Organizado por:
Recursos Educativos Audiovisuales Para La Comprensión Del
Péndulo Simple Resumen: En este trabajo presentamos la elaboración de material docente en formato digital con contenido físico-matemático. Concretamente, nos concentramos en una práctica de laboratorio realizada en la asignatura Física del Grado en Ingeniería de Organización Industrial del Centro Universitario de la Defensa de San Javier, en la cual se estudia el péndulo simple con el objetivo de determinar la aceleración de la gravedad y verificar la ley del péndulo simple. Así, con la elaboración de vídeos se pretende profundizar en las herramientas matemáticas usadas de trasfondo, polinomio de Taylor; así como poner en evidencia la interconexión existente entre las asignaturas de Matemáticas y Física cursadas en el primer curso de dicho grado. Palabras clave: Recursos educativos audiovisuales, práctica de laboratorio, péndulo simple, polinomio de Taylor
1. Objetivosopropósitos:
Elprincipalobjetivodeestetrabajoesponerdemanifiestolaayudaquesuponela
elaboracióndematerialdocenteaudiovisualcomocomplementoalasasignaturas
Álgebra,CálculoyFísica,impartidasenelprimercursodelGradoenIngenieríade
OrganizaciónIndustrialenelCentroUniversitariodelaDefensadeSanJavier.
Concretamentenoscentraremosenunaprácticadelaboratoriotitulada“Péndulo
simple”llevadaacaboenlaasignaturaFísica,enlaqueseproponedeterminarla
aceleracióndelagravedad, !,yverificarlaleydelpéndulosimpledeformaexperimental.Dadoquelacomprensióndelaprácticaanivelteóricoesdegran
dificultad,sehanelaboradodistintosvídeosexplicativosquecontienen:poruna
parte,ladeduccióndelasclásicasecuacionesdelmovimientodelpéndulo;ypor
otraparte,elusodelpolinomiodeTaylorqueesdesumaimportanciaparala
profundacomprensióndeesteestudio.
Deestemodo,conlaelaboracióndeestematerialdecarácterinterdisciplinarlos
objetivosperseguidosson:
- Motivaralalumnadohaciéndoleconscientedelainterconexiónexistente
entrelasasignaturasmencionadaspreviamente.
- Disponerdeunabateriadevídeosdedicadosalestudiodelpéndulosimple
quepermitaalalumnadovertantesvecescomoleseanecesariosu
Organizado por:
contenido,facilitandodeestemodoelautoaprendizajesinqueeltiempo
limitadodeclaseseaunproblema.
- Profundizarencontenidoscomoelmovimientooscilatorio,elpolinomiode
Taylor,elestudiodeerrorescometidosyecuacionesdiferenciales.
- Estudiarelalcancedelosanteriorescontenidosparaexplicarmodelos
físicoscotidianoscomoenestecasoeselpéndulosimple.
2. Marcoteórico:
Elmodeloteóricodelpéndulosimpleconstadeunpuntomaterialdemasa!suspendidodeunpuntofijo,O,queoscilasuspendidoenunhiloinextensiblede
longitud!demasadespreciable.Estaesunasituaciónidealyaqueesimposiblelarealizaciónprácticadeunpéndulosimple,sinembargosuestudioteóricoesde
graninterés.
Elpéndulosimplesigueunmovimientoperiódicooscilanteyaquecuandolamasa
sedejaenlibertad,aldesplazarlaunciertoángulo!delaverticaloscilahaciaunladoyotrodelpuntodeequilibrioconunperiodo!.
Conlafinalidadderepasarlasecuacionesdelmovimientodelpéndulosimple
recordemosquelasfuerzasqueactúansobrelamasa!son:- latensiónTdelhilo,vectorqueapuntahaciaelpuntofijoO,
- ysupeso,!",vectorverticalqueapuntahaciaelsuelo,quesepuededescomponerensucomponentenormal,!"#$%&,ysucomponentetangencial,!"#$%&.
