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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
Control: Anlisis en variables de estado PRIMER EXAMEN PARCIAL
Sebastin Quintero Zapata
cc: 1214720558 Universidad Nacional de Colombia sede Medelln, Facultad de Minas
Departamento de Ingeniera Elctrica y Automtica
Programa de: Ingeniera de control
Medelln, Antioquia, Colombia
Marzo -2015
Resumen
El siguiente informe corresponde al primer examen parcial de la asignatura de control: anlisis en variables de
estado, en el que inicialmente se debe de comprender el concepto de linealizacin, despus de esto se debe de
hacer la verificacin entre el modelo del sistema lineal vs el sistema no lineal, despus de la corroboracin de la
linealizacin se debe de realizar un anlisis de controlabilidad y observabilidad, para determinar que a cuales
variables de estado es posible la aplicacin de las teoras de control, adems de esto se entender y examinar
el resultado obtenido de la matriz de ganancias relativas del sistema, en acto seguido se diseara un controlador
PID para las salidas correspondientes del sistema, despus se construir un desacoplador para el sistema con el
objetivo de disminuir el efecto de una variable sobre la otra y adems se realizar el diseo de un controlador
PID para el sistema en conjunto con el desacoplador.
Palabras clave: variables de estado, linealizacin, punto de equilibrio, punto de operacin, controlabilidad,
observabilidad, RGA, saturacin, desacoplador, PID.
1. Introduccin
El trabajo siguiente trata sobre el diseo de un
controlador para la salida de temperatura del fluido
frio y de igual manera para la salida de la
temperatura del fluido caliente , para un intercambiador de calor el cual se muestra en la
figura siguiente, este sistema es utilizado para
realizar transferencia de calor entre varios medios
y es uno de los procesos ms frecuentes y de esta
manera utilizados en ingeniera.
1.1. DEFINICIN DEL SISTEMA
A continuacin se muestra la figura que representa
el sistema propuesto para el examen parcial.
Figura 1. Intercambiador de calor
Las ecuaciones que representan el modelo del
sistema son las siguientes:
1
= 1 + (1 1)
1
= 1 2 + (2 2)
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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
1
= 2 3 + (3 3)
1
= 3 4 + (4 4)
1
= 2 1 + (1 1)
1
= 3 2 + (2 2)
1
= 4 3 + (3 3)
1
= 4 + (4 4)
Las constantes del modelo son las siguientes:
( ) = 4181,3
( ) = 1000
3
( ) = 15000
2
( ) = 0,1571 2
( ) = 0,0118 3
( ) = 0,0039 3
( ) = 40
= 40
( ) = 0
= 0
En adicin a esto los volmenes de control para las
temperaturas calientes y fras se relacionan de la
siguiente manera:
= 1 = 2 = 3 = 4
= 1 = 2 = 3 = 4
2. linealizacin del sistema alrededor de los puntos de operacin.
Para realizar la linealizacin del sistema primero
se debe de comprobar que el punto de operacin
corresponde a un punto de equilibrio y de esta
manera saber si (0) = 0, donde 0 es el punto de operacin del sistema y si se cumple la
condicin mencionada anteriormente es porque a
su vez es un punto de equilibrio, de esta manera la
tasa de variacin del sistema en estos puntos es
cero.
Despus de realizar la linealizacion por
aproximacin de series de Taylor se obtienen lo
siguiente:
2.1 Verificacin de la linealizacin realizada alrededor de los puntos de
operacin.
A continuacin se muestran la comparacin de los
modelos linealizado y no lineal. La simulacin se
realiz en simulink con entradas de flujo caliente
=18
y = 9
y despus de diez segundo se
cambia la referencia del sistema en un 10 %.
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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
Figura 2 modelo lineal vs no lineal (TH4)
Figura 3 modelo lineal vs no lineal (TC1)
3. Anlisis de controlabilidad y observabilidad
Para calcular la controlabilidad de los estados
primero se debe de hallar la matriz de
controlabilidad del sistema relacionada con los
estados del sistema y las entradas del mismo,
despus de esto se debe de analizar que las
columnas y las filas sean linealmente
independientes, adems de esto se desarroll la
prueba PBH del sistemas y se obtuvo que el rango
de la matriz de controlabilidad es igual al nmero
de variables del estado del sistema y el que el
vector obtenido despus de la prueba PBH todos
sus componentes son diferentes de cero.
= (1, 1) = 1
Donde L son los vectores propios de la matriz A1
= (1, 1) () = 8
De esta manera todos los estados del sistema se
pueden controlar.
Por otra parte para calcular la observabilidad del
sistema linealizado se debe de calcular la matriz de
observabilidad la cual est relacionada con la
matriz A1 y C1 y calcular si el rango de esta matriz
es equivalente a la cantidad de variables de estado
del sistema.
= (1, 1)
El resultado tras haber realizado la comparacin
entre el rango de la matriz de observabilidad y el
nmero de variables de estado fue equivalente.
Donde L son los vectores propios de la matriz A1
Adems de esto se realiz la prueba PBH definida
por la siguiente condicin:
= 1 Donde L son los vectores propios asociados a la
matriz A.
