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1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELSQUEZ / TRIGONOMETRA
NGULO TRIGONOMTRICO
PROBLEMA DE CLASE
1. Si se cumple :
222
2
222
11112
RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R
donde S, C y R son las medidas usuales del mismo ngulo; entonces R es igual a:
A) rad120
B) rad60
C) rad
40
D) rad30
E) rad
120
5
(1 EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 III) SOLUCIN
Recordar:
222 2 bababa
Agrupando, tenemos:
222
2
222
11112
RCSC
RCSR
RCSS
RCS
RCSR
2222
2
222
2312 RCS
RCSRCSRCS
RCS
RCSR
512
R
60
R RESPUESTA B
2. Si los ngulos congruentes de un tringulo issceles miden (6x)g y ( 5x + 4) ,entonces el
complemento de la medida del tercer ngulo en el sistema radial es igual a:
A) rad10
B) rad5
C) rad12
D) rad20
E) rad8
SOLUCIN
Recordar: A + B+ C =180 ; A = B
Sea: A = (6x)g y B = (5x + 4)
Resolviendo: trabajando en un solo sistema
Reemplazando: A = B=54 C = 72
RESPUESTA A
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3. Si la diferencia de dos ngulos es 100g y su suma es 3 rad., entonces, las medidas
sexagesimales de dichos ngulos, respectivamente , son:
A) 315 y 225 B) 325 y 215 C) 300 y 240 D) 290 y 250 E) 315 y 235
(Examen ordinario UNS 2014 II) SOLUCIN
Segn los datos:
RESPUESTA A
4. Si las races de una ecuacin cuadrtica: 02 cbxax , son los nmeros de grados
sexagesimales y centesimales de un ngulo . Entonces el nmero de radianes de dicho ngulo
solamente en trminos de b y c es:
A)1
19
1800
b
c
B) bc19 C)
1
19800
19
b
c D)1
1800
19
c
b E)
b
c19
SOLUCIN
Recordar: La ecuacin cuadrtica tiene la siguiente forma: y las propiedades de
suma y producto de races
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo
(1)
.. (2)
Dividiendo (2): (1)
Calculando
(
)
(
)
RESPUESTA D
5. La suma de dos ngulos est dada por la siguiente igualdad: 111 baba g
Hallar dichos ngulos en el sistema sexagesimal si su diferencia es ba A) 25 y 40 B) 45 y 27 C)40 y 38 D) 20 y 45 E) 10 y 25
(1 EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2009 II) SOLUCIN
Segn la expresin 111 baba g
, por ser una equivalencia de un centesimal y
sexagesimal, entonces el nmero en centesimal debe ser mltiplo de diez y el nmero
sexagesimal mltiplo de 9.
b = 1 y a = 8 7280 g
La diferencia entre los ngulos tiene que ser 18 RESPUESTA B
6. Sabiendo que: x + y + z = 61 ; Calcular: E = xy + yz + zx
A) 612 B) 6151 C) 622 D) 621 E) 602
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[NGULO TRIGONOMTRICO]
3 TRIGONOMETRA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
SOLUCIN
Recordar:
Segn los datos:
xy +
yz
zx
62 1 RESPUESTA D
7. Si a y b son dos nmeros reales positivos hallar el mximo nmero de radianes de un ngulo que
satisface la siguiente igualdad: 22
22
)()(
)()(
baba
babaSC
Si: S y C son lo conocido.
A)
380 B)
190 C)
19 D) 190
E) 380
SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Reduciendo la expresin: 222
19ba
abk
,
Reemplazando:
(
)
RESPUESTA E
8. Siendo X, Y, y Z nmeros enteros, cumplen la igualdad: . ZYXrad 32
; Calcular x XZY 5
A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6 SOLUCIN
Recordar:
0
360060
cbacbacba
Convirtiendo en un solo sistema
180
32 ZYX
62558
45, ZYX
Reemplazando: x XZY 5
RESPUESTA A
9. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ngulo, calcule R siendo S y C las races de la
ecuacin:
3x2 - 19x + 30 = 0
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A) B) C) D) E) SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
La ecuacin cuadrtica tiene la siguiente forma: y las propiedades de suma y producto de races
Resolviendo
(1)
.. (2)
Dividiendo (2): (1)
Calculando
(
)
RESPUESTA E
10. Si S y C son la medida de un ngulo en los sistemas sexagesimal y centesimal
respectivamente y cumplen:
. . .32
1111
CCCS
Calcular la medida circular de dicho ngulo
A) B) C) D) E) SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo:
( . . 32
1111
CCC)
(
)
Calculando
RESPUESTA D
11. De la figura mostrada:
Calcular: 9-10
A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800 SOLUCIN
Segn el grfico, convirtiendo en un solo sistema:
(
) RESPUESTA D
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[NGULO TRIGONOMTRICO]
5 TRIGONOMETRA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
12. Determine la medida circular de un ngulo que verifica:
SC
ostrnRRR
min""...........
