Soluciones en Serie de Ecuaciones Lineales
CAPÍTULO 5
Contenidos
• 5.1 Soluciones respecto a puntos ordinarios• 5.2 Soluciones respecto a puntos singulres• 5.3 Funciones Especiales
5.1 Soluciones Respecto a Puntos Ordinarios
• Repaso de Series de PotenciasRecuerde del cálculo una serie de potencias en x – a es de la forma
Se dice que es una serie de potencias centrada en a.
2210
0
)()()( axcaxccaxcn
nn
• ConvergenciaExiste
• Intervalo de ConvergenciaEl conjunto de números reales x para los cuales la serie converge.
• Radio de ConvergenciaSi R es el radio de convergencia, la serie de potencias converge para |x – a| < R y diverge para |x – a| > R.
N
nn
nNNN axCxS0
)(lim)(lim
• Convergencia AbsolutaDentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge absolutamente. Esto es, la siguiente serie converge:
• Prueba de RelaciónSuponiendo cn 0 para todo n, y
Si L < 1, esta serie converge absolutamente, si L > 1, esta serie diverge, si L = 1, el criterio no es concluyente.
0
|)(|n
nn axc
LCC
axaxC
axC
n
n
nnn
nn
n
11
1 lim||)(
)(lim
• Una Serie de Potencias Define una FunciónSuponemos entonces
• Propiedad de IdentidadSi todo cn = 0, entonces la serie = 0.
(1) )1(",'0
20
1
n
nn
n xnnyxny
0n
nnxcy
• Analítica en un PuntoUna función f s analítica en un punto a, si se puede representar mediante una serie de potencias en x – a con un radio de convergencia positivo. Por ejemplo:
(2)
!6!4!21cos
!5!3sin ,
!2!11
642
532
xxxx
xxxx
xxex
• Aritmética de Series de PotenciasLas series de potencia se combinan mediante operaciones de suma, multiplicación y división.
303
241
121
1201
61
61
21
61
)1()1(
5040120624621
sin
532
5432
753432
xxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xex
Ejemplo 1
Escribir como una sola serie de potencias.SoluciónComo
Se establece k = n – 2 para la primera serie y k = n + 1 para la segunda serie,
01
22)1( n
nnn
nn xcxcnn
2 0 3 0
1202
12 )1(12)1(n n n n
nn
nn
nn
nn xcxcnnxcxcxcnn .
Entonces podemos obtener el lado derecho como
(3)
Ahora obtenemos
(4)
1 1122 )1)(2(2
k k
kk
kk xcxckkc
1122
2 0
12
])1)(2[(2
)1(
k
kkk
n n
nn
nn
xcckkc
xcxcnn
Ejemplo 1 (2)
• Suponga que la ED lineal
(5)se escribe como
(6)
Una Solución
0)()()( 012 yxayxayxa
0)()( yxQyxPy
Se dice que un punto x0 es un punto ordinario de (5) si P y Q en (6) son analíticas en x0. Un punto que no es un punto ordinario es un punto singular
DEFINICIÓN 5.1
• Como P y Q en (6) son funciones racionales, P = a1(x)/a2(x), Q = a0(x)/a2(x)
Se deduce que x = x0 es un punto ordinario de (5) si a2(x0) 0.
Coeficientes Polinomiales
• Una solución en serie converge al menos en un intervalo definido por |x – x0| < R, donde R es la distancia desde x0 hasta el punto singular más próximo.