= (1, 1) () = 8
Se obtuvo que el vector PBH es diferente de cero
en cada una de sus componentes, de esta manera el
sistema todos los estados son observables.
4. Anlisis de ganancias relativas
(RGA)
Teniendo como base la linealizacin del modelo
realizado anteriormente se puede obtener la matriz
de ganancia del sistema definida por:
() = 1
Donde la matriz G se obtiene al realizar la funcin
de transferencia de las matrices de linealizacin del
sistema
= (1, 1, 1, 1) = () () = . ()
Se debe de evaluar la matriz RGA en la frecuencia
= 0; = 0 + 0 , para observar la influencia de las variables del sistema que se desean manipular
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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
en relacin con las variables que se pueden
controlar en este caso se debe hallar la relacin de
entre la entrada de flujo frio , flujo Caliente y las salidas 4 1, despus de realizado la evaluacin de esta matriz en esta frecuencia se
obtiene lo siguiente:
Se debe de tener en cuenta que la suma de las
componentes:
(1,1) + (1,2) = 1 (1,1) + (2,1) = 1 (1,2) + (2,2) = 1 (2,2) + (2,1) = 1
Adems de esto se debe tambin evaluar la matriz
RGA en la frecuencia de corte del sistema, la cual
est definida por:
= 0,2 Porcentaje de sobrepico
= 7 Tiempo de establecimiento
= (ln())2
(ln())2 + 2
=4
Reemplazando los valores correspondientes se
tiene que la frecuencia de corte est dada por:
=4
=
4
7 0,4559= 1,2533
De esta manera (1,2533) es equivalente a la siguiente expresin matricial:
Esta matriz nos otorga informacin acerca de la
relacin de las variables de entrada con las salidas
del sistema cuando se encuentran dentro de un
proceso de control.
Segn las recomendaciones realizadas en clase, las
cuales se encuentran basadas en el anlisis de
ganancias relativas la salida 4 se debe de controlar con la entrada y 1 se debe de controlar con , en otras palabras el control de temperatura del flujo caliente se debe de controlar
con la entrada de flujo caliente, y la temperatura del
fluido frio se debe de controlar con la entrada de
fluido frio.
4.1 Reduccin de modelos
Despus del anlisis de ganancias relativas se
procede a hallar la funcin de transferencia de cada
lazo y despus de aproximar el modelo de orden
ocho a uno de orden 2 se tienen las siguientes
funciones de transferencia.
4
= 11
1
= 22
4.1.2 Verificacin de la reduccin de los
modelos
para la verificacin de los modelos reducidos se
us una entrada escaln unitario para las funciones
de transferencia resultantes definidas en el literal
anterior.
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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
Figura 4 modelo de orden dos vs modelo orden
ocho
Figura 5 modelo de orden dos vs modelo orden
ocho
En las grficas anteriores se puede observar que la
reduccin de los modelos es adecuada por lo tanto
de ahora en adelante se empelaran los modelos de
segundo orden para las funciones de transferencia.
4.2 Diseo de controladores PID
Teniendo en cuenta que para controlar la
temperatura del fluido caliente (4) se debe de usar la entrada de flujo caliente () y haciendo uso del flujo frio () para efectuar el control sobre la temperatura de salida ( 1) se realiz el diseo de dos controladores PID para cada lazo de
control por medio de asignacin de polos basado en
la ecuacin diofantina [1].
En la que la funcin de transferencia del
controlador est definido por:
() =2
2 + 1 + 02 2 + 1
El polinomio caracterstico de la ecuacin
diofantina est dado por:
(2 + 2 + 2)(2 + 2 + 2)
El criterio de adicin del alfa se tom cinco veces
ms alejado que el polo ms lejano del sistema
de esta manera.
> 5 polo mas alejado
Para el primer sistema.
4
= 11
= 0,2 Porcentaje de sobrepico
= 7 Tiempo de establecimiento
= (ln())2
(ln())2 + 2
=4
Para el segundo sistema se utilizaron los mismos
criterios de diseo.
1
= 22
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= 0,2 Porcentaje de sobrepico
= 7 Tiempo de establecimiento
= (ln())2
(ln())2 + 2
=4
4.2 .1 Simulacin del sistema no lineal
controlado por medio de PID.
4.2 .1.1 Simulacin con aumento de la
referencia en el mismo instante.
Figura 6. Lazo de control de temperatura fra sin
perturbaciones
Figura 7. Lazo de control de temperatura caliente
sin perturbaciones
Figura 8. Esfuerzo de control
4.2 .1.2 Simulacin con referencias en
sentidos opuestos en el mismo instante.
Figura 9. Lazo de control de temperatura fra sin
perturbaciones
Figura 10. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
Figura 11. Esfuerzo de control
4.2 .1.3 Simulacin con cambios en las
referencias en diferentes instantes de
tiempo.
Figura 12. Lazo de control de temperatura fra
sin perturbaciones
Figura 13. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
Figura 14. Esfuerzo de control
4.2 .2 Simulacin del sistema no lineal
controlado por medio de PID y adicin
de perturbaciones.
