SOLUCION DE PROBLEMA DEL AÑO 2013

DEMOSTRAR QUE :

P= Poek(1/r-1/R)

Sabemos que dp/dy = - ρg (ecuación 1 ) y además la densidad es directamente proporcional con la presión

ρ/ρ0 = P/P0 despejando rho llegamos a: ρ =( ρ0/P0)P

la gravedad es inversamente proporcional a r2 en forma de ecuación es:

g = c/r2

Sustituyendo en la ecuación 1

dp = - ρg dy = - ( ρ0/P0)P c/r2 dy ; separando variables:

dp/P = - ( ρ0/P0) c/(R+y)2 dy la densidad y la presión son constantes por lo tanto ( ρ0/P0) c = k

integrando la ecuación respectiva dp/P = - k/(R+y)2 dy

los limites son Po y P para la presion y para la altura y es 0 y y

ln(P/Po) = - K ∫0

y dy¿¿ ¿ =

haciendo u = R+y y du = dy

ln(P/Po) = - K ∫0

y du¿¿ ¿ = - k (-u-1) = k/(R+y) evaluado desde y = 0 hasta y = r-R

ln (P/Po) = k ( 1/r-1/R)

despejando P

P = P0 ek( 1r− 1R )

¿¿Queda demostrado