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VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LA ARANDELA
CALCULO INTEGRAL (ARQ)
21/04/23 1CI Arq
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VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.
ab
21/04/23 2CI Arq
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SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
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Diferencial de volumen
∆xi
f(xi)
i2
ii x])x(f[V i
2ii x])x(f[V
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
MÉTODO DEL DISCO
21/04/23 4CI Arq
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TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y = f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
b
a
2
n
1ii
2i
0)P(
dx)]x(f[
x)]x(f[limV
21/04/23 5CI Arq
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Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.
21/04/23 6CI Arq
x
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Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.
21/04/23 7CI Arq
y
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Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c<d), alrededor del eje Y será igual a:
d
c
2 dy)]y(g[V
21/04/23 8CI Arq
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21/04/23 CI Arq 9
MÉTODO DE LA ARANDELACuando la región a girar está limitada por dos
funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.
a bx
y
x
(*)
Diferencial de volumen
f(xi)g(xi)
xi
i22
i x))]x(g[)]x(f[(V
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21/04/23 CI Arq 10
TEOREMASean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:
dx))]x(g[)]x(f[(
x))]x(g[)]x(f[(limV
b
a
22
n
1ii
2i
2i
0)P(
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21/04/23 CI Arq 11
Ejemplo 5:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.
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21/04/23 CI Arq 12
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
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21/04/23 CI Arq 13
Ejemplo 7:La región limitada por la curva y = x2, el eje X y la recta x = 2 se gira alrededor del eje Y. Calcule el volumen generado.
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21/04/23 CI Arq 14
Ejemplo 8:Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.
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21/04/23 CI Arq 15
Ejemplo 9:La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado.
y = -3