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PROPORCIONALIDAD
2º ESO
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PROPORCIONALIDAD 2º ESO
1.-Razón de dos números
Hasta ahora, el cociente indicado de dos números, por ejemplo 8 y 7, era una
división, 8 : 7 y también una fracción, 78
Vamos a añadir un nuevo significado a ese cociente. Es el de razón de dos números. Diremos que la razón de dos números es su cociente indicado. La expresaremos en forma de fracción y la leeremos “8 es a 7”.
Ejemplo:
La razón de 5 y 8 es “5 es a 8” 85
En la práctica, podemos considerar a razón y fracción como cosas similares.
Por ello podremos decir que la razón entre 15 y 20 es o , que es la
fracción equivalente irreducible 2015
43
Cuando aplicamos la razón de dos números a cantidades estamos expresando la
relación que hay entre ellas. Es decir, si la razón de dos cantidades es significa
que por cada 5 unidades de la primera hay 8 de la segunda. Las escalas de planos y
mapas son, en realidad, razones entre las medidas del papel y del terreno.
85
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
2.- Proporción
Proporción es la igualdad de dos razones. Es decir, si dos razones son iguales, puedo escribir esa igualdad y a la expresión que resulta la llamamos proporción.
Las razones y son iguales. Puedo escribir por tanto . Es una
proporción y la leeremos: “1 es a 2 como 3 es a 6” 21
63
63
21
Al igual que en las fracciones equivalentes, también en una proporción puede haber algún término desconocido. Lo calcularemos de la misma forma. Fíjate en los ejemplos:
x6
43
83
6·4x
9x
x4
369·4x2 636x
Y como en las fracciones equivalentes, también en una proporción al multiplicar en cruz se obtiene el mismo resultado. Compruébalo en el ejemplo anterior. En el caso de las proporciones se dice que “el producto de medios es igual al producto de extremos”.
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3.- Magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al variar una de ellas en un sentido, la otra varía en el mismo sentido. Es decir:
A doble en la primera magnitud, doble en la segunda
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al variar una de ellas en un sentido, la otra varía en sentido contrario. Es decir:
A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda
. Número de personas que van en el autobús y recaudación del autobús
. Tiempo que está encendida una bombilla y consumo de energía
. Número de vacas que posee un granjero y pienso que gasta a la semana
. Número de obreros y tiempo en hacer un trabajo
. Velocidad de un coche y tiempo en recorrer un trayecto
. Número de vacas y tiempo que durará el pienso
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4.- Tablas en la proporcionalidad directa
A doble en la primera magnitud, doble en la segunda
Naranjas (kg) 2 3 4 5
Precio (€) 4 6 8 10
5
10
4
8
3
6
2
4 2 (es lo que corresponde a 1)
En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad directa y para completar tablas incompletas. El cociente se llama “razón de proporcionalidad”.
A 2 3 4 5
B 12 18 24 30
Es una tabla de proporcionalidad directa(los cocientes son iguales)
A 4 5
B 20 10 50
A 4 2 5 10
B 20 10 25 50
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
5.- Tablas en la proporcionalidad inversa
A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda
Operarios 2 3 4 8
Tiempo (h) 12 8 6 3
24 (es lo que corresponde a 1)
En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad inversa y para completar tablas incompletas. El valor del producto es “la constante de proporcionalidad”.
A 2 3 4 10
B 12 8 6 2,4 Es una tabla de proporcionalidad inversa
(los productos son iguales)
A 4 6
B 9 12 18
2 .12 = 3 . 8 = 4 . 6 = 8 . 3 =
A 4 3 6 2
B 9 12 6 18
6.- Tablas de proporcionalidad y proporciones
8
4
6
3
12
8
3
2
Naranjas
(kg)
Precio
(€)
2 4
3 6
4 8
5 10
Propocionalidad directa
En la proporcionalidad directa, la razónde dos cantidades de una magnitud forma proporción con la razón de las cantidades correspondientes en la otra magnitud.
Operarios Tiempo
(h)
2 12
3 8
4 6
6 4
Proprocionalidad inversa
10
6
5
3
6
4
3
2
En la proporcionalidad inversa, la razónde dos cantidades de una magnitud forma proporción con la razón inversa de las cantidades correspondientes en la otra magnitud.
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
En una fábrica, 8 máquinas producen 120 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 25 máquinas?
POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Máquinas 8 25
Pieza 120 ? x
120
25
8120 : 8 = 15
Solución:375 piezas
DD
8
120.25x
Solución:375 piezas
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7.- Problemas de proporcionalidad directa
Máquinas Piezas 8 -------- 120 25 -------- x
POR REGLA DE TRES
= 375
25 . 15 = 375
Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿ En cuánto lo harán 8 operarios ?¿ Y 3 operarios ?
POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Oper 12 8 3
Días 6 ? ? 6
x
8
1212 . 6 = 72
Solución: 9 días 24 días
I I
Solución: 9 días24 días
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
8.- Problemas de proporcionalidad inversa
Operarios Días 12 -------- 6 8 -------- x 3 -------- y
POR REGLA DE TRES
98
6.12x
6
y
3
12 24
3
6.12y
72 : 8 = 9
72 : 3 = 24
PROPORCIONALIDAD 2º ESO
Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos:
1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de
cada magnitud en la misma unidad.3º.- Escribir la proporción correspondiente4º.- Hallar x
Fíjate en los siguientes ejemplos.
Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8 horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16 obreros? (Es inversa porque a doble de obreros mitad de tiempo)
Nº obreros Tiempo (h) 10 --------- 8 16 --------- x I
Solución
5 horas
8
x
16
10
516
8.10x
Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré por 57 de esas camisetas?
( Es directa porque a doble de camisetas doble dinero)
Camisetas Dinero(€) 12 ------- 96 57 -------- x
D
x
96
57
12
45612
96.57x
Solución 456 €
9.- Resolución de problemas de proporcionalidad por regla de tres
PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES
10.- Concepto de porcentaje
La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de cada 100”. Es decir, hablar del 40% es hablar de 40 de cada 100.
Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de una cantidad deberíamos dividir primero por 100 para ver cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos por el tanto por ciento.
Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente:
420 : 100 = 4,2
En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir bien para calcular mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos en los que aparecen ceros al final de las cantidades.
Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que hacemos es quitar dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes quitaremos dos ceros y multiplicaremos las cantidades resultantes:
4% de 600 = 4 . 6 = 24
20% de 60 =
(*) En este último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del resultado, 20, quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2.
30% de 50 = 3 . 5 = 15 40% de 500 = 40 . 5 = 200
8% de 2000 =
4% de 50 =2 . 6 = 12 8 . 20 = 160 4 . 0,5 = 2 (*)
4,2 . 35 = 147
11.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como fracción
Hemos visto que 40% es lo mismo que 40 de cada 100. Pero resulta que 40 de cada 100 también lo podemos expresar en forma de fracción: 40/100. Es decir,
40% = 100
40
Por ello, hallar el 40% de 600 será lo mismo que calcular de 600. En la prácticaprocederemos así: 100
40
35 % de 60 = 21100
60.35
A esta forma de calcular porcentajes se le suele llamar porcentaje como fracción.
28% de 420 = 100
420.28117,6 150% de 36 =
100
36.15054
PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES
12.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como decimal
100
40
Por ello, para hallar el 40% de 600 podremos hacer lo siguiente:
600 · 0,40 = 240
PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES
Si 40% es eso equivale a decir que 40% es lo mismo que 0,40 ya que 100
40= 0,40
Así, para hallar un tanto por ciento de una cantidad, multiplicaremos la cantidad por el decimal que equivale al tanto por ciento.
Ejemplos:
35% de 450 = 450 · 0,35 = 157,5
116 % de 1289 = 1289 · 1,16 = 1495,24
13.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como regla de tres
Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de proporcionalidad directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de una regla de tres.
Ejemplo: Calcular 40% de 650
Total Parte
100 ------ 40
650 ------ x x
40
650
100 260
100
40.650x
Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver algunos problemas.
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14.- Cálculo de porcentajes : con calculadora
Calcular 35% de 60
CALCULADORA NO CIENTÍFICA
Deberás teclear:
60 x 35 %
y aparecerá el resultado en la pantalla
21
CALCULADORA CIENTÍFICA
La secuencia de teclas depende del modelo de calculadora. Para la Casio es:
60 x 35 SHIFT =
SHIFT activa la segunda función de las teclas
Tecla = contiene % como segunda función
SHIFT
=
%
SHIFT + = %
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15.- Cálculo rápido de algunos porcentajes:
10% = décima parte (: 10) 10% de 42 = 42 : 10 = 4,2
50% = la mitad (:2) 50% de 36 = 36 : 2 = 18
25% = la cuarta parte (:4)
20% = la quinta parte (:5)
75% = las tres cuartas partes (:4) y (x3)
25% de 40 = 40 : 4 = 10
20% de 35 = 35 : 5 = 7
75% de 16 = 16 : 4 . 3 = 12
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16.- Cálculo de porcentajes : resumen
50 % de 300
a) Porcentaje como fracción: 50% de 300 =
100
50.300
x
50
300
100
150
b) Como regla de tres: 50% de 300
Total Parte
100 ------ 50
300 ------ x
e) Mentalmente (con números que acaban en ceros): 50% de 300 = 50 . 3 = 150
x =
100
50.300
150
d) Con calculadora: 50% de 300 =>
f) Cálculo rápido (sólo en determinados casos): 50% de 300 = 300 : 2 = 150
50 x 300 % = 150
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c) Como decimal => 50% de 300 = 300 · 0,5 = 150
17.-Problemas de porcentajes 1
Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por ciento:
30% de 40 = 12
porcentajetotal
parte
En mi clase, el 40% son chicas. Si en total somos 30, ¿cuántas son las chicas?
