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8/20/2019 Sesion 24 2015 2 Vibracion Libre Amortiguada
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Dinámica 2015-1
Sesión 24
Tema:
Vibraciones Libres Amortiguadas
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• Movimiento sobreamortiguado
• Movimiento en estado critico
•Movimiento subamortiguado.
• Decremento logarítmico.
• Disipación de la energía.
TEMARIO
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Competencias a lograr en la clase
2.- Determinar la frecuencia
en una vibración libre
subamortiguada con un solo
grado de libertad.
1.- Aplicar la ecuación
diferencial del movimiento en
una vibración libre
subamortiguada con un solo
grado de libertad.
3.- Trabaja en equipo en la
solución de problemas
participando asertivamente.
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El sistema no oscila peroretorna a su posición deequilibrio lentamente por tal
motivo es denominadosistema sobre
amortiguamiento.
TRES CASOS QUE SE PRESENTAN EN
LA VIBRACION AMORTIGUADA
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0mx cx kx
VIBRACION LIBRE AMORTIGUADA
Marco teórico de las vibraciones libres amortiguadas
Ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado:
0n
k
m 2
n
c
m
22 0n n x x x
Si > 1 Vibración sobreamortiguada Si < 1 Vibración subamortiguada Si = 1 Estado crítico de la vibración
21
d n
24 0c km 2 4 0c km
24 0c km
21
d n
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Este documento presenta los resultados experimentales
que pretenden validar el valor teórico de la razón deamortiguamiento para el acero del 5% recomendada pordiferentes autores.
Fuente: http://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.html
http://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.htmlhttp://www.arqhys.com/construccion/respuesta-dinamica-viga.html
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Ecuación diferencial:
Sabemos:
0mx cx kx 2 20nk
m
2 4 0c km
2
c
m
2 .critico n
c c
c k m
: Coeficiente de atenuación
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En ausencia de fuerzas la respuesta decrece con el tiempo hasta la posición de equilibrio x(t)=0.
No obstante, la magnitud del desplazamiento no oscila con respecto a la posición de equilibrio
cuando se acerca a esta.
Raíces de la ecuación
General:
1,2 = − ± ,ℛ+
( ) ( )
1 2( ) t t x t A e A e
2 n
c
m
2 2 2 1d n n
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( ) ( ) nt
x t B Ct e
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Solución X(t) de la ecuación diferencial de una vibración libre subamortiguada
( )nt d x Ce Sen t
1 2(A A ( )nt
d d x e Cos t Sen t
También:
Donde:
2 21 2( ) ( )C A A
1
2
Atg
A
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Decremento logarítmico (DL)
1
1
1
( )
2
n
n d
n d
t
t x Ce e x Ce
1
2
2ln
L n d n
d
x D
x
2
2
(1 ) L n
n
D
También:
2 2(2 ) ( )
L
L
D
D
Luego:
= 21 −
1/2
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La gráfica que describe el movimiento de la vibración sub-amortiguada es:
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= − = − = − = − = ⋯ = . Conceptualmente:
(ciclos/s)
La amortiguación es crítica cuando = 1
Por lo cual en = 1 =í
∴
Cuya solución será: = + ;
= 2ω
=1 =
ω2
∴ í= 2 .
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PROBLEMA:El siguiente sistema tiene unafrecuencia natural = 5 , paralos siguientes datos: = 10 ,
= 5 . ,
= 10 ,
= 25 . Cuando el sistema esperturbado hacia la derecha a travésde un pequeño desplazamientoinicial, la amplitud de la vibraciónlibre se reduce a un 80% en 10 ciclos.
Determinar los valores de rigidez K yla cte de amortiguamiento c:
ANIMACIÓN
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RESOLUCIÓN: Según el enunciado del problema se trata de una vibraciónsubamortiguada, después de reconocer el tipo de vibración,procedemos a resolver el problema utilizando los conceptosrelacionados a este tipo de vibración.Hacemos un bosquejo para comprender mejor el movimiento:
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Según el problema. =0.8
=1.25
Luego: =
.