2
11
1
11
11
A) radn10
1)( B) 10
n C) 9
n D) 9
1n E) 9n
SOLUCIN
Recordar: S = 9k ; C = 10K Resolviendo
(
) (
) (
) (
)
(
)
RESPUESTA E
13. En el CEPUNS se ha creado un nuevo sistema de medicin angular cuya unidad es un grado
C (1c). Si el ngulo recto mide 40c. Hallar la suma de los ngulos internos de un pentgono.
A) 80c B) 160c C) 200c D) 240c E) 320c SOLUCIN
Recordar:
Suma de ngulos internos de un polgono:
Segn los datos
(*6)
RESPUESTA D
14. Determinar la medida en el sistema centesimal para un ngulo cuyas medidas en los
sistemas convencionales cumplen la relacin:
A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36 SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo:
Calculando (
) RESPUESTA B
15. Si:
CC
CC
CC
SS
SS
SS
; Hallar el nmero de radianes de dicho ngulo.
(S y C son lo conocido)
A) 3600
441 B) 3600
551 C) 3600
361
D)
3600
641 E) 3600
241
SOLUCIN
Recordar:
(Proporcionalidad)
4 3 2S C 20R 12 3 2S C R9 10 5
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S = 9k ; C = 10K y
Igualamos la expresin a un trmino m y resolvemos:
m
CC
CC
CC
SS
SS
SS
Aplicando proporcionalidad
m = 19
Calculando el nmero en grados sexagesimales y convirtiendo a radian:
RESPUESTA C
16. Siendo el nmero de radianes de un ngulo positivo, verifica la igualdad:
11.8.3
Hallar: . Si:
A) 9
32 B) 64
9 C) 32
9
D)
16
9 E) 9
64
SOLUCIN
Sea
Haciendo cambio de variable y resolviendo:
RESPUESTA B
17. Si el ngulo AOC es obtuso, hallar los valores que puede tomar .
A) 18151215 ;; B) 15121518 ;; C) 15651518 ;; D) 15;12 E) 18;12
SOLUCIN
Recordar:
(obtuso) Reemplazando:
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[NGULO TRIGONOMTRICO]
7 TRIGONOMETRA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
15121518 ;; RESPUESTA B
18. Resolver el siguiente sistema:
)2(...SC
)1...(S4C8,3
S6C2,4
1x
1x
47x
Siendo S y C los nmeros de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ngulo en
sentido antihorario.
Dar como respuesta la medida del ngulo en el sistema radial.
A) rad200
1048 B) rad200
9048 ,
C) rad
100
1048 D) rad2
9,048 E) rad300
1048
SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo ambas ecuaciones
Aplicamos proporcionalidad en (1)
Reemplazando (1) en (2)
(
)
RESPUESTA B
19. Si C y R son los nmeros que representan las medidas de un ngulo trigonomtrico en los
sistemas centesimales y radial respectivamente, tal que:
Calcular la medida del ngulo en el sistema radial.
