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2 CIRCUITOS COMBINACIONALES2 .1Elena ValderramaUniversidad Autnoma de Barcelona
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2 .11. Circuitos combinacionales
Circuitos digitales que implementan una o varias funciones de conmutacin, y tales que las salidas del circuito en cada instante de tiempo dependen nica y exclusivamente de las seales de entrada en aquel mismo instanteseales de entrada en aquel mismo instante.
CircuitoCircuitoCircuito combinacional
Circuito combinacional
2
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2 .11. Circuitos combinacionales
Sumador de nmeros de nmeros de 4 cifras binarias (4 bits)
Sumador nmerosSumador nmeros de 4 bits
s 1111 then Z
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2.1 Sntesis a partir de una tabla: Memoria ROM2 .1
Sumador nmeros de 4 bits
s
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TABLA DE VERDAD 2 .1
..
5
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TABLA DE VERDAD
d
e
5
b
i
t
s
l
a
b
r
a
s
(
5
1
2
)
O
M
d
e
2
9
p
a
l..
R
O
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2.1 Sntesis a partir de una tabla: Memoria ROM2 .1
CC de n entradas y m salidas ROM de 2n palabras de m bits por palabra
ROM 2n palabras de
Circuito
ROM 2 palabras de m bits
combinacional
habitualmente ineficiente ! habitualmente ineficiente !
7
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2 .1PREGUNTA
Cul debera ser el tamao mnimo (nmero de palabras y nmero de bits por palabra de una ROM que implementase un circuito combinacional de 8 entradas y 16 salidas?q p y
1. 23 palabras de 16 bits2 28 l b d 16 bit2. 28 palabras de 16 bits3. 24 palabras de 8 bits4. 216 palabras de 8 bits
8
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2.2 Sntesis a partir de una tabla: Puertas lgicas2 .1
xi yi
Sumador 1 bit acarreoINacarreoOUT
Sumador nmeros de 4 bits
zi
x3 y3 x2 y2 x1 y1 x0 y0
Sumador 1 bitacarreoOUT
Sumador 1 bit
Sumador 1 bit
Sumador 1 bit acarreoIN
z3 z2 z1 z0
9
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2 .1
Sumador 1 bit
xi yi
acarreoIN(c )
acarreoOUT(c )
s < x + y + c ;
(ci) (co)
zi
s
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2.2 Sntesis a partir de una tabla: Puertas lgicas2 .1
Sumador
xi yi
1 bit cico
zi
xi yi ci co zi 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 10 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 111
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2.2 Sntesis a partir de una tabla: Puertas lgicas2 .1
x xSumador 1 bi
xi yi
cicoy z
xy
z x z1 bitcico
zix y z x y z x y
INV
xi yi ci co zi0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 0
0 1
1 0
0 0
0 1
1 0
0
1
AND OR
INV0 1 0 0 10 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
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2.2 Sntesis a partir de una tabla: Puertas lgicas2 .1
Sumador 1 bi
xi yi
cico 1 bit cico
zi
xi yi ci co zi0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 10 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
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2.2 Sntesis a partir de una tabla: Puertas lgicas2 .1
Sumador 1 bi
xi yi
cico 1 bit cico
zi
xi yi ci co zi0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 10 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
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2 .1
Necesitamos una herramienta que nos permita implementar cualquier circuito digitalNecesitamos una herramienta que nos permita implementar cualquier circuito digital utilizando el menor nmero posible de puertas
LGEBRA DE BOOLELGEBRA DE BOOLE
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(Ejercicio)2 .1
( j )
Disear con puertas lgica la salida zi del sumador de 1 bitSumador
xi yi
1 bit cico
zi
xi yi ci co zi 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 10 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 116
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(Solucin del ejercicio propuesto)2 .1
( j p p )
Sumador
xi yiDisear con puertas lgica la salida zi del sumador de 1 bit
1 bit cico
zi
xi yi ci co zi 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 10 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 117
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2.2 Sntesis a partir de una tabla: Puertas lgicas2 .1
Sumador 1 bi
xi yi
cico 1 bit cico
zi
xi yi ci co zi0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 10 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
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RESUMEN2 .1
Circuitos combinacionales Diseo de circuitos combinacionales utilizando memorias ROM (tablas)Diseo de circuitos combinacionales utilizando memorias ROM (tablas) Primer intento de diseo utilizando puertas lgicas
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2 .1
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2 LGEBRA DE BOOLE2 .2Elena ValderramaUniversidad Autnoma de Barcelona
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2 .21. lgebra de Boole
Un lgebra de Boole un conjunto finito de elementos sobre el cual se han definido dos operaciones (suma y producto) que cumplen 5 postulados que veremos a continuacin
g
operaciones (suma y producto) que cumplen 5 postulados que veremos a continuacin.