.
.
.
.
.
.
.
ln = .
.
.
.
.
.
.
.
ln = ln + ln
+ ln + ln
+ ln + ln
+ ln + ln
+
ln 1.25 = 9 ln
ln =19 ln 1.25
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Por el concepto de decremento logarítmico:
=
: = ln
=
19 ln 1.25
=2.47937×10;
Ahora usamos la relación del decremento logarítmico con la razón deamortiguamiento ():
=21 −
=
2 −
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Reemplazando el valor del decremento logarítmico, tenemos: = 3 . 9 4 6 × 1 0;
Ahora utilizamos lo estudiado sobre cinética del cuerpo rígido en 2D y usamos
todos sus conceptos para obtener la ecuación del movimiento:() Graficamos el diagrama de fuerzas en el bloque:
Usamos la ecuación:
=
Tenemos:− − =
Luego: + + = 0 …(*)
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Ahora analizamos la polea:
Usamos la ecuación: =
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Aplicando en el problema: − =
− =
− = − = = : …(**)
Reemplazando (**) en (*):
+ + + = 0 + + + = 0
Como = → = → =
+ + + = 0 + + + = 0
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Reemplazamos la ecuación diferencial con los datos del problema:5.625 +0.01 +0.0625=0
Ahora usamos la ecuación de la frecuencia angular normal ():
=
= 0.06255.625 Como =2
Entonces:
2 5 = 0.06255.625
= 88826.439
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También, del concepto de la razón de amortiguamiento:
= 2
= (2)
0.01 = 3.946 × 10; 2 0.0625 88826.439 5.625
= 139.463 .
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TABLA DE RESPUESTAS:
Pregunta
Respuesta
Cantidad
escalar
Valor
Numérico
Unidades
a 88826.439
b 139.463 .
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BLOQUE C (4 puntos)
Un auto de 79,8 kg de ensayo se mueve con una rapidez de 7,33 m/s y choca contra un
muro de contención en t = 0. Como resultado del comportamiento del parachoques en la
absorción de energía, la respuesta del vehículo a la colisión puede ser simulada como un
oscilador de masa y resorte amortiguado que se muestra con K = 8000 N / m y c = 3000 N.s/ m. Considere que la masa se mueve hacia la izquierda con rapidez inicial de v0 = 7,33 m /
s, y el resorte no está estirado en t = 0. Para t = 0,04 s determine:
a.- La frecuencia circular natural.(rad/s)
b.- La frecuencia de la vibración amortiguada.(rad/s)
c.- La razón de amortiguamiento.
d.- Indique si la vibración es subamortiguada.
Fundamente su respuesta
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0mx cx kx
0c k
x x xm m
3000 80000
79,8 79,8 x x x
300018,8
2 2(79, 8)
c
m
800010 /
79,8n rad s
(supe )n ramortiguado
2n
c
m
Si > 1 Vibración sobreamortiguada
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PROBLEMA (4 puntos)
Dos barras esbeltas y uniformes están soldadas según se indica en la figura. La
barra ABC pesa 10 N y en la posición de equilibrio esta horizontal: la barra BD pesa
15 N y en la posición de equilibrio esta vertical; el pivote B está exento de
rozamiento y el resorte no tienen deformación. Determine:a.- La ecuación diferencial del movimiento
b.- El índice de amortiguamiento.
c.- Que tipo de vibración sucede (subamortiguado, amortiguamiento critico o
sobreamortiguado).
d. La frecuencia del movimiento (si procede).(rad/s)
20 N.s/m
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TALLER
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ProblemaUn carrito de peso 100 N rueda por una superficie horizontal plana,
según se indica en la figura. se empuja el carrito hacia la derecha 375mm y se suelta con una velocidad de 4,5 m/s hacia la izquierda en elinstante t = 0 . Si la constante del resorte es K = 667 N/m y elcoeficiente de amortiguamiento corresponde al amortiguamientocrítico, determinar:
a.- El valor del coeficiente de amortiguamiento C.(N.s/m)b.- ¿El carrito superará la posición de equilibrio antes de quedar enreposo?
