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Departamento de Ciencias
SUPERFICIES CUADRICAS
COORDENADAS EN EL ESPACIO, PLANOS Y SUPERFICIES
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SUPERFICIES PRESENTES EN LA INDUSTRIA Y LA CIENCIA
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ALGUNAS INTERROGANTES
1) Podrs relacionar alguna superficie cudrica por medio de alguna estructura arquitectnica?
2) Podrs calcular el volumen para cada superficie cerrada?
2) Cmo sera tu sistema referencial para modelar matemticamente la ecuacin de la superficie?
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LOGRO DE SESIN
Al finalizar la sesin, el estudiante resuelve problemas de superficie cudrica y de superficie de revolucin en el espacio, utilizando las ecuaciones de conversiones de coordenadas rectangulares a coordenadas cilndricas y/o esfricas y viceversa; de forma correcta.
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SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONALES
X Y
I
II
IV
III
V
VI VIII
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Fuente: Larson Vol 2
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
COORDENADAS EN EL ESPACIO
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PLANOS PARALELOS A LOS COORDENADOS
Z
X
Y
Ecuacin: Z=3 Z=3 es // XY Z=3 es Z
3
-3
Ecuacin: Z=-3
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PLANOS PARALELOS A LOS COORDENADOS
Z
X
Y
Ecuacin: X=-2 X=-2 // YZ X=-2 X
-2
Ecuacin:y=3 Y=3 // ZX Y=3 Y
Traza
-
Z
X
Y
Ecuacin General:
1c
z
b
y
a
x
a
b
c
Traza con YZ
1c
z
b
y
1c
z
a
x
Traza con XZ
1b
y
a
x
Traza con XY
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Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuacin, determine cortes, trazas y grfica.
yzx 6301510 Ecuacin:
Solucin: 1) Cortes
Con X (Y=0, Z=0) 10x=30 x=3// Con Y (X=0, Z=0) 0=30+6y y=-5// Con Z (X=0, Y=0) 15z=30 z=2//
2) Trazas Con XY ( Z=0) 10x=30+6y 10x-6y=30// Con YZ (X=0) 15z=30+6y 15z-6y=30// Con XZ (Y=0) 10x+15z=30//
Z
X
Y
30610 yx
30615 yz
301510 zx
2
-5
3
PLANOS
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si
Es una funcin contnua, entonces el conjunto
de nivel de la funcin F correspondiente al valor
c, esto es F(x,y,z) = c, es una superficie.
),,(),,(
: 3
zyxFwzyx
F
SUPERFICIES
Definicin.
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El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro.
Si la generatriz es perpendicular al plano que contiene la directriz, se dice que es un cilindro recto.
Cilindro Circular Recto x2 + y2 = 4
SUPERFICIES CILNDRICAS
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CILINDROS RECTOS
La ecuacin de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.
16416
22
zx
2
1
yz xy sen2
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Dada la siguiente ecuacin, determine cortes, trazas y grfica.
44
2
x
zEcuacin:
Solucin: La curva directriz est en el plano XZ Las rectas generatrices son // Y Anlisis de la directriz: Cortes con Z (x=0) Cortes con X (z=0) Vrtice:
44
02
x
4x
4z
a
bxv
2
0
2
0
vx
44
02vz 4vz
X
Z
Y
EJEMPLO DE SUPERFICIE CILNDRICAS
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SUPERFICIES CUDRICAS
Definicin. Una superficie cudrica es aquella cuya ecuacin es de la forma:
0JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx 222
Tipos de superficies:
1. Elipsoide
2. Hiperboloide de una hoja
3. Hiperboloide de dos hojas
4. Cono elptico
5. Paraboloide elptico
6. Paraboloide hiperblico
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ELIPSOIDE
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
b
y
a
x
12
2
2
2
c
z
a
x
12
2
2
2
c
z
b
y
xz: Elipse
yz: Elipse
ECUACIN
TRAZAS
XY: Elipse
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HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
b
y
a
x
12
2
2
2
c
z
a
x
12
2
2
2
c
z
b
y
xz: Hiprbola
yz: Hiprbola ECUACIN
TRAZAS
XY: Elipse
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HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
b
y
a
x
12
2
2
2
c
z
a
x
kc
z
b
y
2
2
2
2
xz: Hiprbola
(|x|>0) Elipse
yz: (x=0) No existe ECUACIN
TRAZAS
XY: Hiprbola
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CONO ELPTICO
02
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
kb
y
a
x
2
2
2
2
c
azx
c
bzy
kc
z
a
x
2
2
2
2
kc
z
b
y
2
2
2
2
(|z|>0) Elipse
xz: (y=0) Rectas
(|y|>0) Hiprbola
yz: (x=0) Rectas
(|x|>0) Hiprbola
ECUACIN
TRAZAS
xy: (z=0) Punto
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PARABOLOIDE ELPTICO
02
2
2
2
zb
y
a
x
kb
y
a
x
2
2
2
2
2
2
a
xz
2
2
b
yz
(z>0) Elipse
xz: Parbola
yz: Parbola
ECUACIN
TRAZAS
xy: (z=0) Punto
-
02
2
2
2
za
x
b
y
ka
x
b
y
2
2
2
2
2
2
a
xz
2
2
b
yz yz: Parbola
xz: Parbola
xa
by
PARABOLOIDE HIPERBLICO
ECUACIN
TRAZAS
xy: (z=0) Recta
(|z|>0) Hiprbola
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1. Interseccin con los ejes coordenados. eje X:y=z=0; eje Y: x=z=0; eje Z: x=y=0 2. Trazas sobre los planos coordenados. plano XY: z=0; plano XZ: y=0; plano YZ: x=0 3. Simetras con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y origen. plano XY: F(x,y,-z)=F(x,y,z) plano XZ: F(x,-y,z)=F(x,y,z) plano YZ: F(-x,y,z)=F(x,y,z) origen: F(-x,-y,-z)=F(x,y,z) 4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados. plano XY: z=k; plano XZ: y=k; plano YZ: x=k
0),,( zyxFDISCUSIN DE LA GRFICA:
Se sigue los siguientes cinco pasos:
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1. En torno al eje x: y2 + z2 = [r(x)]2
2. En torno al eje y: x2 + z2 = [r(y)]2
3. En torno al eje z: x2 + y2 = [r(z)]2
SUPERFICIES DE REVOLUCIN
Si la grfica de una funcin con radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuacin de la superficie resultante tiene una de las siguientes formas:
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Al girar la grfica de la funcin f(x) = x2+1 en torno al eje x
se genera la grfica de la funcin
y2 + z2 = (x2 + 1)2.
radio
SUPERFICIE DE REVOLUCIN
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a) Graficar la superficie y2 + z2 = (x2 - 1)2.
EJERCICIOS PROPUESTOS
b) Graficar la superficie y2 - z2 = x2.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
http://www.aliatuniversidades.com.mx/bibliotecasdigitales/pdf/construccion/Geometria_analitica.pdf