A)rad
210
,
B) rad
2101
,
C)
rad
21,0;rad
21,0
D)
rad2
1,01;rad2
1,01
E)
rad
2;rad
2
SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Segn los datos:
Resolviendo:
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[ ]
RESPUESTA D
20. Siendo S, C, y R los convencionales para un ngulo trigonomtrico donde S y C son las
soluciones de la ecuacin: ; +
Calcule: m
n
1,36
A) 3
1 B) 6
1 C) 9
1 D) 3
2 E) 2
1
SOLUCIN La ecuacin cuadrtica tiene la siguiente forma: y las propiedades de suma y producto de races
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo (1)
.. (2)
Igualando el valor de K en (1) y (2):
.. (3)
Calculando:
En (3)
RESPUESTA A
21. Calcular la medida de un ngulo en radianes desde S y C son los nmeros de grados
sexagesimales y centesimales respectivamente y cumplen:
S = (x + 3) (x - 2)............ (i)
C = (x + 2) (x -1)............ (ii)
A) B) C) D) E) SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Segn los datos tenemos:
Calculando
S= 54 (
)
RESPUESTA E
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[NGULO TRIGONOMTRICO]
9 TRIGONOMETRA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
22. Si:
Calcular x donde S y C son lo convencional para un ngulo
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9 SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Segn los datos tenemos:
RESPUESTA E
PROBLEMA DE REPASO
1. Si: ; Calcular: K = b - a + 1
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 SOLUCIN
Convertimos en un solo sistema la expresin:
(
)
Tenemos 11 y 0,25 que sern convertidos a minutos
0,25*60=15
RESPUESTA C
2. De la condicin: ; Calcule:
A) 2 B) 4 C) 6 D)8 E)10 SOLUCIN
Segn los datos tenemos:
RESPUESTA B
3. Para un cierto ngulo se cumple que la suma del nmero de grados sexagesimales con el doble
del nmero de grados centesimales y con el triple del nmero de radianes es igual a 1740 + 9.
Calcule el nmero de radianes de dicho ngulo.
A) B) 2 C) 3 D) 4 E)5 SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Segn los datos tenemos:
2x 10S ; C
27 x
rad ab'16
5 radx
x
g10
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(
)
RESPUESTA C
4. Calcular:
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 SOLUCIN
Recordar: 1 = 60 y 1g = 100m
Reemplazando
M = 12 RESPUESTA C
5. Siendo S y C el nmero de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ngulo que
cumple:
S = x - 1 .............. (i)
C = x + 2 ............ (ii)
Calcular la medida del ngulo en radianes
A) B) C) D) E) SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Segn los datos tenemos:
10x-10 = 9x+18
X = 28
Calculando
S= 27 (
)
RESPUESTA D
6. La suma del nmero de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ngulo es 95. Calcule
la medida de dicho ngulo en el sistema internacional.
A) B) C) D) E) SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Por dato:
RESPUESTA E
g m22' 2 2M 18
m2' 2
10
310
5
18
3
20
2
25
rad12
rad
10
rad8
rad
6
rad
4
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[NGULO TRIGONOMTRICO]
11 TRIGONOMETRA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
7. Determine la medida radial de un ngulo que cumple que la diferencia de los nmeros de
minutos centesimales y sexagesimales de dicho ngulo es igual a 460.
A) B) C) D) E) SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Por dato:
RESPUESTA D
8. Sea f la funcin definida por la regla
1
1
2
1x
x
C
S
Rxf )( , donde S, C y R
Son los nmeros de las medidas de un ngulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial
respectivamente.
Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I.
137
co sco s ff
F
II.
119
senfsenf
F
III.
105
cscsec ff
v
A) VVV B) VFV C) VFF D) VVF E) FFV SOLUCIN
Reduciendo la funcin:
(
)
La expresin es una exponencial afn decreciente lo cual indica que a mayor valor de la variable
la funcin ser menor, por lo tanto
I. La variable de funcin depende de una funcin coseno, que es decreciente en el primer
cuadrante, por lo tanto si el ngulo es mayor la variable ser menor lo cual indica que la
expresin es falsa.
II. La variable de funcin depende de una funcin seno, que es creciente en el primer
cuadrante, por lo tanto si el ngulo es mayor la variable ser mayor, lo cual indica que la
expresin es falsa.
III. La variable de funcin depende de una funcin secante y cosecante, la cosecante es mayor
que la secante entre 0 y 45 , lo cual indica que la expresin es Verdadera.
RESPUESTA E
rad5
rad
10
rad
15
rad
20
rad
40
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9. La suma de las medidas de dos ngulos es 18 y la diferencia de los mismos 18g. Determinar la
medida circular del menor de los ngulos.
A) B) C) D) E) SOLUCIN
Segn los datos:
RESPUESTA D
10. La medida de un ngulo en un sistema M es igual a la cuarta parte de la suma de su nmero
de grados centesimales y 3 veces su nmero de grados sexagesimales. Cuntas unidades en el
sistema M le corresponden a un ngulo llano?
