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Estadística. Sesión 7: Probabilidad. Tercera parte.
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Contextualización
En la presente sesión aprenderemos a trabajar con las técnicas de
conteo, mayormente utilizadas en la probabilidad, como lo son las
permutaciones y combinaciones.
Aprenderemos la diferencia de la aplicación de cada una de las
técnicas en cada uno de los experimentos realizados en la
probabilidad.
Fuente: http://2.bp.blogspot.com/_e6ns2w7oOIs/Smm7jbht22I/AAAAAAAAAdA/rQxJB4fD9jI/s400/terminado+en+0.JPG
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Introducción
.
Fuente: http://3.bp.blogspot.com/-3SR7T-Pm0cs/TcemQSOoMOI/AAAAAAAAAJA/wCmpGJgmg_8/s320/combinatoria.jpg
Seguimos con el tema de Probabilidades.
Ya estudiamos Espacio/Muestra, Eventos
compuestos, Leyes de probabilidad, Ley
de Bayes. Ahora solamente resta por
analizar dos subtemas: Conteo de puntos
muestrales y Combinación y permutación.
Así que los invitamos a que continúen
atentos a cada uno de los ejercicios.
¿Qué son las técnicas de conteo en
probabilidad?
¿Cuál es la diferencia entre permutar y
combinar?
Al asignar probabilidades es necesario
saber identificar y contar los resultados
experimentales.
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Explicación
Las técnicas de conteo son utilizadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Principio fundamental del conteo
Si una operación puede realizarse en m1 formas, y si por cada una de éstas una segunda operación puede realizarse en m2 formas y una k-esima operación puede realizarse en mk formas, entonces las k operaciones pueden llevarse a cabo juntas en m1xm2x……mk formas.
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Explicación
Regla de conteo para las Combinaciones
Permite contar el número de resultados experimentales cuando el
experimento consiste en seleccionar r objetos de un conjunto
(usualmente mayor) de n objetos en donde el orden en que están
dispuestos los objetos no importa.
El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r es:
𝐶𝑟𝑛 =
𝑛𝑟
=𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !
La notación “!” significa factorial.
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Explicación
Ejemplo: Si de un grupo de 8 personas se van a seleccionar 4 para
un comité de representación en donde todas ostentan el mismo
cargo, ¿cuántos grupos diferentes de 4 representantes se pueden
formar?
Solución. En este caso n=8 y r=4 y como cada elemento tiene el
mismo cargo, entonces:
𝐶48 =
𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !=
8!
4! 8−4 !=
40320
(24)(24)= 70
Se forman 70 diferentes grupos de 4 representantes.
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Explicación
Regla de conteo para las Permutaciones
Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan r objetos de un conjunto de n objetos y el orden de selección es relevante. Los mismos r objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado experimental diferente.
El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r está dado por:
𝑃𝑟𝑛 = 𝑟!
𝑛𝑟
=𝑛!
𝑛−𝑟 !
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Explicación
Ejemplo. Si se va a integrar un código con 5 letras diferentes,
partiendo de un conjunto de 6 caracteres disponibles de la A -
F. ¿Cuántos códigos es posible generar?
Solución. En este caso n = 6 (Cantidad de letras de la A - F) y r
= 5 y como cada orden es un código diferente, entonces se
trata de una permutación.
𝑃56 =
𝑛!
𝑛−𝑟 !=
6!
6−5 !=
720
1= 720
Son 720 códigos diferentes que se generan.
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Explicación
Probabilidad usando técnicas de conteo
Es factible usar técnicas de conteo vistas anteriormente para el cálculo de probabilidades en eventos que no impliquen reemplazo.
La regla que se sigue es la siguiente:
𝑃 𝐴 =𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝐴
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
Ejemplo. Se tienen en una bodega 20 artículos, de los cuales 5 son de importación. Si se toman 4, ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 sean de importación?
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Explicación
Solución:
Primeramente se toman en cuenta las siguientes consideraciones:
Se habla de una población de tamaño N, dentro de ella hay un número k de
elementos que cumplen con cierta característica.
De este subconjunto k deseamos obtener x elementos con dicha
característica en una muestra de tamaño n.
Para seguir con la regla anterior tomaremos la información de la siguiente
manera:
𝑃 𝑥 = 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 =𝐶𝑛−𝑥
𝑁−𝑘×𝐶𝑥𝑘
𝐶𝑛𝑁
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Explicación
Por lo tanto, N = 20 Total de población,
k= 5 subconjunto de elementos que cumplen cierta característica,
n=4 muestra de elementos que cumplen con dicha característica,
x= 4 elementos que cumplen con dicha característica.
𝑃 𝑥 = 4 =𝐶0
16×𝐶45
𝐶420
Ocupamos 0 artículos nacionales y 4 de importación, por eso se realiza esta
multiplicación de combinaciones.
Efectuando las operaciones indicadas, tenemos que
P(x=4)=(1)(5)/4845=0.000103
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Conclusión
En la presente sesión aprendimos a trabajar las técnicas de conteo más
utilizadas, como son las permutaciones y combinaciones, recordando que la
diferencia entre ellas es que en la primera sí importa el orden que se va a
realizar y en la segunda no interesa ese orden.
En la siguiente sesión iniciaremos nuestro trabajo con las Distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias.
Fuente: http://www.hrc.es/bioest/normal3.gif
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Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
Técnicas de Conteo. (s/f). Consultado el 6 de noviembre de 2013: http://www.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE13.pdf
Hernández, J. (s.f.). Técnicas de Conteo. En Instituto Tecnológico de Apizaco. Consultado el 6 de noviembre de 2013: http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/tecnicas%20de%20conteo.pdf
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Video con la explicación de las Técnicas de conteo: permutaciones y combinaciones.
Diferencia entre permutación y combinación. (2011). Consultado el 6 de noviembre de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=fUuDW7ky5j8
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te
permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Bibliografía
Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. México: Editorial Cengage Learning.
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