El lgebra de conmutacin(*) es un lgebra de Boole en el que el conjunto de elementos se limita a {0,1}
}{ += operacinoperacinB ,,1,0
(*) En el mbito de los sistemas digitales se trabaja con lgebras de conmutacin, aunque se utiliza el nombre genricos de lgebra de Boole.
22
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2 .21. lgebra de Booleg
P 1 - Las operaciones + y . son internas, BbayBbaBba + ,,
P 2 Existe un elemento neutro para cada operacin aaaaBa ==+ 10P 2 - Existe un elemento neutro para cada operacin, aaaaBa ==+ 1,0,
P 3 Existencia del elemento inverso, 0,1|, ==+ aaaaBaBa
P 4 - Las operaciones son conmutativas, abbaabba =+=+ ,
P 5 - Las operaciones son distributivas, )()(,)( cabacbacabacba ++=++=+
23
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2 .21. lgebra de Booleg
La nica manera de definir las operaciones suma_lgica y producto_lgico de forma que cumplan los 5 postulados es
a b a+b a.ba b a b a.b0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 01 0 1 0
1 1 1 1
24
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2 .21. lgebra de Booleg
)()(,)( cabacbacabacba ++=++=+
25
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2 .22. Propiedades tiles del lgebra de Boolep g
1 - Elemento inverso, 01,10 ==
2 - Idempotencia, aaaaaa ==+ ,p , ,
BbBbBb +P1 BbayBbaBba + ,,
aaaaBa ==+ 1,0,
0,1|, ==+ aaaaBaBa
P1 -
P2 -
P3 -
abbaabba =+=+ ,
)()(,)( cabacbacabacba ++=++=+
P4 -
P5 -
26
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2 .2(Ejercicio)(Ejercicio)
Demuestra que aaa =
Pista: Utiliza la segunda parte de los postulados 2 3 y 5 de manera similar a cmo lo hemos hecho
BbBbBb +P1
Pista: Utiliza la segunda parte de los postulados 2,3 y 5 de manera similar a cmo lo hemos hecho anteriormente
BbayBbaBba + ,,
aaaaBa ==+ 1,0,
0,1|, ==+ aaaaBaBa
P1 -
P2 -
P3 -
abbaabba =+=+ ,
)()(,)( cabacbacabacba ++=++=+
P4 -
P5 -
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2 .2(Resolucin del ejercicio)(Resolucin del ejercicio)
Demuestra que aaa =
Pista: Utiliza la segunda parte de los postulados 2 3 y 5 de manera similar a cmo lo hemos hecho
BbBbBb +P1
Pista: Utiliza la segunda parte de los postulados 2,3 y 5 de manera similar a cmo lo hemos hecho anteriormente
BbayBbaBba + ,,
aaaaBa ==+ 1,0,
0,1|, ==+ aaaaBaBa
P1 -
P2 -
P3 -
abbaabba =+=+ ,
)()(,)( cabacbacabacba ++=++=+
P4 -
P5 -
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2 .22. Propiedades tiles del lgebra de Boolep g
1 - Elemento inverso, 01,10 ==
2 - Idempotencia, aaaaaa ==+ ,p , ,
3 - Involucin, aa =
4 - Asociatividad, cbacbacbacba )..().(,)()( =++=++
5 - Absorcin, abaaabaa =+=+ )(,.