4.2 .2.1 Simulacin sin variacin en la
referencia.
Figura 15. Lazo de control de temperatura fra
con perturbaciones
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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
Figura 16. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
Figura 17. Esfuerzo de control
4.2 .2.2 Simulacin con aumento de la
referencia en los mismos instantes.
Figura 18. Lazo de control de temperatura fra
con perturbaciones
Figura 19. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
Figura 20. Esfuerzo de control
4.2 .2.3 Simulacin con aumento de la
referencia en diferentes instantes de
tiempo.
Figura 21. Lazo de control de temperatura fra
con perturbaciones
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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
Figura 22. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
Figura 23. Esfuerzo de control
5. Construccin del desacoplador para
el sistema.
Para el clculo del desacoplador se utilizara la
siguiente formula teniendo en cuenta que al haber
realizado el anlisis de ganancias relativas la
relacin entre los lazos es directa debido que para
controlar el fluido caliente (4) se debe de usar la entrada de flujo caliente () y haciendo uso del flujo frio () para efectuar el control sobre la temperatura de salida ( 1).
() =
[ 1
1211
2122
1]
Donde representa la funcin de transferencia de la salida respecto a la entrada .
Evaluando la matriz correspondiente a la funcin
de transferencia del sistema en la frecuencia
= 0 (0) = _
De esta manera se puede calcular la matriz que
define a nuestro desacoplador de la siguiente
manera.
(0) = 0
La comprobacin del clculo del desacoplador
viene dado por:
0 = (0) (0)
De esta manera el clculo del desacoplador del
sistema es adecuado.
5.1 Diseo de controladores PID para el
sistema desacoplado.
Para este nuevo sistema se debe de recalcular el
PID para el control de temperatura del fluido frio
(1). Se utiliz el mismo mtodo de asignacin de polos utilizando la ecuacin diofantina.
Los criterios utilizados fueron los mismos que para
el clculo de los controladores anteriores
> 5 polo mas alejado
= 0,2 Porcentaje de sobrepico
= 7 Tiempo de establecimiento
= (ln())2
(ln())2 + 2
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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
=4
5.2 Simulacin del sistema no lineal
con desacoplador controlado por medio
de PID.
5.2 .1. Simulacin con aumento de la
referencia en el mismo instante.
Figura 24. Lazo de control de temperatura fra
sin perturbaciones
Figura 25. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
Figura 26. Esfuerzo de control
5.2 .2. Simulacin con cambios en la
referencia en el mismo instante.
Figura 27. Lazo de control de temperatura fra
sin perturbaciones
Figura 28. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
Figura 29. Esfuerzo de control
5.2 .3. Simulacin con cambios en la
referencia diferentes instantes.
Figura 28. Lazo de control de temperatura fra
sin perturbaciones
Figura 29. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
Figura 30. Esfuerzo de control
5.3 Simulacin del sistema no lineal
controlado por medio de PID
desacoplado y adicin de
perturbaciones.
5.3.1 Simulacin sin variacin en la
referencia.
Figura 31. Lazo de control de temperatura fra
con perturbaciones
Figura 32. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
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Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado
Figura 33. Esfuerzo de control
5.3.2 Simulacin con variacin en la
referencia en el mismo tiempo.
Figura 34. Lazo de control de temperatura fra
con perturbaciones
Figura 35. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
Figura 33. Esfuerzo de control
5.3.3 Simulacin con variacin en la
referencia en diferente tiempo.
Figura 36. Lazo de control de temperatura fra
con perturbaciones
Figura 37. Lazo de control de temperatura
caliente sin perturbaciones
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Figura 38. Esfuerzo de control
Conclusiones
-Una de las partes ms importantes del proceso de
control en variables de estado es el de la
linealizacion del sistema, ya que de las matrices
obtenidas dependen anlisis tan importantes como
lo es la estabilidad del sistema que se desea
trabajar, por lo tanto se debe de tener mucha
precaucin al momento de realizar las
aproximaciones correspondientes.
-Los procesos reales en la mayora de los casos se
vern expuestos a perturbaciones que pueden
desviar los puntos de equilibrio del sistema, de esta
manera es necesario disear sistemas de control
que permitan mantener las variables del sistema
dentro de su rango de operacin, y de esta manera
garantizar su correcto funcionamiento.
-Un punto de operacin es todo aquel punto que al
ser evaluado en las ecuaciones que describen el
sistema se obtiene como resultado el valor de cero,
de esta manera no todo punto de operacin resulta
ser de equilibrio.
-La matriz RGA posee la suficiente informacin
para poder establecer la relacin entre las entradas
y salidas del sistema, de esta manera se convierte
es una de las primeras condiciones para poder
realizar el diseo de un controlador ptimo
teniendo en cuenta las especificaciones del
problema.
Referencias
[1] Graham Clifford Goodwin, Stefan F.
Graebe, Mario E. Salgado, Control system
design, Prentice Hall, 2001. Ed Valparaiso
pp. 214-220 ISBN 978-0-13-958653-8.