Download - Solucionario Fluidos i
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 1 -
FLUIDOS I VISCOSIDAD DE LOS FUIDOS
1) En la figura se muestra un viscosímetro que contiene liquido viscoso de espesor e = 2cm, esta rota con una velocidad angular w = 6rad/s y genera una potencia de 0.015Hp.Calcular el valor de la viscosidad dinámica m del líquido viscoso.
30cm
e
15cm
10cm
Solución: Para el casquete esférico calculamos R.
30cm
e
15cm
10cm
R R
15
R-10b
cmRRR25.16
15)10( 222
=+-=
º38.67=b qff dsenRdRdA .=
Pero
dAdF
er
==wm
t
q
dff
dqR
R
Rdf
RSenfdqRSenf
dA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 2 -
dAerdF wm
=
qffwm ddsenR
erdF 2*=
rdFdTL = Pero fRsenr =
qffmw ddsene
RdT L3
4
=
Integrando
òòò =38.67
0
32
00
4
qffmw p
ddsene
RdTTL
L
òò --=38.67
0
22
0
4
)(cos)cos1( qffmw pdd
eRTL
)2(301.04
pmwe
RTL =
m65.11 =TL correccion Para la parte cilíndrica.
dAdF
eR
==wm
t
dAeRdF wm
=
RdhdA p2=
RdheRdF pwm 2*=
RdheRRdTL pwm 2*=
òò =hTL
L dhe
RdT0
3
0*2pmw
he
RTL
32pmw=
3.002.0
)15.0(*6*2 3pm=CILINDROT
m91.1=CILINDROT Base del cilindro
dAerdF wm .
=
rdrdA .2 p=
drre
dT b32 pmw
=
R
r
dr
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 3 -
Integrando se tiene
drre
dTRT
b òò =0
3
0
2 pmw
4.2
Re
T bpmw=
2) De la figura encontrar la potencia consumida por efecto de la viscosidad en el sistema, sabiendo que la holgura e=1pulg., R=4pulg. , velocidad angular ω=6rad/s y µ=0.05 poise
R
h
R
e
70º 70º
Solución:
Se sabe: er
ev
dydv wmmmt ...
===
dxdy dl
xh
a
R
q q
LLL dAexxdAdFxdT .².... wmt ===
Por semejanza de triángulos
)( aRh
dxdy
-=
Donde:
ºqTanhRa -=
dxaR
hxe
dT L )²(1³.2-
+=mwp
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 4 -
Integrando
dxxaR
he
dTR
a
T
LL
òò -+= ³)²(12
0
mwp
|4.)²(12 4 R
aLx
aRh
eT
-+=
mwp
).()²(12
44 aRaR
he
T L --
+=mwp
Para la semiesfera
q
dff
dqR
R
Rdf
RSenfdqRSenf
)).(.(. qff dSenRdRdA =
dAdF
er
==wmt
dAerdF wm
=
dAerrdFrdT ewm.. ==
qffmw ddSeneRdT e ..3
4
=
Integrando
qffmw p pddSen
eRdT
T..
2
0
4/
0
34
0 ò òò =
qffmw p pdCosdCos
eRT e .)().1(
2
0
4/
0
24
ò ò --=
eRT e 3
4 4pmw=
Base hueca
dAerdF wm .
=
rdrdA .2p=
R
r
dra
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 5 -
drre
dT b32 pmw
=
Integrando se tiene
drre
dTR
a
T
b òò = 3
0
2 pmw
).(2
44 aRe
T b -=pmw
totalTPot .w= )(* beL TTTPot ++= w
3) Para la siguiente figura determinar µ sabiendo que: R=30cm, h=H=30cm, r=15cm, velocidad angular ω=5rad/s, e=3cm y potencia de 0.011HP.
R
h
H
r
e
Solución:
LdAdF
er
==wmt .
LdAdF .t= Similar al problema anterior
d xd yd l
x
H
r
R
LLL dAexxdAdFxdT .².... wmt ===
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 6 -
dxdxdyxdydxxdLxdA L
2
1..2)²()²(..2...2 ÷øö
çèæ+=+== ppp Por semejanza de
triángulos
)( rRH
dxdy
-=
Donde:
dxrR
Hxe
dT L
2
1 1³.2÷øö
çèæ
-+=
mwp
Integrando
dxxrR
He
dTR
a
T
LL
òò -+= ³)²(121
0 1mwp
|4.)²(12 4
1
R
rLx
rRH
eT
-+=
mwp
).()²(12
441 rR
rRH
eT L -
-+=
mwp
Análogamente para la parte inferior cónico
d xd y d l
x
h
R
dxRhx
edT L )²(1³.2
2 +=mwp
dxxRh
edT
RT
LL
òò +=00 2 ³)²(122 mwp
|0
4
2 4.)²(12 R
Lx
Rh
eT +=
mwp
42 .)²(1
2R
Rh
eT L +=
mwp
Base menor del tronco de cono
dAerdF wm .=
rdrdA .2 p=
drre
dT b32 pmw=
R
r
dr
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 7 -
Integrando se tiene
drre
dTRT
b òò =0
3
0
2 pmw
4.2
Re
T bpmw
=
)(* 21 bLL TTTpot ++= w Rpta
4) En el sistema de la figura determinar µ, sabiendo que e=2cm, R=20cm, h=50cm, ω=4rad/s y potencia de 0.015HP.
R
he
Solución: Para la semiesfera.
q
dff
dqR
R
Rdf
RSenfdqRSenf
)).(.(. qff dSenRdRdA =
dAdF
er == wmt
dAerdF wm=
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 8 -
dAerrdFrdT ewm.. ==
qffmw ddSeneRdT e ..3
4
=
Integrando
qffmw p pddSen
eRdTeT
e ..2
0
4/
0
34
0 ò òò =
qffmw p pdCosdCos
eRT e .)().1(
2
0
4/
0
24
ò ò --=
eRT e 3
4 4pmw=
Para la parte cónica
d xd y d l
x
h
R
dxRhx
edT L )²(1³.2
+=mwp
dxxRh
edT
RT
LL
òò +=00
³)²(12 mwp
|04
4.)²(12 R
Lx
Rh
eT +=
mwp
4.)²(12
RRh
eTL +=
mwp
TTpot *w= )(* Le TTpot += w
ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS
5) Para el sistema de la figura determinar la presión absoluta en el punto A.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 9 -
A
BC
20cm40cm
15cm40
cm
50cm
g2 g1
g3
Agua
Agua
Agua
G as
45º
60cm
³lg/049.0³,lg/034.0³,lg/029.0 321 PulbfPulbfPulbf === ggg
Solución:
A
BC
20cm40cm
15cm
40cm
50cm
g2 g1
g3
A gua
AguaAgua
G as
45º
60cm
a
b
c h
)2.0(4.0)5.0106.0()()()2.0()4.0()5.0()(
321
321
gggggggggg
-+++-++=+-+-+++=
bcaPPCbhaPP
atmA
atmA
Pero de la figura se tiene:
mbcamSenhpero
cbhacbha
194.0106.0º4515.0
3.04.02.06.04.05.0
=-+\==
=+-+=+--+-++
)2.0(4.0)5.0106.0()( 321 gggg -+++-++=Þ bcaPP atmA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 10 -
RtamkgfPmkgfPaP
mkgfPPPP
cbhamkgfmkgfmkgf
mpuykgflbfPero
A
atm
atmA
atmA
²/969.79564.785329.10²/329.10325.101
²/64.785)338.1356(2.0)132.941(4.0731.802)5.0106.0()194.0(1000
3.0³/338.1356³/132.941³/731.802
254.0lg14536.01
321
=+=
»=+=
-++++==+-+
===Þ==
ggg
6) Para el sistema determinar las presiones en los puntos A y B, así también calcular el valor de “h”
A
Bh 20
cm
12cm
12cm
14cm
10cm
Gas
Aceite
Petroileoagua
15cm30cm
30cm
10cm
P=20lbf/Pulg²
aguaagua agua
agua
g5
g4g3g6
³/5.16³,/9500³,/2.8³,/1360092.0..82.0..
6543 cmgrfmkgfcmgrfmkgfRDRD Petroleoaceite
======
gggg
Solución:
A
Bh 20
cm
12cm
12cm14cm
10cm
Gas
AceitePetroileoagua
15cm30cm
30cm
10cm
P=20lbf/Pulg²
agua
agua agua
agua
g5
g4g3g6
1 2
a b
c
mn
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 11 -
)15.0()2.0()10.0()14.0()12.0()()15.0()()2.0()()10.0()14.0()12.0(
43
43
ggggg
gggggggg
--++++++=
+-+-++++=
cbaPPcbaPP
petroleoaceiteA
petroleoaceiteA
Pero
mcba
mkgfPulbfPmkgf
mkgfmkgf
mkgf
RDRD
Petroleo
aceite
OHSustOH
Sust
85.0:figura la de también Así
²/63.14061²lg/20³/16500
³/8200³/920
³/8202.8*1000
.*.
5
4
22
=++
====
===\
=Þ=
gggg
gggg
²/83.1128815.0*82002.0*13600)85.01.0(100014.0*92012.0*82063.14061
mkgfPP
A
A
=--++++=Þ
Calculando Presión en B.
²/83.138385.0
)(100083.13338)1.0(9500)(14.0*92012.0*82063.14061
)()1.0()()14.0()12.0( 5
mkgfPmmnpero
mnPmnP
nmPP
B
B
B
PetroleoaceiteB
=Þ=-
-+=--+++=
+--++=g
ggggg
Calculemos la altura h De la figura.
21 PP = hPP atmPetroleoaceite 6)4.0()14.0()12.0( gggg +=+++
cmhh
h
96.8816500329.1083.14688
16500329.10)4.0(1000)14.0(920)12.0(82063.14061
=+=
+=+++
7) Para el sistema de la figura calcular la diferencia de presiones entre A y B. )8.0.( =AceiteRD
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 12 -
CO2CO
Hg
Hg
Hg
Aire
AceiteD.R=0.8
Agua0.