6 - (sin nombre), babaababaa .)(,. =++=+
7 - de Morgan,
8 - de Morgan generalizada,
babababa +==+ .,.)(
nnnn aaaaaaaaaaaa +++==+++ .......,....)...( 21212121
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2 .2PREGUNTA
A qu expresin booleana es equivalente la siguiente: bacdba .)( ++
Pista: Utiliza los postulados y las propiedades del lgebra de BoolePista: Utiliza los postulados y las propiedades del lgebra de Boole
1. dcbba ++ ..
2.3.4. dbcbba ... ++
ba.dcbba ++ ..
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2 .23. Funciones booleanas y tablas de verdady
a) Toda funcin booleana puede representarse explcitamente por una tabla de verdad
bbbf )( bacbcbaf ..),,( +=
a b c f(a,b,c)
0 0 0 00 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
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2 .23. Funciones booleanas y tablas de verdady
b) Dada una tabla de verdad podemos encontrar una funcin booleana equivalente?... La respuesta es SI
LITERAL
Cualquier variable o su elemento inverso bbCualquier variable o su elemento inverso : ...,,,,,, ccbbaa
MINTERM de n variables
Cualquier producto de n literales tal que cada variable aparece una sola vez. Para n=3, los siguientes trminos son minterms :
cbacbacbacba ...,..,..,..,.. cbacbacbacba
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2 .23. Funciones booleanas y tablas de verdady
MINTERM de n variables : Cada minterm toma el valor 1 para una nica combinacin de valores
a b c
0 0 0
0 0 11cba=1.. cba cbam ..0 =
b0 0 10 1 0
0 1 1
=1.. cba=1.. cba=1.. cba
cbam ..1 =cbam ..2 =cbam ..3 =
1 0 0
1 0 1
1 1 0
=1.. cba=1.. cba=1.. cba
cbam ..4 =cbam ..5 =cbam ..6 =
1 1 1=1.. cba6
cbam ..7 =33
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PREGUNTA
Indica cul de las siguientes expresiones corresponde al minterm-5 (m5 )en n=4:
1. dcba ...2.3.4. dcba ...
cba ..dcba ...
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2 .23. Funciones booleanas y tablas de verdady
MINTERM de una funcin booleana de n variables
Son aquellos minterms que coinciden con los 1s de la funcin
a b c f(a,b,c)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 11 1 0 1
1 1 1 0
35
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2 .23. Funciones booleanas y tablas de verdady
Representacin cannica en suma de productos de una funcin booleana de n variables
Toda funcin booleana puede representarse de una manera nica como la suma de sus minterms
a b c f(a,b,c)
0 0 0 0
0 0 1 0cbam ..2 =cbam ..3 =cbacbacbacbaf
mmmcbaf
......),,(
),,(),,( 632++=
=
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
cbam ..6 =
f )(1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
36
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2 .23. Funciones booleanas y tablas de verdady
if ((b=1 and c=0) or (a=0 and b=1)) then f=1; else f=0;
end if;end if;
a b c f(a,b,c)
cbbaaacbccba
cbacbacbacbaf
..).(.)(.
......),,(
+=+++=
=++=
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
cbacbacbacbaf
mmmcbaf
......),,(
),,(),,( 632++=
=
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
37
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2 .24. Ejemplo: Sumador binario de ns de 4 bitsj p
xi yi
Sumador 1 bit acarreoINacarreoOUT
Sumador nmeros de 4 bits
zi
x3 y3 x2 y2 x1 y1 x0 y0
Sumador 1 bitacarreoOUT
Sumador 1 bit
Sumador 1 bit
Sumador 1 bit acarreoIN
z3 z2 z1 z0
38
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2 .24. Ejemplo: Sumador binario de ns de 4 bitsj p
Sumador
xi yi xi yi ci co zi 0 0 0 0 0
0 0 1 0 11 bit cico
zi
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
.
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RESUMEN2 .2
lgebra de Boole. Postulados y propiedades. Representacin tabular de funciones booleanasRepresentacin tabular de funciones booleanas Concepto de minterm y forma cannica de suma de productos Cmo obtener el circuito que implementa una descripcin funcional particular
(d i i f i l t bl d d d f i / b l / i it )(descripcin funcional tabla de verdad funcin/es booleana/s circuito)
40
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2 NAND, NOR, XOR, NXOR, TRI-STATE2 .3Elena ValderramaUniversidad Autnoma de Barcelona
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2 .31. NAND, NOR,
Smbolos algebraicos:
a b ab ab
0 0 1 1 NAND(a, b) = a b,NOR(a, b) = a b.
