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LOS NÚMEROS IRRACIONALES
RADICALES: Operaciones1) Simplifica los siguientes radicales:
a)
b)
c)
Solución:
a) b) c)
2) Escribe las siguientes raíces como exponentes fraccionarios y simplifica cuanto se pueda:
a)
b)
c)
Solución:
a) b) c)
3) Calcula las siguientes raíces factorizando cuando sea necesario:
a) b) Página 1 de 13
9√83
3√163√73
6√73=(73)16=7
12=√7
9√83=9√ (23 )3=9√29=23√16=3√24=2
3
√2
5√310
7√214
√76
√76=762=73=3437√214=2
147 =22=45√310=3
105 =32=9
7√5285√32243
c) d)
Solución:
a) b)
c) d)
4) Calcula los valores de las siguientes potencias:
a) b) c) d)
Respuestas: a) 64 b) 4 c) 2 7 d) 2
5) Realiza las siguientes operaciones:
c) d)
e) f)
g) 1/2 √75 + 4 √27 - 3/7 √147 + 7/2 √12=
h) 5√12 + 7 √48 - 1/4 √108 -3/4 √192 + 1/10 √3=
Página 2 de 13
11√105
10163√343
1331
32=25 , 243=35⇒ 5√ 25
35 =5√25
5√35=
23
7√528=5287 =54=625
11√105
1016 =11√10−11=10
−1111 =10−1= 1
10343=73 , 1331=113⇒ 3√ 73
113 =3√73
3√113=
711
a ) 3 4√162−15
4√1250 ; b) 3√343−25 √175−5 √28 .
i) 1/4 3√81 + 3/8 3√192 - 10-1 3√24=
Solución:
c) −8√3 d) 6 √6 e) 7 √5 f) 63√2 g) 18,5 √3
h) 30,6 √3 i) 41/20 3√3
6) Racionaliza:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l) m)
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a ) 4√162=4√2⋅34=3 4√2 ; 4√1250=
4√2⋅54=5 4√2⇒3 4√162−15
4√1250=3⋅3 4√2−15⋅5 4√2=
¿9 4√2−4√2=8 4√2 .
b ) √343=√73=7√7 ; √175=√52⋅7=5√7 ; √28=√22⋅7=2√7⇒3⋅7√7−25⋅5√7−5⋅2√7=
¿21√7−2√7−10√7=9√7 .
4 √23√16
√5−√33√6
2−5√34√6
6√25√3
2+√3√2
3√2+5√32√7
√5+√6√2+√6
1+√21−√3
9√5+√7
n)
2√3√5−√3
+ 3√2√5−√2
+ 2√7−√5
ñ) Soluciones:
a) b) c)
d) e) f)
g)
h)
i)
j) 1 k) l) m)
n) (5+√15+√10+√7+√5) ñ) ( 2√2+√3)
7) Resuelve:
Página 4 de 13
1√3+1
+ 1√2+1
+ 1√3−1
+ 1√2−1
4 √23√162
3√16 3√162= 4 √2 ·22 3√4
16=√2· 3√4 (√5−√3 ) 3√62
3√6 3√62=
(√5−√3 ) 3√62
6(2−5√3 ) 4√63
4√6 4√63=
(2−5√3 ) 4√63
6
(3√2+5√3 )√72√7 √7
=( 3√2+5√3 )√714
6√2√35√3√3
=6√615
=2√65
(2+√3 )√2√2√2
= 2√2+√62
(1+√2 ) (1+√3 )(1−√3 ) (1+√3 )
=1+√3+√2+√61−3
=−1+√3+√2+√62
9 (√5−√7 )(√5+√7 ) (√5−√7 )
=9 (√5−√7 )
5−7=−
9 (√5−√7 )2
(√5+√6 ) (√2−√6 )(√2+√6 ) (√2−√6 )
=√10−√30+√12−62−6
=−√10−√30+√12−64
3√93
3−√33
5 √24
Respuesta
Página 5 de 13
1)
2)
3) √20+√45−√80=
4) √16+√54+√250=
5) 4 √12−3√48+2√27+3√75=
6) 3√2−3√8+√18=
7) 3√54−2 3√16=
8) √32−4√50+√8=
9)
3√81−2 3√24+5 3√375=
10)
3√2 . 4√8=
11)
12)
13)
14)
15)
1
1a−b
√5
4+3 √6+5 √10
17 √3
0
−3√2
−14 √2
24 3√3
12√213
9−2 √14
7−4 √3
1
2
2+ √6
√2Página 6 de 13
8) Extrae todos los factores posibles:
Soluciones
9) Variado: Exponentes y radicales
a) Simplifica. Expresa los resultados con exponentes positivos.
1¿( 3a2bc )
5
2) x3 y−2
x−5 y3 3) ( 3 x4 y−1
2 z5 )4
4) ( x12 y0
z−5 )−2
5) x−2+ y−2
6) x−2
x−1− y−1 7) 8 x0−(7 x )0 8) −42 9) (−4 )−3 10) (−4 )2
11) ( x−3 y2
x−5 y−4 )−2
12) (8m−3n2 )23 13) (−3ab )2 (−2a3b−1 )3
b) Efectúa cada una de las siguientes operaciones con radicales y simplifica los resultados.