25m
0.40
m
0.30
m
0.2m
15cm
N2
0.3m
20cm
Agua
CO
Hg
Hg
HgA B
Gas
0.2m
Gas 0.2m
0.1m
Solución:
²/84013600*2.01000*3.013600*2.0
1000*5.013600*2.0800*45.013600*3.013600*25.013600*4.02.03.02.05.02.045.03.025.04.0 22
mkgfPP
PPPP
AB
AB
HgOHHgOHHgaceiteHgHgHgAB
=--+
+-++--+=
-++-++--+= ggggggggg
rotacion 8) Los cilindros concéntricos de 0.4m de diámetro interior, 1.20m de diámetro exterior y 1.5m de altura. Si el cilindro interior es hueco y el espacio entre los cilindros concéntricos está lleno de agua y herméticamente cerrado, determine la fuerza que se produce en la tapa, en el fondo y en las superficies medias cilíndricas interior y exterior cuando estoa giran a 60rpm al rededor de su eje vertical.
w
0.6m
h=1.5m
0.2m
Solución:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 13 -
h
RoR
x
ZoZr
HrH
gXZ
2
22w=
Para Z = Z0 ; X = R0
gXZ
gRZ r 2
;2
2220
2
0ww
==
a) La fuerza que produce en la tapa es:
AF pdd = XdxHrd F pg 2.=
Donde 0ZZHr r -=
XdxZZd rF pg 2)( 0-=
XdxgR
gXd F pwwg 2
22
20
222
÷÷ø
öççè
æ-=
Integrando:
XdXgR
gXd
R
r
F
F pwwg 2)22
(20
222
0 0-= òò
R
R
XrXg
F0
24
2242
úû
ùêë
é-=
pgw
220
22
)(4
RRg
F -=pgw
[ ]2222
2.060.04
)2)(100(-=
gF pp
kgfF 66.323= b) Fuerza que se produce en el fondo.
R
x
dxRo
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 14 -
baseF hAF .66.323 g+=
)2.06.0(5.100166.323 22 -+= pFF
kgfFF 63.1831= c) Fuerza que se produce en la pared lateral exterior.
LHgAF g= 5.1)2.0(2)75.0(1000 p=F
kgfF 72.1413= d) Fuerza que se produce en la pared lateral exterior.
0ZZH r -= rZ Para 6.0=X
ggH
22.0
26.0 222 ww-= Como srad /2pw =
mH 64.0= Þ La fuerza en la pared lateral exterior será: LG AHF g=
5.1*6.0*2)64.075.0(100 p+=F kgfF 28.7860=
9) Un tanque de sección transversal rectangular (6x1m) está lleno de agua hasta los 4.0m de altura y está unido a un peso Q = 60000kg, por medio de una cuerda flexible e inextensible que pasa por una polea. El coeficiente de rozamiento entre el tanque y la superficie horizontal es: f = 0.6 y todos los demás rozamientos son despreciables. Hallar la presión en un punto del tanque situado 1.0m sobre el punto A de la figura.
Q
4m
6m
Solución:
a
T
Q
4m
6m
Ta
W
N f=m.N
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 15 -
)1.......(....................* a
gQTQ
maFV
=-
=å
)2.....(....................* ag
WfT =-
WNfkgfVW
**240001*6*4*1000*
mmg
==Þ===
(1) + (2)
ag
WQfQ ÷÷ø
öççè
æ +=-
ag
WQ÷÷ø
öççè
æ +=- )1000*1*4*6(6.060000
a)81.9
2400060000()24000(6.060000 +=-
2/32.5 sma =
4m
6m
a=5.32
g=-9.81
Zh
A
1
2
1mP
Aplicando ecuación de Euler.
rP
ZZYYXXddadada =++
rP
ZXddd =- 81.932.5
òòò =-5 2
1
2
1
2
1
181.932.P
P p
Z
Z Z
X
X X dPddr
||| 2
10
6
0
181.932.5p
p
zZx
r=-
)(181.9632.5 12 PPxZx -=-r
Como 12 PP = atmosféricas Þ 5.32 x 6 – 9.81 x Z = 0 Z = 3.254m
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 16 -
Para el líquido se eleva respecto a la superficie libre inicial 2Z
o sea que:
mZh 627.12==
La presión a 1m sobre el punto A será entonces:
2/4627)1627.14(1000 mkgP =-+= Rpta
10) En el sistema de la figura se tiene un cilindro cerrado de 1.20m de diámetro y 0.30m de altura. Contiene líquido de 0.10m de altura, se hace girar alrededor de un eje vertical hasta que el líquido tome la forma aproximada de un cilindro hueco con una diferencia de 1% entre los diámetros d1 y d2 (d1 = 1.01d2). Calcular la velocidad angular.
d1
d2
Solución:
d1
w
d2
D=1.2m
h=0.10m
H=0.30m
Z0
D=1.2m
h=0.10m
H=0.30m
Antes del giro Con giro w
Se sabe:
gXZ
2
22w=
Para 0ZZ = 2/2dX =
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 17 -
...(*)........................................8
22
2
0 gdZ w
=
Para HZZ += 0 2/1dX =
..(**)..............................8
21
2
0 gdHZ w
=+
(*) En (**)
gdH
gd
88
21
222
2 ww=+
*)*.......(*..............................82
22
21 w
gHdd =-
0
22
0
21
2
*4*2
)(4*2
)(4
ZdHZdhHD ppp-+=-
).....(....................2
)(2
)(2
1221
02 aHdddZhHD +-=-
(*) y (**) en (a )
28*
8*2)(
21
2
22
22 HdgH
gdhHD +=-
ww
)(2
)( 22
21
2 ddHhHD +=-
Por dato
21 01.1 dd =
[ ]22
22
2 )01.1(2
)( ddHhHD +=-
)02.2(2
)( 22
2 dHhHD =-
22
2 **01.1)( dHhHD =- Reemplazando datos. H = 0.30m h = 0.01m D = 1.20m Þ 2
22 *30.0*01.1)10.030.0(20.1 d=-
md 975.02 = md 985.01 =
En la ecuación (***)
22
21
8dd
gH-
=w
srad /66.34=w Rpta
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 18 -
11) Se tiene una tubería circular por donde fluye petróleo con un peso específico de 3/950 mkg .Si la distribución de velocidades en una sección es
)/41( 22 drNVr -= donde: d = diámetro, r = radio variable "101 =d y "62 =d , N = número de letras del apellido paterno: a) Calcular la variación de masa respecto al tiempo entre las secciones 1 y 2. b) Calcular la fuerza total que ejerce la pared AB.
0.20mFuga 2
21
d1
d2
1
0.15mA
B
Solución:
0.20mFuga 2
21
d1
d2
1
0.15mA
B
r
rF1
F2
FH
)41( 21
2
1 drNVr -=
a) Variación de masa respecto al tiempo. 21 QQMt rr -=D Hallemos caudales.
rdrdrNdAVrdQ p2*)41( 21
2
11 -==
rdrdrNdQ
dQ)41(2
2/
0 21
2
0 111
òò -= p
8
21
1NdQ p
=
)41( 22
2
2 drNVr -=
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 19 -
Análogamente:
8
22
2NdQ p
=
Þ )( 21 QQMt -=D r
)(8
22
21 ddNMt -=D
rp
N = RAMOS = 5
0254.0*1010 ||1 ==d
md 254.01 =
0254.0*66 ||2 ==d
md 1524.02 =
81.9/950 3mkg
=r
./851.7 segkgMt =D b) Cálculo de fuerza ejercida. * Calculamos las presiones en el eje de la tubería.
211 /15.263)
215.0( mkgdP =+= g
222 /39.262)
220.0( mkgdP =+= g
Þ kgdAPF 334.134
**15.2632
1111 === p
kgdAPF 786.44
**39.26222
222 === p
Por la ecuación de la cantidad de movimiento. )( 1122 VQVQFex -=å r
)( 112221 VQVQFFF H -=-- r Como 222 AVQ =
2
21 A
QV = 1
12 A
QV =
)(1
21
2
22
21 AQ
AQFFFH ---= r
kgFH 177.28=
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 20 -
12) En la figura se muestra una esfera de 2m de diámetro que contiene agua bajo presión. Está construido por dos secciones semiesféricas unidas mediante 50 pernos ¿Cuál es la fuerza total en cada perno para mantener unida la sección?
R=1m
2.5m0.25m
D.R=13.6
Agua
Agua
Agua
GasP=2000kgf/m²
Solución:
PbaPM ++++= 25.0*13600)1(g 200025.0*13600)1(1000 ++++= baPM
mbaba
25.25.225.0
=+=++
200025.0*13600)25.3(1000 ++=PM ²/8650 mkgfPM =
APMF *= 776.271741.8650 2 == pF
2)1(*
34*1000*
2
pg == OLVW
395.2094=W 17.2926=+= WFFT
F en cada perno = 50
17.29269=+= WFFT = kg38.585 Rpta
13) Se tiene un plano inclinado que forma un ángulo a y b con la horizontal como se muestra en la figura, por donde se desliza un depósito que contiene agua y cuyo peso total es 1w . El descenso de dicho depósito produce el ascenso de otro igual pero cuyo peso
total es 2w . Calcular el valor del ángulo que hace la superficie libre del primer depósito con el plano horizontal.
R=1m
2.5m0.25m
D.R=13.6
Agua
Agua
Agua
GasP=2000kgf/m²
a
b
M
W
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 21 -
a b
W1 W2
m1
m2
Solución:
aW1
bW2
a W1CosaW1.sena
Tf=m
1.N
x'
z'
a
N
b
W2.