Si x = x0 es un punto ordinario de (5), siempre es posible hallar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centrada en x0, esto es,
TEOREMA 5.1Existencia de soluciones en series de potencias
0 0)(
nn
n xxcy
Ejemplo 2
ResolverSoluciónSabemos que no hay puntos ordinarios finitos. Ahora, y
Luego de la ED se obtiene
(7)
0" xyy
0n
nnxcy
22)1("
nn
nxcnny
0
1
2
2
2 0
2
)1(
)1(
n
nn
n
nn
n n
nn
nn
xcxnnc
xcxxnncxyy
Ejemplo 2 (2)
Por el resultado obtenido en (4),
(8)
Como (8) es idénticamente cero, es necesario que todos los coeficientes sean cero, 2c2 = 0, y
(9)Ahora (9) es una relación de concurrencia, puesto que (k + 1)(k + 2) 0, entonces desde (9)
(10)
1122 0])2)(1[(2
k
kkk xcckkcxyy
,3,2,1,0)2)(1( 12 kcckk kk
,3,2,1,)2)(1(
12
kkk
cc kk
Ejemplo 2 (3)
Así obtenemos,1k
320
3 .c
c
,2k43
14 .
cc
,3k 054
25
.c
c
,4k 03
6 65321
65c
cc
....
,5k 14
7 76431
76c
cc
....
y así sucesivamente.
Ejemplo 2 (4)
,6k 087
58
.c
c
,7k 06
9 9865321
98c
cc
......
,8k 17
10 10976431
109c
cc
......
,9k 01110
811
.c
c
Ejemplo 2 (5)
Entonces las soluciones en series de potencias son y = c0y1 + c1y2
....07.6.4.3
6.5.3.20
4.33.20
71
60413010
xc
xc
xc
xc
xccy
1
13
10742
)13)(3(43)1(
10976431
76431
431
1)(
k
kk
xkk
x
xxxxy
.
.........
Ejemplo 2 (6)
1
3
9631
)3)(13(32)1(
1
9865321
65321
321
1)(
k
kk
xkk
xxxxy
.
.........
Ejemplo 3
ResolverSoluciónPuesto que x2 + 1 = 0, x = i, −i son puntos singulares. Una solución en serie de potencias centrada en 0 convergerá al menos para |x| < 1. Usando al forma en serie de potencia de y, y’ y y”,
0'")1( 2 yxyyx
012
2
2
2 01
122
)1()1(
)1()1(
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n n
nn
n
nn
nn
xcxncxcnnxcnn
xcxncxxcnnx
Ch5_21
nk
n
nn
nk
n
nn
nk
n
nn
nk
n
nn
xcxncxcnn
xcnnxcxcxcxcxc
22
2
4
2
2113
00
02
)1(
)1(62
Ejemplo 3 (2)
22302
22302
0])1)(2()1)(1[(62
])1)(2()1([62
k
kkk
k
kkkkk
xckkckkxccc
xckcckkckkxccc
Ejemplo 3 (3)
De lo anterior, tenems 2c2 - c0 = 0, 6c3 = 0 , y
Así c2 = c0/2, ck+2 = (1 – k)ck/(k + 2)Luego
0)1)(2()1)(1( 2 kk ckkckk
02024 !22
142
141
cccc .
352
35 cc
03046 !32
31642
363
cccc.
..
074
57 cc
Ejemplo 3 (4)
y así sucesivamente.
04068 !42
5318642
5385
cccc..
....
096
79 cc
050810 !52
7531108642
753107
cccc.
.......
..
Ejemplo 3 (5)
Por tanto,
)()(
!52
7531
!42
531
!32
31
!22
121
1
2110
110
58
46
34
22
0
1010
99
88
77
66
55
44
33
2210
xycxyc
xcxxxxxc
xcxcxcxcxc
xcxcxcxcxccy
......
1||,!2
)32(531)1(
21
1)( 2
2
121
xxn
nxxy n
nn
n ..
xxy )(2
Ejemplo 4
Si se busca una solución en serie de potencias y(x) para
obtenemos c2 = c0/2 y la relación de recurrencia es
Examinando la fórmula se ve que c3, c4, c5, … se expresan en términos de c1 y c2. Sin embargo es más complicado. Para simplificarlo, podemso elegir primero c0 0, c1 = 0. En este caso tenemos
,3,2,1,)2)(1(
12
k
kk
ccc kkk
0)1( yxy
02 21cc
Ejemplo 4 (2)
y así sucesivamente. Después, elegimos c0 = 0, c1 0, entonces
0012
4 241
43243c
cccc
...