1¿√3+5 √2−√2+4√3 2) 5√3−√27+6 √12 3) 8√24−2√36+7 √32
4) √ x y3−2 y √xy 5) 3√2 (5√2−√6−7 ) 6) (2√3−8√2 ) (√3+4 √2 )
7) (√3+√2 )2 8) ( 4√5−7√10 )2 9) 8√30+5 √20√10
10) (5√ x−√ y ) ( 4√ x+3√ y )
11) 3√8+2√32+ 7√50−6 √162+9√98+7√242=
Página 7 de 13
a )7√513⋅323⋅215 ; b) 3√5400 ; c )
4√115⋅136⋅177 ; d ) 4√6480 .
a ) 7√513⋅323⋅215=5⋅33⋅22 7√56⋅32⋅2=540 7√56⋅32⋅2 ;b ) 3√5400=
3√23⋅33⋅52=2⋅3 3√52=6 3√25 ;c )
4√115⋅136⋅177=11⋅13⋅174√11⋅132⋅173=2431
4√11⋅132⋅173 ;d ) 4√6480=
4√24⋅34⋅5=2⋅3 4√5=6 4√5 .
c) Simplifica cada radical.
1) √24 x2 y5 2) 3√24ab6 c8 3) √144 x15 y17
d) Racionaliza el denominador.
1) 5√2 2) 7√3
8√5 3¿ 53√R 4)
1√3+√2
5) √3√5−2√3 6) 7−√2
7+√2 7) 8√5−2√64 √5−3√6 8) √ x
√x−√2
RESPUESTAS
a) 1) 243a10b5
c5 2) x8
y5 3) 81x16
16 y4 z20 4) 1x z10 5) y
2+x2
x2 y2 6) y
xy−x2 7)
7
8) −16 9¿− 164 10) 16 11)
1x4 y12 12) 4n
43
m2 13) −72a11
b
b) 1¿5√3+4√2 2) 14√3 3) 16√6 + 28√2−¿12 4) − y √xy 5) 30 −6√3−21√2 6) −58
7) 5+2√6 8) 570−280√2 9) 8√3+5√2 10) 20 x−3 y+11√xy
11) 135√2
c) 1) 2 x y2 √6 y 2) 2b2 c2 3√3ac2 3) 12 x7 y8 √xy
d) 1) 5√22
2) 7√1540
3) 53√R2
R 4) √3−√2 5) −
(6+√15 )7
6) 51– 14√247
7) 2(31+√2 )
13 8) x+√2 x
x−2
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10) Piensa:
a) b) c)
d)
3√6427
+ √32x5 y5
√2x3 y3+√18 xy
25:√ 9 xy
5a2=
e) =
f) =
g) (3√7+√2)2−(2√7+√2)(2√7−√2)=
h) (√5−1 )(√2+1 )−(√5+1 )(√2+1 )+√2 =
i) (2+ =
j) (6 =
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√( x2−2xy+ y2 )(a+b)2
(√a2−b2
√a−b+ √(a+b)3
√(a+b )2 )4 3√16−6 3√54+8 3√128 ):2 3√2
√2)(2−√3 )−√2(2−√3 )
√7−5 √7+2√7 )( 8√2−5√2 )√2
√18 :√9+√27 : √9−√32: √8−√3+2)√2
k) (
l)
3√278
−3√12564
+ 3 3√278
) :( 3√6427
+√8164
)=
m) =
n) 23√4√ab+ 6√√ab−4
4√3√ab+√6√ab =
ñ) (x+y) = Respuesta: a) b) c) (x-y) (a+b)
d)
43+4 xy+a√ 2
5 e) 2√a+b ) f) 11 g) 39+6√14
h) -2 - √2 i) 4 - 2√3 j) 18√7 k) 2
l) 114/59 m) 6 6√ x n) 0 ñ) √ x2+ y2
11) Ecuaciones (Cuidado! No siempre los valores hallados responden a la ecuación)
a)√ x2+5=x+5 b) √2 x−6+1=x−2
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√3√x−2 3√√ x+5 6√x
√ x2+ y2
x2+2xy+ y224√211 24√2
c) √8 x−7−2=3 d)
e) √ x+19+1= √2x+4 f)
g) h) i)
j) k) √ x+5+√x+2=6
l) √ x+3x
=√ x−3x+3 m) √ x+1−√ x=√x
n) √5+x2+2=7+x ñ) √5−x−√x+3=0
o)
5+√ x7+√ x
=4−√x5−√ x p)
q) √4+√7x−10=3 r) 3 x+2+√9x2−1=1
s) t) √6 x−2+√2x+4=0
Respuestas a) x = −¿ 2 b) x1 = 5 x2 = 3 c) x = 4 d) x = 7 e) x = 30 (6 no es solución)
f) x = 64 g) x =−¿ 2 h) No hay solución i) m = 9 j) f = −¿ 25
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3√4 x−1+52 =4
√ x−3=5√m−4=2 √m−7√ x−5=−2√ x2+3 x+11+x=1
−3=3√ f−2
√ x+5= x+3√x+2
√9 x−2= 3 x+1√ x−3
k) x= 89/16 l) No hay solución m) x = 1/2 n) x = -- 2 ñ) x = 1 o) x = 1
p) x = -- 1 q) x = 5 r) x = -- 1/3 r) x = 5 s) No hay solución (x = 1/7)
t) No hay solución (x = 3/2)
RECUERDA:Los conjuntos numéricos
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Sabías que….?La palabra: “ARITMÉTICA” se usa para definir la Ciencia que estudia los números y las operaciones entre ellos. Es una palabra que deriva de la griega “ARITMOS” que significa Número.
La palabra “CÁLCULO” es el conjunto de procedimientos matemáticos encaminados a resolver un problema. Es una palabra que deriva del latín pues los romanos utilizaban piedras pequeñas para realizar sus cuentas, a estas piedras se les denomina en latín “CALCULUS”.
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