Cosb
W2.senb
aT
N
f'=m2.N
z'
x'
ag
WfTsenW 11 =--a
Donde Nf .m= ; acos1WN =
am cos11Wf =
).....(..............................cos 1111 aama a
gWWTsenW =--
)....(..............................cos 2222 bbmb a
gWWsenWT =--
Sumando ba +
ag
WWWWsenWsenW )(coscos 21221121
+=--- bmamba
[ ]21
2211 )cos()cos(WW
gsenWsenWa+
+--=
bmbama
Para a
aasenga
aa
Z
X
-=-= cos
Por ecuación de Euler.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 22 -
qx
a
z
1
2
-x-z
ZZP daaxdxd
+=r
ò òò- -
-+-=x Z
Z
P
PP dasengdXad
0 0)(cos2
1
aar
ZasengXa )(cos0 aa --+=
aaq
qa
a
asengaaseng
aXZ
-=
=-
=
costan
tancos
)cos(tan 1
aaq
asenga-
= -
14) En el sistema de la figura Nº 02 se tiene una compuerta OA de 8m. De longitud (perpendicular a OA), y pesa 4200kgf, puede pivotear en el eje O, R = 6m (radio de curvatura de OA) y a = 20º. Calcular “h” para que la compuerta inicie a levantarse.
h
1ma
AceiteD.R=0.8
Agua
Petroleo
0.5m 4m
Aire
D.R=0.95
RR
AguaAgua
Hg
w
Agua
e
1.5m
BloqueCampana cilindrico
Aire
1m
AguaA
O
D.R=
Solución:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 23 -
0.5m 4m
Aire
Agua
Hg
w
Agua
e
1.5m
BloqueCampana cilindrico
Aire
D.R=
a
bM
5.0*13600)(10005.1*1000 +++= baPM
Pero de la figura. a + b = 3.5
2/11800 mkgfPM =Þ
h
1m
a
Aceite
D.R=0.8
Agua
PetroleoD.R=0.95
R
R
M
N
A
a
b
FH2
FV2d
c
h'
R.Sena
FH1FV1
O
=2.05m
1m
Agua
2m
H
2m
20
6
6A
10.1875m
O
2.05mb
O'
1.21m 4.43m
A1
Petroleo
AguaAceite
Aceite0.62m
h
5.64m
O'
A2A'
FIG. 1 FIG. 2
b
q
)1()1( 02
+=+ Hh HPet gg
05.095.01)1(95.0
-=+=+
hHHh
De la FIG. 2
º55.47605.4cos 1 =÷
øö
çèæ= -q
º45.22=b
º45.226*21
36045.22*6* 2
2
1 senA -=p
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 24 -
21 18.0 mA =
22 21.1 mA = Area del triangulo (AA’O)
Distancia de O’ a CG de A1 (FIG. 2)
18.0*3)2/45.22(6*2 33 send CG =
md CG 90.5= mx 62.0=
oyH hGAF Pr1 g=
8*2)1(10001 += HF H )1(160001 += HFH
)1(311
8*2)1(12/2*81
3
1 +++=
+++=
HH
HHY P
a = HYP -1
a = )1(3
43++
HH
)21.1( 121 HAALFV +-= g )21.118.021.1(810001 HxFV +-=
)21.103.1(80001 HFV +=
HxxbH221.162.018.0
3221.1)21.103.1(
22 +-=+
)21.103.173.086.0(
HHb
++
=
De la figura 1 2800100005.2 xxPMPN --=
1600205011800 --=PN 2/8150 mkgPN =
mhhAceite
1875.108150
'
'
=
=g
8*2).11875.10(10002 +=FH kgfFH 1790002 =
mYP 22.112*8*1875.11
12/2*81875.113
2 =+=
)1875.10*21.118.021.1(8*100003.1
1875.10
2
2
+-==
-=
FVmC
mYC P
kgfFV 1068552 =
1875.10*221.162.0*18.0
32*21.136.13
22 +-=d
md 62.0=
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 25 -
Centro de aplicación del peso.
R
RA
O
b
O'
4.43m
dq
dl
q
0.67m
WAO=4200kgf
Lc=2p*b*R/360
Lc=2.35m
RCosq
ò=45.42
20
2 cos qqdRX
10.5098.5 »=X m67.0=c
00 =åM Falta verificar
dFVcFHXWbFVaFH 2211 +=++ mH 06.8=
Pero
mhhH54.8
05.095.0=Þ
-=
15) Dada la función de línea equipotencial 22. aybxyxa -+=f , donde a, b y c son valores constantes. a) Comprobar que el flujo es irrotacional b) Hallar la función de la línea de corriente c) Hallar la aceleración d) Hallar el gradiente de presiones Solución Según gauchy riman a) Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir 0=w Pero se sabe que:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 26 -
( ) ( )
0)2()2(
22
0
2
2
.
.21
=--=+-=
--+-=
=¶¶
-=¶¶
+=¶¶
úû
ùêë
鶶
+¶¶
+¶¶
-=-Ñ=
Ñ=
wum
f
f
f
ffff
w
aybxbyax
jaybxibyaxVz
aybxy
byaxx
kz
jy
ix
V
V
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
¶¶
¶¶
¶¶
=Ñ
wumzyx
kji
V
kyx
jxz
izy
V ÷÷ø
öççè
涶
-¶¶
-÷øö
çèæ
¶¶
-¶¶
-÷÷ø
öççè
涶
-¶¶
=Ñmuwmuw.
0.21
0)(00.
=Ñ=
=+-++=Ñ
V
kbbjiV
w
\ El flujo es irrotacional b) Según Las ecuaciones de
xy
yx
¶¶
-=¶¶
=
¶¶
=¶¶
=
yfu
yfm
Entonces:
byaxx
+=¶¶ 2f
byaxy
+=¶¶ 2y
Integrando
)(212 2 xfbyaxy ++=y -----------------(*)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 27 -
Derivando respecto a x
)(2 ' xfayx
+=¶¶ y
……………………………(a)
Pero:
aybxyx
2-=¶¶
=¶¶
-fy
bxayx
-=¶¶
Þ 2y………………………………………(b)
(b) en (a) )(22 ' xfaybxay +=-
bxxf -=)(' integrando respecto a x se tiene
2
21)( bxxf -= ………………………………………..(g)
(g) en (*)
22
21
212 bxbyaxy -+=y Rta
c) Calculando la aceleración
zV
yV
xV
tVa
¶¶
+¶¶
+¶¶
+¶¶
= wum
0)2)(2()2)(2(0 +----+-= aaybxabyaxa yaabxabyxaa ²422²4 -++=
16) Si la función equipotencial axy=f para un flujo plano. a) Verificar la ecuación de la continuidad b) Hallar la función de la línea de corriente c) ¿Qué flujo representa? d) Si a=20 seg. Calcular las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas x=8cm; y=2cm. Solución: a) la ecuación de la continuidad obliga :
02
2
2
2
2
2
=¶¶
+¶¶
+¶¶
zyxfff
axy=f
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 28 -
0
0
0
2
2
2
2
2
2
=¶¶
=¶¶
=¶¶
z
y
x
f
f
f
\ La función es continua b) función de la línea de corriente:
axy=f Sabemos
)(
)(²21
' xfx
xfay
ayxy
=¶¶
+=
=¶¶
=¶¶
y
y
fy
Pero
axyx
=¶¶
=¶¶ fy
axxf =)(' Integrando
2
21)( axxf =
\ 2
21²
21 axay +=y Rta.
c) Para saber el tipo de flujo se debe determinar 0.21
=Ñ= Vw si esto se cumple
entonces el flujo es irrotacional si no es rotacional:
axy
ayx
kz
jy
ix
V
V
=¶¶
=¶¶
úû
ùêë
鶶
+¶¶
+¶¶
-=-Ñ=
Ñ=
f
f
ffff
w
.
.21
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 29 -
0
0
=-=-=
--=
=¶¶
wum
f
axay
jaxiayVz
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
¶¶
¶¶
¶¶
=Ñ
wumzyx
kji
V
kyx
jxz
izy
V ÷÷ø
öççè
涶
-¶¶
-÷øö
çèæ
¶¶
-¶¶
-÷÷ø
öççè
涶
-¶¶
=Ñmuwmuw.
[ ] 00021
=+-+= aaw
\ Es un flujo irrotacional: d) Si a=20 seg. Calcular las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas x=8cm; y=2cm.
0/4.002.0*20/6.108.0*20
==-=-==-=-=
wum
smaxsmay
17) En el sistema de la figura se muestra a tres reservorios y una bomba de 153H.P. de potencia con una eficiencia del 100%, el sistema de tuberías transporta agua, la presión en el punto p es 36.5m de agua, la válvula V origina una pérdida de 3.05m de agua y el coeficiente de Hazem y Williams es 120pie/s. Calcular los caudales en cada tubo y la cota “B”.
A
B
C
11.6m
Cota=??
30.5m
QP
Bomba
3.05m
D=24''D=24''
L=1220m
D=24''
D=12''
L=620m
L=2450m
L=3000m
V
Solución:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 30 -
A
B
C
11.6m
Cota=??
30.5m
QP
M
3.05m
V
(1) (2)(3)
(4)
Q3
Q4
Q2
Q1
La cota piezométrica P es 3.05+36.5=39.55m. y 30.5 cota del reservorio A, entonces el flujo va de P hacia A, cuyo caudal lo hallaremos: Sabemos que:
Q=0.00042654.0
63.2÷÷ø
öççè
æL
hCD f
Q=0.000426 54.063.2 SCD
Lh
S f= m/Km.
85.1
63.242.2347
÷øö
çèæ=
CDQLh f
Donde: Q=lts./s; L=Km.; D=Pulg. y ./ segpieC = Proseguiendo con nuestro calculus
KmmS 02.3
35.3055.39
1 =-
=
1Q =0.000426* 54.063.224*120 S sltsQ /3961 =
La bomba tiene una potencia:
nQhPot B
76g
= Q
potnh B g.76
=Þ pero
QPB EEh -=
396.0*100153*1*765.36 =- QE
mE Q 14.7=
También sltsQQ /39621 ==
Calculemos 2fh
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 31 -
85.1
63.22 24*120396*42.234722.1 ÷
øö
çèæ=fh
mh f 68.32 =
Cota piezométrica en Q =3.05+7.14 =10.19m. Cota piezométrica en M=10.19 + 3.68 = 13.87m. El flujo va de M hacia C, ya que la cota piezométrica de M es mayor que la del reservorio C, cuyo caudal es:
KmmS 66.3
62.06.1187.13
2 =-
=
=3Q 0.000426* 54.063.212*120 S sltsQ /713 =
sltsQQQ /467324 =+= 85.1
63.24 24*120467*42.234745.2 ÷
øö
çèæ=fh
mh f 104 =
Cota Reservorio B = Cota piezométrica de M + Pc.Válvula + 4fh
Cota Reservorio B = 13.87 + 3.05 + 10 Cota Reservorio B = 26.95m 18) En el sistema de la figura, se tiene una presa de concreto cuyo peso específico es 2400kgf/m³ y una longitud de 4m. Si el valor de C=0.25 1-m , Calcular: a) Determinar el valor de h para que la presa inicie su volteo. b) determinar la posición de la resultante de las fuerzas para h=10m. c) Determinar la máxima y mínima tensión de compresión en la base (h=10m), despreciando la fuerza ascensional hidrostático.