0023
5 301
21
61
5454c
cccc
..
0001
3 61
3232c
cccc
..
021
02 cc
Ejemplo 4 (3)
y así sucesivamente. Así tenemos y = c0y1 + c1y2, donde
1101
3 61
3232c
cccc
..
1112
4 121
4343c
cccc
..
1123
5 1201
65454c
cccc
...
54321 30
1241
61
21
1)( xxxxxy
5432 120
1121
61
)( xxxxxy
Ch5_28
Ejemplo 5
ResolverSoluciónVemos que x = 0 es un punto ordinario de la ecuación. Usando la serie de Maclaurin para cos x, y empleando , hallmos
0nn
nxcy
0)(cos" yxy
2 0
6422
!6!4!21)1(
)(cos
n n
nn
nn xc
xxxxcnn
yxy
0
21
2021
12)6(2 3135
20241302
xcccxcccxcccc
Ejemplo 5 (2)
Se deduce que
y así sucesivamente. Se obtiene c2 = - 1/2c0, c3 = -1/6c1, c4 = 1/12c0, c5 = 1/30c1,…. Agrupando términos llegamos a la solución general y = c0y1 + c1y2, donde la convergencia es |x| < , y
021
20,021
12,06,02 1350241302 cccccccccc
421 12
121
1)( xxxy
532 30
161
1)( xxxy
5.2 Soluciones Respecto a Puntos Singulares
• Una DefiniciónUn punto singular x0 de una ED lineal
(1)se clasifica más bien como regular o irregular. La clasificación depende de
(2)
0)()()( 012 yxayxayxa
0)()( yxQyxPy
Se dice que un punto singular x0 es un punto singularregular de (1), si p(x) = (x – x0)P(x), q(x) = (x – x0)2Q(x) son analíticas en x0 . Un punto singular que no es regular es un punto singular Irregular de la ecuación.
DEFINICIÓN 5.2Puntos singulares regulares e irregulares
Coeficintes Polinomiales
• Si x – x0 aparece a lo sumo a la primera potencia en el denominador de P(x) y a lo sumo a la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x – x0 es un punto singular regular.
• Si (2) se multiplica por(x – x0)2,
(3)
donde p, q son analíticas en x = x0
0)()()()( 02
0 yxqyxpxxyxx
Ejemplo 1
• Se debe aclarar que x = 2, x = – 2 son puntos sinulares de
(x2 – 4)2y” + 3(x – 2)y’ + 5y = 0Según (2), tenemos
2)2)(2(
3)(
xxxP
22 )2()2(
5)(
xxxQ
Ejemplo 1 (2)
Para x = 2, la potencia de (x – 2) en el denominador de P es 1, y la potencia de (x – 2) en el denominador de Q es 2. Así x = 2 es un punto singular regular.
Para x = −2, la potencia de (x + 2) en el denominador de P y Q es 2.Así x = − 2 es un punto singular irregular.
Si x = x0 es un punto singular regular de (1), entonces
existe al menos una solución de la forma
(4)
donde el número r es una constante por determinar. La serie converge al menos en algún intervalo0 < x – x0 < R.
