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Simulacion de material granularutilizando el metodo de elementos
discretos paralelizado con GPU
ISUM–2012
Faustino Neri (CIMAT, A. C.),Carlos Labra (CIMNE) ySalvador Botello (CIMAT, A. C.).
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Resumen
Material granular
Colisiones entre particulas
Fuerzas entre partıculas
Un poco de CUDA
Simulaciones
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Metodo de elementos discretos
Caracterısticas
I El material es representado por una coleccion de partıculas.
I La formulacion presente utiliza partıculas esfericas (3D).
I Las partıculas se modelan como cuerpos rıgidos [1].
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Ecuaciones Newton-Euler
mi ri = Fi, (1)
Ii ωi = Ti. (2)
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Contactos de una partıcula
Dado un sistema de n partıculas, la etapa mas costosa del metodoDEM, es detectar todas las colisiones, es decir los pares departıculas que se sobreponen
Vi ∩ Vj 6= ∅ (3)
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Ordenamiento espacial
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
0
1
2
3
4
5
6
I Dimension de la celda
h = 2 max(R).
I Funcion hash:
H (ri ) = rzi (lx ly lz)+ryi (lx ly )+rxi .
I Espacio de simulacion:
b ≤ ri ≤ e.
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Sistema de partıculas
Sistema de partıculas
A = {p1, . . . , pn},
donde pi = {ri , ri , ω,Ri ,mi ,Fi ,Ti}.Las partıculas se ordenan en funcion del valor H [3], resultando unsistema A ordenado
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Ejemplo
1 2 3
5 6 7
9 10 11
0
1
2
4
6
El vecindario de la partıcula 4 es
N4 = {p4, p6},
N4 ∈ C 96 .
donde el espacio de vecinospotenciales C 9
6 se define como
C 96 =
i=2,j=3⋃i=0,j=1
g(i , j).
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Fuerzas
La fuerza total Ftotali que actua sobre una partıcula pi , esta formada
por dos tipos de fuerzas
I Fuerzas debido a colisiones entre partıculas.
I Fuerzas externas (e.g., gravedad, colision con muros,amortiguado y potenciales fısico/quımicos).
Ftotali =
∑j∈Ni
Fi ,j + Fexti .
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Balance de fuerzas
La colision de dos partıculas del sistema, satisface la tercera ley deNewton
Fi + Fi = 0.
Division de la fuerza de contacto
F = Fn + FT .
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Modelo reologico
Los parametros del modelo reologico, son derivados de experimentosde laboratorio sobre especımenes del material a simular [2]
los parametros del modelo son: kn rigidez normal, cn amortiguado,kT rigidez tangencial y µ coeficiente de Coulomb.
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Penetracion entre partıculas
Dos partıculas pi y pj , estan en contacto si
di ,j < (Ri + Rj),
donde la distancia entre partıculas esta definida como
di ,j =‖ rj − ri ‖2 .
La penetracion entre partıculas, se define como
δi ,j = (Ri + Rj)− di ,j .
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Fuerza normal
La fuerza normal, se descompone en una fuerza elastica y una fuerzade amortiguado
Fn = ( δi ,jkn︸ ︷︷ ︸el astica
− cnvrn︸ ︷︷ ︸amortiguado
)n,
donde la velocidad normal relativa se deriva como
vrn = (rj − ri ) · n,
y el coeficiente de amortiguado, es proporcional al amortiguadocrıtico
cn ∝ 2
√mimjknmi + mj
.
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Fuerza tangencial
La fuerza tangencial aparece debido a la friccion, resultado de laoposicion al movimiento relativo en el punto de contacto, paraderivarla utilizamos la ley de Coulomb
FT = − mın(µ ‖ fn ‖, kt ‖ vrT ‖)vrT‖ vrT ‖
,
donde la velocidad tangencial relativa vrT al punto de contacto, sedefine como
vrT = vr − (vr · n)n,
vr = (rj + ωj × rcj)− (ri + ωi × rci ).
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Amortiguado
Un estado casi estatico de equilibrio de todo el sistema de partıculas,puede ser alcanzado aplicandole un amortiguado apropiado.El amortiguado viscoso se define como
Fdampi = −αvtmi ui , Tdamp
i = −αvr Iiωi ,
y el amortiguado no viscoso esta definido como
Fdampi = −αnvt‖Fi‖
ui
‖ui‖, Tdamp
i = −αnvt‖Ti‖ωi
‖ωi‖.
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Integracion numerica
I Ecuacion de traslacion
rn+1i = rni +
∆t
mi,Fi , rn+1
i = rni + ∆t rn+1i .
I Ecuacion de rotacion
ωn+1i = ωn
i +∆t
IiTi .
I Tamano de paso de tiempo
∆t = α2√
kn/ mın(m)
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CUDA
CUDA organiza la computacion en paralelo utilizando la abstraccionde hilos, bloques, y rejillas.
Block(0,0)
Thread(0,0)
Block(0,1)
Block(2,0)
Block(1,2)
Block(1,1)
Block(1,0)
Block(0,2)
Block(2,1)
Block(2,2)
Thread(0,2)
Thread(1,0)
Thread(2,0)
Thread(2,1)
Block(1,3)
Block(0,3)
Block(2,3)
Thread(0,1)
Thread(1,1)
Thread(1,2)
Thread(2,2)
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Modelo de programacion
A continuacion se describen cada uno de los componentesprincipales del modelo de programacion utilizado en CUDA
I Hilo: es una ejecucion de una funcion kernel con un ındice unicoasociado. Cada hilo usa su ındice para acceder a ciertaslocalidades de memoria.
I Bloque: es un grupo de hilos, los cuales se ejecutan en paraleloo en serie, dependiendo de la carga en cada core del GPU.
I Rejilla: es un grupo de bloques, no existe sincronıa entre losbloques de hilos.
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Simulaciones
In
we trust!19/23
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Contenedor rotando
Caracterısticas
I Dimensiones del contenedor:radio = 0.5 m, ancho = 1.0 m
I Velocidad angular: 2π◦
I Numero de partıculas: 154,373
I Radio promedio: 0.00916 m
I Masa promedio: 0.00807 kg
I Incremento de tiempo:7.1×−6 s
I Iteraciones: 500,000 (3.5 s)
I Tiempo de procesamiento:94.9 m
Figura: Contenedor (vıdeo 1,vıdeo 2).
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Pala industrial
Caracterısticas
I Numero de partıculas: 216,838
I Radio promedio: 0.019 m
I Masa promedio: 0.0754 kg
I Incremento de tiempo:1.5×−5 s
I Iteraciones: 300,000 (4.48 s)
I Tiempo de procesamiento:77.2 minutos
Figura: Pala industrial (vıdeo 1,vıdeo 2).
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Referencias
[1] P. A. Cundall and O. D. L. Strack. Discrete numerical modelfor granular assemblies. Geotechnique, 29:47–64, 1979.
[2] Eugenio Onate and Jerzy Rojek, Combination of Discrete Ele-ment and Finite Element Methods for Dynamic Analysis of Geo-mechanics Problems”, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.193, 3087-3128, 2004.
[3] Ericson. C, Real-Time Collision Detection, Morgan Kaufmann2005.
[4] Faustino Neri Larios 2011, Caracterizacion de la onda de cho-que sobre estructuras, Tesis de Maestrıa, Centro de Investiga-cion en Matematicas.
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Science is what we understand well enough to explain to acomputer. Art is everything else we do.
– Donald Knuth
Gracias!
Preguntas?
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