3m 4m
hy=cx²Agua
Solución:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 32 -
3m 4m
hFH
A1
W1A2
A3
W2W3
FV
m
n
a O
a) 1º) para 1w Donde
cg : Peso específico de concreto. V: Volumen
ahA31
1 =
ahahw *32003
*424001 =÷øö
çèæ=
ax4171 += Centro de gravedad con respecto a “o”
2º) para 2w hA 32 =
hhw *288003*4*24002 == 5.52 =x Centro de gravedad con respecto a “o”
3º) para 3w
hA 23 = hhw *192002*4*24003 ==
38
3 =x Centro de gravedad con respecto a “o”
Ahora calculemos FH y FV
oyG AhFH Prg=
22000*4*2
*1000 hhhFH ==
hm31=
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 33 -
3*8000
32*4*1000 ahahFV ==
an857 +=
* Haciendo momento con respecto a “o” 0=å oM
mFHnFVxwxwxw ..332211 =+++
020960067.4106667.246667.41 24 =--- aaa a = 12.88m pero
2cah = mh 47.41=\
b) Sabemos
cha = Para h=10m
a = 6.32m. Þ kgfhFH 200002000 ==
kgfahFV 598.26154032*4*1000 ==
Falta calcular c)
3m 4m
h=10mFH
A1
W1A2
A3
W2W3
FV
3.33m
10.95m
Oq1
q2
6.32m
Con las ecuaciones de la parte a) calculemos, Para h=10m y a=6.32m
kgfw 20224010*32.6*32001 == mx 58.81 =
kgfw 28800010*288002 == mx 5.52 =
kgfw 19200010*192003 == mx 67.23 =
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 34 -
kgfFH 200000= mm 33.3=
kgfFV 33.168533= mn 95.10= 0=å Fv
32.132
21321 ÷
øö
çèæ +
=+++qqFVwww
74.12774721 =+ qq ----------------------------------------(a) Sumatoria de momentos con respecto a “O”
0=å oM
332.13*
2232.13*..
212
2
1332211 ÷øö
çèæ -
++=+++qqqmFHnFVxwxwxw
Remplazando valores y resolviendo, se tiene: 798.1694472 21 =+ qq ---------------------------------------(b)
Resolviendo (a) y (b) mkgfq /06.417001 = mkgfq /68.860472 =
19) En el sistema de la figura, suponiendo una distribución lineal de tenciones sobre la base de la presa de concreto, calcular: a) La posición donde la resultante de dicha fuerza de tensiones corta a la base. b) La máxima y mínima tensión de compresión en la base. Despreciar el empuje ascensional hidrostático. 20) se tiene un conducto conformado por un tubo circular de 3pulg de radio y un cilindro macizo concéntrico de 2pulg de radio, entre ellas discurre agua con un caudal de 0.2pie³/s. Calcular la máxima velocidad de la distribución de velocidades y el esfuerzo cortante en las paredes.
0)(2)(2)(2 =++-++- dxdrrddxdxrdppdrrp ptttpp Simplificando, obtenemos
drd
rdxdp tt
--=
Sustituyendo ,/ drdumt -= queda
)(
)1( 2
2
drdur
drd
r
drud
drdu
rdxdp
m
m
=
+=
Esto se integra para dar
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 35 -
Ardxdp
drdur += 2
41m
Una segunda integración produce
BrLnArdxdpru ++= 2
41)(m
Donde A y B son constantes arbitrarias cuyo valor se determina haciendo 0=m en
1rr = y en 2rr = ; es decir
BrLnArdxdp
BrLnArdxdp
++=
++=
22
2
21
21
410
410
m
m
La solución es
)/(41
12
22
21
rrLnrr
dxdpA -
=m
dxdprLnrAB
m4
22
2 --=
Entonces
úû
ùêë
é -+-= )/(
)/(41)( 2
21
21
222
22 rrLn
rrLnrrrr
dxdpru
m
Esto se integra para dar la razón de flujo:
úû
ùêë
é ----=
= ò
)/()(
8
2)(
12
21
224
14
2
2
1
rrLnrrrr
dxdp
drrruQr
r
mp
p
21) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta AOB de 4m de longitud y un peso de 100kgf/m² y puede rotar en el eje O, R=5m(radio de curvatura de OA) y a=20º Calcular h para que OB se mantenga Horizontal.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 36 -
a
2m
h R
1.2m
0.8m
Agua
Aceite
D.R.=0.8
Agua
D.R.=0.8
petroleo
D.R.=0.
Hg
0.2m 1.2m
A
P=1141.06kgf/m2
Gas
Solución: Figura de solución baPAPM ggg +++= )2.0(' )2.0(*136001000*)(06.1141 +++= baPM Pero en la figura se puede observar que: a+b=1
2/06.4861 mkgfPM =
0.2m 1.2m
a
b
AP=1141.06
Gas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 37 -
R=5m
20
FH1FH1
FV1
FV2
ca
d
bAceite
b
h0.8h
2m
Agua
Agua
Agua
0.8m
1.2m
F3
F4N
M
3.35m
1.7m
)4*2)(18.0(1 +== hAhFH proyG gg
)18.0(80001 += hFH
)18.0(31)18.0(
4*2*)18.0(12/2*4)18.0(
3
1 +++=
+++=
hh
hhYp
18.02 Ypha -+=
)18.0(324.2++
=h
ha
º9.27=b
222
1 24.02º360
mSenRRA =-=bbp
Distancia de o’ a CG de 1A Distancia de o’ a CG de 1A
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 38 -
A1
20
A2
b
3.35m0.68m
1.35m
2m
1.71mb /2 q
O'
20+b
R
R
CG
mA
SenRd CG 86.43
)2/(2
1
33
==b
4*)35.124.008.1(4*)35.1*8.0( 211 ++=++= hAAhFv gg )59.108.1(40001 += hFv
68.0*24.0335.1
235.1*8.0)59.108.1(
22
++=+ hbh
59.108.177.073.0
++
=hhb
kgfFH 7200)8(900)4*2)(1(22 === g
mc 67.0231
==
kgfFv 5724)35.124.0)(4(22 =+= g
)68.0(24.0335.159.1
2
+=d
md 48.0= kgfF 24120)35.3*2)(4(23 == g
)8.0()2.1( 'gg --= PMPN 2/06.2981)8.0(850)2.1(100006.4861 mkgfPNPN =Þ--=
kgfFPNF 2.39946)4*35.3( 44 =Þ= Aplicación del peso OA Figura peso centro
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 39 -
20b
3.35m0.76m
1.35m
q
O'
R
R
dq
dlwoB
A
B
ò= xdlxl '
| 9.47
20
29.47
20
'43.2 qqq SenRRdRCosx == ò
11.4' =x Þ mx 76.035.311.4 =-= mx 76.0=
kgfwkgfw
OB
OA
1340100*4*35.3972100*4*43.2
====
0=å oM
)48.0()67.0()76.0(235.3
235.3)( 224311 FvFHwFwFbFvaFH OAOB +++÷
øö
çèæ=÷
øö
çèæ+++
Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h= 2.62m 22) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 5m de longitud y un peso de 3150kgf y puede rotar en el eje O, R=6m (radio de curvatura de OA) y a=25º Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 40 -
h
2m
a
AceiteD.R=0.8
Agua
Petrolio
0.25m 1.40m
P=3020kgf/m²Gas
D.R=0.92
RR
AguaAgua
Hg
Solución: Figura
baPAPM ggg +++= )25.0(' )25.0(*136001000*)(3020 +++= baPM Pero en la figura se puede observar que: a+b=1.15m
2/7570 mkgfPM = )2()53.2( 'gg --= PMPN
²/3440 mkgfPN = Þ 113440 hg=
mh 3.41 =
)5*2)(1('1 +== hAhFH proyG gg
10)1(9201 += hFH )1(92001 += hFH
5*2*)1(12/2*5)1(
3
1 +++=
hhYp
)1(31)1(1 +
++=h
hYp
hYpa -= 1
)1(343
++
=hha
0.25m 1.40m
P=3020kgf/m²Gas
Agua
Hgb
a
D.R=13.6M
h
2m
a
Aceite
D.R=0.8
Agua
Petrolio
D.R=0.92
RR
M
N
A
a
b
FH2
FV2d
c
h1
R.Sena
FH1FV1
O
=2.53m
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 41 -
h
2m
25
6
6A
h1
O
2.53mb
O'
1.5m 3.93m
g' g1
A1
º02.24=b
222
1 23.02º360
mSenRRA =-=bbp
)tan)(5( 1'
1 AtrianguloAreagulorecAreaFv -+= g )27.15.1(4600)23.05.15.1)(5(920 11 +=Þ-+= hFvhFv
Distancia de o’ a CG de 1A
mA
SenRd CG 64.53
)2/(2
1
33
==b
)57.0(23.02*35.1
25.1)23.05.15.1(
22
-+=-+ hbh
27.15.13.112.1
++
=h
hb
)1(8000)5*2)(1( 12112 +=Þ+= hFHhFH g
)1(31)1(
5*2*)1(12/2*5)1(
11
1
3
12 +++=
+++=
hh
hhYp
)1(343
1
1
++
=hh
c
)27.15.1(4000)23.05.15.1)(5(800 112 +=Þ-+= hFvhFv
27.15.13.112.1
1
1
++
=h
hd Como mh 3.41 = entonces:
kgfFH 424002 = y mc 06.1= kgfFv 308802 = y md 79.0=
Aplicación del peso OA a x de O Figura peso centro Longitud de OA ( cl )
mRl c 52.2360
2==
bp
R
RA
O
b
O'
3.93m
dq
dl
q
0.82m
WAO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 42 -
ò= xdlxl c'
| 02.49
25
202.49
25
'52.2 qqq SenRRdRCosx == ò
75.4' =x Þ mx 82.093.375.4 =-= mx 82.0=
kgfwOA 3150=
0=å oM
)()()82.0( 2211 dFvcFHwbFvaFH OA +=++ Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=0.73m 23) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta AOB de 8m de longitud y un peso de 120kgf/m² y puede rotar en el eje O, R=6m (radio de curvatura de OA) y a = 25º Calcular h para que la compuerta se mantenga en la posición mostrada. D.R Hg = 13.6 Solución: De la figura.