TEOREMA 5.2Teorema de Frobenius
00
000 )()()(
n
rnn
n
nn
r xxCxxCxxy
Ejemplo 2: Método de Frobenius
• Debido a que x = 0 es un punto singular regular de
(5)tratamos de hallar una solución.Ahora,
03 yyyx
0n
rnnxcy
0
1)(n
rnnxcrny
0
2)1)((n
rnnxcrnrny
Ejemplo 2 (2)
00
1
00
1
0
1
)233)((
)()1)((3
3
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
xcxcrnrn
xcxcrnxcrnrn
yyyx
0])133)(1[()23(
)233)(()23(
01
10
1
1
1
110
k
kkk
r
nk
n
nn
nk
n
nn
r
xccrkrkxcrrx
xcxcrnrnxcrrx
Ejemplo 2 (3)
Lo cual implica que r(3r – 2)c0 = 0 (k + r + 1)(3k + 3r + 1)ck+1 – ck = 0, k = 0, 1, 2, …Debido a que no se gana nada haciendo c0 = 0,
r(3r – 2) = 0 (6)y
(7)
De (6), r = 0, 2/3, cuando se sustituye en (7),
,2,1,0,)133)(1(1
k
rkrkc
c kk
Ejemplo 2 (4)
r1 = 2/3, k = 0,1,2,… (8)
r2 = 0, k = 0,1,2,… (9)
,)1)(53(1
kkc
c kk
,)13)(1(1
kkc
c kk
Ejemplo 2 (5)
De (8) De (9)
Ejemplo 2 (6)
Los dos conjuntos contienen el mismo múltiplo c0. Si se omite este término, tenemos
(10)
(11)
1
3/21 )23(1185!
11)(
n
nxnn
xxy..
1
02 )23(741!
11)(
n
nxnn
xxy..
Ejemplo 2 (7)
Mediante el criterio de la razón, (10) y (11) convergen para todo valor finito de x, esto es, |x| < . Asimismo, de la forma de (10) y (11), son linealmente independientes. Así la solución es
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x), 0 < x <
Ecuación Indicial
• La ecuación (6) se llama ecuación indicial, donde los valores de r se llaman raíces indiciales, o exponentes.
• Si x = 0 es un punto singular regular de (1), entonces p = xP y q = x2Q son analíticas en x = 0.
Así los desarrollos en serie de potencia p(x) = xP(x) = a0 + a1x + a2x2 …+q(x) = x2Q(x) = b0 + b1x + b2x2 …+
(12)son válidos en intervalos que tienen un radio de convergancia positivo. Multiplicando (2) por x2, tenemos
(13)
Tras ciertas sustituciones, hallmaos la ecución indicial, r(r – 1) + a0r + b0 = 0 (14)
0)]([)]([ 22 yxQxyxxPxyx
Ejemplo 3
ResolverSolución
Sea , entonces
0n
rnnxcy
00
1
00
0
1
0
1
)1()122)((
)(
)()1)((2
)1(2
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
xcrnxcrnrn
xcxcrn
xcrnxcrnrn
yyxyx
0')1("2 yyxxy
Ejemplo 3 (2)
Lo cual implica r(2r – 1) = 0(15)
(16)
01
10
0
1
1
110
])1()122)(1[()12(
)1()122)(()12(
k
kkk
r
nk
n
nn
nk
n
nn
r
xcrkcrkrkxcrrx
xcrnxcrnrnxcrrx
,2,1,0,0)1()122)(1( 1 kcrkcrkrk kk
Ejemplo 3 (3)
De (15), tenemos r1 = ½ , r2 = 0.Para r1 = ½ , dividimos entre k + 3/2 en (16) para obtener
(17)
Para r2 = 0 , (16) se convierte en
(18)
,2,1,0,)1(21
kkc
c kk
,2,1,0,121
kkc
c kk
Ejemplo 3 (4)
De (17) De (18)
1
1.20
10
1c
cc
c
Ejemplo 3 (5)
Así para r1 = ½
para r2 = 0
y en (0, ), la solución es y(x) = C1y1 + C2y2.
0
2/1
1
2/11 !2
)1(
!2
)1(1)(
n
nn
n
n
nn
n
xn
xn
xxy
||,
)12(7531)1(
1)(1
2 xxn
xyn
nn
...
Ejemplo 4
ResolverSoluciónDe xP = 0, x2Q = x, y el hecho de que 0 y x sean sus propias series de potencias centradas en 0, se concluye a0 = 0, b0 = 0. Luego de la forma (14) tenemos r(r – 1) = 0, r1 = 1, r2 = 0. En otras palabras, sólo hay una solución en serie
0" yxy
...122)!1(!