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 0
42
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2 .31. NAND, NOR,
Las puertas lgicas NAND y NOR son mdulos universales
43
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2 .3(quiz)(quiz)
Cmo implementaras una AND con puertas NOR e inversores?
1.
2.
3.
44
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2 .3(Ejercicio)(Ejercicio)
Cmo implementaras el circuito siguiente utilizando slo puertas NAND?
45
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2 .3(Resolucin del ejercicio)(Resolucin del ejercicio)
Cmo implementaras el circuito siguiente utilizando slo puertas NAND?
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2 .32. XOR, NXOR,
Smbolos algebraicos:a b XOR XNOR
Smbolos algebraicos:
XOR(a, b) = a b,
XNOR(a, b) = (a b)
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 11 1 0 1
XOR = OR exclusiva
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Las puertas lgicas XOR y NXOR no son mdulos universales
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2 .32. XOR, NXOR Las puertas lgicas XOR son asociativas, p g
a b c z
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
1
0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
abc
zab
cz
bc
az
0
1
0
1
1 1 0 0
1 1 1 1n) n) n)
1
0
Las puertas lgicas NAND y NOR no son asociativas
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2 .32.1. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Comparador de igualdad,
If ((x3=y3) and (x2=y2) and (x1=y1) and (x0=y0)) then z=1; else z=0; end if;
49
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2 .32.2. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Bits de paridad (par),
50
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2 .32.3. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Sumador de nmeros de 4 bits,
Sumador 1 bit
x3 y3
acarreoOUTSumador
1 bit
x2 y2
Sumador 1 bit
x1 y1
Sumador 1 bit
x0 y0
acarreoIN1 bitOUT
z3
1 bit
z2
1 bit
z1
1 bit IN
z0
51
-
2 .32.3. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Sumador de nmeros de 4 bits,
52
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2 .32.3. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Sumador de nmeros de 4 bits
xy
,
Suma 1 bitSuma 1 bitco ci
x y
z
coci
53
z
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2 .32.3. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Sumador de nmeros de 4 bits,
Sumador 1 bit
x3 y3
acarreoOUTSumador
1 bit
x2 y2
Sumador 1 bit
x1 y1
Sumador 1 bit
x0 y0
acarreoIN1 bitOUT
z3
1 bit
z2
1 bit
z1
1 bit IN
z0
54
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2 .33. BUFFER TRI-STATE, INVERSOR TRI-STATE,
x
cc x z
0 0 0x z
c
0 1 1
1 0 H
1 1 H
x z
c x z
0 0 1
0 1 0
1 0 H
1 1 H
55
-
2 .33. BUFFER TRI-STATE, INVERSOR TRI-STATE,
x
cc x z
0 0 0x z
c
0 1 1
1 0 H
1 1 H
x z
c x z
0 0 1
0 1 0
1 0 H
1 1 H
56
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2 .33. BUFFER TRI-STATE, INVERSOR TRI-STATE,
x
c c x z 0 0 H
0 1 Hx z
c
1 0 0
1 1 1
x z
c x z
0 0 H
0 1 H
1 0 1
1 1 0
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2 .33. BUFFER TRI-STATE, INVERSOR TRI-STATE,
C1 C2 CK
x1 x2 x3 .. xn y1 y2 y3 .. yn z1 z2 z3 .. zn
Si C1=0 Xbus; si C2=0 Ybus; ... Cn=0 ZbusSl l C i (C 0) d i d iSlo una seal Ci est activa (Ci =0) en cada instante de tiempo
58
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2 .3AND
nombre smbolo funcin
AND
OR
INV
NAND
NOR
XORXOR
XNOR
Tri-state
59
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RESUMEN2 .3
NAND, NOR. Concepto e mdulo universal. XOR,NXORXOR,NXOR Buffers tri-state. Bus.
60