Agua
Agua
Agua
Agua
AD.R=0.6
PetroleoD.R=0.8
AD.R=0.75
HgHg
O'
A
O
B
Rh
1m
2.2m
0.2m
0.3m
Gas
P= -1546kgf/m²
1.4m
1m
Solución:
2.22.03.0 =++-+ cba 7.1=+- cba
)2.03.0()(1546 +++-+-= HgcbaPM gg )5.0(13600)7.1(10001546 ++-=PM
2/6954 mkgfPM =
Agua
Agua
HgHg
2.2m
0.2m
0.3m
Gas
P= -1546kgf/m²
M
a
b
c
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 43 -
Agua
A
D.R=0.6
PetroleoD.R=0.8
O'
A
O
B
Rh
1m
1m
a
b
d
c
f
e
AD.R=0.75
Agua 1.4m
a
M
FV1 FH1
FH2
FH3FV2
FV3
fq
b
º65=f
º84.53654.3
=Þ= qqCos
º16.11=Þ b a) Para la parte BOO |
750)4.1(1000 --= PMPB HHmkgfPB 10004804/4804 2 ==Þ= g
mH 8.4= y mh 34.21 = )8*46.2)(23.1(1000 11 += hFH
kgfFH 6.702571 =
mh
hYp 71.346.2*8*)23.1(
12/46.2*8)23.1(1
3
11 =+
++=
mahYpa 37.111 =Þ-=
222
1 38.22º360
mSenRRA =-=qqp
²95.52
84.4*46.22 mA ==
Distancia de o’ a CG de 1A
O'
O
B
R
1m
a
bAD.R=0.75
Agua 1.4m
M
FV1 FH1
q
R
CGA1
A2
h1=2.34m
H
2.3mAgua
4.84m
2.46m
3.54m
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 44 -
Figura centro
mA
SenRd CG 61.53
)2/(2
1
33
==q
)8)(34.2*84.4(1000 211 ++= AAFv kgfFv 8.1572441 =
234.2*²84.4)84.4(
32*95.53.2*38.266.19 -+=b
mb 65.2= b) Para la parte ABO |
8*46.3*)73.1(8002 =FH kgfFH 12.383092 =
mYp 31.246.3*8*73.1
12/346*873.13
2 =+=
mc 31.1=
222
1| 12.4
2º360mSenRRA =-=
ffp
²41.92| mA =
Distancia de o’ a CG de 1|A
Figura centro
mA
SenRd CG 42.53
)2/(21|
33| ==
f
)8)((800 2|
1|
2 AAFv += kgfFv 865922 =
)44.5(31*41.991.2*12.453.13 | +=d
md 15.2| = con respecto a B mdd 69.215.284.4 =Þ-= Respecto a O
c) Para la parte AOO | (Reemplazando aceite por agua)
)5.06.0(8000)8*1)(5.06.0(10003 +=+= hhFH
)5.06.0(80003 += hFH
)5.06.0(121)5.06.0(
1*8*)5.06.0(12/1*8)5.06.0(
3
3 +++=
+++=
hh
hhYp
316.0 Yphe -+=
PetroleoD.R=0.8
O'
A
O
B
R
CG'
25
65
A'1A'2
1.93m
5.44m
3.46m
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 45 -
)5.06.0(1226.3
++
=hhe
222
1|| 022.0
2º360mSenRRA =-=
bbp
²3.02|| mA =
Distancia de o’ a CG de 1|A
Figura centro
mA
SenRd CG 02.63
)2/(21
||
33|| ==
b
)8)(6.0*6.0(1000 2||
1||
3 hAAFv ++= )322.036.0(80003 += hFv
3.0*36.03
6.0*3.034.0*022.0)322.036.0( hfh ++=+
322.036.0067.0108.0
++
=hhf
Aplicación del peso AOB a x de O Figura peso centro Longitud de OA ( cl )
mRl c 81.6360
2==
fp
ò= xdlxl c|
|65
0
265
0
|81.6 qqq CosRRdRSenx -== ò
mx 05.3| = Þ mx 79.105.384.4 =-= mx 79.1=
kgfw AOB 6.6537120*8*81.6 ==
0=å oM
)()()()()()()( 3322|
11 fFveFHdFvcFHxwbFvaFH OA ++++=+ Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=66.26m 24) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 7m de longitud y un peso de 3420kgf y puede rotar en el eje O, R=5m (radio de curvatura de OA) y a=20º Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse. D.R Hg = 13.6
O'
A
O
R
CG
25
A''1A''2
0.6m
R
0.34m
1m
0.6hAgua
Aceite
hb
O'
A
B
R65
WAB
Rq
dq
dl
O
1.79m
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 46 -
Agua
Hg
1.6m 0.2m
GasP= 2800kgf/m²
Petroleo
D.R=0.8
AceiteD.R=0.75
Agua2m
2m
R
Ra
h
A
O
O'
Solución:
baPAPM ggg +++= )2.0(| )2.0(*136001000*)(2800 +++= baPM Pero en la figura se puede observar que: a+b=1.4m
2/6920 mkgfPM = )2()2( 1gg --= PMPN
²/3420 mkgfPN = Liberando a una superficie libre
Agua
HgHg
1.6m 0.2m
GasP= 2800kgf/m²
a
b
M
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 47 -
Petroleo
D.R=0.8
Aceite
D.R=0.75
Agua2m
2m
R
Ra
h
A
O
O'
FH1 FH2
FV1
FV2
b
a cd
M
N
h1=4.56mAceite
Þ 113420 hg=
mh 56.41 = )7*2)(1( 111 += hFH g
14)156.4(7501 +=FH kgfFH 583801 =
62.5)56.5(3
156.5
)1(31)1(
1
111
=+=
+++=
Yp
hhYp
11 hYpa -= ma 06.1= º9.27=b
222
1 24.02º360
mSenRRA =-=bbp
)tan)(5( 1
|1 AtrianguloAreagulorecAreaFv ++= g
kgfFvFv 5.40666)24.035.156.4*35.1)(7(750 11 =Þ++= Distancia de o’ a CG de 1A Figura centro
mA
SenRd CG 86.43
)2/(2
1
33
==b
56.4*235.1)35.1(
32*35.167.0*24.0746.7
2
++=b
mb 714.0= )1(11200)7*2)(1( 2
|2 +=Þ+= hFHhFH g
R
R
a
A
O
O 'b
A 1
A2
CG
1 .35 m
2m
0.6 7m
3.35m
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 48 -
)1(31)1(
7*2*)1(12/2*7)1(
3
2 +++=
+++=
hh
hhYp
)1(343
++
=hhc
)59.135.1(5600)35.124.035.1)(7(800 12 +=Þ++= hFvhFv
59.135.138.191.0
++
=hhd
Aplicación del peso OA a x de O Figura peso centro Longitud de OA ( cl )
mRl c 43.2360
2==
bp
ò= xdlxl c'
| 9.47
20
29.47
20
|43.2 qqq SenRRdRCosx == ò
11.4| =x Þ mx 59.011.47.4 =-= mx 59.0=
kgfwOA 3420=
0=å oM
)()()( 2211 xwdFvcFHbFvaFH OA++=+ Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=4.503m 25) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 6m de longitud y un peso de 3500kgf y puede rotar en el eje O, R=4m (radio de curvatura de OA) y a=15º, Presión relativa en PQ es 6035kgf/m². Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse.
R
R
a
A
O
O'b
dqq
dlWAO
0.59m3.35m
R.Cosq
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 49 -
Petroleo
D.R=0.8
Agua A
O
Petroleo 1m
h
R
a
R
Solución:
Petroleo
D.R=0.8
Agua A
O
Petroleo1m
h
R
a
R
FH2
FV2
FV1
FH1
b
P Q
1.04m
d
a c
b
q
3.86m
N
h1=3.995m
º34.59404.21 =÷
øö
çèæ= -Cosq
º66.15=b Pero en la figura se puede observar que:
2/6035 mkgfPQ = )04.2(g-= PQPN
A
O
1m
R
a
R
P
0.42m
A1CG
b
3.86m
h
0.24m
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 50 -
²/3995 mkgfPN = Þ 13995 hg=
mh 995.31 =
)5.0(6000)6*1)(5.0( 1211 +=Þ+= hFHhFH g kgfFH 269701 =
)1(92001 += hFH
11 hYpa -= ma 515.0= º66.15=b
222
1 027.02º360
mSenRRA =-=bbp
)tan)(6( 11 AtrianguloAreagulorecAreaFv -+= g kgfFvFv 4.11165)027.021.0995.3*42.0)(6(1000 11 =Þ-+=
Distancia de o’ a CG de 1A Figura centro
mA
SenRd CG 99.33
)2/(2
1
33
==b
mX 24.0=
995.3*242.024.0*027.0)42.0(
32*21.086.1
2
+-=b
mb 22.0= )5.0(4800)6*1)(5.0( 212 +=Þ+= hFHhFH g
)5.0(121)5.0(
6*1*)5.0(12/1*6)5.0(
3
2 +++=
+++=
hh
hhYp
)5.0(623
++
=hhc
)183.042.0(4800)027.021.042.0)(6(800 12 +=Þ-+= hFvhFv
A
R
a
R
P
b q
dq
O
dl
0.25m
R.cosq
WAO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 51 -
183.042.0052.009.0
++
=hhd
Aplicación del peso OA a x de O Figura peso centro Longitud de OA ( cl )
mRlc 09.1º360
2==
bp
ò= xdlxl c'
| 66.30
15
266.30
15
|09.1 qqq SenRRdRCosx == ò
mx 69.3| = Þ mx 25.044.369.3 =-= mx 25.0=
kgfwOA 3500=
0=å oM
)()()( 2211 xwdFvcFHbFvaFH OA++=+ Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=4.81m 26) En la figura se muestra una compuerta AOB de 2m de ancho, OB es parábola donde
125.0 -= mc Determinar el valor de h para que dicha Compuerta inicie a levantarse desprecie el peso de la compuerta.