(El problema se resuelve hallando el 40% de 30 por cualquiera de los métodos que conocemos)
total : 30
chicas: 40%
40% de 30 = 12 Solución:
12 chicas
A- CÁLCULO DE LA PARTE
PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES
(Si lo hacemos utilizando porcentaje como decimal)
30 · 0,4 = 12
18.- Problemas de porcentajes 2
En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje representan las chicas?
(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)
Total Chicas
30 --- 12
100 --- x
x
12
100
30 40
30
12.100x Solución:
40%
Otra forma de resolverlo utilizando regla de tres
Alumnos %
30 ------- 100
12 ------- xx
100
12
30 40
30
100.12x
Solución:
40%
B- CÁLCULO DEL PORCENTAJE
PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
12 : 30 = 0, 4 = 40%Total: 30Chicas: 12
Solución:
40%
19.- Problemas de porcentajes 3
En mi clase hay 12 chicas y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total?
(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)
Total Chicas
100 --- 40
x --- 12
12
40
x
100 30
40
12.100x
Solución:
30 alumnos/as
Otra forma de resolverlo utilizando regla de tres
% Alumnos/as
40 ---------- 12
100 --------- x
x
12
100
40 30
40
12.100x Solución:
30 alumnos/as
C- CÁLCULO DEL TOTAL
PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
12 : 0,4 = 30
(si para calcular la parte multiplicamos por el decimal, para hacer lo contrario, es decir, paracalcular el total, dividiremos por el decimal)
Chicas: 12Chicas: 40%
Solución:
30 alumnos/as
20.- Problemas de porcentajes 4
Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, aumenta en un porcentaje de su valor y llega a un valor final.
Mi tío gana 1200 € mensuales de sueldo y le van a subir el 12%. ¿Cuánto ganará después de la subida?
1200 + 144 = 1344
Solución:
1344 €
Otra forma de resolverlo
Solución:
1344 €
D- AUMENTO PORCENTUAL
(Si aumenta el 12%, cada 100 de antes se convierten en 112)
Sueldo: 1200 €
Aumento: 12%
12% de 1200 = 144
Sueldo: 1200 €
Aumento: 12%
112% de 1200 = 1344
PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
Sueldo: 1200 €
Aumento: 12%
1200 · 1,12 = 1344Solución:
1344 €
21.- Problemas de porcentajes 5
Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y llega a un valor final.
La camiseta que me gusta vale hoy 30 €. Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me costará entonces?
30 – 7,5 = 22,5
Solución:
22,5 €
Otra forma de resolverlo
Solución:
22,5 €
E- DISMINUCIÓN PORCENTUAL
(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor)
Precio: 30€
Descuento: 25%
25% de 30 = 7,5
Precio: 30€
Descuento: 25%
75% de 30 = 22,5
PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
Precio: 30€
Descuento: 25%
30 · 0,75 = 22,5 Solución:
22,5 €
22.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual (1)
Mi tío gana 1344 € mensuales de sueldo después de una subida del 12%. ¿Cuánto ganaba antes?
Antes Después
100 --- 112
x --- 13441344
112
x
100
112
1344.100x 1200
Solución:
1200 €
Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el porcentaje de aumento o disminución.
Por regla de tres
Otra forma de resolverlo
112 % de x = 1344
100% + 12% = 112%
112
100.1344x 1200
Solución:
1200 €
Sueldo antes: x
Aumento: 12%
Sueldo después: 1344€
PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
1344 : 1,12 = 1200Solución:
1200 € Sueldo después: 1344€Aumento: 12%
He pagado 22,50 € por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál era el precio antes de la rebaja?
Antes Después
100 --- 75
x --- 22,5022,50
75
x
100
75
22,50.100x
Solución:
30€
23.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual (2)
Por regla de tres
30
Otra forma de resolverlo
75 % de x = 22, 50
100% - 25% = 75%
75
100.22,50x
Solución:
30€
30
Precio antes: x
Descuento: 25%
Precio después: 22,50€
PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES
Otra forma de resolverlo utilizando decimales
22,50 : 0,75 = 30Solución:
30€
Precio después: 22,50€Descuento: 25%