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HiperestáticosMétodo de las Deformaciones
Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de
vínculo:
Consideraciones Preliminares
El método propone fijar los nudos tanto angular como linealmente, analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos.
Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de
vínculo:
Finalmente, aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuación de equilibrio.
Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos en la estructura.
Consideraciones Preliminares
Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de
vínculo:
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
Definimos el Sistema Fundamental:
ResoluciónProcedemos a fijar angularmente el nudo B de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será B = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura y estará conformado por una barra empotrada-articulada (barra horizontal BC), y una barra empotrada-empotrada (barra vertical AB).
Definimos el Sistema Fundamental:
ResoluciónUna vez hecho esto, analizaremos el efecto que tienen las cargas externas (q) sobre este sistema fundamental; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo B) y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto.
Analizaremos el efecto que tienen las cargas
externas
Como puede observarse en la figura, las cargas exteriores deformarán la barra AB de acuerdo con el siguiente esquema:
Por lo tanto, de tablas, el momento en el nodo B debido a la acción de las cargas exteriores será:
12
201
Hqa P
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto combinado será para un valor unitario de : L
JEHJEa
340
11
Planteamos las ecuaciones de compatibilidad
Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas exteriores y los giros del nodo B deberán ser nulos:
0011
01 aa P
HLJELHq
HLHLJE
Hq
aa P
341234
123
2
011
01
Y obtenemos el valor del giro del nodo B:
Calculamos ahora las reacciones de vínculo en A
JEL
N
JEH
HqQ
JEH
HqM
A
A
A
A
2
2
2
3
62
212
M’A
Q’A N’A
Aplicando el principio de superposición resulta:
Calculamos ahora las reacciones de vínculo en C
Q’CN’C
Aplicando el principio de superposición resulta:
JEL
Q
JEH
HqNC
C
C
2
2
3
62
Hallemos los valores de los esfuerzos que se producen cuando se produce un asentamiento
vertical del vínculo C de valor d
Procedemos a fijar angularmente el nudo B de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será B = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura:
En el Fundamental consideramos un asentamiento vertical del vínculo C
de valor d
Por lo tanto, de tablas, el momento en el nodo B debido al asentamiento del vínculo C será:
dd
201 3
LJEa
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto combinado será para un valor unitario de : L
JEHJEa
340
11
Planteamos las ecuaciones de compatibilidad
Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación del asentamiento del vínculo C y los giros del nodo B deberán ser nulos:
0011
01 d aa
HLLH
HLHLJE
LJE
aa
343
34
32
011
01 d
d
dd
Y obtenemos el valor del giro del nodo B:
Calculamos ahora las reacciones de vínculo en A
MA’’
QA’’ NA’’
Aplicando el principio de superposición resulta:
d
JEL
JEL
N
JEH
Q
JEH
M
A
A
A
A
32
2
33
6
2
Calculamos ahora las reacciones de vínculo en C
QC’’NC’’
Aplicando el principio de superposición resulta:
d
JEH
N
JEL
JEL
QC
C
C
2
32
6
33
Hallemos los efectos de un incremento de temperatura (de valor t)
Procedemos a fijar angularmente el nudo B de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será B = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura:
coeficiente de dilatación libre de un prisma () que mide el alargamiento o acortamiento por unidad de longitud, cuando la temperatura varía 1 °C.
HtLt
H
L
dd
En el Fundamental consideramos un desplazamiento del vínculo B de
valor d
Por lo tanto, de tablas, el momento en el nodo B debido al desplazamiento del nodo B será:
22
36
L
H
H
LB L
JEH
JEMd
dd
dd
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto combinado será para un valor unitario de : LH
B LJE
HJEM
dd
34
Planteamos las ecuaciones de compatibilidad
Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación del desplazamiento del nodo B y los giros del nodo B deberán ser nulos:
0 d BB MM
LH
L
H
H
L
B
Bt
LJE
HJE
LJE
HJE
MM
dd
dd
dd
d
34
3622
Y obtenemos el valor del giro del nodo B:
Calculamos ahora las reacciones de
vínculo en A
MA’’’
QA’’’NA’’’
Aplicando el principio de superposición resulta:
32
23
2
33
612
26
LLA
HH
LA
HH
LA
LJE
LJEN
HJE
HJEQ
HJE
HJEM
A
dd
d
d
dd
d
dd
23
32
612
33
HH
LC
LLC
HJE
HJEN
LJE
LJEQ
C
d
dd
dd
d
Calculamos ahora las reacciones de
vínculo en C
Aplicando el principio de superposición resulta:
QC’’’NC’’’
Resumiendo
AAAA
AAAA
AAAA
NNNNQQQQMMMM
A
MA
QA NA
Si nuestro problema, además de tener superabundancia de vínculos, está afectado por un asentamiento en uno de ellos y además por una diferencia de temperaturas, aplicando el principio de superposición resulta:
QCNC
CCCC
CCCC
NNNNQQQQ
C
Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
Muchas Gracias