CO2CO
Hg
Hg
Hg
D.R=16
Aire
AceiteD.R=0.8
Agua
25cm
32cm
30cm
5.71cm
2.5cm
N2
1.5cm
20cm 30
cm
Agua
y=cx²
Agua 40cm
h
O
A
B
Hg
Solución:
1000*3.013600*2.0)0721.0(10000571.0*160004.0*80013600*3.013600*25.013600*32.0 -+-++--=PN²/5.165 mkgfPN =
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 52 -
Liberando presión
)(1000 || hhPN == g
mh 1655.0| = )2*4.0)(2.0(1000 | += hFH
kgfFH 4.292=
mYp
Yp
402.04.0*2*)2.01655.0(
12/4.0*2)2.01655.0(3
=+
++=
1655.0-= Ypa ma 236.0=
Para la parte Parabólico: y = cx² Para y = h; x = b Þ h = cb² Ahora calculemos FH y FV
oyG AhFH Pr1 g=
21 1000*2*
2*1000 hhhFH ==
hm31=
3*4000
32*2*10001
bhbhFv ==
bn45
=
Sumatoria de momentos con respecto a “O” 0=å oM
mFHnFvaFH ..)( 11 +=
bbhhh45*
34000
31*1000236.0*4.292 2 +=
Pero chb =2 donde 125.0 -= mc
23 2000010003*69 hh +=Þ h=101.48mm 27) La presión a la salida de la bomba es de 110000kgf/m² para una potencia de 100HP co una eficiencia de 70% la carga perdida a través de la válvula “V” es de 10m los tubos son de hierro galvanizado con una rugosidad absoluta de 0.00015m., L1=150m., D1=0.3m., L2=300m., D2=0.15m., L3=200m., D3=0.2m., L4==300m. hallar la dirección del flujo y el caudal en cada tubería, así también la cota del nivel de
y=cx²
N
40cm
h
O
A
B
FH
h' FH1
FV1
c
d
b
a
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 53 -
agua en el reservorio “R”. La viscosidad cinemática del líquido es sm /10 26-=n .
Cota=??
R(1)
A
B
(2)(3)
(4)10m
30m
100m
N
Solución:
Cota=??
R(1)
A
B
(2)(3)
(4)10m
30m
100m
N
Q
Q I S
Calculando la rugosidad relativa
0005.030.0
00015.0
1
==De
001.015.0
00015.0
2
==De .
00075.020.0
00015.0
3
==De
0006.025.0
00015.0
4
==De
Calculando el número de reynolds
DQR
DQDVDR ee
62 10*27.1
4/=Þ==
npn
26
216
1 10*46.810*23.4 QRQR ee ==
46
436
3 10*08.510*35.6 QRQR ee == Calculando fh Perdida por fricción
5
2
0826.0:D
fLQhsabese f = por Darcy
2222
211 98.32632076.5098
1QfhQfh ff ==
2444
2333 72.2537451625 QfhQfh ff ==
)_(
32.576
44
BSBERNOULLI
bombadeQ
hQ
potnh BB =Þ=g
42
2
10010)4/25.0(2 fh
gQP
+=++pg
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 54 -
20038.172.25374 24
244 =-=Þ QQfF -----------------(I)
-Asumiendo caudal 544 10*08.5/³1.0 =Þ= eRsmQ
Con 44 / DyR e e del ábaco de Moody 0193.04 =Þ f En (I) mF 68.4=Þ -Asumiendo caudal 6
44 10*01.1/³2.0 =Þ= eRsmQ Con 44 / DyR e e del ábaco de Moody 0179.04 =Þ f En (I) mF 405.18=Þ -Asumiendo caudal 6
44 10*27.1/³25.0 =Þ= eRsmQ
Con 44 / DyR e e del ábaco de Moody 0178.04 =Þ f En (I) mF 32.28=Þ Graficando Q VS F Del gráfico: con F=20m de (I)
smQ /³21.04 = Rpta. 0179.04 =Þ f Pero smQQQ /³21.0343 =Þ=
63 10*33.1=Þ eR
Con 33 / DyR e e del ábaco de Moody 0186.03 =Þ f mh f 345.423 =Þ
mmg
QPE S
S 046.11010)4/25.0(2 2
24 =++=
pg
mE S 046.110=Þ
mEQ
hEE IBIS 716.8432.5
4
=Þ==-
Bernoulli (A – I) 223 345.42716.8430 fffI hhhEm ++=++=
mh f 061.972 -=Þ El signo negativo indica que el sentido del flujo asumido es
contrario: mh f 061.972 =Þ el flujo entra al reservorio A
Pero 000297.098.326320 222
2222 =Þ= QfQfh f
000297.0222 =Qf --------------------------------(II)
-Asumiendo caudal 522 10*46.8/³1.0 =Þ= eRsmQ
Con 22 / DyR e e del ábaco de Moody 02.02 =Þ f
Luego 0002.0222 =Qf
-Asumiendo caudal 622 10*26.1/³15.0 =Þ= eRsmQ
Con 22 / DyR e e del ábaco de Moody 020.02 =Þ f
Luego 00045.0222 =Qf
-Asumiendo caudal 622 10*423.0/³05.0 =Þ= eRsmQ
Con 22 / DyR e e del ábaco de Moody 02.02 =Þ f
Luego 00005.0222 =Qf
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 55 -
Graficando Q VS F Del gráfico: con 000297.02
22 =Qf obtenemos: smQ /³12.02 = Rpta.
Por continuidad smQQQQ /³33.01321 =Þ+= Rpta
Luego 61 10*19.4=eR
Con 11 / DyR e e del ábaco de Moody 0182.01 =Þ f mh f 1.101 =Þ
Bernoulli (R – I) NffIR hhhEE +++= 31
RptamRCotaRCota
161.14710345.421.10716.84
=+++=
28) En el sistema de la figura las tuberías tiene una rugosidad absoluta de 0.00025m y
sm /10*001.1 26-=n . Calcular el diámetro de las tuberías 2 y la perdida de carga total.
11m
A
4m
B
(1)
(2)00
C
L1=400mD1=0.2m
L2=500mD2=?
Solución:
11m
A
4m
B
(1)
(2)00m
C
Q
Q
00125.020.0
00025.0
1
==De
?00025.0
22
==DD
e
DQRe
610*27.1=
2
26
216
1 10*272.110*36.6DQRQR ee ==
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 56 -
5
2
0826.0:D
fLQhsabese f = por Darcy
5
22
22211 3.41103250
1 DQ
fhQfh ff ==
Bernoulli (A – B) LBLAfBA hhhEE +++= 1
( )BA KKDQQf +++= 4
1
212
11 0826.0103250411
744.77103250 21
211 =+= QQfF --------------------------(a)
-Asumiendo caudal 511 10*18.3/³05.0 =Þ= eRsmQ
Con 11 / DyR e e del ábaco de Moody 0215.01 =Þ f En (a) mF 76.5=Þ -Asumiendo caudal 5
11 10*816.3/³06.0 =Þ= eRsmQ Con 11 / DyR e e del ábaco de Moody 0214.01 =Þ f En (a) mF 24.8=Þ -Asumiendo caudal 5
11 10*498.3/³055.0 =Þ= eRsmQ Con 11 / DyR e e del ábaco de Moody 021468.01 =Þ f En (a) mF 94.6=Þ *) si al asumir caudal y calculado f, reemplazamos en (a) esto no satisface entonces se procede a graficar como en el problema anterior o interpolar con programas de calculadora:
smQ /³055.01 =\ Rpta Bernoulli (B – C)
LBfCB hhEE ++= 2
52
22
52
22
2 *0826.03.4104DQK
DQf B++=
Pero smQQQ /³055.0221 =Þ= 5.0=BK
MDD
f=+=Þ 5
252
2 0001249.01249.04 -----------------------(b)
-Asumiendo Diámetro 001.025.02
2 =Þ=D
mD e
Como 279840/³055.0 22 =Þ= eRsmQ Con 22 / DyR e e del ábaco de Moody 020667.02 =Þ f En (b) mM 67.2=Þ
-Asumiendo Diámetro 00083.030.02
2 =Þ=D
mD e
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 57 -
Como 23320030.0/³055.0 222 =Þ== eRmDysmQ Con 22 / DyR e e del ábaco de Moody 02014.02 =Þ f En (b) mM 05.1=Þ
-Asumiendo Diámetro 00125.020.02
2 =Þ=D
mD e
Como 34980020.0/³055.0 222 =Þ== eRmDysmQ
Con 22 / DyR e e del ábaco de Moody 021468.02 =Þ f En (b) mM 5.8=Þ De estos 3 valores se puede concluir que solo el diámetro de 0.25m satisface, ya que es un diámetro comercial de 10Pulg equivalente a 0.25m:
mD 25.02 = Rpta. Falta perdida de carga total 29) Dos reservorios A y B como muestra la figura, están conectados por una tubería de 10” de diámetro y 3000pies de longitud, otros dos reservorios C y D están conectados por una tubería de 12” de diámetro y 6000pies de longitud. Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberías se conectan por una tubería MN de 5500pies de longitud. La distancia AM=1000pies y ND=2000pies. Calcular: a) Los caudales que entran a los reservorios B y D Cuando por la tubería MN discurren 1pie³/s. b) El mínimo diámetro que debe tener MN para transportar 1pie³/s. (Considere solo perdidas por fricción).
A
B
C
D
50'
30'M
0'
40'
N
(1)(2)
(3)(4)
(5)
Solución:
A
B
C
D
50'=15m
30'=9mM
0'
40'=12m
N
(1)(2)
(3)(4)
Q1
Q3
Q4
Q2Q5(5)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 58 -
?1650550030.0"126002000
30.0"1212004000
25.0"10600200025.0"103001000
5|
5
4|
4
3|
3
2|
2
1|
1
===
====
====
====
====
DmLmDmLmDmLmDmL
mDmL
smQ /³027.05 = Calculando la rugosidad relativa
0008.025.0
0002.0
21
===DDee
00067.030.0
0002.0
43
===DDee
Calculando el número de reynolds
DQR
DQDVDR ee
62 10*27.1
4/=Þ==
npn
26
216
1 10*08.510*08.5 QRQR ee ==
46
436
3 10*23.410*23.4 QRQR ee == Calculando fh Perdida por fricción
5
2
0826.0:D
fLQhsabese f = por Darcy
2444
2333
2222
2111
06.2039512.40790
44.5074972.25374
QfhQfh
QfhQfh
ff
ff
==
==
Las tuberías (1) Y (2) es la misma entonces.