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1.- 6,4096rad/s
2.- 9,6144 m/s3.- 714,24 N
4.- 30 N
5.- 2 rad/s2
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Solucion
En la figura puede observarse eldiagrama del cuerpo libre delcarrito para una posiciónarbitraria.
Luego la pulsación propia será:
Y la razón de amortiguamiento:
−cx − kx = mx
100/9.81x + cx + 667x = 0
ωn = 667100 9.81 = 8.089 rad/s
ζ = 2
100
9.818.089
= 1
=
= 164.9 N. s/m
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En el caso crítico, el desplazamiento y la velocidaddel carrito vienen dados por:
Pero conocemos los siguientes datos:
,
() =
( +
)− = (
+
)
−8.089
() = − 8.089( + )−8.089
= 0 = 375 = −1466.6 /
() = (375 − 1466.6)−8.089 1 = 375 1466.6 s
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Si analizamos dicha ecuación habrá un instante donde el
cuerpo pasara por la posición de equilibrio (x = 0) Es decir: El cuerpo superara la posición de equilibrio,
luego seguirá moviéndose hasta que, eventualmente, suposición tienda a cero.
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Tareas1.- Resolver el problemas: 4 , pagina 30 de la Guía de Dinámica N 2
El problema del bloque D analizarlo y discutirlo en su grupo de trabajo.
2.- Revisar en el libro de R. C. Hibbeler en la pagina 661, Beer and Johnstonpagina 1086.el libro de T.R. Vilchez en la pagina 313 y traten de resolver el problema 01
Tema: Vibraciones libres amortiguadas
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P bl
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ProblemaUna barra esbelta uniforme de 3 Kg tiene una longitud de 150mm yesta en equilibrio en la posición horizontal que se indica en la figura.
Cuando se desciende un poco E y se suelta se observa que laamplitud de cada pico de la oscilaciones es un 90% de la amplituddel pico anterior. Si la constante del resorte es K = 400 N/m,determinar:
a.- El valor del coeficiente de amortiguamiento
b.- El periodo amortiguado, la frecuencia amortiguada y la pulsaciónamortiguada de la vibración resultante.
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Solución Se determina el decremento logarítmico a partir del
cociente entre amplitudes sucesivas:
Luego la razón de amortiguamiento será:
Coeficientes de laecuacióndiferencial delmovimiento
DL = δ = ln x1x2
= 10.9
= 0.10536
ζ = 22 + 2 = 0.01677 = 2 … ()
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Para el estado de equilibrio tendríamos lo siguiente:
Cuando se gira la barra en sentido anti horario elalargamiento del resorte sería:
↺ + = 0
−0.075
−0.025
= 0
→ = −24.53mm
+ ≅ 0.075
A ál t l ti d i i á
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Análogamente el amortiguador se comprimirá arazón:
Por tanto, la ecuación del movimiento seria lasiguiente:
Donde:
≅ 0.050
−0.025− 0.075 + − 0.050 =
+ (0.050)2
+ (0.075)2
=
−0.075
−0.025
= 112 . 3. (0.15)2 + 3. (0.025)2 = 7.5(10−3)kg. m2
+ 0.0333 + 300 = 0
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Sustituyendo en la ecuación “a” los valores de loscoeficientes de la ecuación diferencial, obtenemos:
Entonces la pulsación propia, la frecuencia
amortiguada y la pulsación amortiguada serán:
= 0.016770.3333 (2) 300 = 1.743N. s/m
ωn = 300 = 17.321 rad/s
ωd =
ωn
1
− ζ2 = 17.318rad/s
f d = ωd 2π = 2.756Hz τ = 1 f d = 0.363s
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Ejemplo:Hallar la ecuación diferencial del movimiento de la varilla que se muestra