)1()(
321
01
xx
xxnn
xy n
n
n
Tres casos
(1) Si r1, r2 son distintas y la diferencia r1 - r2 no es un entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma :
0
20
121 )(y )(
n
rnn
n
rnn xbxyxcxy
(2) Si r1 – r2 = N, donde N es un entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma :
(20) 0 ,ln)()(
(19) 0 ,)(
00
12
00
1
2
1
bxbxxCyxy
cxcxy
n
rnn
n
rnn
(3) Si r1 = r2, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma :
(22) ln)()(
(21) 0 ,)(
012
00
1
2
1
n
rnn
n
rnn
xbxxyxy
cxcxy
Determinación de una Segunda Solución
• Si ya conocemos una solución y1, la segunda puede obtenerse de la siguiente manera
(23) )( 212
1
dxy
eyxy
Pdx
Ejemplo 5
Hallar la solución general deSoluciónDe la solución conocida del Ejemplo 4,
podemos usar (23) para hallar y2(x). Use un CAS para operaciones complicadas.
0" yxy
4321 144
1121
21
)( xxxxxy
Ejemplo 5 (2)
21
21
54321
2432
121
0
12
14419
127
ln1
)(
7219
12711
)(
127
125
)(
1441
121
21
)()]([
)()(
xxxx
xy
dxxxx
xy
xxxx
dxxy
xxxx
dxxydx
xy
exyxy
dx
2
112 14419
1271
)(ln)()( xxx
xyxxyxy
5.3 Funciones Especiales• Ecuación de Bessel de orden v
(1)donde v 0, y x = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel.
• Lengender’s Equation de order n(2)
donde n es un entero no negativo, y x = 0 es un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman funciones de Legendre.
0)( 222 yvxyxyx
0)1(2)1( 2 ynnyxyx
La Solución de la Ecuación de Bessel
• Puesto que x = 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solución de la forma . Entonces de (1),
(3)
0n
rnnxcy
0
2
1
22220
0
22
1
220
00
22
00
222
])[()(
])()1)([()(
)()1)((
)(
n
nn
r
n
nn
rr
n
nn
rn
nn
rr
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
xcxxvrncxxvrc
xcxxvrnrnrncxxvrrrc
xcvxcxrncxrnrnc
yvxyxyx
De (3) tenemos la ecuación indicial r2 – v2 = 0, r1 = v, r2 = −v. Cuando r1 = v, tenemos
(1 + 2v)c1 = 0(k + 2)(k + 2+ 2v)ck+2 + ck = 0
ó (4)
La elección de c1 = 0 implica c3 = c5 = c7 = … = 0, así que para k = 0, 2, 4, …., dejando que sea k + 2 = 2n, n = 1, 2, 3, …, tenemos
(5)
,2,1,0,)22)(2(2
k
vkkc
c kk
)(2222
2 vnn
cc nn
Así
(6)
,3,2,1,)()2)(1(!2
)1(
)3)(2)(1(3212)3(32
)2)(1(212)2(22
)1(12
20
2
60
24
6
40
22
4
20
2
nvnvvn
cc
vvv
c
v
cc
vv
c
v
cc
v
cc
n
n
n
....
...
..
Elegimos c0 como valor específico
donde (1 + v) es la función gamma. Vease el Apéndice II. Hay una relación importante:
(1 + ) = ()Así que podemos reducir el denominador de (6):
)1(2
10 vc v
)1()1)(2()2()2()21(
)1()1()11(
vvvvvv
vvv
De ahí que podemos poner (6) como
,...2,1,0,)1(!2
)1(22
n
nvnc vn
n
n
Funciones de Bessel de Primera Clase
• Podemos definir Jv(x) mediante
(7)
y
(8)
En otras palabras, la solución general de (1) en (0, ) es
y = c1Jv(x) + c2J-v(x), v entero(9)
Fig 5.3
0
2
2)1(!)1(
)(n
vnn
vx
nvnxJ
0
2
2)1(!)1(
)(n
vnn
vx
nvnxJ
Fig 5.3
Ejemplo 1
• Considere la ED
Hallamos v = ½, y la solución general en (0, ) es
0)1/4('" 22 yxxyyx
)()( 1/221/21 xJcxJcy
Funciones de Bessel de Segunda Clase
• Si v entero, entonces
(10)
y la función Jv(x) son soluciones linealmente independientes de (1). Otra solución de (1) es y = c1Jv(x) + c2Yv(x).