Figura1.Fuerzasactuandoenelpéndulosimple
Observemosquelacomponentenormalseanulaconlatensión,mientrasla
componentetangencial,perpendicularalhilo,eslaproductoradelmovimiento.
Así,sidenotamospor!lalongituddelarcosituadobajoelángulo!,tenemoslasiguienterelación! = !".UsandoahoralaSegundaLeydeNewtonalacomponentetangencialtenemos
Organizado por:
(1)!! = −!"#$%& = ! !!!!!! = !" !!!!!! ,
dondeelsignonegativonosindicaqueestafuerzaempujaalpéndulohaciala
posicióndeequilibrio,esdecir,esunafuerzarecuperadora.Simplificando(1)se
tiene
(2) !"#$ = − !!!!!!!! .
Llegadosaestaexpresión,enlaliteraturaesmuycomúnqueseindiquequepara
ángulossuficientementepequeñospodemosusarlasiguienteaproximación
(3)!"#$ ∼ !.
Comoejemploindicamosreferenciascomo[BBG],[PG],[Si]y[TM].
Así,teniendoencuentalasexpresiones(2)y(3),para!pequeñoseobtiene
!!!!!! = − !
! !,y!!!!!! = − !
! !,
dedondededucimosquelaaceleraciónesproporcionalaldesplazamientodela
masa,esdecir,setratadeunaaproximaciónaunmovimientoarmónicosimple.
Enestecontextoteórico,nosgustaríaremarcarlarazónporlacualpodemosusar
laaproximación(3)yparaelloesnecesarioelusodelPolinomiodeTaylor.
Recordemosquedichopolinomioesunaaproximaciónlocalaunafunciónenun
entornodeunpunto!!quevienedefinidocomo
! ! ∼ !!(!, !; !!) = ! !! + !! !!1! ! − !! + !
!! !!2! ! − !! ! +⋯+ !
! !!!! ! − !! !
yportanto,setieneque!"#$ ∼ !! !"#$,!; 0 = !,talycomoseapreciaenlasiguienterepresentacióndondeelsenoeslafunciónazulyelángulolanaranja.
Organizado por:
Además,elerrorcometidoconestaaproximaciónsepuedeestimarusandoel
TeoremadelaFórmuladeTaylor|!(!)− !! !, !; !! | = !! !!! ! − !! !.Véanse
referenciascomo[GV]y[St]paramásinformaciónsobreaplicacionesdel
polinomiodeTaylor.
3. Metodología:
Laelaboracióndelosvídeosexplicativosdelaprácticadelpéndulosimplehansido
frutodediversasdiscusionesentrelosmiembrosdeunproyectodeinnovación
docentedelaUniversidadPolitécnicadeCartagenaconstituidopordos
matemáticosydosfísicos.Comoresultadoelmaterialelaboradoconsisteen:
- Primervídeo-PolinomiodeTaylor.Enesteprimervídeosedefineel
polinomiodeTaylor,yseobtienecomoejemploeldelafunciónseno.
- Segundovídeo-Errorcometido.Aquíseestimaelerrorcometidoal
aproximar !"#$ ∼ !paraángulosmenoresa10ºusandoelTeoremadeTaylor.
- PrimeraanimaciónenMathematica.Consisteenunaprimeraanimación
obtenidaalprogramarensoftwarematemáticopolinomiosdeTaylorde
distintosordenesdelafunciónsenoacompañadoporunaudioexplicativo.
- SegundaanimaciónenMathematica.Serepresentanloselementosfísicos
involucradosenlaecuacióndiferencialdelpéndulosimple.
- Tercervídeo-Ecuacionesdelpéndulosimple.Sedesarrollaendetalleel
marcoteóricoexplicadopreviamentehaciendousodelasherramientas
matemáticasanteriores.
- Cuartovídeo-Prácticadelaboratorio.Seexplicaelguióndelaprácticade
laboratorioconlafinalidaddeobtenerunaaproximaciónde!.