21 ff = lo mismo Las tuberías (3) y (4) 43 ff =Þ Bernoulli (A – B)
21 hhEE fBA ++=
221
211
222
211
44.5074972.253746
44.5074972.25374915
QfQfQfQf
+=
++=
Pero 027.021521 +=Þ+= QQQQQ
FQfQf =++=Þ 221
221 44.50749)027.0(72.253746 ----------------(a)
-Asumiendo caudal 522 10*08.5/³1.0 =Þ= eRsmQ
Con 22 / DyR e e del ábaco de Moody 0193.02 =Þ f En (a) mF 69.17=Þ -Asumiendo caudal 4
22 10*27.1/³05.0 =Þ= eRsmQ Con 22 / DyR e e del ábaco de Moody 03036.02 =Þ f En (a) mF 42.8=Þ -Asumiendo caudal 8128/³04.0 22 =Þ= eRsmQ Con 22 / DyR e e del ábaco de Moody 0337.02 =Þ f En (a) mF 58.6=Þ Interpolando se tiene:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 59 -
smQ /³039.02 = Rpta smQQQQ /³066.01521 =Þ+=
Bernoulli (C – D) 43 hhEE fDC ++=
)()027.0(06.2039512.4079012027.0
06.2039512.40790012
233
233
34534
244
233
b------------++==Þ
+=Þ+=
++=
QfQfNQQQQQpero
QfQf
1º Asumiendo caudal 20727/³07.0 33 =Þ= eRsmQ Con 33 / DyR e e del ábaco de Moody 027.03 =Þ f En (b) mN 612.10=Þ 2º Asumiendo caudal 27072/³08.0 33 =Þ= eRsmQ Con 33 / DyR e e del ábaco de Moody 0257.03 =Þ f En (b) mN 705.12=Þ 3º Asumiendo caudal 32.25735/³078.0 33 =Þ= eRsmQ Con 33 / DyR e e del ábaco de Moody 0259.03 =Þ f En (b) mN 27.12=Þ Interpolando se obtiene:
smQ /³0779.03 = smQQQQ /³105.04534 =Þ+=
Calculemos 31 ff hyh
Para smQ /³066.01 = Þ 027.048.22128 11 == fyR e mh f 98.21 =
Para smQ /³105.04 = Þ 0233.075.46435 44 == fyR e mh f 24.54 =
Bernoulli (A – D) 541 ffDA hhhEE +++=
)(24.68
1650*0826.024.598.215
55
5
55
255
g--------------------------=Þ
++=
Df
DQf
-Asumiendo Diámetro 001.020.05
5 =Þ=D
mD e
Como 171450/³027.0 55 =Þ= eRsmQ Con 55 / DyR e e del ábaco de Moody 0212.05 =Þ f
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 60 -
En (g) mDf 25.665
5
5 =Þ
Un diámetro comercial adecuado es mD 20.05 = =8pulg Rpta. 30) Calcular los diámetros de las tuberías de la red de la figura, si los caudales en E y F son respectivamente 20 y 30L/s y el agua se libera con igual presión e igual velocidad en E y F spieC H /100= para toda las tuberias presión, el diámetro del tramo CD deberá ser mayor que los diámetros DE y DF (D1=2D2).
(1)(2)
(4)
(5)
20m20m
10m
15m500m
500m
800m700m
700m
(3)
E
F
D2D1
Solución:
(1 )(2 )
(4 )
(5 )
2 0 m2 0 m
1 0 m
1 5 m50 0 m
5 0 0m
8 00 m7 00 m
700m
(3 )
E
F
D 2D 1
Q
P
Q 4
Q
Q 3
21 2 DD =
sLQsLQ /30/20 45 ==
FEFE PPyVV == sLQQQQ /503543 =Þ+=
sLQQQQQ /5021321 =+Þ=+ ……………………………………………(1)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 61 -
.(*)..............................22.1)4/(
20)4/(
30542
524
DDDD
VV FE =Þ=Þ=pp
Ecuación de la energía
).........(..................................................5
102
152
45
5
2
4
2
54
a
gg
=-Þ==
+++=+++
+=+=
ff
EFEF
fEE
fFF
fEfFQ
hhVVyPPcomo
hg
VPhg
VP
hEhEE
De la ecuación de Hazen y Williams 85.1
63.242.2347
÷øö
çèæ=
CDQLh f
De (a) 5100
30*42.23475.0100
20*42.23477.085.1
63.24
85.1
63.25
=÷÷ø
öççè
æ-÷÷
ø
öççè
æDD
"6"8
:"09.7"81.5(**)(*)
..(**)........................................564.9273361319
54
45
86.44
86.45
==
\==Þ
=-
DyDcomercialDiametro
esadecuadodiámetroElDyDyDe
DD
mD 20.0"84 ==
smDQV /95.0
4/2.0*03.0
)4/( 224
44 ===
pp
mh f 74.38*100
30*42.23475.085.1
63.24 =÷øö
çèæ=
"8:
).(......................................................................25.16
).(......................................................................25.21)()2(
).....(..................................................3540:
)2..(......................................................................75.18
75.18
75.18
75.1874.381.9*2
95.015
343
32
31
21
3
33
2
4
>Þ>
=+
=+
-=-=
+=
+=+=
=
=++=
+=
DDDPeromhhmhh
yDehhEPero
hmEhmhEE
mE
mE
hEE
ff
ff
ffP
fP
ffQP
Q
Q
fFQ
q
ba
a
Escogiendo diámetro comercial adecuado
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 62 -
"103 =D
mh f 25.310*100
50*42.23475.085.1
63.23 =÷øö
çèæ=
mh f 25.33 =
En (b) mh f 181 =
63.221
86.42
85.11
21
85.1
63.21
11
52.1
1824.8
218*100
*42.23477.0:
DQ
mDQ
DDymD
Qhpero f
=
=Þ
==÷÷ø
öççè
æ=
En (q) mh f 132 =
63.222
86.42
85.12
85.1
63.22
22
19.0
135.274
13*100
*42.23478.0:
DQ
mDQ
mD
Qhpero f
=
=Þ
=÷÷ø
öççè
æ=
"2.72"6.3
5019.052.1
/50
221
2
63.22
63.22
21
=Þ==Þ
=+
=+
DDDD
DD
sLQQ
\ los diámetros comerciales adecuados son: "6"8"10"4"8 54321 ===== DDDDD Rpta.
31) Un oleoducto con una tubería aproximadamente horizontal de 30cm de diámetro, donde la rugosidad absoluta e=0.003cm tiene una estación de bombeo de 40HP de potencia cada 7 Km. La eficiencia de los equipos de bombeo es 75% peso específico del líquido es 850Kg/m³ la viscosidad cinemática es 610*4 - m²/s a) Hallar el caudal b) si el caudal se incrementa en 50% hallar la nueva potencia de la bomba c) si con la nueva potencia la presión en el ingreso de la bomba es de 125kg/m² hallar la presión en la salida de la bomba.
Solución:
B B B B7km
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 63 -
B B B B7km
I S S S SI I I
7km 7km
75.0
0001.030.0
00003.040
/²10*400003.0³/85030.0
6
=
===
==
==-
nD
HPpot
smmmkgmD
ene
g
)1....(..................................................76
)(n
EEQpot Is -=g
Ecuación de la energía (S – I)
032.0³75.0*76
²4.1190*071.0*85040)1(
071.04
²3.0*
²4.119081.9*2*3.0
²*7000*2
2
=Þ
=
=Þ=
=Þ
===-
fV
fVVen
VQVQ
fVh
Vfg
VDfLhEE
f
fIs
p
Asumiendo valores de velocidades
1º Asumiendo 46 10*5.7
10*43.0*1/1 ==Þ= -eRsmV
Con DyR e /e del ábaco de Moody 0195.0=Þ f 0195.0³ =Þ fV
2º Asumiendo 56 10*1.1
10*43.0*5.1/5.1 ==Þ= -eRsmV
Con DyR e /e del ábaco de Moody 0185.0=Þ f 062.0³ =Þ fV
Graficando ³fVVSV Del gráfico: smV /17.1=
a) smQ /³083.04
²3.0**17.1==
p
b) smQQ f /³124.05.1 ==
smV f /74.1071.0124.0
==
56 10*3.1
10*43.0*74.1 =Þ= - ee RR
Con DyR e /e del ábaco de Moody 018.0=Þ f mh f 87.64=
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 64 -
En (1) 75.0*76
87.64*124.0*850=pot
RptaHPpot 95.119= c) mhEE fIS 87.64==-
.²/51.55694
²/51.5569487.64125
87.6422
22
RptamkgfP
mkgfPP
mg
VPg
VP
S
SS
IS
=
=Þ=-
=÷÷ø
öççè
æ+-+
gg
gg
32) En la figura se muestra un sistema donde se instala una bomba entre las tuberías 3 y 4 con una potencia de 4HP y una eficiencia de 70%, la presión en I es 65kgf/m² (C=120) Calcular: a) los caudales en cada tubería. b) Las presiones en el punto “A” y salida de la bomba.
40m
R
B
B
A
I S
(2)
(4)(3)(5)
(1) 20m
D=12''L=1000mD=10''
L=1500m
L=700mD=8''
D=10''
L=600m L=2000mD=12'' M
10m
Solución:
40m
R
B
B
A
I S
(2)
(4)(3) (5)
(1) 20m
M
10m
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 65 -
"122000"10600
"8700"101500
"121000
55
44
33
22
11
====
======
DmLDmLDmL
DmLDmL
²/65%704
mkgPn
HPPot
I ==
=
)......(............................................................2128.01000
76*7.0*76
*7676
)(
33
3
3
j
gg
QQEE
QPotnEE
nEEQPot
IS
ISIS
==-
=-Þ-
=
kmmL
hS f /20
12040
=-
==
54.063.2**000426.0: SDCQPero = 54.063.2
1 2012*120*000426.0=Q SLQ /58.1771 = Rpta.
