753) + 25.000 = 26.707,79
Respuesta: Dentro de tres aos la poblacin ser de 26.708 habitantes
aproximadamente.
Ejercicio N8
a) () = (960 0,8) (0) = 1.500
() = 960 0,8
0,8+ () = 1.200 0,8 + c
(0) = 1.200 + c 1.500 = 1.200 + c c = 300 () = 1.200 0,8 + 300
b) Interpretacin: La funcin () corresponde a las ventas en miles de pesos
despus de meses que se aument los valores del producto
c) (4) = 1.200 (0,84) + 300 = 29.739,036 Respuesta: A los 4 meses de haber modificado los precios las ventas
correspondern a $29.739.036
Ejercicio N9
(50) = 1,2 502 + 130 = 3.130
= 50 3.130 (1,2 2 + 130)50
0
= 50 3.130
1,2 3
3|
0
50
130
|
0
50
= 156.500 56.500 = 100.000
Respuesta: el excedente de los productores es $100.000 al vender 50 bolsos.
-
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Ejercicio N10
() =1
8 4 (12 + + 0,032)
8
4
() =1
4 [12 +
2
2+ 0,03
3
3]
4
8
() =1
4 (133,12 56,64) = 19,12
Respuesta: la temperatura promedio es de 19,12 Celsius.
Ejercicio N11
() = 100 0,092 + (20) = 2264 2264 = 100 20 0,09 202 + = 300 () = 100 0,092 + 300 (Funcin Costo)
Ejercicio N12
584.28006,0804,0000.3)80( 2 D
80
0
2 80584.206,04,0000.3 dxxxEC
720.2063
06,02
4,0000.3
80
0
32
xx
xEC
760.21720.206480.228720.2068002,0802,080000.3 32 EC
Respuesta: El excedente de los consumidores es de 21.760 dlares cuando el nivel
de venta es de 80 unidades
Ejercicio N13
() = (120 + 48) (0) = 0
() = 120 + 482
2+ () = 120 + 242 + c
(0) = 0 + 0 + c c = 0 () = 120 + 242 (Funcin distancia o Posicin)
(2) = 120 2 + 24 22 = 336
Respuesta: La distancia recorrida es de 336 metros.
-
Vicerrectora Acadmica Direccin de Servicios Acadmicos
Subdireccin de Servicios a Escuelas
6
Ejercicio N14
6
1
23 481216
1dttttVP
6
1
234
248
312
416
1
ttt
75,6025,203245
112414
4
162464
4
6
5
1 234
234
Respuesta: La rapidez promedio de las ventas es de 61 unidades por mes
Ejercicio N15
() = (0,32 6 + 15.000) = 0,13 32 + 15.000 +
(20) = 0,1 203 3 202 + 15.000 20 + = 500.000 = 200.400
() = 0,13 32 + 15.000 + 200.400 (Funcin Ingreso)
(50) = 0,1 503 3 502 + 15.000 50 + 200.400 = 955.400
Respuesta: El ingreso por vender 50 unidades es $955.400
Ejercicio N16
() = ()
4 + 2.000 = 8.000 2
0 = 1.000
(1.000) = 8.000 2 1.000 = 6.000
= (8.000 2)1.000
0
1.000 6.000
=
8.000
|
0
1.000
2
|
0
1.000
1.000 6.000
= 7.000.000 6.000.000 = 1.000.000
Respuesta: el excedente de los consumidores es de $1.000.000 al comprar 100
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