• Como v m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0. De la regla de L’Hopital, la función
y Jv(x) soluciones linealmente independientes de
vxJxJv
xY vvv sin
)()(cos)(
)(lim)( xYxY vmv
m
0)('" 222 ymxxyyx
De ahí que para cada valor de v, la solución general de (1) es
(11)
Yv(x) se llama función de Bessel de segunda clase de orden v. Fig 5.4 ilustra y0(x) y y1(x).
)()( 21 xYcxJcy vv
Fig 5.4
Ejemplo 2
• Considere la ED
Hallamos v = 3, y de (11) la solución general en (0, ) es
0)9('" 22 yxxyyx
)()( 3231 xYcxJcy
EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel
• Sea t = x, > 0, en
(12)entonces por la regla de la cadena,
0)( 2222 yvxyxyx
dtdy
dxdt
dtdy
dxdy
2
22
2
2
dt
yddxdt
dxdy
dtd
dx
yd
• Así, (12) pasa a ser
La solución de la anterior ED es y = c1Jv(t) + c2Yv(t)Sea t = x, tenemos
y = c1Jv(x) + c2Yv(x) (13)
0
0
222
22
222
22
2
yvtdtdyt
dt
ydt
yvtdtdyt
dt
ydt
• Otra ecuación se llama ecuación de Bessel modificada de orden v,
(14)
• Ahora dejamos que sea t = ix, entonces (14) se transforma en
Las soluciones son Jv(ix) y Yv(ix). Una solución de valores reales, llamada función de Bessel modificada de primera clase de orden v se define como
(15)
0)( 222 yvxyxyx
0)( 222
22 yt
dtdyt
dt
ydt
)()( ixJixI
• Análogamente a (10), la función de Bessel modificada de segunda clase de orden v entero se define como
(16)
y para cualquier v = n entero,
Puesto que Iv y Kv son linealmente independientes en (0, ), la solución general de (14) es
(17)
sin)()(
2)(
xIxIxK
)(lim)( xKxKn
n
)()( 21 xKcxIcy
• Consideramos otra ED importante:
(18)
La solución general de (18) es
(19)
Aquí no se especifican los detalles.
0 ,021
2
2222222
pyx
cpaxcby
xa
y c
)]()([ 21c
pc
pa bxYcbxJcxy
Ejemplo 3
Hallar la solución general de en (0, )SoluciónEscribiendo la ED como
recurriendo to (18)1 – 2a = 3, b2c2 = 9, 2c – 2 = −1, a2 – p2c2 = 0
luego a = −1, c = ½ . Además tomamos b= 6, p = 2.De (19) la solución es
093 yyyx
093 yx
yx
y
)]6()6([ 2/122
2/121
1 xYcxJcxy
Ejemplo 4
• Recordamos el modelo de la Sec. 3.8
Se debe comprobar que tomando
se tiene
0 ,0 xkexm t
2/ 2 tenk
s
022
22 xs
dsdxs
ds
xds
Ejemplo 4 (2)
La solución de la nueva ecuación es x = c1J0(s) + c2Y0(s),
Si volvemos a sustituir
obtenemos la solución.
2/ 2 tenk
s
2/
022/
0122
)( tt emk
Ycemk
Jctx
Propiedades
• (1)
• (2)
• (3)
• (4)
)()1()( xJxJ mm
m
)()1()( xJxJ mm
m
0,1
0,0)0(
m
mJm
)(lim
0xYmx
Ejemplo 5
Obtener la fórmula SoluciónDe la ecuación (7) se deduce
1
1
12
0
2
0
2
0
2
2)1()!1()1(
)(
2)1(!)1(
22)1(!