De la figura se tiene: )(432 ISfff EEhhh --+=
Pero según Hazme y Williams 85.1
63.242.2347
÷øö
çèæ=
CDQLh f
).(........................................2128.0003.2923.6008.53
85.14
85.13
85.12 r
QQQQ -+=Þ
Pero por continuidad se tiene:
32143 QQQyQQ +== ).....(................................................................................58.177 23 lQQ -=Þ
tieneseen )()( rl SLQySLQ /038.75/542.102 32 ==
.²/2901
²/2901836.265
836.222
)(22
RptamkgfP
mkgfPmP
mg
VPg
VPEn
S
SS
IS
=
=Þ=-
=÷÷ø
öççè
æ+-+
gg
ggj
Ecuación de energía entre (R – A)
1fAR hEE +=
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 66 -
)1.........(................................................................................202
40 1
2
fAA hg
VP+++=
g
mh f 94.1912*120
58.177*42.2347185.1
63.21 =÷øö
çèæ=
En (1) ²/8.261 mkgfPA -= Rpta 33) En la figura se tiene dos reservorios A y B están conectados por una tubería de 10” de diámetro y 2500pies de longitud, otros dos reservorios C y D están conectados por una tubería de 12” de diámetro y 4500pies de longitud. Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberías se conectan con una tubería MN de 3000 pies de longitud y 8” de diámetro. Las distancias AM = 1000pies y ND = 2500pies, rugosidad de las tuberías es 0.00015. y viscosidad cinemática es 610 - m²/seg. Calcular los caudales en cada tubería (Considere flujo completamente turbulento).
A
B
C
D
80m
50mM
20m
40m
N
(1)(2)
(3)(4)
(5)
Solución:
A
B
C
D
80m
50mM
20m
40m
N
(1)(2)
(3)(4)
Q1
Q3
Q4
Q2Q5(5)
1pulg=0.025m, 1pie=12pulg.
mDmLmDmLmDmLmDmL
mDmL
20.0"8900300030.0"127502500
30.0"126002000
25.0"10450150025.0"103001000
5|
5
4|
4
3|
3
2|
2
1|
1
====
====
====
====
====
Calculando rogusidad relativa
0006.025.0
00015.0
21
===DDee
0005.030.0
00015.0
43
===DDee
Por ser el flujo completamente turbulento con e/D del ábaco obtenemos los valores:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 67 -
01745.021 == ff 01675.043 == ff 01837.05 =f
5
2
0826.0:D
fLQhsabese f = por Darcy
255
244
233
222
211
581.4267
022.427617.341
183.664789.442
Qh
QhQh
QhQh
f
ff
ff
=
==
==
Ecuación de energía entre (A – B)
21 hhEE fBA ++=
)(......................................................................183.664789.44230
183.664789.442508022
21
22
21
aQQQQ
+=
++=
Ecuación de energía entre (C – D)
43 hhEE fDC ++=
)(......................................................................022.427617.34120
022.427617.341204024
23
24
23
bQQQQ
+=
++=
Ecuación de energía entre (A – D)
541 ffDA hhhEE +++=
).........(........................................581.4267022.427789.44260
581.4267022.427789.442208025
24
21
25
24
21
qQQQQQQ
++=
+++=
).......(................................................................................521 gQQQ += ).......(................................................................................534 fQQQ +=
)()(),(),(),( fgqba yecuacioneslasDe se obtiene: sLQSLQsLQsLQsLQ /3.77/03.191/7.113/27.129/6.206 54321 ===== 34) A través de una tubería fluye agua, dos manómetros instalados en la tubería, en cuyo extremo existe un tubo de Pitot, tal como se muestra en la figura, se conocen los siguientes niveles de líquido mh 01.01 = y
,02.02 mh = la densidad relativa del mercurio es 13.6 calcular: a) El diámetro de la tubería b) La velocidad máxima. c) La velocidad media d) La velocidad a una distancia del eje de 0.25m )/10( 26 Sm-=n
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 68 -
**) Dos reservorios A y B como muestra la figura, están conectados por una tubería de 2500pies de longitud y 0.0174 de coeficiente de fricción, otros dos reservorios C y D están conectados por una tubería de 4500 pies de longitud y 0.0167 de coeficiente de fricción, Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberías se conectan por una tubería MN de 3000pies de longitud y 0.0183 de coeficiente de fricción. La distancia AM=1000pies y ND=2500pies, por la tubería MN discurren 1pie³/s. si el flujo es turbulento con superficie hidráulicamente rugosa y las tuberías son del mismo material. Calcular: a) Los diámetros de las tuberías y sugerir que diámetros comerciales se compran. b) Los caudales en cada tubería PROBLEMA 35: Una turbina Pelton de 0.9m de diámetro tangente al eje del chorro ( diámetro Pelton) posee unas cucharas que deflectan al chorro de agua un ángulo de 160°. El chorro es de 7.6cm. de diámetro. Despreciando la fricción, hallar la potencia desarrollada por la rueda y la eficiencia hidráulica cuando w = 300r.p.m. y la presión antes de la tobera es de 7.05kgf/cm2. Considerar que no hay perdidas en la tobera.
160°
a) ,
c)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 2 -
·
·
· W=300rpm, H=7.05
·
·
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 2 -
PROBLEMA 36: En la figura N° 3 se tiene dos reservorios (A y B) y las tuberías (1 y 2) de hierro fundido con una rugosidad absoluta de 0.25 mm. por donde se trasporta agua desde A hasta B y luego descargar en C, el tubo (1) de 0.2m. de diámetro tiene una longitud de 400m. y el tubo (2) tiene una longitud de 500m. Considerando pérdidas por fricción y locales hallar el caudal que discurre por el sistema y el diámetro del tubo (2).
C o ta = 0 .0 0 m .BF ig u ra N ° 0 3
(2 )C
(1 )
C o ta = 5 .0 0 m .
A
C o ta = 2 0 .0 0 m .
DATOS:
SOLUCIÓN:
1. Analizamos el tramo A-B. La rugosidad relativa: Para considerar pérdidas locales en la tubería 1, la relación entre su longitud y diámetro debe ser menor o igual a 1500.
, en este caso la pérdida local se aproxima a cero: . De la ecuación de la energía:
De la ecuación de Darcy:
, despejando:
Asumiendo valores del caudal, hallamos el Número de Reynolds y con la relación
, encontramos el valor de f en el diagrama de Moody, con todos los datos hallamos los valores de . Los datos obtenidos se encuentran en la siguiente tabla:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 3 -
Q(m3/s) x105
Re f x10-4 fQ2
0,075 4,77 0,0205 1,15 0,08 5,09 0,0205 1,28
0,085 5,41 0,0205 1,5 0,09 5,72 0,0205 1,6
El caudal requerido se halla del gráfico fQ2 vs Q: De la fórmula obtenida hallamos el caudal Q para .
2. Ahora analizamos el tramo B-C Como en el tramo A-B debemos saber la relación L/D2 para considerar o no las pérdidas locales, pero no conocemos el diámetro D2. Observemos la relación para una pérdida local despreciable: Para tuberías largas:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 4 -
El diámetro de la tubería 2 deberá ser menor o igual a 0.333m. Realizaremos los cálculos despreciando la pérdida local, en caso de que el diámetro resulte mayor a 0,33m, realizaremos nuevos cálculos considerando las pérdidas locales. De la ecuación de la energía:
La velocidad la podemos hallar del caudal:
De la ecuación de Darcy:
…(c)
Teniendo las ecuaciones a,b y c, podemos resolver es sistema asumiendo valores para el diámetro D, hallamos la relación , el número de Reynolds, con estos dos últimos valores encontramos el valor de f en el Ábaco de Moody, y finalmente hallamos como función de f y en la ecuación (c) y como función de la velocidad en la ecuación (a). Plasmamos todos los datos hallados en la siguiente tabla:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 5 -
D(m) /d x105 Re f V(m/s) hf(1) hf(2)
0,2 0,00125 5,497 0,02 2,6625 19,24 4,6387 0,25 0,001 4,398 0,0205 1,704 6,463 4,852 0,3 0,00083 3,665 0,0196 1,1833 2,483 4,9286 0,4 0,00063 2,749 0,0188 0,6656 0,565 4,9774
0,26 0,00096 4,229 0,0191 1,5754 4,95 4,8735
De la tabla, graficamos y vs el diámetro, al intersecar las rectas encontraremos el valor del diámetro q se busca:
Intersecamos las curvas igualando las ecuaciones y1 y y2:
· El diámetro hallado D2 es igual a 0.26m<0.33m, entonces el procedimiento fue correcto al despreciar las pérdidas locales.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 6 -
PROB 15.- En el sistema de la figura N° 2 se muestra a tres reservorios y una bomba de 180 H.P. de potencia con una eficiencia del 80%, el sistema de tuberías trasporta agua, la presión en el punto P es 35m. de agua, la válvula V origina una pérdida de 2.05m. de agua y el coeficiente de Hazem y Williams es 100 √pie /seg. Calcular los caudales en cada tubo y la cota de “B”.
L=2100m.10m.
C
A
L=2,000m.
5m. L=720m.QP
BombaD=24"
D=24"
40m.
cota = ??
D=12"
L=1800m.D=20"
V
B
Figura N° 02
Solución
Hallando la cota en P: Entonces asumimos el flujo de P hacia A Primero vamos que es un flujo turbulento con superficie hidráulicamente rugosa
Dónde: ……………………………(*)
Simplificando:
Remplazando en (*):
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 7 -
Remplazando tenemos: Potencia de la bomba:
Deduciendo del grafico tenemos: Despejando:
Concluimos que es absurdo OBSERVACIONES: Con respecto a
v Como la cota A y la cota P. no hay presencia del , ni mucho menos existe la bomba como se observa en el ejercicio, por ende no existe caudal.
* Bueno si es que existiera la bomba, es decir un caudal entonces: = 0 lts/s
v Donde luego calculamos mediante la expresión ya obtenida empericamente.
Por ende cota piezométrica en Q=?
* Indeterminado, ecuaciones absurdas
Cota piezométrica en M:
No existe!!
Conclusión:
Por ende:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho más
- 8 -
Donde: Posteriormente hallamos conocemos por formula:
Cota reservorio
…. Rpta