A) 75 B) 165 C) 180 D) 185 E) 215 SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Segn los datos:
Calculando k y resolviendo la ecuacin:
.dividimos entre 180 ambos trminos
RESPUESTA D
11. Si se cumple que:
Siendo el nmero de radianes. Halle la medida de dicho ngulo.
A) 40g B) 90 C) 30 D) E) 200
g
SOLUCIN
Sea
Haciendo cambio de variable y resolviendo:
RESPUESTA B
12. Siendo S y C los nmeros de grados sexagesimales y centesimales de un ngulo que cumple
con:
rad2
rad
3
rad rad200
rad
300
24 5
2
rad
S 13 C 2x .
2 3
2x
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[NGULO TRIGONOMTRICO]
13 TRIGONOMETRA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Hallar el valor de:
A) 2 B) 3 C) 4 D)-1 E) 1 SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Calculando k y resolviendo la ecuacin:
Reemplazando
RESPUESTA B
13. Seale la medida circular de un ngulo que verifique:
osmintr"n"
. . . . . .2S
11
1S
11
S
11
C
n2
Siendo S y C lo convencional para un mismo ngulo.
A) 180
n B) 200
n C)
225
n
D)
135
n E)
315
n
SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo
(
) (
) (
) (
)
(
)
RESPUESTA C
14. Seale la medida circular del ngulo cuyos nmeros de grados sexagesimales y centesimales
se expresan como:
S = 1 + 3 + 5 + 7 + ; C = 2 + 4 + 6 + 8 +
Teniendo ambos igual cantidad de sumandos:
A) rad20
3 B) rad20
7 C) rad10
9
D) rad
20
9 E) rad23
5
SOLUCIN
Recordar: Adems tener en cuenta que la suma de nmeros impares tiene que ser mltiplo de 9 y la
suma de nmeros pares mltiplo de 10.
(
)
RESPUESTA D
15. Determine un ngulo en radianes si se cumple: 1b
aC1
b
aS
4x 1x
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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRA 14
A) rad5
B) rad10
C) rad20
D) rad
25
E) rad50
SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Segn los datos tenemos:
por proporcionalidad
Calculando
S= 18 (
)
RESPUESTA B
16. El doble del nmero de grados sexagesimales de un ngulo disminuido en su nmero de
grados centesimales es a 8 como es 3 a 4. Calcular la medida radial del ngulo que cumple dicha
condicin.
A) rad20
3 B) 40
3 C) 50
3
D)
80
3 E) 100
3
SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Segn el enunciado:
Resolviendo:
( )
RESPUESTA D
17. Se crea un nuevo sistema de medicin angular R tal que su unidad (1R) es la 240ava parte
del ngulo de una vuelta.
Exprese en el sistema R un ngulo que mide rad4
.
A) 27R B) 30R C) 32R D) 36R E) 40R SOLUCIN
Segn los datos:
RESPUESTA B
18. Calcular la medida radial de un ngulo para el cual se cumple:
27S + 13 = 81C
siendo S y C lo convencional para el mismo ngulo.
A) B) C) D) E)
SOLUCIN
Recordar:
5
3
20
512
2
9
310
-
[NGULO TRIGONOMTRICO]
15 TRIGONOMETRA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo:
RESPUESTA B
19. S mgCBA 9013 , calcular: B
CA
A) 1.2 B) 1.4 C) 1.6 D) 1.8 E) 1.9 SOLUCIN
Recordar:
0
360060
cbacbacba
Convirtiendo a un solo sistema: (
) 12,51
Tenemos 12 quedando 0,51 los que se convertirn en minutos:
0,51 * 60 = 30,6
Ahora tenemos 30 quedando 0,6 los que se convertirn en segundos:
0,6 * 60 = 36
RESPUESTA C
20. Siendo S, C y R lo convencional para un ngulo trigonomtrico que cumplen:
Calcular: R
A) B) C) D) E) SOLUCIN
Recordar:
S = 9k ; C = 10K y
Aplicando proporcionalidad y reemplazando:
RESPUESTA A
21. Si:
Calcular: a + b + c
A) 9 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24 SOLUCIN
Un nmero centesimal es mltiplo de 10
RESPUESTA C
2S C 3R 2
2S C 3R 2
6
5
3
4
3
5
5
6
4
3
2S C 3R 2
2S C 3R 2
g o
x 2 x 1 x abc