Anivelpráctico,enellaboratorioelestudiante,trashabervistopreviamentelos
vídeosdescritosdelosqueyadisponeenelaulavirtual,debecomprobarquepara
amplitudespequeñaselperiododelpéndulosimplesatisface
! = 2! !!
midiendolalongituddelhilodelpénduloconunareglagraduadayeltiempoque
tardalamasaenefectuar20oscilacionesconuncronómetrofijandounángulo
constantedeentre5y10grados.Así,comomedidasindirectassehadeobtenerel
periodo!,elperiodoalcuadrado!!ylaaceleracióndelagravedad.Paraobtenerestaúltima,laformadeprocederconsisteenrealizarunajustelinealpormínimos
cuadradosde!!yusarlapendientedelarectaobtenidaparaestimar!.
Organizado por:
4. Discusióndelosdatos,evidencias,objetosomateriales:
Anivellogístico,paralaelaboracióndelmaterialaudiovisualdeestaprácticalos
recursosempleadoshansidolossiguientes:
1. Unacámaradevídeo.2. Elsoftware“Mathematica”,usadoparasimularlasecuacionesinvolucradas
ypararepresentargráficamentelassoluciones.
Enellaboratorioelalumnodisponedeunpéndulo,uncronómetro,calibreyregla
milimetrada.
Cabedestacarquecuandoelalumnodiscutelosdatosobtenidossehadeteneren
cuentaquesepuedendarmúltiplescausasdeerrorquepuedeninfluirsobreel
resultadofinal,comopuedenser:elhilotieneunaciertamasa,lamasanoesideal,
elpéndulonosiempreoscilaexactamentesobreunplano,etc.
Comopropuestaadiscutirresultadosparapróximoscursosnosgustaríatrasladar
estemismoproblemadelpéndulosimpleacasosmenossencillos.Concretamente,
seríainteresanteestudiarquésucedecuandolasamplitudesnosonmuypequeñas,
yparaelloseríadegranayudalaelaboracióndenuevosvídeosexplicandolas
diferenciasdeestenuevoproblemaconelestudiadoenestetrabajo.
5. Resultadosy/oconclusiones:
Losresultadosesperadosconlaelaboracióndelmaterialaudiovisualson:poruna
partefacilitarelritmodeaprendizajedecadaalumno,yaquedisponerdevídeos
permiterepetirlostantasvecescomoseanecesario.Porotraparte,sepretende
motivaralalumnadoymostrarlelasaplicacionesrealesquetienenlasasignaturas
estudiadasenprimercurso,facilitandoelterrenoalasmateriasquese
encontraránencursosposteriores.
6. Contribucionesysignificacióncientíficadeestetrabajo:
Laelaboracióndematerialaudiovisualparaprofundizarenelproblemadel
péndulosimplecombinandoteoríamatemático-física,softwarematemáticoy
prácticasdefísicaresultanovedosaenlaactualidad.Porello,creemosquesupone
unpasoenlainnovacióndocenteenmarcadadentrodelcontextodeestudiantesde
primercursodeingeniería.
Encuantoalcontenidocientífico,sepretendeprofundizarenelestudiodel
polinomiodeTaylorconlafinalidaddeexplicarloserrorescometidosal
aproximarlaecuacióndelpéndulosimplecuandoelánguloessuficientemente
Organizado por:
pequeño.Enestadirección,muchasreferenciasbibliográficasnoseadentranen
lastécnicasmatemáticas,yconlosvídeosexplicativosseintentadarunavisión
másprofundadeestosaspectos.
7. Bibliografía:[BBG]BurbanodeErcilla,S.,Burbano,E.,Gracia,C.FísicaGeneral.Ed.Tébar.
[GV]García,A.,delaVilla,A.CálculoI.Ed.Clagsa.
[PG]Peña,A.,García,J.A.Física2ºBachillerato.Ed.McGrawHill.
[Si]Simmons,G.F.,EcuacionesDiferenciales.Conaplicacionesynotashistóricas.
Ed.McGrawHill.
[St]Stewart,J.Cálculodeunavariable.Trascendentestempranas.Ed.Cengage
Learning.
[TM]Tipler,P.A.,Mosca,G.Físicaparalacienciaylatecnología.Vol1.Ed.Reverté.