)1(
2)1(!)2()1(
)(
nk
n
vnn
v
n
vnn
n
vnn
n
vnn
v
xnvn
xxvJ
xnvn
nxnvn
v
xnvnvn
xJx
)()()(' 1 xxJxvJxxJ vvv
Ejemplo 5 (2)
)()(
2)2(!)1(
)(
1
0
12
xxJxvJ
xkvk
xxvJ
vv
k
vkk
v
• El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como
que es una ED lineal en Jv(x). Multiplicando ambos lados por el factor de integración x-v, se obtiene
(20)
Se puede demostrar que(21)
Cuando y = 0, se deduce del (14) que(22)
)()()( 1 xJxJxv
xJ vvv
)()]([ 1 xJxxJxdxd
vv
vv
)()]([ 1 xJxxJxdxd
vv
vv
,)()( 10 xJxJ )()( 10 xYxY
Funciones de Bessel Esféricas
• Cuando el orden v es la mitad de un entero impar, esto es,
1/2, 3/2, 5/2, …..La función de Bessel de primera clase Jv(x) puede expresarse como función de Bessel esférica :
Como (1 + ) = () y (1/2) = ½, entonces
0
2/12
2/1 2)2/11(!
)1()(
n
nn x
nnxJ
!2
)!12(
2
11
12 n
nn
n
De ahí que
y
0
12
0
2/12
12
2/1 )!12()1(2
2!2
)!12(!
)1()(
n
nn
n
n
n
n
xnx
x
n
nn
xJ
(24) cos2
)(
(23) sin2
)(
2/1
2/1
xx
xJ
xx
xJ
La Solución de Ecuación de Legendre
• Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos
Después de sustituir y simplificar, obtenemos
o en las formas siguientes:
0n
nnxcy
0)1)(()1)(2(
06)2)(1(
02)1(
2
31
20
jj cjnjncjj
ccnn
ccnn
Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos
6
4201
!6)5)(3)(1()2)(4(
!4)3)(1()2(
!2)1(
1)(
xnnnnnn
xnnnn
xnn
cxy
(25) ,4,3,2,)1)(2(
)1)((!3
)2)(1(!2
)1(
2
13
02
jcjjjnjn
c
cnn
c
cnn
c
jj
Observaciones: Si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 es una serie infinita. Si n es un entero impar, la serie y2 termina con xn.
(26) !7
)6)(4)(2)(1)(3)(5(
!5)4)(2)(1)(3(
!3)2)(1(
)(
7
5312
xnnnnnn
xnnnn
xnn
xcxy
Polinomios de Legendre
• Los siguientes polinomios de orden n son polinomios de Legendre:
(27) )157063(81
)(),33035(81
)(
3)5(21
)(),13(21
)(
)(,1)(
355
24
33
22
10
xxxxPxxxP
xxxPxxP
xxPxP
Son a su vez soluciones particulares de las EDs.
(28)
Fig 5.5
0122)1(:3
062)1(:2
022)1(:1
02)1(:0
2
2
2
2
yyxyxn
yyxyxn
yyxyxn
yxyxn
Fig 5.5
Propiedades
• (1)
• (2)
• (3)
• (4)
• (5)
)()1()( xPxP nn
n
1)1( nP
nnP )1()1(
impar ,0)0( nPn
par ,0)0(' nP n
Relación de Recurrencia
• Sin comprobación, tenemos (29)
que es válida para k = 1, 2, 3, …Otra fórmula puede generar los polinomios de Legendre por diferenciación. La fórmula de Rodrigues para estos polinomios es:
(30)
0)()()12()()1( 11 xkPxxPkxPk kkk
... ,2 ,1 ,0 ,)1(!2
1)( 2 nx
dx
d
nxP n
n
n
nn